x x x f(x) 5-f(x) Approccio Intuitivo Man mano il valore di x si avvicina a x 0 il valore di f(x) si avvicina a L

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1 Deiizioe imite Approccio Ituitivo Ma mao il valore di si avvicia a il valore di si avvicia a Possiamo precisare meglio: , ,87459,549,99 4,96,399, ,98736,639,999 4,996,3999, ,998735,65,9999 4,9996,4, ,999874,6, ,99996,4

2 Deiizioe imite y 3 3

3 y Deiizioe imite 3

4 Deiizioe imite 3 e altre combiazioi : Esempi: 3 y y y l l 4

5 Deiizioe Uitaria Topologica Deiizioe imite 4 : A X Y ' Sia e sia isieme derivato di A allora vale: A Se per ogi itoro U Y issato, esiste u itoro I X tale che I X U Y 5

6 Deiizioe imite 5 I R, el caso di ed iiti abbiamo: I X U Y I Diveta u itoro serico di di raggio δ : Diveta u itoro serico di di raggio ε y y U : Per cui la deiizioe diveta deiizioe ε-δ di Cauchy - Weierstrass: e quidi: I : I U U : : 6

7 imiti iito iito + ε - ε - δ + δ I : I U U : : 7

8 imiti =+, iito + ε - ε U I : I U : : i questo caso diciamo che y= è u Asitoto Orizzotale per a + 8

9 imiti =-, iito + ε - ε U I : I U : : i questo caso diciamo che y= è u Asitoto Orizzotale per a - 9

10 imiti iito, + - δ + δ I I U U : : : i questo caso diciamo che = è u Asitoto Verticale per

11 imiti iito, - U U U U : : : i questo caso diciamo che = è u Asitoto Verticale per - δ + δ

12 imiti +, + U I : I U : : e

13 imiti -, + U I : I U : : 3 3

14 imiti -, - U I : I U : : 3 4

15 imiti +, - U I : I U : : log 5

16 6 imite destro e siistro imite destro imite Siistro Va scelto u itoro destro di : : Va scelto u itoro siistro di : : : : : :

17 imite per eccesso e per dietto imite per eccesso : : Va scelto u itoro destro di imite per dietto Va scelto u itoro siistro di : : 7

18 imiti di Successioi De. Ua successioe è ua uzioe da NR Es. a : N R ad associa : a a È possibile avere i iti ache per le successioi, l uico puto di accumulazioe di N è +, per cui il ite si può are solo quado tede a + Si hao allora 3 possibili risultati: a a a iito o esiste a successioe è detta CONVERGENTE a successioe è detta DIVERGENTE a successioe è detta IRREGOARE 8

19 a imiti di Successioi Covergeti iito Es. e Deiizioe: U, I tale che I U, tale che si ha a Es. Basta scegliere come il più piccolo itero maggiore di /ε 9

20 a Deiizioe: imiti di Successioi Divergeti Es. 3 l U [ ou ], I tale I U [ ou ] che, tale che si ha a [o a ] Es. l l e e Basta scegliere come il più piccolo itero maggiore di /ep

21 Successioi Irregolari Es. a si a

22 Esisteza ed Uicità del imite No sempre il ite di ua uzioe esiste: si o esiste si o esiste si o esiste

23 Esisteza ed Uicità del imite No sempre il ite di ua uzioe esiste: o esiste Però: N.B. : o è ecessario che la uzioe sia deiita el puto a cui tede la. uica richiesta è che questo valore sia u puto di accumulazioe del campo di esisteza della uzioe. si si 3

24 Esisteza ed Uicità del imite b/3 si 4

25 5 Esisteza ed Uicità del imite 3/3 Aichè il ite di ua uzioe esista deve essere che il ite destro e siistro esistao e che debbao essere uguali: Se ua uzioe è pari ed = basta dimostrare l esisteza del ite destro aiché esista il ite. : allora é pari se : y pari y y co y y

26 Teoremi sui imiti Teorema di uicità. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, allora questo ite è uico Teorema di esisteza per uzioi Mootoe [o DIM]. Se ua uzioe è mootoa crescete i u itoro destro U + del puto, allora esiste il suo ite per + e vale: U I Teorema della permaeza del sego. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, co positivo egativo, allora esiste u itoro di i cui è positiva egativa. 6

27 Dimostrazioe Teorema Uicità Teorema di uicità. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, allora questo ite è uico Dim. Per assurdo ammettiamo l esisteza di due iti distiti Per la deiizioe di ite abbiamo: Sia: co, : : : : mi, Allora la e la valgoo cotemporaeamete per ogi : - <δ. Ne segue che per tali : Ma da ciò segue che: a qual cosa ega l arbitrarietà di ε. c.v.d. 7

28 Dim. Sia : Dimostrazioe Teorema Permaeza del sego Teorema della permaeza del sego. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, co positivo egativo, allora esiste u itoro di i cui è positiva egativa. U : U Scegliamo ε, data l arbitrarietà,i modo tale che - ε>. Ne segue che la >. Dimostrazioe aaloga vale el caso di egativo. c.v.d. 8

29 Teoremi sui imiti Teorema del coroto. Siao,g,h tre uzioi co puto di accumulazioe dei loro tre isiemi di deiizioe. Se: Se esiste u itoro U tale che: g h Se Allora g h 9

30 3 Dimostrazioe Teorema del coroto h g Teorema del coroto. Siao,g,h tre uzioi co puto di accumulazioe dei loro tre isiemi di deiizioe. Se: Esiste u itoro U tale che: g h Allora Se Dim. g c.v.d. Se g U U : h Se h U U : Allora: U U U h g I particolare Il che dimostra la tesi

31 Teoremi sui imiti 3 Teorema del coroto. Siao,g,h tre uzioi co puto di accumulazioe dei loro tre isiemi di deiizioe. Se: Esiste u itoro U tale che: g h Se Allora Applicazioi: si si Poiché : g h, k - si k Poiché la uzioe si/ è pari basta dimostrare il ite destro per U si 3

32 Teorema del coroto si 3

33 Applicazioi: imite Notevole si/ si Poiché la uzioe si/ è pari basta dimostrare il ite destro si ta per imite Notevole U O A C B D Dividedo per si: Poiché : si si cos cos per U per U cos si AC AD BD si ta 33