Università degli Studi di Napoli Federico II

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1 Uivesità degli tudi di Napoli Fedeico II Facoltà di cieze Matematiche, Fisiche e Natuali Tesi di Lauea i Fisica o ccademico Modelli pe il pocesso di misua i Meccaica Quatistica Relatoe Pof. R. Figai Cadidata eea Ceatiempo maticola 567/113

2 [Quatum Mechaics has] two poweful bodies of fact i its favou, ad oly oe thig agaist it. Fist, i its favou ae all the mavellous ageemets that the theoy has had with evey expeimetal esult to date. ecod [ ] it is a theoy of astoishig ad pofoud beauty. The oly thig that ca be said agaist it is that it maes absolutely o sese! Roge Peose

3 Idice Itoduzioe i 1 Il poblema della misua i Meccaica Quatistica Ua beve sitesi della stuttua della Meccaica Quatistica La matice desità ovapposizioi di stati e miscele.7 1. Il pocesso ideale di misua di vo Neuma istemi quatistici composti Il pocesso di misua ideale La catea ideale di vo Neuma...14 Modelli esplicitamete isolubili 0.1 Tattazioe itoduttiva...0. Il modello geeale Le ossevabili macoscopiche dello stumeto di misua Valoi di aspettazioe e valoi di aspettazioe codizioali delle ossevabili Il pocesso di misua tumeti di misua ideali tumeti di misua omali Il modello di Colema-Hepp La diamica Phase cells macoscopiche dello stumeto di misua Popietà dello stumeto di misua 39 Coclusioi 4 Bibliogafia 44

4 Itoduzioe Malgado i successi della meccaica quatistica ella spiegazioe dei feomei micoscopici che si veificao a livello ucleae, atomico e molecolae, questo schema itepetativo acoa oggi peseta imbaazzati poblemi, che iguadao sia il suo status di teoia che il suo ambito di validità. Picipalmete i poblemi iguadao la descizioe dei pocessi che avvegoo alla fotiea ta micoscopico e macoscopico, ta compotameto quatistico e compotameto classico. I paticolae, il epetio e casuale cambiameto dello stato di u sistema pe effetto del pocesso di misua, ipotizzato ella cosiddetta itepetazioe otodossa della meccaica quatistica e idicato come collasso del pacchetto d ode, appeseta ua iucia a descivee il pocesso di iteazioe co u sistema macoscopico all iteo della meccaica quatistica. Ciò, a sua volta, implica la iucia a iteee la meccaica quatistica ua teoia uivesale, capace di descivee, almeo i picipio, la ealtà a tutte le scale e, allo stesso tempo, lascia iisolto il poblema di idividuae i limiti di validità della teoia. Il supeameto di queste difficoltà implica la ecessità di sviluppae u modello di misuatoe come oggetto quatistico, che eda coto di come sovapposizioi coeeti di stati di u sistema micoscopico ad esso accoppiato possao da luogo a stati disgiuti, cui coispode ua be defiita posizioe dell idice del misuatoe. Nella tesi viee pesetato u modello semplificato ed esplicitamete isolubile di pocesso di misua i cui le ampiezze di pobabilità evolvoo i pobabilità el seso classico.

5 Il pimo capitolo cotiee ua beve sitesi della stuttua della meccaica quatistica, co paticolae attezioe alle cosegueze del picipio di sovapposizioe e alla diffeeza ta stati sovapposizioe e miscele statistiche. Viee quidi euciata la fomulazioe del pocesso ideale di vo Neuma e pesetata la soluzioe della maco-oggettivazioe ota co l acoimo FPP. Il secodo capitolo è dedicato alla discussioe, ell esposizioe di ewell, del modello geeico di u micosistema accoppiato ad uo stumeto di misua macoscopico fiito I, costituito da N sottosistemi quatistici o iteageti. Nel capitolo vegoo fomulate le codizioi sulla diamica cosevativa del sistema composto ( + I) sotto le quali tale accoppiameto poduce sia la iduzioe del pacchetto d ode che la coispodeza ta la lettua dell idice dello stumeto e lo stato isultate di. Tale discussioe o ichiede elemeti estaei, quali l iteazioe del sistema costituito dalla paticella e dall appaato di misua co il esto dell uiveso [1-3] o modifiche o lieai dell equazioe di chödige [4], come poposto da alcui autoi. i coclude mostado che lo schema geeale esposto el capitolo è pieamete ealizzato dalla vesioe fiita del modello di Colema-Hepp.

6 Capitolo 1 Il poblema della misua i Meccaica Quatistica 1.1 Ua beve sitesi della stuttua della Meccaica Quatistica L elaboazioe dello schema quatistico pe la descizioe dei feomei fisici ha ichiesto ivoluzioaie e pofode tasfomazioi cocettuali che appesetao impotati passi i avati ella compesioe della atua. La meccaica quatistica ha avuto u gadissimo successo: ceata pe spiegae i feomei atomici si è ivelata u potete e patico stumeto pe spiegae i pocessi fisici del micocosmo. Nella fomulazioe oigiale (itepetazioe otodossa ) la meccaica quatistica si foda siteticamete i sei postulati di cui ipotiamo, di seguito, i pimi quatto: i. Lo stato di u sistema fisico isolato è descitto da u vettoe, di oma uo, di uo spazio di Hilbet complesso sepaabile H e questa descizioe isulta essee la più esauiete che il fomalismo cosete (questa ipotesi coispode all assuzioe che la teoia sia completa). ii. iii. d ogi ossevabile  del sistema è associato u opeatoe lieae autoaggiuto su H. Pe ogi ossevabile  cosideata (ell ipotesi i cui l opeatoe abbia spetto disceto) idichiamo co P ˆ a la pobabilità di otteee, i ua misua di Â, sul sistema descitto dal vettoe di stato, uo degli

7 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC autovaloi di, diciamo a. Tale pobabilità è data dal quadato del modulo del podotto scalae del vettoe di stato co l autovettoe coispodete all autovaloe cosideato: a di P ˆ a a (1.1) iv. L evoluzioe del sistema ta gli istati di tempo t o e t è goveata da u equazioe detemiistica e lieae, l equazioe di chödige: dove d i, t H, t co o, to (1.) dt o è lo stato del sistema all istate iiziale t o ed H è l opeatoe coispodete all ossevabile eegia del sistema. Queste pime quatto pescizioi mostao l aspetto tipico della stuttua di ua teoia fisica: - stabiliscoo delle egole di coispodeza ta il sistema fisico i esame e u modello matematico; - fissao le egole dell evoluzioe all iteo del modello; - pescivoo come otteee le quatità misuabili dalla stuttua astatta. I ifeimeto al postulato (iii) osseviamo che la meccaica quatistica è ua teoia fodametalmete e iiducibilmete pobabilistica, le cui popietà, avedo assuto la completezza del fomalismo, hao u caattee geuiamete o epistemico (cioè o dipedoo dalla osta igoaza cica lo stato del sistema). Gli ultimi due postulati iguadao la pepaazioe dello stato iiziale e l effetto della misua su u sistema quatistico, cioè descivoo il compotameto dei sistemi quatistici quado soo i iteazioe co l ambiete. v. (iduzioe del pacchetto d ode) e il sistema fisico è sottoposto, all istate t, alla misua di u ossevabile  il vettoe di stato del sistema collassa istataeamete ella sua poiezioe sull autostato di elativo all autovaloe otteuto ella misua.

8 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 3 vi. La pepaazioe di u sistema (vale a die la detemiazioe del suo stato all istate iiziale che, pe coveieza, idicheemo co t 0 0 ) viee effettuata sottopoedolo alla misua di u isieme completo di ossevabili commutati 1. uppoiamo di idicae co ˆ, Bˆ, Cˆ,... le ossevabili i questioe, co a i, bj, c,... i elativi autovaloi e di ave otteuto dalla misua popio l eupla a b, c,... di esiti. i assume che lo stato, 0 i, j del sistema immediatamete dopo la misua isulti l uico autostato omalizzato i, j,,..., comue alle ossevabili i questioe, elativo agli autovaloi otteuti. L'idea alla base dei postulati (v.) e (vi.) è che il fomalismo icopoi la seguete legittima petesa, che tova ua pefetta cofema egli espeimeti: se si esegue ua misua di ua ceta ossevabile  si otteà come esito uo dei valoi pemessi dalla teoia a (suppoedo che abbia spetto disceto). e si ipete immediatamete la stessa misua di Â, isulta atuale assumee che tale misua debba dae di uovo co cetezza il isultato otteuto pecedetemete, cioè a. i oti che questi ultimi due postulati appesetao ua sostaziale iucia a spiegae ell ambito della teoia quatistica l iteazioe dei sistemi micoscopici co i sistemi macoscopici, i quato: - il sistema macoscopico è descitto solamete dal suo effetto sul vettoe di stato del micosistema a cui è accoppiato, ma o come sistema quatistico; - l'effetto della misua è descitto come la tasfomazioe istataea (e quidi discotiua) dello stato del sistema dallo stato ello stato a, pe cui esso o può essee il isultato di u evoluzioe uitaia cotiua, quale quella pescitta el postulato (iv). 1 i defiisce come isieme completo u isieme di opeatoi commutati i cui autostati comui costituiscoo ua base dello spazio di Hilbet. e o si vuole adae icoto ad icosisteze logiche ed itepetative si deve assumee (e questo è gaatito dal modo i cui il fomalismo descive le ossevabili fisiche) che, data u ossevabile  e l isieme dei possibili esiti di ua sua misua, essi isultio esauieti e mutuamete esclusivi e che il cambiameto dello stato come cosegueza della misua sia tale da assegae, i ua ipetizioe immediata della misua, pobabilità uo al isultato appea otteuto e zeo ad ogi alto poteziale isultato.

9 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC La matice desità La pobabilità eta ello schema itepetativo della meccaica quatistica i due modi divesi. Il pimo modo è appesetato dalle pobabilità geuiamete quatistiche, cioè quelle che coispodoo al fatto che sistemi ugualmete pepaati el modo più accuato cosetito, possoo comuque dae, se assoggettati allo stesso pocesso di misua, esiti divesi. Tali pobabilità hao (poiché lo schema viee supposto completo) ua atua fodametalmete o epistemica e coispodoo ad ua geuia aleatoietà dei pocessi atuali (pobabilità otologica). Il secodo tipo di pobabilità fa ifeimeto ivece alla osta igoaza cica il peciso stato del sistema, cioè, el caso quatistico, alla osta igoaza sul suo vettoe di stato (che appeseta la più accuata coosceza possibile che può avesi sul sistema stesso). Queste ultime pobabilità isultao epistemiche, i quato tovao la loo oigie i ua macaza di ifomazioe che isulta, i picipio, colmabile e soo dello stesso tipo di quelle che etao, ievitabilmete, ache ella descizioe dei sistemi classici. Nel caso i cui u sistema sia stato pepaato co pecisioe assoluta, pe esempio misuado u isieme completo di ossevabili commutati, o el caso i cui si abbia u isieme di sistemi tutti associati allo stesso stato quatistico 3, si dià che lo stato del sistema è uo stato puo. Nel caso ivece di macaza di ifomazioe completa sul sistema si dià che si sta tattado co ua miscela statistica di stati (come suggeisce il ome, la miscela può esse vista come ua miscela di isiemi pui). Pe descivee la stuttua pobabilistica coessa alla o completa coosceza del sistema i esame si icoe al cocetto di matice desità o opeatoe desità. uppoiamo che il sistema si tovi i uo degli stati appesetati dai vettoi 1,,...,,..., ispettivamete co pobabilità p, p,..., p,..., 1 dove p i i 0 i e p 1. uppoiamo di effettuae su tale miscela ua misua di u ceto ossevabile Â. 3 La cosideazioe di isiemi isulta assolutamete ecessaia i meccaica quatistica i quato la teoia, essedo fodametalmete pobabilistica, ichiede la ipetizioe di espeimeti su isiemi idetici pe essee veificata.

10 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 5 La media delle misue di Â, dopo u gade umeo di misue, è la media d isieme di Â, defiita come i p i (1.3) i i cioè i valoi di aspettazioe quatomeccaici, elativi agli stati i, soo pesati dalle coispodeti popolazioi pecetuali p i. Defiedo l opeatoe desità p (1.4) possiamo iscivee la (1.3) come i T i i i (1.5) 4 L opeatoe desità cotiee tutta l ifomazioe che possiamo avee sullo stato del sistema. Tale opeatoe è dotato di alcue popietà fodametali: a) ρ è u opeatoe hemitiao; b) ρ è o egativo cioè 0 H c) ρ ha taccia uitaia, ifatti pi i i pi i i pi i i 1 T (1.6) i, i dove è ua qualuque base otoomale completa i H. d) tutti gli elemeti diagoali di ρ, i ogi appesetazioe, soo o egativi. I paticolae gli autovaloi soo tutti o egativi. e) se ρ è u opeatoe di poiezioe, alloa poietta i sottospazi uidimesioali. Ifatti, se ρ è u opeatoe di poiezioe otogoale,, ovveo p p. Pe la popietà di uitaietà della taccia, i p 1, si avà che u solo autovaloe ha valoe 1 mete tutti gli alti soo ulli. 4 Poiché l opeatoe taccia è idipedete dalla appesetazioe, cioè dalla scelta della base otoomale completa i H, T(ρ) può essee valutata i qualuque base sia più coveiete. Ne isulta che la (1.5) è ua elazioe estemamete efficace.

11 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 6 f) la taccia di veifica la elazioe T 1 ; il simbolo di uguagliaza vale solo quado è u opeatoe di poiezioe. g) codizioe ecessaia e sufficiete affiché sia u opeatoe di poiezioe è che tutti i vettoi ell espessioe (1.4) siao idetici a meo di u fattoe di fase (i questo caso la somma si iduce ad u uico temie). I defiitiva, si dice che ρ appeseta uo stato puo se esiste u vettoe dello spazio di Hilbet H pe cui ; (1.6) vicevesa lo stato si defiisce come stato misto. Teedo coto di ua coosceza o massimale di u sistema quatistico i postulati (i), (iii) e (iv) si fomulao come segue: i b. iii b. Lo stato di u sistema fisico isolato è appesetato da u opeatoe desità ρ su uo spazio di Hilbet H. e u sistema si tova ello stato descitto dall opeatoe desità ρ, la pobabilità di otteee i ua misua dell ossevabile  (ell ipotesi i cui l opeatoe abbia spetto disceto) uo dei suoi autovaloi a, è data da P a T a a ˆ, (1.7) dove a è l autovettoe di coispodete all autovaloe cosideato. iv b. La legge di evoluzioe pe la matice desità si tova facilmete pe geealizzazioe della diamica di uo stato puo. I quest ultimo caso ( t) ( t) ( t) U( t, t0) 0 0 U ( t, t0) U( t, t0) 0U ( t, t0) La elazioe appea scitta defiisce la diamica el caso geeale. La coispodete equazioe diffeeziale di evoluzioe, ta gli istati di tempo t o e t, è l equazioe di Liouville: d i H, ( t) (1.8) dt

12 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 7 dove lo stato del sistema all istate iiziale t o è o, mete H è l opeatoe coispodete all ossevabile eegia del sistema. E immediato veificae che l evoluzioe di uo stato puo è sempe uo stato puo cioè, se all istate iiziale, alloa ( t) ( t) t ovapposizioi di stati e miscele Il fatto che la teoia desciva gli stati dei sistemi fisici idividuali pe mezzo degli elemeti di uo spazio vettoiale lieae implica che se 1 e soo stati possibili pe u sistema fisico, ache ogi loo sovapposizioe lieae, come ad esempio lo stato 1,, C, 1, è u possibile stato del sistema. La diamica che egola l evoluzioe degli stati è lieae, pe cui uo stato iiziale espesso come combiazioe lieae evolve ella combiazioe degli evoluti. Il picipio di sovapposizioe è l oigie della adicale divegeza della visioe quatistica del modo da quella classica ed è esposabile delle difficoltà cocettuali, o acoa supeate, coesse al poblema della misua e, più i geeale, alla descizioe quatistica dei sistemi macoscopici. U esempio estemamete semplice ci pemette di cogliee le cosegueze più diette e cocettualmete ilevati del caattee lieae della teoia. Cosideiamo le vaiabili di spi di ua paticella di spi ½, igoadoe i gadi di libetà spaziali. uppoiamo ache di avee a che fae co u isieme puo: immagiiamo, ad esempio, di ave pepaato i sigoli sistemi dell isieme effettuado ua misua della compoete x dello spi e di ave selezioato quei sistemi che hao dato l esito / ta i due soli possibili. Rifeedoci, pe semplicità, alle ossevabili x x,, (che diffeiscoo dallo spi solo pe il y z fattoe moltiplicativo / ) il vettoe di stato di ciascu sistema isulta quidi essee ell autostato di x co autovaloe +1; tale autostato, che idicheemo co 1, è dato dalla combiazioe lieae x

13 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 8 dei due autovettoi (1.9) x z z 1 e z 1 di z elativi agli autovaloi +1 e -1 z ispettivamete. Lo schema itepetativo attibuisce le segueti pobabilità agli esiti di ipotetiche misue delle ossevabili x e z : 1 1 ; P 1 0 P (1.10a) x 1 P 1 1/ z z x P (1.10b) Poiché il sistema si tova ell autostato 1, possiamo die, seguedo Eistei 5, che la paticella ha oggettivamete spi su lugo l asse x. I questo caso, ifatti, la teoia gaatisce che ua misua di cetezza isultato +1; il valoe di x x sullo stato (1.9) daebbe co x è petato ua popietà oggettiva del sistema, che o dipede i alcu modo dalla osta scelta di eseguie effettivamete il pocesso di misua. Cosideiamo oa l ossevabile z : isulta i qualche modo lecito iteee che la paticella i esame possieda popietà defiite elative ache a questa ossevabile? Poiché lo stato (1.9) è ua combiazioe lieae degli autostati di elativi ad autovaloi divesi, questa domada ha ua dietta attieza col seso fisico che si può attibuie ad ua combiazioe lieae di stati che coispodoo a valoi pecisi ma distiti di ua data ossevabile. Pe l assuzioe di completezza della teoia, la popietà i oggetto è posseduta oggettivamete dal sistema se il vettoe di stato è u autovettoe dell ossevabile i oggetto elativo all esito cosideato. Petato la domada può ifomulasi come segue: è possibile pesae che l isieme statistico co cui stiamo tattado isulti l uioe di due sottoisiemi, E ed z E, ciascuo dei quali è composto da sistemi appesetati da stati pui, ispettivamete, degli autostati 1 z e 1? z 5 L assuzioe di Eistei, fomulata el famoso lavoo che egli scisse el 1935 co Podolsy e Rose, suoa: e, seza distubae i alcu modo u sistema, oi possiamo pevedee co cetezza il valoe di ua ceta quatità fisica, alloa esiste u elemeto di ealtà che coispode a questa quatità fisica.

14 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 9 La situazioe ipotizzata è quella descitta dalla matice desità dove p e p 1 1 p 1 1 (1.11) z z p soo i pesi statistici dei due sottoisiemi z z E ed E. I questo caso la pobabilità di otteee il isultato 1 (o 1) i ua misua eseguita su uo dei membi dell isieme sistema scelto appatega al sottoisieme z z E E E coicide co la pobabilità che il E (o E ), quidi co il peso p ( p ). Il cofoto co le pobabilità (1.10b) di questi esiti implica p p 1/. Petato l uico isieme statistico E che ipoduce le pobabilità che lo stato (1.9) assega agli esiti delle misue di z e pe il quale si possa pesae che ogi membo dell isieme possieda oggettivamete u peciso valoe pe questa ossevabile è quello descitto da (1.1) z z z z E legittimo pesae che l isieme di sistemi ello stato (1.9) sia di fatto l isieme appesetato dalla (1.1)? E facile mostae che ciò o è lecito sulla base degli esiti di u ipotetica misua di x. Poiché lo sviluppo degli stati ha la seguete foma 1 z e 1 i temii degli autostati di x e z pe etambi gli autostati di x x z, (1.13) z x x z si hao uguali pobabilità di otteee i ua misua di x i due possibili esiti +1 e -1. Tovadosi ogi membo dell isieme E o ello stato 1 z o i quello 1, ua misua di x su E daebbe co uguale z pobabilità gli esiti +1 e -1. Ivece, el caso dell isieme associato allo stato (1.9) i ua misua di x si otteebbe co cetezza l esito +1. No è lecito, quidi, affemae che i sistemi dell isieme descitto dalla (1.9) possiedao oggettivamete ua popietà defiita elativa all ossevabile z.

15 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 10 I coclusioe, il sego + che compae ta i temii di ua sovapposizioe e che descive ua combiazioe lieae di stati che, cosideati idividualmete, coispodoo a pecise e divese popietà pe u ossevabile fisica, o può mai sostituisi co ua disgiuzioe, vale a die isulta icompatibile e cotaddittoio co assezioi del tipo l ossevabile ha uo, oppue l alto dei valoi associati ai temii della sovapposizioe. 6 Uo stato sovapposizioe del tipo (1.9), ifatti, cotiee o solo l ifomazioe sulle pobabilità di otteee, i ua misua di z, i valoi +1 e -1, ma ache quelle coelazioi, tipicamete quatistiche, che dao luogo ai temii di itefeeza, che o possoo avee ua descizioe i temii di pobabilità classica Il pocesso ideale di misua di vo Neuma La teoia quatistica della misua, cioè la detemiazioe dello stato di u micosistema, quale ad esempio u atomo, attaveso uo stumeto di misua macoscopico è u poblema ieludibile. Ifatti, qualsiasi tetativo di otteee ifomazioi su sistemi micoscopici ichiede u pocesso di amplificazioe che coeli stettamete le loo popietà a situazioi macoscopicamete pecepibili e pecettivamete distiguibili. ffotiamo il poblema della misua facedo ifeimeto a quello che tecicamete si idica come il pocesso ideale di misua di vo Neuma, che pe pimo lo ha fomulato i temii pecisi. Vo Neuma [6], che sposa e cotibuisce a pecisae l'itepetazioe otodossa della meccaica quatistica, popio el coso del pocesso di pulizia fomale da lui itapeso, si ede pefettamete coto che, alla fie, qualcosa o toa quado si cechi di affotae il poblema della misua assumedo ua pospettiva 6 Notiamo che pe giugee a questa coclusioe abbiamo fatto icoso ad ipotetiche misue di ossevabili o commutati, quali σ x e σ z. e, pe qualche agioe, o isultasse fisicamete possibile eseguie misue di alcua alta ossevabile olte a σ z, alloa, poiché le pevisioi el caso della miscela statistica E E E co p p coicideebbeo co quelle elative allo stato puo (1.9), si potebbe asseie, seza icoee i essua cotaddizioe, che tutti i membi dell isieme possiedoo oggettivamete, ache pima della misua, popietà defiite elative all ossevabile σ z. 7 La peseza delle fasi, ifatti, fa sì che le pobabilità pe i vai esiti el caso di ua sovapposizioe o isultio la somma delle pobabilità associate ai temii della sovapposizioe stessa.

16 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 11 geuiamete quatistica. Egli è pobabilmete il pimo scieziato che ha saputo cogliee chiaamete che il postulato della iduzioe del pacchetto eta i u coflitto isaabile co l'idea che ache i pocedimeti di misua (e tutti quei pocessi i cui si veifica u accoppiameto ta u micosistema e u sistema macoscopico) siao pocessi fisici come tutti gli alti e petato isultio goveati dall'equazioe di chödige co il suo caattee lieae istemi quatistici composti iao (1) ed () due sistemi quatistici distiguibili ad ogi istate t, co spazi di Hilbet associati H (1) e H (). Lo spazio di Hilbet H i cui è possibile descivee il sistema (1) () è il podotto tesoiale H (1) () H H, (1.14) defiito come l isieme delle coppie,, co (1) H e H (), lieae i ciascua delle due compoeti, cioè si ha che, C,, H (1) e Cosideiamo due basi 1 i e j 1 1, H (), ispettivamete i H (1) e H (). Ua base di H potà essee costituita da vettoi del tipo geeico i H saà scivibile come: ; u vettoe i j 1 (1.15) ij ij i 1 j e (1) è u opeatoe su H (1) ed defiisce come: () su H () il podotto tesoe (1) () si (1) () (1) () i j i j ; (1.16) 1 1

17 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 1 pe estesioe è possibile defiie l azioe dell opeatoe podotto su tutti i vettoi di (1) () H H. Le ossevabili di (1) soo associate ad opeatoi ella foma (1) () ed aalogamete le ossevabili di () soo ella foma co (1), () abbiamo idetificato gli opeatoi idetità i (1), () H. (1) (), dove 1.. Il pocesso di misua ideale Poiché lo scopo di ua misua è quello di ifeie dal suo esito qualcosa cica il sistema misuato, l'iteazioe ta micosistema e appaecchio di misua dovà potae ad u cambiameto macoscopico dell'appaecchio stesso, cosicché, ossevado lo stato del misuatoe i seguito all iteazioe, possiamo otteee l'ifomazioe desideata. Idichiamo co u micosistema e co ˆF u ossevabile fisica ad esso elativa. iao f e ispettivamete le autofuzioi e i elativi autovaloi dell opeatoe autoaggiuto F elativo all ossevabile cosideato F (1.17) f i pepai il sistema ello stato idividuato dal valoe F ˆ f dell ossevabile. Il pocesso di misua ideale assume che il dispositivo di misua abbia le segueti caatteistiche: I. il sistema si tova iizialmete i uo stato di attesa o i cui l appaecchio è poto alla misua; II. l iteazioe co il micosistema deve avee come cosegueza ua situazioe fiale leggibile sull appaecchio, coelata allo stato specifico del micosistema. ituazioi fiali coelate a divesi stati del micosistema devoo essee distiguibili. Questa o è alto che la ichiesta che ua misua di ua quatità fisica sia la detemiazioe o ambigua di u fatto. Il pocesso di iteazioe può essee, duque, schematizzato come: o iteazioe (1.18)

18 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 13 dove la feccia idica l effetto dell iteazioe. Gli stati, che coispodoo alle posizioi dell idice macoscopico, devoo essee otogoali, i modo che l idice dell appaecchio idichi uivocamete il valoe. Nel caso i cui si voglia tetae ua descizioe del pocesso di misua come cosegueza dell iteazioe ta due sistemi geuiamete quatistici (sistema micoscopico e misuatoe) isulta ievitabile assumee che l'evoluzioe sitetizzata dalla feccia elle fomule pecedeti o sia alto che l'evoluzioe di chödige pe il sistema costituito dal misuatoe e dal sistema micoscopico. Pe il caattee lieae dell'evoluzioe quatistica, l'evoluto di uo stato combiazioe di due stati iiziali è la stessa combiazioe degli evoluti degli stati iiziali. questo poposito si cosidei oa uo stato o del sistema che o è autostato pe F. Pe l autoaggiutezza dell opeatoe possiamo decompoe o ella base degli autostati: o c (1.19) L iteazioe co il sistema, che iizialmete si tova ello stato di attesa o, poduce, el sistema totale +, pe l assuzioe di lieaità fatta sul sistema complessivo, la foma: o o c o iteazioe c (1.0) Lo stato fiale è ua sovapposizioe di stati macoscopicamete diffeeti, i quato pe ciascuo di essi l'idice macoscopico dell'appaecchio ha ua divesa posizioe. i ha, quidi, uo stato etagled 8 del sistema composto dal micosistema e dall appaecchio di misua, che, pe quato detto pecedetemete, o coispode affatto ad assezioi del tipo l idice è i ua posizioe oppue i u'alta. No isulteebbe possibile, duque, i seguito alla misua, assegae oggettività a popietà possedute dall appaato di misua. 8 Uo stato podotto tesoiale come stato podotto. (1) () H H si defiisce stato etagled se o può essee scitto come co 1 (1) H e 1 H () ; vicevesa lo stato si defiisce

19 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 14 L'applicazioe di u picipio, la lieaità, cui la teoia attibuisce validità illimitata, alla descizioe del pocesso di misua coduce ievitabilmete alla coclusioe che lo stato fiale del sistema micosistema+misuatoe è (1.0); il postulato della iduzioe del pacchetto ivece dice che lo stato fiale è u alto e cioè uo dei o-poblematici temii della somma (pe ciascuo dei quali può asseisi che l'idice si tova i ua be defiita posizioe). Il poblema che si poe, a questo puto, è quello dell oggettivazioe delle popietà macoscopiche del sistema: si tatta, cioè, di capie i che seso lo stato (1.0) è simile ad ua somma statistica, ispetto alla quale le popietà macoscopiche soo oggettivamete possedute dal sistema La catea ideale di vo Neuma Ripediamo i cosideazioe lo stato (1.0); tale stato descive u sistema fisico, l'appaecchio, che o ha ua popietà fisica defiita pe quato cocee la posizioe del suo idice macoscopico. uppoiamo, alloa, che a questo livello o si sia acoa aggiuto il cofie del campo di applicabilità della meccaica quatistica e che quidi lo stato fiale vada peso sul seio come quello che descive coettamete la situazioe fisica. I questo caso dobbiamo acoa chiedeci: i che posizioe si tova l'idice? Pe ispodee a questa domada dobbiamo pocedee ad eseguie ua uova misua miata a detemiae la posizioe stessa dell'idice. uppoiamo di dispoe di uo stumeto B i gado di svolgee questo compito; idicado co 0 lo stato che coispode allo stato di attesa pe B, l azioe di B saà schematizzabile come: c 0 0 it. it. c it. B 0 c 0 (1.1) Lo stato fiale è acoa ua sovapposizioe lieae di situazioi macoscopiche distite, ma è ache uo stato etagled più complicato.

20 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 15 e si suppoe che la catea ideale di vo Neuma o si iteompa a B, ma che si compoga di u ceto umeo di aelli successivi si avà uo stato fiale del tipo: it. B... c c (1.) Nasce i questo modo la catea di vo Neuma, che coivolge via via u umeo sempe maggioe di sistemi fisici, l'ultimo dei quali potebbe essee l'ossevatoe stesso, ciascuo desigato ad accetae lo stato di quello che geachicamete lo pecede. e da ua pate semba che la situazioe si complichi sempe di più e che l'etaglemet si diffoda come u'epidemia a cotagiae via via u umeo sempe più gade di sistemi fisici, dall'alta tutti i sistemi che pedoo pate al pocesso isultao avee idici pefettamete coelati. Questo sigifica che se ella catea si aggiuge uo stadio (o impota quale, puché esso peceda o coicida co l'atto di pecezioe cosciete da pate di u ossevatoe) i cui la meccaica quatistica cessa di valee e si deve fa icoso al postulato della iduzioe, alloa, idipedetemete dal livello i cui questo avviee, lo stato a desta della (1.) adà sostituito co uo dei temii della somma, pe ciascuo dei quali si ha ua pefetta coeeza ta tutti gli esiti. Impovvisamete, a iduzioe avveuta, tutto iacquista seso e tutti i sistemi fisici che soo stati coivolti el pocesso si tovao i stati pefettamete defiiti dal puto di vista macoscopico ed esibiscoo popietà pefettamete cosisteti. Il puto di vista di vo Neuma e Wige [7] che la iduzioe avvega al livello della coscieza (secodo il quale, quidi, l ossevatoe avebbe u uolo peculiae ed uico all iteo dello schema itepetativo) è filosoficamete sosteibile e speimetalmete o ifiutabile. Tuttavia la maggioaza dei fisici adeisce ad u alta soluzioe, più pagmatica, della maco-oggettivazioe, suggeita popio dalla cosideazioe della catea: se lo stato fiale, che è ua sovapposizioe, fosse, pe quasi tutte le misuazioi a cui il sistema è ealisticamete sottopoibile, idistiguibile dalla somma statistica degli stati sovapposti, il pocesso di misua avebbe ua descizioe

21 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 16 classica. Nel paagafo 1.1. abbiamo discusso, i u caso semplice, la diffeeza ta stati stati di sovapposizioe e miscele statistiche co pesi statistici coispodeti; vogliamo oa aalizzae fomalmete cosa ichiedeebbe tale distizioe, co paticolae ifeimeto ai sistemi composti. Cosideiamo u sistema composto e limitiamo le oste cosideazioi ad u isieme ˆK di ossevabili del sottosistema tale che gli opeatoi K autoaggiuti ad essi associati commutio tutti ta di loo. I questo caso è possibile avee ua base otoomale costituita da autovettoi di tutti gli opeatoi K 9. otto le ipotesi fatte esiste u opeatoe autoaggiuto autovaietà j T, tale che le sue D coicidao co le autovaietà comui degli opeatoi K associate ad autovaloi divesi pe T, ossia s T t D e s t t. Ogi ossevabile dell isieme ˆK isulta fuzioe dell ossevabile Tˆ. Idicado co geeica fuzioe T P j gli opeatoi di poiezioe sulle autovaietà f e H H si ha: D j, pe la f T I P f t I P (1.3) j j j dove I è l opeatoe idetità i H e t j è l autovaloe di T elativo all autovaietà D j. Cosideiamo oa u ossevabile di abitaio opeatoe autoaggiuto i H. della foma B f T co B 9 e l isieme fosse u sistema completo di ossevabili commutati, tali autovettoi geeeebbeo autovaietà moodimesioali, ma, pe geealità, o faemo questa assuzioe, che o isulta i alcu modo ecessaia pe la dimostazioe.

22 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 17 Il valo medio di tale opeatoe sul geeico stato H H è dato da: I I T f B T f B i i P P T f B, i i P B t f P P B t f, (1.4) Cosideiamo oa ua miscela statistica M co pesi P I p di stati pui omalizzati P I P I. Il valo medio dell ossevabile T f B vale: T f B p T f B P I B P I t f P I T f B P I P I B t f P I B P I t f P B t f P I B t f (1.5) Il cofoto della (1.4) co la (1.5) mosta che lo stato puo e la miscela statistica attibuiscoo gli stessi valoi medi a tutti gli opeatoi del sistema del tipo T f B, dove B è u qualsiasi opeatoe autoaggiuto di H ed T f u membo qualsiasi della famiglia di opeatoi K che abbiamo cosideato.

23 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 18 Di cosegueza le codizioi i cui si ha idistiguibilità ta stato puo e miscela isultao le segueti: a) se o isulta possibile pe quato iguada l appaato di misua misuae ossevabili i cui opeatoi associati o commutao; b) se si limitao le popie cosideazioi ad u ossevabile elativo ad u solo sottosistema (ad esempio la sola ossevabile idice dell appaecchio, come avviee geealmete duate la misua); c) ifeedosi alla catea di vo Neuma, se si igoa uo dei costitueti della catea o si suppoe che su di esso sia impossibile misuae ossevabili icompatibili. Ua distizioe ta stato etagled e miscela ichiedeebbe, quidi, espeimeti di coelazioe che coivolgao tutti i costitueti del sistema macoscopico. Petato i sistemi di gade complessità o esistoo, a tutti gli scopi patici, ossevabili misuabili la cui statistica sia divesa da quella pevista pe uo stato miscela. i potà ivocae, quidi, il apido accoppiasi dell'appaecchio all'ambiete (da cui esso o può mai isolasi pefettamete) pe cocludee che tutto va come se la iduzioe avesse luogo, ache se di fatto essa o avviee. i oti che la limitazioe alla misuabilità pe i macosistemi o pe l aco più complesso ambiete cicostate o viee assuta come u postulato, ma accettata come u ieludibile ecessità patica. Bell ha più volte discusso questo puto. Egli ha ipetutamete dichiaato che l appossimazioe di sostituie lo stato (1.) co la miscela appesetata dalla matice desità c (1.6) è maifestatamee u appossimazioe, ma u appossimazioe che isulta estemamete buoa i patica e che fose saà sempe sufficietemete accuata da o pote esse dimostata falsa i labooio. Tuttavia ha suggeito di usae l acoimo FPP (Fo ll Patical Puposes - pe tutti i fii patici) pe idicae la ecessità di limitasi, pe evitae situazioi logicamete imbaazzati, a tae dal fomalismo coclusioi che abbiao solo validità patica.

24 CPITOLO 1. IL PROBLEM DELL MIUR IN MECCNIC QUNTITIC 19 Il poblema della descizioe dei sistemi macoscopici e dei pocessi di misua è u poblema geuiamete scietifico che ichiede, come acoa sottolieato da Bell, u seio lavoo matematico da pate dei fisici piuttosto che dibattiti da pate dei filosofi. Negli ultimi ai è divetato u pogamma il pogetto di povae le caatteistiche del pocesso di misua a patie dalla diamica di chödige, cioè assumedo la meccaica quatistica come teoia uivesale dei sistemi e voledo spiegae all iteo del quado itepetativo delieato dai pimi quatto postulati la tasizioe alla descizioe classica. 10 L obiettivo è quello di dimostae i u modello specifico che o occoe u postulato che pesciva la iduzioe del pacchetto d ode peché tale isultato è già compeso all iteo della diamica dell iteazioe ta sistema micoscopico e appaato di misua macoscopico. U puto di vista è che, a tale scopo, sia utile sviluppae modelli semplici che cosevio le caatteistiche della diamica quatistica seza ave la complicazioe di sistemi eali. Nel possimo capitolo peseteemo, i questa liea, la tattazioe, poposta da ewell, di u modello di sistema composto da u micosistema e da uo stumeto di misua macoscopico fiito. Nel cecae modelli diamici esplicitamete isolubili che potao ad ua igoosa iduzioe del pacchetto d ode, si vuole seguie, citado Hepp [5], l attitudie pagmatica di u fisico speimetale. Ifatti, siamo ispiati da feditue, oologi e idici palesemete macoscopici, gli stessi co i quali Boh ha così magificamete tattato molti dei puzzles della meccaica quatistica. 10 i tatta di u pogamma aalogo a quello, codotto da Boltzma, della icostuzioe delle popietà temodiamiche a patie dalle iteazioi elemetai ta paticelle che evolvoo i accodo co le leggi della diamica classica.

25 Capitolo Modelli esplicitamete isolubili.1 Tattazioe itoduttiva I questo capitolo veao itodotti tetativi eceti di ipotae la descizioe del pocesso di iduzioe del pacchetto d ode di u micosistema i iteazioe co u sistema macoscopico all iteo della stuttua della meccaica quatistica dei sistemi cosevativi fiiti. i cosidei u micosistema,, descitto i uo spazio di Hilbet, che idicheemo co H, e uo stumeto di misua macoscopico I, a sua volta descitto ello spazio di Hilbet K. Gli stati di questi sistemi soo appesetati da matici desità ei ispettivi spazi. i suppoga che ad ogi opeatoe limitato su H coispoda ua qualche ossevabile  del micosistema ; l isieme di tutti gli opeatoi limitati su H costituisce u algeba, che idicheemo co. Pe quato iguada le ossevabili dello stumeto di misua, ivece, quelle ealisticamete ossevabili e che pedeemo, quidi, i cosideazioe, soo solo quelle che coispodoo alle posizioi di u idice: esse saao appesetate da ua piccolissima sottoalgeba, M, dell algeba degli opeatoi limitati sullo spazio di Hilbet K, associato ad I. La sottoalgeba M è costituita, quidi, da u isieme di ossevabili commutati che idicheemo co M. Come visto el pimo capitolo, el quado feomeologico di vo Neuma, l accoppiameto ta il micosistema e lo stumeto di misua I pota due effetti fodametali:

26 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 1 1. covete uo stato puo di, cioè u stato dato da ua combiazioe lieae 1 c u degli autostati otoomali u elativi ad u suo ossevabile, i ua miscela statistica di questi stessi stati co pesi feomeo chiamato iduzioe del pacchetto d ode. c : questo è il. detemia ua coispodeza ta lo stato u del micosistema e la posizioe dell idice dello stumeto di misua, pe cui diffeeti micostati di dao oigie a divesi stati macoscopici di I. Ua teoia del pocesso di misua ichiede: a) di caatteizzae le popietà delle ossevabili dello stumeto di misua, i paticolae pe quato iguada la loo macoscopicità; Dei divesi modi di caatteizzae la macoscopicità delle ossevabili M M del sistema macoscopico I scegliamo quello usato da ewell [8]: lo stumeto è appesetato come u sistema gade ma fiito di N paticelle, co N estemamete gade, pe esempio dell odie di Nell aalisi dell autoe le ossevabili che cotao soo ossevabili estesive, commutati, coase gaied di pati o dell iteo stumeto. Gli autospazi simultaei di queste ossevabili coispodoo alle celle classiche dello spazio delle cofiguazioi, i paticolae si pesi ai divesi settoi che appesetao le possibili posizioi dell idice dello stumeto. Gli opeatoi di poiezioe su sottospazi elativi a diffeeti cofiguazioi soo atualmete commutati, peché coispodeti a celle divese dello spazio delle cofiguazioi, e coase gaied, pe via della sesibilità dello stumeto di misua. Nel modello che adiamo a pesetae si evita l assuzioe di vo Neuma e Wige che l ossevazioe dell idice del misuatoe ichieda u alto stumeto di misua, che a sua volta ichiede u alto stumeto, e così via, i u ifiita egessioe che fiisce el cevello dell ossevatoe. i assume, ivece, che il pocesso di misua fiisca co la lettua dell idice dello stumeto. Ciò compota l assuzioe implicita che la diamica delle maco-ossevabili M sia sufficietemete obusta da assicuae che l atto di lettua dell idice abbia effetti tascuabili sulla posizioe dello stesso. I questo seso, le vaiabili

27 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI macoscopiche dello stumeto I si compotao i modo adicalmete diveso dalle ossevabili di, poiché gli stati di u piccolo micosistema quatistico soo suscettibili ivece a dastiche vaiazioi ache i seguito a distubi di piccola etità. b) di caatteizzae la diamica del sistema composto c =( + I) che fa sì che diffeeti micostati di diao oigie a divesi stati macoscopici di I. tale poposito, è ituitivo pesae che i u misuatoe ealistico si veifichio pocessi di amplificazioe attaveso meccaismi idipedeti dall iteazioe co il sistema su cui si opea la misua. Ciò può essee otteuto co diffeeti modalità: - lo stato di attesa del misuatoe può essee altamete istabile ispetto alle piccole vaiazioi idotte el misuatoe dall iteazioe co il sistema i esame. i pesi, ad esempio, ad ua camea a ebbia dove la tasizioe di fase viee idotta i u liquido sopassatuo dalla ioizzazioe dovuta al passaggio della paticella quatistica; - l amplificazioe può essee otteuta tamite iteazioi o lieai o a lugo age ta i costitueti dell appaato di misua. i pesi all amplificazioe della magetizzazioe locale idotta da u iteazioe feomagetica. L itoduzioe di ua qualche popietà di amplificazioe dell accoppiameto I edeebbe cetamete il modello di misuatoe più ealistico, tuttavia essa lo complicheebbe estemamete dal puto di vista computazioale. D alta pate possiamo aspettaci che u modello di misuatoe i cui o sia pesete alcu pocesso di amplificazioe el seso discusso pima, ichieda tempi lughi (el seso di u umeo elevato di iteazioi) affiché il suo accoppiameto co il sistema micoscopico dia luogo alla iduzioe del pacchetto d ode. Il osto obiettivo è tattae i poblemi esposti ei puti a) e b) sulla base del modello pe cui c è u sistema quatistico, fiito, igoosamete cosevativo, la cui diamica è goveata dalla equazioe di chödige pe u sistema di molte paticelle.

28 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 3. Il modello geeale ssumiamo che il sistema composto c = ( + I ) sia u sistema cosevativo, il cui opeatoe hamiltoiao H c, i H K, peseti la foma: Hc H K H K V (.1) dove H e K soo ispettivamete le Hamiltoiae del micosistema e del macosistema I e V è l iteazioe ta ed I. La diamica di c è data dal guppo di tasfomazioi uitaie ad u paameto di H K geeato da ih c, cioè U ( t) exp( ih t t R (.) c c ) i assume che i sistemi ed I siao pepaati, idipedetemete l uo dall alto, ei loo stati iiziali, appesetati dalle matici desità e ispettivamete, e quidi accoppiati isieme al tempo t = 0. Petato, lo stato iiziale del sistema composto c è dato dalla matice desità i H H K c. i assume iolte che lo stato iiziale di sia puo, e che quidi sia l opeatoe di poiezioe P ( ), dove è u vettoe di H. Lo stato iiziale di c è, quidi o P( ) (.3) Pe semplicità, assumiamo che H abbia dimesioe fiita ; i questo caso, possiamo pedee come sua base u isieme otoomale completo di autovettoi, u,..., u ), di H. Il vettoe di stato iiziale di è dato da ua ( 1 combiazioe lieae di questi vettoi, cioè dove c u (.4) 1 1 c 1; (.5) mete l azioe di H su u è data dall equazioe

29 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 4 dove H u u, (.6) è il coispodete autovaloe dell opeatoe H. i assume che lo stumeto I effettui quelle che si idicao come misue del pimo tipo, cioè tali che l accoppiameto - I o itoduca tasizioi ta gli autostati u di. Questo sigifica che l iteazioe V ha la foma: V P( u ) V, 1 dove P ( u ) è l opeatoe di poiezioe pe u e le V soo ossevabili di I. Dall equazioe (.1), l Hamiltoiaa del sistema composto c è, quidi, H c P( u 1 ) K (.7) dove K K (.8) V K avedo sfuttato la popietà 1 P ( u ) H. Di cosegueza, dalle eq. (.) e (.7), il guppo diamico U c è dato dalla fomula U c ( t) exp( ih c t) exp i 1 P( u ) K t 1 P( u ) U ( t) (.9) dove U ( t) exp ik t (.10) Poiché l evoluzioe a tempi t (0) dello stato iiziale o di c è * c U ( t) o U ( t) ( t) dalle eq. (.3), (.4) e (.10) segue che c (, s 1 s, s, s t) c c P ( t) (.11)

30 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 5 dove P, è l opeatoe di poiezioe i H defiito dall equazioe s P, s f u us f f H (.1) e *, s s t ( t) U ( t) U ( ) (.13)..1 Le ossevabili macoscopiche dello stumeto di misua Come già discusso, assumiamo che le ossevabili macoscopiche dello stumeto di misua siao vaiabili estesive, commutati, coase gaied di pati o dell iteo sistema I. L algeba, M, di queste vaiabili è ua sottoalgeba abeliaa dell algeba degli opeatoi limitati sullo spazio di Hilbet K associato allo stumeto. Pe semplicità, suppoiamo che M sia geeata i modo fiito e quidi che essa cosista della combiazioe lieae di u isieme fiito di poiettoi otogoali 1,,..., che geeao lo spazio K. Da queste specificazioi segue che: (.14) 1 K (.15) e che ogi elemeto, M, di M assume la foma M 1 M, (.16) dove le M soo costati. I sottospazi K K di K coispodoo alle celle classiche dello spazio delle cofiguazioi, ciascua delle quali appeseta u macostato dello stumeto ed è idetificata da ua posizioe dell idice i u pocesso di misua. i oti che le popietà delle ossevabili M appea discusse soo popietà geeali di ossevabili macoscopiche e o dipedoo dal fatto che I è uo stumeto di misua.

31 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 6.. Valoi di aspettazioe e valoi di aspettazioe codizioali delle ossevabili Le ossevabili di c che ci iguadeao soo gli elemeti autoaggiuti di M. I loo valoi di aspettazioe sullo stato dipedete dal tempo (t) soo dati dalle fomule ( t) M M M E ( M) t, (.17) E ) E( ) (.18) ( K E( M ) E( H M), (.19) Le fomule (.18) e (.19) coispodoo alle tacce paziali ispettivamete sul micosistema e sul sistema macoscopico I, avedo tacciato via i gadi di libetà di I ella (.18) e di ella (.19). Essedo M ua sottoalgeba abeliaa, il fuzioale di aspettazioe E è compatibile co u uico fuzioale di aspettazioe codizioale su ispetto ad M. U fuzioale di aspettazioe codizioale è ua mappa lieae. M E di su M che peseva la positività e la omalizzazioe e soddisfa la codizioe E ( E( M) M) E( M), M M (.0) dove, pe la (.19), co E( E( M ) M) si itede E ( M) E H E( M) M I alte paole, i vitù dell abeliaità di M, isulta possibile associae ad ogi ossevabile dell algeba u fuzioale lieae sull algeba delle ossevabili macoscopiche M, tale che la coosceza di M E è idotta ad ua taccia paziale sul misuatoe. Dalla lieaità e dall eq. (.16),. M foma E deve avee la E ( M ) ( ) (.1) dove gli soo fuzioali lieai su ;

32 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 7 segue dall eq. (.0) che ( ) E( ) E( ) e, di cosegueza, dalla (.1), E ( ) E( M ) ' (.) E( ) dove l apice sopa idica che la sommatoia è limitata a quelle pe E o è ullo. I vitù dell equazioe (.15), questa fomula pe E. M cui ) ( cocilia le ichieste di positività e omalizzazioe. Dalle eq. (.11)-(.13), (.16) e (.17), u, us M, ( M ), s 1 c 1 cs F s; E (.3) dove F, s; T(, s ( t) ). (.4) Le popietà chiave di F,s;, che seguoo dalle eq. (.13), (.15) e (.4), soo: 1, ; 1, ; F 1 (.5) F 0 (.6) e F F (.7), s;, s; dove co la baa su F è stata idicata la coiugazioe complessa. Da queste fomule segue ache che, pe z 1,..., z C, la foma sesquilieae, s z 1 zs F, s; è positiva, pe cui, ; Fs, s; F, s; F (.8)

33 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 8.3 Il pocesso di misua Idichiamo co K le celle dello spazio delle cofiguazioi, idetificate dalla lettua dell idice dello stumeto di misua I, che appesetao i macostati dello stumeto stesso. L eq. (.) ci dice che i valoi di aspettazioe delle ossevabili di i seguito alla misua dell idice di I soo: E( ) E ( K ) (.9) E( ) ffiché la lettua dell idice specifichi l autostato i cui si tova il sistema micoscopico, si ichiede ua coispodeza uo-ad-uo ta le celle dello spazio delle cofiguazioi K e gli autostati u dell Hamiltoiaa di. Petato si assume che, pe uo stumeto pogettato pe idetificae il micostato di, il umeo delle celle dello spazio delle cofiguazioi (e quidi il umeo di posizioi dell idice) è popio il umeo degli autostati u, cioè. Il modello matematico poduce, a questo puto, due classi di effettivi stumeti. La pima classe compede gli stumeti pe i quali il pacchetto d ode di si iduce i accodo co la pescizioe di vo Neuma e la coispodeza ta i valoi ossevati di M e il micostato di è igoosamete uo-ad-uo. La secoda classe di stumeti compede quelli pe i quali questo isultato si veifica o co assoluta cetezza, ma co schiacciate pobabilità pe N gade. I questo secodo caso, se il isultato di ua misua è itepetato sulla base di u assuzioe di pefetta coispodeza ta il micostato di e il macostato di I, c è ua miuscola pobabilità che la posizioe dell idice coispoda ad uo stato di abbastaza diveso da (i geeale otogoale a ) quello idicato. Chiameemo gli stumeti della pima classe ideali e quelli della secoda omali.

34 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI tumeti di misua ideali Chiamiamo lo stumeto I ideale se c è ua coispodeza uo-ad-uo ta la lettua dell idice e l autostato u del sistema micoscopico, su ua scala di tempi di ossevazioe ealistica; ciò equivale alla ichiesta che, pe tempi maggioi di u qualche valoe citico, siao soddisfatte le segueti codizioi: (I.1) lo stato dipedete dal tempo ( ) dell appaato macoscopico I, che, t asce dall accoppiameto co lo stato u del micosistema ella fomula (.13), giaccia i uo dei sottospazi K di K ; (I.) la coispodeza ta ed sia uo-ad-uo, cioè a(), dove a è ua tasfomazioe ivetibile dell isieme di puti 1,,...,; (I.3) tale coispodeza sia stabile ispetto a petubazioi dello stato iiziale dello stumeto di misua localizzate, el seso che ciascua di esse lascia lo stato ivaiato fuoi di ua ceta egioe coteuta i ua sfea di volume O(1) ispetto ad N. Le codizioi (I.1) e (I.) sigificao che, pe tempi t, T cioè, dall eq. (3.4) (, ( t) ) a( );, F (.30), ; a( ); Dalle eq. (.5) e (.6) e dall ivetibilità della fuzioe a, segue che l eq. (.30) o solo implica, ma è ealmete equivalete alla codizioe F 1 (.30), ; Iolte, dalle eq. (.8) e (.30) e dall ivetibilità di a, F s, ; 0 pe s (.31) Di cosegueza, pe le eq. (.3), (.30) e (.31),

35 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI M ); E ( M ) c c ( u, u ) a( 1 a( ) a( ) M ( u, u ) (.3) dove a( ) c (.33) Quidi, dalle eq. (.9) e (.3) e dall ivetibilità di a, E ( ) (.34) 1 a( ) E( ) ( u, u ) (.35) E( ) E( K a( ) ) ( u, u ) (.36) E( ) Le eq. (.34) e (.35) sigificao che, pima che la posizioe dell idice sia letta, è la pobabilità che la lettua dell idice sia, mete lo stato di è dato dalla matice desità cioè, usado la (.31), ( 1 a( ) P u ) ( ) c 1 P u. (.37) I questo modo si ha la iduzioe del pacchetto d ode, cioè la tasizioe dallo stato puo 1 c u allo stato misto della (.37). L eq. (.37) specifica lo stato di appea pecedete la misua dell idice e è c è la pobabilità che la lettua dell idice dia come isultato che lo stato di u. L eq. (.36), ivece, seve a specificae lo stato di dopo la lettua dell idice: i seguito ad ua misua che ha come isultato a(), lo stato di è u. Nel quado stadad della meccaica quatistica o c è essu picipio di causalità che detemia quale degli stati u veà tovato.

36 CPITOLO. MODELLI EPLICITMENTE RIOLUBILI 31 Come mostato, la popietà (.30) assicua che I goda delle popietà esseziali di uo stumeto di misua poiché essa implica sia la iduzioe del pacchetto d ode che la coispodeza uo-ad-uo ta la posizioe dell idice e il micostato di. Ivece, la popietà (.31), che assicua la iduzioe del pacchetto d ode, o implica l eq. (.30) e quidi o implica, da se stessa, che I fuzioi come stumeto di misua. i oti che la popietà (.31) sigifica che l accoppiameto l itefeeza ta le divese compoeti I imuove u dello stato puo e petato appeseta u completo effetto di decoeeza. Pe vedee come ciò è legato alla stuttua di ua tipica cella dello spazio delle cofiguazioi K, itoduciamo ua base completa otoomale, i questa cella, dove l idice và da 1 a dim( K ), la dimesioe di K. Dalle eq. (.13) e (.3) si ha che Essedo F dim( K ) U ( t),, s; 1, ( ) U s t, ik il geeatoe di U, quest ultima equazioe sigifica che la decoeeza asce dall itefeeza distuttiva degli evoluti dei vettoi geeata dalle divese Hamiltoiae K e K s.,.3. tumeti di misua omali Chiamiamo lo stumeto I omale 1 se soo soddisfatte le segueti codizioi: N 1 ) Pevale ua foma più debole della codizioe di idealità (.30), o equivaletemete della (.30), cioè, usado l eq. (.5), vale: 0, ; a( ) N 1 F ( ), (.38) dove, pe N gade, (N) è miuscolo ispetto all uità. 1 Cogettuiamo che il compotameto di uo stumeto eale sia geealmete omale el seso qui specificato, petato l uso di questo aggettivo è appopiato. U ceto suppoto pe questa cogettua è dato dai isultati del paagafo.4: ifatti, el caso della vesioe fiita del modello Colema-Hepp, lo stumeto è geeicamete omale, ache se è ideale pe ceti paticolai valoi dei suoi paameti. Come vedemo, peò, el caso i cui lo stumeto è omale la pobabilità che l idice idichi lo stato sbagliato di decesce espoezialmete co N.