UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRIESTE - A u r e l i o A m o d e o

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRIESTE - FAOLTA DI INGEGNERIA A u e l i o A m o d e o Elemeti didattici di matematica fiaziaia Dipatimeto di Igegeia ivile e Ambietale Tieste, settembe 5

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3 La fialità di questi Elemeti, dedicati ai osi di Estimo ed ecoomia pe le lauee i Igegeia ivile ed i Achitettua, è quella di foie il ecessaio e tadizioale aiuto matematico pe affotae i poblemi estimativi i fase di stima aalitica, oché di dae gli elemeti pe la fomulazioe di piai pe il fiaziameto di opee pubbliche e pivate attaveso pestiti imbosabili a quote e co il coivolgimeto di Istituti di edito o co l emissioe di titoli di cedito. A tale scopo saà sufficiete l esposizioe delle leggi fiaziaie e delle opeazioi fiaziaie più icoeti i codizioi di cetezza, salvo esamiae poi gli spazi di pobabilità i valutazioi o detemiistiche. Il icoso ad esempi caatteizzati e la poposta di esecizi e quesiti cosetià agli studeti la apida assimilazioe della mateia ed il suo collegameto co le ealtà opeative più icoeti. Tieste, settembe 5 Auelio Amodeo I

4 INDIE ap. IL APITALE E L INTERESSE. Il apitale. Il saggio di iteesse ed il tasso di scoto 4 ap. I REGIMI FINANZIARI USUALI 6. La scidibilità i u egime fiaziaio 6. La ecipocità fa movimeti di posticipazioe e di aticipazioe 7.3 La fomazioe del motate i egime di iteesse semplice 7.4 Lo scoto i egime di iteesse semplice (scoto azioale) 9.5 La fomazioe del motate i egime di iteesse composto.6 Lo scoto i egime di iteesse composto 3.7 Lo scoto i egime lieae o scoto commeciale 5.8 La fomazioe del motate i egime di scoto commeciale 7.9 Il cofoto fa i egimi fiaziai usuali 9. L equivaleza dei saggi di iteesse e di scoto. Il egime fiaziaio istataeo 9. La foza di iteesse e di scoto 3.3 Fomulaio di sitesi 34.4 Leggi fiaziaie o usuali 35.5 L uso bacaio dei egimi usuali 36 Esecizi e quesiti 39 II

5 apitolo IL APITALE E L INTERESSE. Il apitale Nei fattoi stoici della poduzioe, Natua-Lavoo-apitale-Ogaizzazioe, viee defiito il apitale, dal puto di vista ecoomico-estimativo, come qualuque bee impiegato o podotto ella poduzioe, puché utile e dispoibile, ma i quatità limitata. Il suo valoe, cioè l impotaza i temii moetai che quel bee acquista i u mecato di scambio, dipede quidi dalla sua limitatezza e dalla sua utilità, valutata sempe i sede di mecato e o itesa come impotaza assegata sigolamete o affettivamete da u solo soggetto. I sede di stima aalitica viee poi idicato come valoe capitale di u bee il valoe attuale della accumulazioe fiaziaia dei suoi edditi futui. Il valoe di u capitale va quidi comuque espesso i uità moetaie pecisate (euo, faco, dollao, ecc.) che e defiiscoo l impoto, ma ciò o basta. I ua opeazioe fiaziaia va pecisato il mometo tempoale della sua dispoibilità, quello che i temie bacaio ha il ome di valuta. Il valoe è quidi fuzioe dell impoto e del tempo itecoete fa il mometo dell opeazioe ed il mometo della valuta; il appoto del valoe co l impoto è ovviamete dietto, ma iveso è il suo appoto co il tempo, el seso che a paità di impoto il valoe è maggioe pe tempi di valuta più bevi. La cosideazioe che il muovesi di u capitale di detemiato impoto, sulla etta del tempo, e poduce ua vaiazioe, pota a defiie questa vaiazioe come iteesse. Diemo quidi che u capitale m, dispoibile al mometo m ed impiegato i ua opeazioe pe u tempo t m, subisce ua vaiazioe positiva di valoe che lo fa salie o motae al valoe. hiameemo motate M di m al tempo il capitale.

6 m + m (t) M Motate al tempo del capitale m dispoibile al tempo m. hiameemo iteesse la vaiazioe positiva del valoe del capitale m. I m oché saggio (o tasso) di iteesse questa vaiazioe, se ifeita all uità di capitale ed all uità di tempo. I i m t e chiameemo legge di fomazioe del motate, oppue legge di capitalizzazioe (oppue acoa legge di posticipazioe) ua fuzioe atta a foie il valoe di u capitale i u mometo successivo, o comuque o atecedete a quello della sua dispoibilità. Se il mometo m è all oigie di ua opeazioe fiaziaia, e quidi è il mometo, alloa m o saà il capitale iiziale dispoibile. I meito all adozioe della simbologia pe il saggio d iteesse, va detto che la lettea i è geealmete impiegata elle opeazioi fiaziaie, mete la (atio) è tadizioalmete usata ella letteatua estimativa. L ambito di questi apputi ci pota quidi all adozioe del simbolo. Aaloga ossevazioe va fatta pe il temie fiaziaio tasso d iteesse o pe il suo equivalete saggio; useemo ambedue questi temii, el modo che iteemo di volta i volta più appopiato. La defiizioe che abbiamo dato dell iteesse o cotasta matematicamete co quella tadizioale e legata alla stessa sua esisteza, di pezzo che si deve pagae pe l uso di u capitale. Quella più attuale itepetazioe ci cosetià peò di poe i maggio evideza l adameto della fomazioe del motate secodo vai egimi. Il movimeto opposto di u capitale sulla etta del tempo, cioé la iceca del valoe m i u mometo m di u capitale dispoibile i, pota ad ua vaiazioe egativa del valoe del capitale di ifeimeto, che viee scotato o aticipato al tempo m.

7 m m (t) V m valoe scotato al tempo m del capitale dispoibile al tempo. hiameemo diffeeza o scoto la vaiazioe egativa del capitale D m oché tasso (o saggio) di scoto questa vaiazioe, se ifeita all uità di capitale ed all uità di tempo d D t e chiameemo legge di aticipazioe o di scoto ua fuzioe atta a foie il valoe di u capitale i u mometo atecedete, o comuque o successivo a quello della sua dispoibilità. Se il mometo m è all oigie di ua opeazioe fiaziaia, e quidi è il mometo, alloa m o saà il valoe attuale del capitale e la legge di scoto saà chiamata di attualizzazioe. Le due leggi citate, quella di capitalizzazioe e quella di aticipazioe, soo fuzioi geealmete ad ua sola vaiabile (puchè il tasso imaga costate pe tutta l opeazioe), elle quali il capitale motato o scotato è fuzioe solo del tempo di impiego o di aticipazioe. Si tatta di leggi o sempe ecipoche, el seso che è u caso solamete teoico che i u defiito itevallo di tempo u capitale i movimeto ei due sesi imaga ivaiato al suo itoo all oigie. Si tatta i effetti di due leggi usate fiaziaiamete pe opeazioi diffeeti, essedo legata quella di capitalizzazioe sopattutto all impiego ed al pestito di capitali, mete quella di scoto ha il suo sigificato comue ella ecessità dell aticipazioe moetaia pe capitali co valuta successiva. Va detto acoa che pe le due leggi, da cosideasi come leggi geeali e solo idicatoie, toveemo divese fuzioi che e soddisfio i equisiti ichiesti, e che chiameemo egimi. Si tatteà sempe di fuzioi cotiue, atte cioè a dae il valoe del capitale i qualuque mometo tempoale, ache se egli usi bacai gli iteessi (o le diffeeze) divetao dispoibili i modo disceto (ogi ao, ogi semeste, ogi gioo, ecc.) e si aggiugoo al (o si tolgoo dal) capitale all iizio oppue al temie di questi 3

8 peiodi di tempo (iteesse aticipato o posticipato). L adameto cotiuo delle fuzioi si tasfoma i questo caso i adameto a scaletta (foctio cochet op. foctio e escalie). Osseviamo iolte fi d oa che mete i motati M, i valoi scotati V, l accumulazioe degli iteessi I e degli scoti D, hao le dimesioi dei apitali, i tassi di iteesse e di scoto vao assuti come umei pui, seza dimesioi, ache se, coettamete, dovebbeo itedesi come il ecipoco di u tempo, cioè come ua itesità.. Il saggio di iteesse ed il tasso di scoto Al di là della defiizioe matematico-fiaziaia, sulla giustificazioe dell esisteza dell iteesse, cioé di u compeso pe l uso del capitale, va suggeita la lettua del capitolo Il saggio d iteesse del testo del Medici Picipi di estimo *. I sostaza, ileva il Medici, l esigeza di u coispettivo pe l abbadoo di u capitale pe u ceto tempo asce dalla divesa impotaza ed utilità che il geee umao attibuisce ai bei peseti ispetto quelli futui, della fuizioe dei quali o si è ceti. Va pe coto detto che la custodia di u capitale è u sevizio che ichiede u compeso; l affidameto a Istituti di edito di capitali co gaazia di dispoe i qualsiasi mometo di pate o di tutto l impoto, vicola la possibilità del eivestimeto del capitale stesso e quidi del matuasi di u suo futto. Pe questa agioe i tassi dei coti coeti soo bassi, o addiittua ulli o egativi. Pe quato iguada l etità del saggio di iteesse, vao cosideati i segueti fattoi: - la quatità del ispamio esistete i u ceto peiodo i u Paese o i u aea dello stesso. L abbodaza di capitali i offeta abbassa ovviamete il tasso d uso degli stessi; la caeza lo fa aumetae; - la quatità degli ivestimeti poduttivi i u ceto peiodo i u Paese o i u aea dello stesso. L aumeto della domada di capitali pe la poduzioe aumeta ovviamete il tasso d uso degli stessi; la caeza lo fa dimiuie; - il ischio dell opeazioe pe la quale si popoe il fiaziameto. Il ischio è pessocché ullo ella collocazioe dei capitali egli Istituti di edito, ma o così egli ivestimeti e eivestimeti di questi capitali. Il pemio pe l assicuazioe di * Giuseppe Medici Picipi di Estimo ediz. Gafiche aldeii, Bologa

9 questi capitali compota u aumeto del saggio, tato maggioe quato è maggioe il ischio; - la duata dell opeazioe pe la quale si ichiede il fiaziameto. I peiodi di abbodaza di capitali i offeta, l Istituto offeete è potato ad abbassae il tasso pu di collocae il capitale pe tempi più lughi. Ivesamete i peiodi di caeza di capitali, quado saà ivece l impeditoe potato a pagae di più pe la cetezza della dispoibilità di u capitale. Alti fattoi, quali il livello dei pezzi delle mateie pime ed, i geeale, il costo di poduzioe dei bei ecoomici, possoo agie i u seso o ell alto sull etità del saggio di iteesse, che isulteà petato detemiato dall equilibio di tutte queste foze, di volta i volta divese. Pe quato iguada il tasso di scoto, cioè il pezzo pe l aticipazioe di capitali di valuta diffeita, il suo sigificato fiaziaio o va cofuso co il tasso debitoio che le Bache fissao ei appoti cotattuali co i lieti, di due - te volte maggioe di quello ceditoio, e che è sostazialmete acoa u tasso d iteesse. Il Medici, ell opea citata, pecisa che se il saggio d iteesse appeseta il pezzo di uso del ispamio, il saggio di scoto appeseta ivece il pezzo d uso della moeta, el seso che mete il saggio di iteesse dipede, olte che da alti fattoi, dalla quatità di ispamio esistete, il saggio di scoto dipede dalla quatità di mezzi di pagameto offeti dal mecato. L assezioe va itesa el seso che lo stock del ispamio esistete i u ceto mometo i u Paese, pu se valutato i moeta, o implica ecessaiamete l impiego di essa; pe coto l opeazioe di scoto asce dalla ecessità di deao pe impegi da soddisfae subito, e quidi dalla aticipazioe i temii moetai di capitali dispoibili i tempi successivi. 5

10 apitolo I REGIMI FINANZIARI USUALI. La scidibilità i u egime fiaziaio Di pecisa impotaza pe le applicazioi opeative è la veifica se u egime fiaziaio gode della popietà della scidibilità. Questa popietà è veificata quado m (t) il motate al tempo m di u capitale ivestito al tempo < m, impiegato successivamete fio al tempo > m e elle medesime codizioi fiaziaie, è uguale al motate al tempo dello stesso capitale iiziale, cioé quado M (,m ) M ( m, ) M (, ) Il moltiplicatoe fa i due motati al pimo temie o và ovviamete iteso i seso matematico, besì come idicatoe di ipesa, ello stesso egime, di u capitale matuato al tempo m. iò vale ache i u egime di scoto, che è scidibile solo quado il valoe scotato al tempo m di u capitale dispoibile al tempo >m, scotato successivamete fio al tempo e elle medesime codizioi fiaziaie, è uguale al valoe scotato al tempo dello stesso capitale iiziale, cioé quado V (,m ) V ( m, ) V (, ) I sostaza la popietà della scidibilità cosiste (come la defiiscoo il Daboi e De Fea i Elemeti di matematica fiaziaia ) el pote iteompee e ipedee istataeamete ua opeazioe seza mutae il valoe fiale della medesima. Questa popietà, come vedemo, è isevata ai soli egimi egolati da leggi espoeziali, sia pe motae che pe scotae. Luciao Daboi e laudio De Fea Elemeti di matematica fiaziaia - Ed. Lit Tieste

11 . La ecipocità fa movimeti di posticipazioe e di aticipazioe Dati u movimeto di posticipazioe ed uo di aticipazioe a tasso uguale, cosideeemo i due egimi ecipoci o coispodeti quado, pe lo stesso capitale iiziale e lo stesso itevallo di tempo, le vaiazioi algebiche che subisce il capitale muovedosi ei due sesi si aullao, quado cioé m + (m,) m (,m) (t) + I questo caso i due egimi soo uo il ecipoco dell alto, co la otazioe M [ V (, )] ( m, ) m.3 La fomazioe del motate i egime di iteesse semplice Fissato il valoe del saggio di iteesse, ifeito all uità tempoale t, i questo egime la vaiazioe del capitale i fuzioe del tempo d impiego è lieae. Petato il motate di u capitale iiziale o dopo fazioi di tempo diveta (t) 7

12 (.3.) M + ( ) o + e l accumulazioe degli iteessi M. I (.3.) I. Fig. M f ( t ) i egime di iteesse semplice t La geometia della fuzioe M f(t) è ua semietta el quadate, uscete all odiata e co coefficiete agolae > (Fig.). L iteesse si ede logicamete dispoibile quado il capitale l ha matuato, quidi al temie dell uità di tempo cosideata. iò o toglie che i detemiati podotti o sevizi gli istituti fiaziai possao egoziae co il cliete l aticipazioe degli iteessi seza cosideae questa covezioe come u opeazioe di scoto. Ma ciò o ha alcua iflueza sulla fomazioe del motate i quato, come usualmete vie detto, l iteesse o si capitalizza e o poduce a sua volta iteessi. Il capitale di ifeimeto è petato sempe il capitale iiziale. La pecisazioe dell itevallo tempoale di ifeimeto e la matuazioe degli iteessi agli estemi di questo itevallo o esclude il loo calcolo ache i u mometo itemedio, i caso di iteuzioe dell opeazioe. Ad esempio, pe u saggio di iteesse coveuto auale i agioe del 5%, dopo 7 gioi oppue dopo 4 ai e 7 gioi il motate diveta 7 (.3.3) M M co ua accumulazioe di iteessi, ispettivamete di (.3.4) I (,74, ), 74 I,74,, 74 (.3.5) ( ) 8

13 Se alto o vie detto, l iteesse è ifeito al peiodo d impiego del capitale di ao, ed espesso i pecetuale sul capitale iiziale (4%, 6%, ecc.). iò vale ache pe gli alti egimi sia d iteesse che di scoto; ci ifeiemo quidi a questa uità tempoale di misua pe il saggio (tasso), salvo che o sia pecisato di volta i volta diffeetemete. Questo egime di capitalizzazioe o è scidibile. Ifatti, pe quato detto al pa.. m m (t) [ + ( m) ] ( ) + m) + ( o Semplici opeazioi algebiche cosetoo di icavae, i questo egime, le fuzioi ivese, cioè il tempo o il saggio di capitalizzazioe i fuzioe degli alti valoi..4 Lo scoto i egime d iteesse semplice (scoto azioale) Fomulado la ecipocità co la fomazioe del motate i questo egime, si ottiee dalla (.3.) il valoe al mometo di u capitale dispoibile i. (.4.) V + V oché lo scoto, cioè la diffeeza (.4.) D + D e lo scoto pe uità di capitale e di tempo, cioè il tasso di scoto (.4.3) d + da cui, pue Fig. V f ( t ) i egime di iteesse semplice t (.4.4) D + d ( ) d La geometia della fuzioe V f (t) è ua cuva el quadate, uscete dall odiata, co adameto discedete e co la cocavità veso l alto (f (t)<, f (t)>) ( Fig. ). 9

14 Ripetiamo, pe ua giusta lettua del gafico, che la cuva dà il valoe di u capitale dispoibile fa uità di tempo ( ), scotato di, uità tempoali. Vale quato già detto el paagafo pecedete i meito alla dispoibilità delle diffeeze agli estemi dell itevallo tempoale di ifeimeto, ma ache alla possibilità del loo calcolo i u mometo itemedio. I elazioe agli esempi fatti ad..3.3, pe u saggio del 5% (coispodete ad u tasso d del 4,76%) e pe lo stesso peiodo già calcolato, il valoe del capitale scotato diveta (.4.5) V V dove si ota che.989 e.84 soo ovviamete il ecipoco di.74 e di.74 delle.3.3. e che lo scoto (.4.6) D (..989).7.7, D (..84) è pai all accumulazioe degli iteessi el egime ecipoco. Pue questo egime di scoto ad iteesse semplice, come già il suo ecipoco, o è scidibile. Ifatti m m + ( m) + m +

15 .5 La fomazioe del motate i egime di iteesse composto Fissato il valoe del saggio di iteesse, ifeito all uità tempoale t, i questo egime l iteesse matuato, dispoibile di solito alla fie dell itevallo di tempo, si aggiuge al capitale ivestito fio a quel mometo e cocoe assieme ad esso alla matuazioe dell iteesse el peiodo successivo. Si ha petato + ( + ) + + ( + ) ( ).. ( ) + Il temie + viee chiamato biomio di iteesse o fattoe di capitalizzazioe ed idicato co q, e sta ad idicae il motate, al temie di ogi uità tempoale, di ua uità del capitale dispoibile all iizio della stessa. La legge di fomazioe del motate è petato (.5.) M q ed è espoeziale cescete, co la cocavità ivolta veso l alto (base > ) (Fig.3, a liea cotiua). Il caso (icosueto) di aticipazioe degli iteessi tova isposta i quato già ossevato ei paagafi pecedeti. Qualoa ivece la egoziazioe dovesse potae a coveie l aticipazioe fuzioale, e o solo iete, la uova fuzioe (.5.) M q + veebbe appesetata da ua cuva supeioe e o paallela alla pecedete (Fig. 3, a tatteggio) M I m.. m t Fig. 3 M f ( t ) i egime di iteesse composto

16 Petato, se alto o veà pecisato, ci ifeiemo i seguito sempe e solo alla dispoibilità posticipata degli iteessi (fuzioe a scaletta co alzate vaiabili). Il poblema o sussisteà più quado poteemo il egime fiaziaio dal disceto al cotiuo, cioè quado gli itevalli di tempo o saao fiiti besì ifiitesimi.. L accumulazioe degli iteessi dall iizio dell opeazioe alla fie di ogi peiodo isulta (.5.3) I q ( q ) Vale iolte quato già pecisato pe l iteesse semplice i meito alla possibilità del calcolo del motate i u mometo itemedio dell itevallo. Pe gli esempi già fatti el cap..3 (.5.4) ( ) M +,5, ( +,5) 7 365, M 363 I,7,, 7 (.5.5) ( ) (,363, ), 363 I Notiamo fi d oa che il motate i questo egime, a paità di saggio, è ifeioe al coispodete ad iteesse semplice pe tempi di impiego ifeioi all uità tempoale di ifeimeto e maggioe pe tempi supeioi a detta uità (.3.3) Questo egime di iteesse, espoeziale, è scidibile. Ifatti, sempe co ifeimeto a quato detto al cap.. m m (t) m m q q q Questa popietà della scidibilità cosetià laghe applicazioi di questo egime. La defiizioe delle fuzioi ivese si appoggia, i questo egime, su espessioi logaitmiche; ad esempio (.5.6) lg lg lg ( + )

17 .6 Lo scoto i egime di iteesse composto I ecipocità co la fomazioe del motate ell aalogo egime, si ha dalla (.5.) (.6.) V ( + ) q q e lo scoto, cioé la diffeeza V (.6.) D q.d m.d D e lo scoto pe uità di capitale e di tempo, m t cioè il tasso di scoto (.6.3) da cui pue d + q V f ( t ) Fig. 4 i egime di iteesse composto (.6.4) D ( d) Pue i aalogia co la defiizioe di fattoe di capitalizzazioe, chiameemo fattoe di aticipazioe o di scoto il valoe scotato al temie di ogi uità tempoale di ua uità di capitale dispoibile all iizio della stessa. Ovviamete l uità tempoale s itede pecosa i seso opposto al egime di posticipazioe. Idicheemo co v d q - questo valoe, che asce come segue 3

18 d ( d ) v ( d ) d v d ( d ) v e, data la ecipocità co l aalogo egime di posticipazioe (.6.5) V ( d ) v q (.6.6) q + v d Si osseva pue dalla.6.3 che i ua stessa opeazioe fiaziaia il tasso di iteesse è maggioe del coispodete tasso di scoto, che isulta essee pai al tasso di iteesse scotato. La geometia della fuzioe V f(t) è acoa ua espoeziale co la cocavità veso l alto, ma discedete asitoticamete (base < ) (Fig. 4, a liea cotiua). Pe il caso (icosueto) di scoto applicato aticipatamete valgoo le cosideazioi fatte ei paagafi pecedeti (Fig. 4 a tatto). Vale iolte la pecisazioe già fatta al pa..4 pe ua giusta lettua del gafico. I elazioe agli esempi fatti al cap..5, e co il solito itevallo di tempo e saggio di iteesse, si ha (.6.7) V V, 983 ( +,5) ( +,5) 7 365, dove si ota acoa che i valoi scotati soo il ecipoco dei motati.5.4 e che le diffeeze D,,983,68,7 (.6.8) ( ) D (,,889),9,363 soo pai all accumulazioe degli iteessi el egime ecipoco. 4

19 Osseviamo pue che i questo egime il capitale scotato, a paità di saggio, è supeioe al coispodete ad iteesse semplice pe tempi ifeioi all uità tempoale, ed ifeioe pe tempi supeioi a detta uità (.4.5) ome pe la fomazioe del motate ad iteesse composto, ache questo egime è scidibile. Ifatti m m (t) q m q m q Petato sia dal cofoto fa loo delle.5. e.6., sia dall accetameto della scidibilità i fase di posticipazioe e di aticipazioe, possiamo die che il egime di iteesse composto è atto a foie il valoe di u capitale i qualsiasi mometo, posteioe o ateioe alla sua dispoibilità a secoda che l espoete elle due espessioi sia positivo o egativo..7 Lo scoto i egime lieae o scoto commeciale E commecialmete usato pe tempi bevi, i quato di semplice calcolo, valutae la vaiazioe egativa del capitale, ossia lo scoto D, popozioalmete al capitale, al tempo ed al tasso di scoto d. Si tatta di u egime simile (ma o ecipoco) di quello della fomazioe del motate a iteesse semplice, co la geometia della fuzioe V f (t) appesetata da ua semietta el quadate uscete dal valo del capitale al mometo della sua dispoibilità, co diezioe discedete, co coefficiete agolae d, e petato limitata el umeo di fazioi di tempo cosideate se o si vuole che lo scoto aulli il capitale o che il calcolo o diveti fiaziaiamete assudo (Fig. 5). Petato, fissato u tasso di scoto d, ifeito all uità tempoale t oltecché all uità di capitale, lo scoto isulta 5

20 (.7.) D d ed il valoe i del capitale dispoibile i co d (.7.) V D ( d) V Valgoo le cosideazioi già fatte pe il egime lieae ad iteesse.d D semplice i meito alla aticipazioe o posticipazioe delle diffeeze. t più volte esamiati Fig. 5 V f ( t ) i egime di scoto commeciale Va acoa icodato che la cotiuità della fuzioe V f(t) cosete (così come egli alti egimi) il calcolo del valoe del capitale pue i u mometo itemedio. Negli esempi 7 (.7.3) V,5, V 7,5 4 +, (.7.4) D (,,986), 74 (,,786), D 74 I questi esempi si è cosideato il tasso di scoto d pai al saggio di iteesse utilizzato sia pe posticipae che pe aticipae egli alti due egimi. Il cofoto umeico fa i te egimi saà peò possibile solo se si poe pe d il valoe del saggio d iteesse scotato /+ d, come evideziato ad.4.3 e.6.3, oppue pe il valoe del tasso di scoto posticipato d (+). Nel pimo caso, e pe i pecedeti esempi, si ottiee,5 7 (.7.5) V, 9834,5 365 V, , 793,

21 (.7.6) D (,,9834), 66 (,,793), D 7 dove si vede che i questo egime il capitale scotato è supeioe ai coispodeti ad iteesse semplice e composto pe tempi ifeioi all uità tempoale, ed è ifeioe ad essi pe tempi supeioi a detta uità (.4.5) Ricodiamo acoa che, se alto o vie detto, commecialmete il tasso di scoto è ifeito al peiodo tempoale di u ao ed espesso i pecetuale sul valoe del capitale al mometo della sua dispoibilità. Questo egime di attualizzazioe o è scidibile. Ifatti m m (t) [ d ( m) ] ( dm) ( d) Pue i questo egime semplici opeazioi cosetoo di detemiae le fuzioi ivese..8 La fomazioe del motate i egime di scoto commeciale L aalisi dello scoto i egime lieae o commeciale ci dà l occasioe pe esamiae il egime fiaziaio ecipoco, i cui la fomazioe del motate diveta, pe u pefissato tasso d (.8.) M V d d co pe le agioi già dette al capitolo pecedete. d La geometia della M f (t) è acoa ua cuva ad adameto cescete e co la cocavità veso l alto (Fig. 6), così come ell iteesse composto, ma co le diffeeze da esso che si diao. Valgoo le cosideazioi ivi fatte el caso di aticipazioe, fuzioale oppue o, degli iteessi. 7

22 L accumulazioe degli iteessi isulta M (.8.) I d d I t M f ( t ) Fig. 6 i egime di scoto commeciale e, pe gli esempi già ipetuti di calcolo i mometi itemedi dell uità tempoale di ifeimeto, pe d5% (.8.3) M M (.8.5) I (.77.) (.778.) I 74 dove si osseva che questa volta i motati soo il ecipoco dei valoi scotati (.7.3) e che l accumulazioe degli iteessi è pai alla diffeeza (.7.4) el egime ecipoco. Aalogamete a quato detto al capitolo pecedete, il cofoto co gli alti due egimi di capitalizzazioe può vei stabilito co l assuzioe di u tasso di scoto pai al saggio d iteesse scotato, come di seguito (.8.6) M, 68,5 7,5 365 M, 6, ,

23 (.8.7) I (,68, ), 68 I (,6, ), 6 dove si osseva che i questo egime il motate è ifeioe ai coispodeti ad iteesse semplice e composto pe tempi ifeioi all uità, e maggioe pe tempi supeioi a detta ( ). ome pe la fomazioe del capitale scotato el egime lieae, pue ella ecipoca fomazioe del motate o c è scidibilità. Ifatti m m (t) dm d ( m) d.9 Il cofoto fa i egimi fiaziai usuali ome già detto, il cofoto fa i te egimi aalizzati può vei esamiato a paità di saggio d iteesse pe i egimi a iteesse semplice e composto, e co saggio d iteesse scotato pe il egime di scoto commeciale. I gafici sovapposti dei te egimi, sia pe la posticipazioe che pe la aticipazioe di u capitale uitaio, dao questo cofoto ed evideziao quato già dedotto dagli esempi umeici (Fig. 7). I paticolae si ota e si icoda che: - pe u peiodo pai all uità tempoale di ifeimeto () dei tassi, le cuve passao pe lo stesso valoe; - pe << l iteesse I i egime di iteesse semplice è maggioe di quello a iteesse composto e di quello a scoto commeciale; i appoti si ivetoo pe >; - pe << lo scoto o diffeeza D è mioe i egime di scoto commeciale ispetto quelli ad iteesse composto e semplice; i appoti si ivetoo pe > 9

24 M M.e. M / (-d.) M.( + ) M.(+.) V.(+.) - V.( + ) - V V.e -. V.(-d.) Fig. 7 cofoto fa egimi di posticipazioe M f(t) e fa egimi di aticipazioe V f(t) t

25 Nella figua 7 è stata disegata pue la geometia del egime fiaziaio istataeo di cui ai paagafi segueti, sia pe posticipae che pe aticipae, pe utile successivo cofoto. Pe questo egime occoe fa otae che, pe la fomazioe del motate e ell ipotesi assuta a base del cofoto di u tasso di scoto pai al saggio di iteesse scotato, il egime istataeo stà sopa quello dello scoto commeciale pe tempi ifeioi all uità, ma che il appoto si ivete fa e. iò o isulta ivece pe tassi d iteesse e di scoto uguali (d ), dove la cuva M / (-.).e..e -..(-.) V t Fig. 8 ofoto fa: M / (-.) e M.e. ofoto fa: V.(-.) e V.e -. del motate dello scoto commeciale supea l alta fi dall iizio (Fig. 8). Ovviamete la situazioe si ivete ei egimi ecipoci, di aticipazioe.. L equivaleza dei saggi di iteesse e di scoto Dati due saggi diffeeti e (op. d e d ), ifeiti a uità tempoali τ e τ, diemo che essi soo equivaleti quado, elativamete allo stesso capitale e ad uo stesso tempo d impiego t (multiplo di τ e τ ) dao effetti ecoomici uguali. Nei due egimi lieai dell iteesse semplice e dello scoto commeciale ciò saà quado (sia pe motae che pe scotae) (..) τ τ e d d τ τ e quado, i egime di iteesse composto t (..) ( + ) τ ( + ) τ e ( d ) τ ( d ) τ t t Il poblema è iteessate ella fomazioe del motate i egime di iteesse composto, quado gli iteessi matuao più volte i u ao, e si aggiugoo al capitale alla t

26 fie di ogi peiodo. Se, ad esempio, gli iteessi matuao k volte i u ao al tasso coveuto auale, si avà dopo ai e pe u capitale uitaio k + k i quato, pe la fomula del biomio di Newto ( + ) k ( k ) k + + k + k k! k + K co gli addedi successivi al secodo tutti positivi. Saà come ave impiegato il capitale ad u tasso effettivo auale (..3) ' + k k co u motate ( + ' ) > ( + ) Ad esempio, se co ua baca si è coveuto u iteesse auale del 6%, che matua peò timestalmete, si saà otteuto u saggio effettivo del % L opeazioe viee detta effettuata al tasso auo covetile k volte oppue al tasso effettivo auale, oppue acoa al tasso equivalete. Ovviamete l uità tempoale di ifeimeto può ache o essee auale. Se ivece si coviee, sì, la matuazioe dell iteesse k volte all ao, ma i modo da o supeae il saggio auale coveuto, che si vuole effettivo, si dovà applicae ad ogi '' fazioe di tempo u saggio tale che k k '' + + k (..4) co '' ( + ) [ ] k k

27 Nell esempio pecedete omiale covetibile k volte %, co detto tasso auale I questo caso il motate saà k ' ' ( + ) + k ome già detto i tassi covetibili, effettivi e omiali, possoo essee ifeiti a peiodi ache diffeeti dell ao. Sempe i egime di iteesse composto, k può divetae sempe maggioe (ad es. k 365 se gli iteessi matuao ogi gioo, oppue k 876 se matuao ogi oa) ed al limite può essee ifiitamete gade. I tal caso, sviluppado la..3 come di seguito k k ' + + k k e icodado che la fuzioe y + ha u valoe detemiato pe ogi valoe di x x tae che pe x e tede ad u limite fiito, idicato co e (umeo di Nepe), quado x tede a +, saà pe k + (..5) ( ) k ' lim k + e k (..6) ( + ( ) ) e ' espessioe che ci dà la fomazioe del motate i egime di iteesse composto, co tasso auale che matua da istate a istate, cioé co tasso auale covetibile cotiuo, ovveo i egime fiaziaio istataeo di posticipazioe co tasso auale effettivo. x 3

28 M.e..q I I (e. ) t Fig. 9 M f ( t ) ofoto i egime di iteesse composto La geometia della fuzioe M f(t) è evideziata i figua 9 (a liea cotiua) dove (a tatto) è pue disegata la coispodete fomazioe del motate a iteesse composto che, a paità di, matua i modo tempisticamete discotiuo. Il cofoto co gli esempi fatti al cap,.5 si legge come segue 7,5 (..7) M 365 e, 75,5 ( 4+ 7 ) 365 M e, 48 coto,7 o coto,363 (..8) I (,75, ), 75 coto,7 (,48, ), 48 I coto,363 Aalogamete, dalla..4 e sempe pe k + (..9) ' ' ( ) lim ( + ) k k k lim k ( + ) k k lge ( + ) δ espessioe che ci cosete di detemiae il tasso omiale (idicato i seguito co δ ) che matua da istate a istate (tasso istataeo di iteesse), equivalete peò al tasso auale coveuto, e pe la quale 4

29 + e e δ (..) ( ) Pe il calcolo delle espessioi pecedeti si può icoee ai logaitmi, oppue a sviluppi i seie di Mac Laui iteotti dopo il secodo temie, come segue (..) ' ( ) e L + (..) '' ( ) δ lge ( + ) + L o il cescee di k la fuzioe ' f ( k ) è cescete e la '' f ( k)! come del esto ovvio e cofemato dai valoi della tabella seguete 3 3! 3 3 è decescete, Iteesse k auale,6,6,6 semestale,6,69,593 timestale 4,6,636,587 mesile,6,668,584 gioalieo 365,6,683,587 istataeo +,6,683 δ,586 ' ' ' '' ( ) δ < oispodetemete a quato cosideato pe la fomazioe del motate, e co la stessa pogessioe didattica, esamiiamo il poblema dell aticipazioe o scoto di capitali, sempe i egime di iteesse composto, quado le diffeeze matuao k volte i u ao al tasso coveuto auale d. o ai di aticipazioe e pe u capitale uitaio k d > k ( d ) Saà come ave scotato il capitale ad u tasso effettivo auale k d (..3) d ' d k 5

30 co u valoe scotato V ( d' ) > ( d ) Se co ua baca si è coveuto u tasso di scoto auale del 6%, che matua peò timestalmete, si saà adottato u tasso effettivo (tasso di scoto auale d covetibile k volte) del 4,6 4,587 5,87 % Se ivece si coviee, sì, la matuazioe dello scoto k volte all ao, ma i modo tale da aggiugee il tasso auale coveuto d, che si vuole effettivo, si dovà applicae ad ogi d '' fazioe di tempo u saggio tale che k k d' ' d k (..4) co d' ' ( d ) k k d Nell esempio pecedete d,64 6,4 %, co d detto ache tasso di scoto omiale. I questo caso il valoe scotato saà V k d' ' ( d ) k Iolte, dalla..3 (..5) d' ( ) lim k d k d d e k d d d (..6) V ( d' ( ) ) e espessioe che ci dà la fomazioe del capitale scotato i egime di iteesse composto co tasso auale d che matua da istate a istate, cioè co tasso auale d 6

31 covetibile cotiuo, ovveo i egime fiaziaio istataeo di aticipazioe co tasso auale effettivo d. Pe questo egime di scoto le geometie della V f(t) ella vesioe cotiua (a liea cotiua) e discotiua (a tatto) soo ipotate ella figua. V D ( e -d. ) D t Fig. V f ( t ) ofoto i egime di iteesse composto Il cofoto co gli esempi del cap..6 è il seguete 7,5 (..7) V e 365,988 V ( 4+ 7 ),5 e 365,846 coto coto,986,786 (..8) D (,,988), 7 Iolte, dalla..4 (..9) coto,74 (,,846), D 954 coto,74 d'' ( ) lim ( d ) k k k lim k ( d ) k k lg e ( d ) ρ d espessioe che ci cosete di detemiae il tasso omiale d (i seguito idicato co ρ) che matua da istate a istate (tasso istataeo di scoto), equivalete peò al tasso auale d, e pe la quale e (..) ( ) V d ρ d e ed acoa, appossimativamete 7

32 (..) d' ( ) d e d d d d d ρ e d + d (..) '' ( ) lg ( d ) o il cescee di k la fuzioe d f(k) e decescete e la d f(k) è cescete, come ella seguete tabella di valoi Aticipazioe k d d d auale,6,6,6 semestale,6,59,693 timestale 4,6,5866,64 mesile,6,5838,67 gioaliea 365,6,584,687 istataea +,6,583 ρ,688 d' ' d d' d '' ( ) ρ > d A coclusioe di questo paagafo vogliamo fa ossevae che abbiamo esamiato l equivaleza di saggi di iteesse fa loo (ifeiti a uità tempoali divese) e, sepaatamete, l equivaleza di tassi di scoto fa loo (co la stessa pecisazioe). L equivaleza di saggi di iteesse co tassi di scoto, ma ello stesso egime di iteesse composto, è già stata detemiata alla.6.5 e può vei estesa alle cosideazioi pecedeti. Diemo cioé che u saggio di iteesse covetibile k volte ed u tasso di scoto, pue covetibile k volte ella stessa uità tempoale, soo equivaleti quado (..3) k + k d k k iò sigifica che ella stessa fazioe di tempo k i due tassi matuao lo stesso iteesse, positivo e egativo. Ad esempio, sempe co 6, % e k 4, isulta d 5,9 %, e pe coto occoe che sia 6,9 % e sempe k 4 peché isulti d 6, %. 8

33 Al limite, pe k + d (..4) δ lg ( + ) lg lg ( d ) ρ e e e cioè pe,6 e d,6/,6 si ha δ ρ,586, e pe d,6 e (,6),6 si ha δ ρ,688 (vedi i valoi al limite elle due tabelle). Quidi i egime istataeo ad iteesse composto i due tassi equivaleti coicidoo ed i fattoi di capitalizzazioe e di scoto valgoo ispettivamete δ q e e δ v e. Il egime fiaziaio istataeo Nelle..9 e..9 abbiamo idividuato i δ e ρ i tassi costati di iteesse e di scoto che, matuado da istate a istate i u egime di iteesse composto, soo equivaleti a tassi auali o d. Si tatta di u egime fiaziaio istataeo, el quale le vaiazioi del capitale impiegato soo ifiitesime, così come i peiodi di posticipazioe o aticipazioe, e soo dispoibili alla fie di tali peiodi. Nel paagafo. abbiamo chiamato iteesse o diffeeza queste vaiazioi di capitale, che possiamo ache itedee come popozioali al capitale impiegato i u ceto mometo t ed al tasso δ e ρ, che pue possiamo itedee o costati, besì vaiabili i fuzioe del tempo e quidi defiibili come tassi istataei. Petato, esamiado la fomazioe del motate e cosideado u itevallo ifiitesimo t t + t, iteo ad u itevallo più ampio el quale sia il motate che il tasso istataeo siao fuzioi cotiue (ma idipedeti) di t, potemo scivee I ' () t M ( t + t) M ( t) M ( t) ( t) + t M ε ella quale itediamo l iteesse ell itevallo ifiitesimo t come diffeeziale della fuzioe M f (t), e dalla quale possiamo escludee l ifiitesimo ε t i quato di odie supeioe a t e co limite lim ε pe t. E ipetiamo che l aumeto che subisce i u itevallo t il motate M(t) accumulato fio al mometo t può essee iteuto popozioale sia a tale capitale accumulato, sia alla gadezza dell itevallo tempoale, sia acoa ad u coefficiete δ (t), che fa poco defiiemo. Si tatta di ua elazioe simile a quella che defiisce l accumulazioe I degli iteessi el egime di iteesse semplice (.3.), co la diffeeza che questo I è popozioale o al capitale iiziale, besì al motate M(t) di quel capitale al tempo t. 9

34 Petato I M ( t) M ( t) δ ( t) t E dividedo pe t e passado al limite pe t M ' () t M ( t) δ ( t) equazioe diffeeziale odiaia di pimo odie co l icogita ella fuzioe M(t) della vaiabile t, di cui la isoluzioe M M '() t () t dt δ () t dt lg M () t c e + e defiedo l itegale fa e e icodado di ave sempe posto pe t M, e di cosegueza lg M ( t ) segue M (, ) ( t)dt lg δ e M δ (, ) e e più geealmete, pe qualuque (..) ( ) () t dt () t dt M e δ espessioe che ci dà la fomazioe del motate i egime di capitalizzazioe istataea, e che pe δ costate δ dt δ (..) M ( ) e e ella quale si icoosce la... Si tatta di ua legge geeale di capitalizzazioe, espoeziale cescete e co cocavità volta veso l alto, ed i quato espoeziale ache scidibile. hiameemo questo egime come fiaziaio istataeo. La sua geometia è simile alle espoeziali (co espoete positivo) delle figue 7 e 9. Le fuzioi ivese dell espessioe pecedete si icavao facilmete attaveso i logaitmi. e Segue pue (..3) δ () t ( t) M ' M ( t) d dt lg e M () t cioè il tasso istataeo di iteesse è la deivata logaitmica del motate al tempo t e viee pue chiamato itesità istataea di iteesse o foza di iteesse. 3

35 Nel caso dell iteesse composto, pe δ cost. e M (), a iscoto della..9 e co lo sviluppo i seie logaitmica della i, c e L 3 4 (..4) δ lg ( + ) + + δ δ δ δ δ (..5) e δ L δ + δ! 3! 4! 3 dove, ovviamete, le appossimazioi valgoo pe valoi odiai, e o elevati, di δ e. Iolte, ivetedo i limiti dell itegale ella.., si ha (..6) (, ) () () δ t dt t dt V e e δ 4 espessioe che ci dà la fomazioe del capitale scotato i egime fiaziaio istataeo, e che pe δ costate δ (..7) V (, ) e ella quale si icoosce la.., co la successiva pecisazioe della..4 che al limite δ ρ. Si tatta acoa di ua legge geeale, espoeziale decescete co cocavità ivolta veso l alto, asitotica alle ascisse, scidibile, di geometia simile alle espoeziali (co espoete egativo) delle figue 7 e. Pe aalogia co quato dedotto pe δ (t), potemo defiie come itesità istataea di scoto o foza di scoto V ' (..8) ρ () t V () t () t d dt lge e pe ρ cost. e V (), a iscoto della.. (..9) ρ lg ( d ) d d + d V () t 3 4 d d d d i, c e L 3 4 ρ ρ ρ ρ ρ (..) d e ρ + + L ρ ρ! 3! 4! 3 4 3

36 . La foza di iteesse e di scoto Abbiamo già idividuato la stetta coispodeza fa il egime fiaziaio ad iteesse composto ed il egime fiaziaio istataeo. Ne abbiamo pue dedotto che, el caso più geeale della fomazioe del motate co δ costate, cioè pe δ ( t ) δ, questo tasso istataeo di iteesse vale (..4) (..) δ lg ( + ) i, c e e coicide co il già detemiato tasso omiale (..9), che matua da istate a istate e che è equivalete al tasso auale, oché costate al vaiae del tempo. Il ché sigifica che questa itesità istataea dell iteesse è sempe la stessa, idipedetemete dal motate del capitale i quell istate e dal mometo d iizio dell opeazioe. Oa, dalla.. itesa come legge geeale, e dalla..3, possiamo detemiae l adameto dell itesità istataea di iteesse (o ecessaiamete costate) i fuzioe dei tempi di opeazioe, ua volta coosciuta l espessioe della fomazioe del motate, oppue vicevesa. Ad esempio, se assumiamo la legge fiaziaia ( t) ( t) M + (espessioe del egime ad iteesse semplice) avemo che pe M() e t (..) δ i, s () t + dalla quale isulta che la foza (uguale a pe ) decesce al cescee del tempo co adameto ipebolico e si estigue all asitoto. iò sigifica che l itesità istataea dell iteesse si idebolisce ma mao che il motate cesce; ciò che è ache ituitivo. E se assumiamo che M () t Avemo, sempe co la..3 e co la.6.3 (espessioe del egime di scoto commeciale) d d (..3) δ s, c () t d ( ) 3

37 dalla quale isulta che la foza (uguale a d pe ) cesce ad cescee del tempo ed al dimiuie del capitale, e diveta ifiitamete gade pe, così come i fig., dove d soo messe a cofoto le te leggi aalizzate. Questo cofoto ci fa otae come la scidibilità di u egime fiaziaio sia assicuata dalla idipedeza di u opeazioe dal mometo di u suo iizio o di ua sua ipesa, cioè da δ costate. δ δ δs, d / (-d.) δ i, l (+) δ d δ i,s / (+.),5 t Fig. Adameto della foza di iteesse ei egimi cosideati Ed acoa, se assumiamo al di fuoi dei egimi usuali () t ( k) M + avemo ua itesità k δ + k che pe k ha u adameto uguale alla δ della fi., e pe k se e discosta. i, s Pe quato iguada la foza di scoto ei te egimi cosideati, e icodado dalla..8 che ρ V ( t) d dt () t V () t e pue, dalle..4 e..9, che i egime di iteesse composto il tasso istataeo di iteesse coicide co quello di scoto ed è ( d ) lge ( + ) δ i, c ρ i, c lge si ottegoo facilmete ache le 33

38 ρ i, s δ i, s + () t () t d ρ s, c δ s, c d () t () t oché k ρ δ + k Va iolte icodato quato già fatto ossevae al ap.. i meito ai tassi di iteesse e di scoto, d, ed oa ache pe i tassi istataei δ e ρ; pe agioi di omogeeità co i valoi dei capitali e degli iteessi essi soo umei pui, seza dimesioi, ma coettamete vao itesi come il ecipoco di u tempo, cioè più che mai come delle itesità..3 Fomulaio di sitesi Posticipazioe di capitali (saggio d iteesse, tasso di scoto d) Regime Motate Mf(t) pe t(,) Iteesse semplice ( + ) Scidibilità o Tasso istataeo di iteesse δ + Iteesse composto ( ) + si lg e ( + ) Scoto commeciale d o d d Fiaziaio istataeo δcost e si lg ( ) e + δf(t) δ ( t) dt d M ( t) e si lg e M () t dt 34

39 Aticipazioe di capitali (saggio di iteesse, tasso di scoto d) Regime Iteesse semplice Valoe scotato Scidibilità Mf(t) pe t(,) o + Tasso istataeo di scoto ρ + Iteesse composto Scoto commeciale ( d) Fiaziaio istataeo δcost ( + ) si lg ( ) e + o d d d e si lg ( ) e d δf(t) ρ( t) dt d V ( t) e si lg e V () t dt.4 Leggi fiaziaie o usuali I meito alle leggi fiaziaie fioa esamiate, e che dao la fomazioe del motate di u capitale o del valoe scotato dello stesso i fuzioe del tempo, osseviamo tattasi di leggi egolate da fuzioi algebiche ad ua vaiabile, cosideabili solo pe la pate collocata el pimo quadate di u piao catesiao, co M op. V eguali all uità pe t e, mootòe o decesceti o ispettivamete o cesceti, deivabili i ogi puto el peiodo di tempo cosideato (pe t-). L esisteza della deivata ci cosete di idividuae l itesità istataea dell iteesse o dello scoto pe ogi, itesità che potà essee costate o vaiabile. Alte fuzioi che leghio fa loo capitali-tassi-tempo possoo appesetae leggi fiaziaie, cetamete o usuali, puchè soddisfio a quelle popietà. Tali soo, ad esempio, pe motae e pe scotae, le già cosideate () t ( k) V ( + k) M + co k, appesetate ella Fig. i cofoto co il egime di iteesse composto, e pe le quali si veifica facilmete la o scidibilità, e pue che la foza di iteesse e di scoto è iizialmete tato maggioe quato maggioe è il k, e poi decescete co il pogedie del tempo, co limite pe. 35

40 Va acoa fatto otae che ella Fig. le scale di M f(t) e di V f(t) soo diffeeti, al fie di evideziae meglio gli adameti delle fuzioi; pecauzioe già adottata ei gafici dei egimi usuali. M (+k) ; k M M (+) I M (+k) ; k I I Fig. V (+k) - ; k V (+) - D D D V (+k) - ; k V t.5 L uso bacaio dei egimi usuali Geealmete le bache utilizzao i egimi lieai pe peiodi bevi, ifeioi all ao; cioè l iteesse semplice pe motae e lo scoto commeciale pe scotae. Pe peiodi più lughi si utilizza il egime ad iteesse composto, sia pe motae che pe scotae. Pe peiodi di più uità tempoali oché di fazioi di uità vegoo pue utilizzati ambedue i egimi, i modo misto, come segue (Fig. 3) ' + ' ' ( + ' ') q ' ' ' ' + '' q + q " q > 36

41 Ad esempio, al saggio del 5% e pe l esempio già potato i.5.4, si ha 4 7 M Aalogamete pe scotae q q ( d' ') ' '' V ' + '' ' + I elazioe all esempio ad.6.4:.5 7 V M V ' '' '+ ' '' '+ t Fig. 3 capitalizzazioe M f(t) e scoto V f(t) i egime bacaio misto Nel caso dei coti coeti il egime misto viee geealmete adottato dalle Bache agguppado gioo pe gioo tutte le opeazioi di uguale valuta e moltiplicadoe il saldo pe il umeo dei gioi itecoeti fio al saldo successivo. Alla sommatoia di questi umei su u peiodo pefissato (3, 4, 6, mesi o alto) vegoo applicati i tassi ceditoi e 37

42 debitoi coveuti pe tale peiodo, detemiado gli iteessi da potae a valo capitale alla fie dello stesso. Va acoa icodato che le bache usao u tasso ceditoio pe il cliete disgiuto da quello debitoio del cliete veso la baca ei casi di scofiameto dei coti coeti, od i geee elle somme pestate dalla baca al cliete. No valgoo quidi, ella patica bacaia, le elazioi.4.3 e.6.3. Nel caso di tassi coveuti diffeeti, ma costati pe sottopeiodi di u peiodo più lugo d impego, o saà difficile tovae i motati oppue i valoi scotati co egimi usuali. E il caso del egozio detto a tasso vaiabile, i cui il tasso potebbe pue vaiae istataeamete co legge δ f () t, ipotadoci alle espessioi.. e..6. Va acoa detto che pe ciò che iguada il egime fiaziaio istataeo, ell uso bacaio esso o è coosciuto, e petato l esposizioe fattae semba solo teoica. iò di fatto o è, i quato i vai ambiti ecoomici gli icemeti algebici del capitale soo istataei, e così pue i loo effetti sul eddito e quidi sulla stima dei valoi dei capitali che poducoo eddito i quel modo. Si pesi ad esempio alle poduzioi idustiali a ciclo cotiuo ed alle poduzioi cultuali i geee. 38

43 apitolo ESERIZI E QUESITI - Tovae il saldo al 5 settembe di u ao odiaio (o bisestile) di u coto coete co tasso ceditoio del 4% e debitoio del 8%, co u pimo vesameto di u capitale al 5 febbaio di quell ao, u pelevameto di 5 al 5 maggio ed u vesameto di co valuta 5 luglio. [R.: 5,65] - Al saggio del 5% auo, uguale pe tutti i egimi, dopo quato tempo (i ai e decimali di ao) u capitale uitaio addoppia i egime di iteesse semplice, composto, scoto commeciale, fiaziaio istataeo? A che limite tede il motate i egime di scoto commeciale quado il tempo tede al valoe? [R.:,; 4,7;,; 3,863; ] 3 - Qual è il saggio auo di iteesse al quale è stato impiegato u capitale che i ai si è addoppiato; ei quatto egimi di cui agli esecizi pecedeti? [R.:,;,77;,5;,693] 4 Al tasso di scoto del 8% auo, uguale pe tutti i egimi, di quato tempo (i ai e decimali di ao) occoe aticipae u capitale uitaio peché il suo valoe si dimezzi, ei quatto egimi di cui all esecizio pecedete? A che limite tede questo valoe quado il tempo tede al valoe,5? [R.:,5; 9,6; 6,5; 8,664;.] 5 - Qual è il tasso auo di scoto pe u capitale che, aticipato di ai, viee dimezzato; ei quatto egimi di cui agli esecizi pecedeti? [R.:,99;,669;,5;,693] 6 - Pe quato tempo (i ai e decimali di ao) due capitali e 8 debboo essee impiegati ispettivamete al saggio auo del 5% e del 8%, pe otteee lo stesso motate ei quatto egimi di cui all esecizio? [R.: 4,86; 7,9; 5,; 7,438] 7 - Qual è il tempo (i ai e decimali di ao) di aticipazioe di due capitali e 8, scotati ispettivamete del tasso auo del 8% e del 5%, pe otteee lo stesso valoe, ei quatto egimi di cui all esecizio? [R.: 4,86; 7,9; 5,; 7,438] 8 - Qual è la elazioe fa i tempi di impiego dello stesso capitale ai saggi ispettivamete e (uguali pe tutti i egimi) pechè si fomi lo stesso motate,ei 39

44 quatto egimi di cui agli esecizi pecedeti? osa si osseva? [R.: ; lg q lg q ; ; ] 9 - Qual è la elazioe fa i tempi di aticipazioe dello stesso capitale ai tassi ispettivamete del 3% e del 6%, peché si ottega lo stesso valoe scotato,ei quatto egimi di cui agli esecizi pecedeti? osa si osseva? [R.:,;,97;,;,] - U capitale viee impegato i u opeazioe fiaziaia della duata di due ai al saggio (costate pe ogi peiodo) del 4% auo pe i pimi 6 mesi, del 5% pe i secodi 6 mesi, e del 6% pe l ao successivo. Quale saà il motate al temie dei due ai,ei quatto egimi di cui agli esecizi pecedeti? [R.:,5;,77:,34;,7] - Qual è il saggio di iteesse timestale equivalete ad u saggio semestale del 3%, i egime di iteesse semplice, composto, scoto commeciale? [R.:,5;,49;,5] - U capitale viee impiegato al saggio del % quadimestale. alcolae la foza d iteesse all iizio dell opeazioe e dopo u ao dall iizio, i egime fiaziaio istataeo e co le leggi fiaziaie associate alla fomazioe del motate i egime di iteesse semplice e di scoto commeciale [R.: 5,94%; 6,%; -5,66%; 6,%; -6,38%] Si calcoli azitutti l iteesse equivalete auo 3 - Esamiae se la fuzioe M () t + k co k può essee ua legge fiaziaia pe la fomazioe di u motate e, i caso positivo, se è scidibile e quale e sia l adameto della foza di iteesse [R.: si, o, decescete] - Si esamii i quale quadate è collocata la fuzioe pe ; - se pe M - se il motate al tempo m > impiegato successivamete fio al tempo > m è uguale al motate calcolato diettamete da a ; ( ) () M ' t - quale sia δ pe > ; M t - si esamii, ache gaficamete, l iflueza del paameto k; - si ossevi, ache gaficamete, l adameto del fascio di cuve al vaiae del saggio. 4

45 4 - Esamiae, co le modalità del quesito pecedete, se la fuzioe () ( ) V t + k co k può essee ua legge fiaziaia pe la fomazioe del valoe scotato di u capitale. [R.: si, o, decescete] 5 - Data la legge fiaziaia ( ) ( ) M t co,5, detemiae la foza + d iteesse all iizio di ua opeazioe e dopo u ao dall iizio. [R.:,;,33],4+,8t 6 - Data la legge fiaziaia M () t e detemiae la foza d iteesse. [R.:,8],4+,t +,t 7 - Data la legge fiaziaia M () t e detemiae la foza d iteesse all iizio dell opeazioe e dopo u ao dall iizio. [R.:,;,4] 8 - Scivee la legge di capitalizzazioe i egime fiaziaio istataeo i cui la foza d iteesse è costate,6. [R.:,6t ] 9 - Scivee la legge di scoto i egime fiaziaio istataeo i cui la foza di scoto è costate,6. [R.:,6t ] - Scivee la legge di capitalizzazioe i egime fiaziaio istataeo i cui la foza di iteesse è vaiabile lieamete secodo la δ,4 +,t. [R.:,4t +,t e ] - Detemiae umeicamete la legge fiaziaia M ( t) ( + t) i cui dopo 8 mesi dall iizio dell opeazioe la foza di iteesse è,6. [R.: M(t) (+,659t)] - Detemiae umeicamete la legge fiaziaia V(t) (-dt) i cui co 8 mesi di aticipazioe la foza di scoto è,6. [R.: V(-,55t)] 4