Matematica finanziaria applicata all estimo

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1 Matematica fiaziaia applicata all estimo Pate Uità Nozioi di iteesse e di capitale Uità 2 Aualità costati Uità 3 Peiodicità o poliaualità Uità 4 Poblemi sui edditi tasitoi e pemaeti di u immobile Itoduzioe La matematica fiaziaia ed alte disciplie quali l ecoomia, il diitto civile, la statistica..., soo da cosideasi popedeutiche allo studio dell estimo. Ogi idividuo compie di cotiuo, ello svolgesi della popia vita, delle scelte e delle valutazioi. Queste soo i geee di otevole semplicità o attuate icosciamete, i alti casi soo più complesse e ecessitao della coosceza di elemeti divesi, che costituiscoo il bagaglio tecico-cultuale del pofessioista. La matematica fiaziaia, stumeto ecessaio allo studio dell estimo, è u mezzo pe isolvee detemiati poblemi estimativi, i quato, impostato il pocedimeto, è idispesabile (i ceti casi) icoee ad ua fomula matematica pe espimee i temii quatitativi il valoe di stima. Il calcolo fiaziaio cosete iolte di isolvee poblemi elativi alla tasfomazioe el tempo di valoi dispoibili i tempi divesi. Lo studete che affota lo studio del calcolo fiaziaio tova i geee difficile oietasi ta le umeose fomule, i quato o ha acoa assimilato ua metodologia azioale di studio, pivilegiado ivece l appedimeto memoico. Soltato u appoccio azioale cosetià di impostae e isolvee i poblemi del calcolo fiaziaio applicati all estimo; solo così tale disciplia appaià iteessate e itellettualmete stimolate e cocoeà alla fomazioe cultuale e tecica del pofessioista. Uità 5 Valoi itemedi Uità 6 I ipati

2 2 uità Peequisiti Nozioi di iteesse e di capitale oosceza elemetae del calcolo matematico. oosceze dei cocetti dell ecoomia politica e dell ecoomia agaia. Obiettivi Sape isolvee i poblemi d iteesse e del motate, semplice e composto. ooscee l uso dei fattoi di posticipazioe e di aticipazioe ad iteesse semplice e composto.. Geealità L iteesse (I) è il pezzo pagato pe l uso di u capitale. Viee pagato da chi pede i pestito u capitale a colui che ede dispoibile il capitale. Questo capitale può essee ache capitale immobile, come u fabbicato o u fodo, e i tal caso il pezzo d uso pede il ome di beeficio fodiaio (Bf). L iteesse è pagato posticipatamete; se è pagato i aticipo si chiama scoto o iteesse scotato. Le giustificazioi che vegoo attibuite all iteesse soo divese: a. il pestito o l ivestimeto compota dei ischi e tali ischi meitao u compeso; b. chi pesta si sottopoe ad u sacificio (il quale dovà essee compesato); c. il capitale è pesete i quatità limitata e quidi ha valoe e meita compeso; d. il capitale combiato co alti fattoi poduttivi pemette di edee più poduttivi gli alti fattoi. La patica di dae u compeso a chi pesta deao o cose è molto atica, ma oigiaiamete fu molto biasimata, i quato i geeale il pestito veiva ichiesto a scopo di cosumo e quidi da pesoe poco abbieti. Solo veso la metà del XVIII secolo si comiciò ad affemae l utilità e la ecessità dell iteesse (olte che il pestito a scopo di cosumo si attua sopattutto quello co scopo di ivestimeto poduttivo). L uità di misua dell iteesse è il saggio o tasso o agioe, che si idica co il simbolo () oppue (i). Il saggio è l iteesse di u euo che matua ell uità di tempo (u ao). Può essee espesso i temii uitai =,8 (cioè euo foisce u iteesse di,8 euo el tempo di u ao) o i temii pecetuali = 8% (cioè euo foiscoo u iteesse di 8 euo el tempo di u ao); atualmete le due espessioi si equivalgoo. Il saggio vaia i fuzioe di divesi fattoi, i paticolae: la domada o l offeta di capitali, la ischiosità e la duata dell ivestimeto. Se molti offoo capitali e pochi domadao il saggio saà basso, i caso cotaio saà elevato; iolte la ischiosità dell ivestimeto compota ua sesibile vaiazioe del saggio, questo saà tato più elevato quato più alta è la ischiosità. Pe il tempo d impiego, se questo è molto lugo, cioè divesi ai, ed il capitale molto e- levato, il saggio i liea di massima è alto, data l impossibilità di pote dispoe del capitale pe u ampio aco di tempo. Il saggio pe i pestiti o pe gli ivestimeti fiaziai si stabilisce a pioi e viee cocodato dalle pati; mete pe i capitali ivestiti ella poduzioe (o pe ceti ivestimeti immobiliai) il saggio scatuisce a posteioi, dopo ave coosciuto l esito del bilacio.

3 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 3 Dal appoto ta il eddito etto otteuto (Bf) ed il capitale ivestito ( ) o (V ) scatuisce (come vedemo meglio più avati) il saggio di ivestimeto: = Bf La legge iteviee i vaio modo pe egolae la misua degli iteessi elativi ai capitali pestati: così, ad, gli usuai soo puibili secodo l aticolo 644 del odice Peale: «hiuque appofittado dello stato di bisogo di ua pesoa si fa da questa dae o pomettee, sotto qualsiasi foma, pe sé o pe alti i coispettivo di ua pestazioe di deao o di alta cosa mobile, iteessi o alti vataggi usuai, è puibile co la eclusioe fio a 2 ai e co la multa. Alla stessa pea soggiace chi pocua ad ua pesoa i stato di bisogo ua somma di deao o u alta cosa mobile, facedo dae o pomettee a sé o ad alti, pe la mediazioe u compeso usuaio». Il saggio legale viee fissato dal odice ivile (at. 84) e può essee vaiato da leggi speciali; esso seve essezialmete pe isolvee i casi i cui la legge icoosce che l iteesse è dovuto ma la misua, o essedo dichiaata, esta da detemiae. Attualmete il saggio legale è pai al 3%. Si hao due tipi di iteesse e di cosegueza due modi di calcolali: iteesse semplice: quado gli iteessi matuati el tempo (massimo di u ao) o si sommao al capitale, e imagoo quidi ifuttifei, come se veisseo di volta i volta pelevati; iteesse composto: quado gli iteessi matuati si sommao al capitale e divetao isieme futtifei pe successivi peiodi. Abbiamo le segueti fome di iteesse composto:. iteesse composto discotiuo auo: gli iteessi vegoo aggiuti al capitale che li ha podotti, al temie di ogi ao; 2. iteesse composto covetibile: gli iteessi vegoo aggiuti al capitale più volte el tempo di u ao (ad ogi 6 mesi: iteessi covetibili semestalmete); 3. iteesse composto cotiuo o matematico: gli iteessi si covetoo i capitale ad ogi fazioe ifiitesima di secodo. Tale iteesse è solo teoico e o tova iscoto ella ealtà. ota bee Nelle applicazioi estimative icoeemo esclusivamete all iteesse composto discotiuo auo; quado paliamo di iteesse composto ci ifeiamo popio a questo. L iteesse semplice si applica pe peiodi di tempo o supeioi ad u ao; mete l iteesse composto si applica pe peiodi supeioi all ao, e pecisamete pe multipli itei di ao. Pe calcolae, ad, l iteesse podotto da u capitale i 3 ai e 4 mesi, dovemo calcolae l iteesse composto pe i 3 ai; quidi sul motate otteuto calcoleemo l iteesse semplice pe i estati 4 mesi. Natualmete si può calcolae l iteesse semplice ache pe u peiodo di tempo supeioe all ao (icodado peò che gli iteessi o soo futtifei: basteà moltiplicae l iteesse di u ao pe il umeo degli ai cosideati).

4 4 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo Nelle applicazioi matematico-estimative va chiaito il sigificato e l uso dei saggi da applicasi. Sostazialmete, si possoo distiguee due saggi:. Il saggio di iteesse: il saggio utilizzato i u medio ivestimeto bacaio o commeciale a medio o beve temie. La media è scatuita ta il saggio pecepito sulle somme vesate i coto coete e il saggio pagato alle bache i caso di ichiesta di deao. Oggi possiamo cosideae i modo molto idicativo u saggio medio d iteesse che va dal 2 al 6%. Nei coteggi estimativi il saggio d iteesse si utilizza ad : pe posticipae i podotti e le spese a fie ao, otteedo così il Bf auo da capitalizzae: ( P Sp) = Bf ; pe posticipae i P e Sp alla fie del tuo (ad futteti, boschi); el calcolo del costo iiziale (K ) o fiale (K ) di u miglioameto fodiaio; el calcolo del eddito etto medio auo; ecc. Nel caso di capitali impiegati pe peiodi di tempo molto lughi si potebbe cosideae u saggio d iteesse scatuito dal mecato fiaziaio, saggio che isulta dalla media del edimeto dei titoli picipali (azioi e obbligazioi). 2. Il saggio di capitalizzazioe: il saggio utilizzato pe detemiae il più pobabile valoe dell immobile, ad co la fomula di capitalizzazioe elativa a edditi aui costati posticipati illimitati (come vedemo più avati, el paagafo delle aualità costati): V = Bf Questo saggio deve scatuie dal mecato i base al appoto: Σ Bf sommatoia edditi = = Σ V sommatoia pezzi di mecato (elativi a bei simili). Si detemii il saggio di edimeto o di ivestimeto o di capitalizzazioe di u appatameto, sapedo che: è stato acquistato ad u pezzo di mecato di 25. (V ); ede al popietaio al etto delle spese 8.4 all ao (Bf). Il saggio di edimeto si icava dal appoto: Bf 8. 4 = = = 3, 36% V 25.

5 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 5.2 Si detemii il saggio di edimeto di u fodo ustico della supeficie di 3 ha, sapedo che: è stato acquistato al pezzo di 225. (V ); foisce al popietaio u beeficio fodiaio (Bf) auo di 2.7. Il saggio di edimeto è dato dal appoto: Bf 2. 7 = = = V 225., % ota bee Quado si pocede a stimae u bee immobiliae (u fodo, u fabbicato...) co la fomula di capitalizzazioe: si paleà di stima aalitica o pe capitalizzazioe dei edditi, che cosiste: V = el detemiae il beeficio fodiaio (Bf) auo dal bilacio e ello scegliee il saggio di capitalizzazioe () che deve scatuie dal mecato i base al appoto: Bf Bf = V Σ Bf = sommatoia dei beefici fodiai di bei simili a quello oggetto di stima Σ V = sommatoia dei valoi di mecato di ecete compavedita di bei simili a quello da stimae Il saggio di capitalizzazioe vaia otevolmete da zoa a zoa i elazioe: ai edditi foiti dai bei simili a quello oggetto di stima; ai pezzi di mecato di ecete compavedita. A titolo puamete idicativo possiamo cosideae i segueti saggi di capitalizzazioe: pe i fodi ustici a coltue ebacee: 3% pe i futteti coetaei specializzati: 2 6% pe i fabbicati abitativi: 2 4% pe egozi, uffici: 3 6% La scelta del saggio di capitalizzazioe compota otevoli difficoltà, i paticolae quado il mecato dei bei simili a quello oggetto di stima è poco attivo o iesistete, come vedemo ella pate sull estimo geeale.

6 6 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo.2 Iteesse e motate semplice Alle fomule dell iteesse e del motate semplice si icoe quado si devoo effettuae coteggi pe peiodi di tempo ifeioi all ao o, come limite, uguali ad u ao..2. L iteesse semplice, che si idica co il simbolo (I ), è detemiato dai segueti elemeti: capitale iiziale ( o ): somma pestata o somma ivestita; saggio, tasso o agioe () o (i): iteesse di u euo pe u ao; tempo ( o t): duata del pestito o dell ivestimeto che i tal caso saà al massimo di u ao. L iteesse saà diettamete popozioale al capitale, al saggio ed al tempo, e quidi avà la seguete espessioe: I = m I = g I = 36 (espimedo il tempo i mesi m =. dei mesi) (espimedo il tempo i gioi g =. dei gioi; cosideado l ao solae aziché quello commeciale, il umeo di gioi saà di 365) da cui si può icavae co semplice passaggio matematico: Quado il tempo è esattamete uguale ad u ao si ha = e quidi I =, da cui icavado il avemo: Tale fomula ci pemette di detemiae il capitale cooscedo l iteesse auo podotto ed il ispettivo saggio d iteesse; oppue I I I = = = = I V = Bf quado è oto il eddito auo costate (Bf) ed il ispettivo saggio, detto qui di capitalizzazioe; tale fomula i e- stimo è chiamata di capitalizzazioe peché ci pemette di detemiae il valoe di u bee immobile (V ) oto il Bf auo ed il saggio di capitalizzazioe (come vedemo elle aualità costati posticipate illimitate, appesetate co il gafico a lato): Bf Bf 2

7 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 7 L iteesse si può calcolae ache co il metodo del divisoe fisso (ad el coto coete bacaio): g I = 36 g I = 36 I = N = g (umeo) g = il tempo viee espesso i gioi (divisoe fisso) Quado si debboo effettuae umeosi calcoli di iteessi allo stesso saggio (ad coto coete) coviee usae tale fomula, cioè si divide il bilacio umei (N), otteuto come diffeeza dei umei del dae e dell avee, pe il divisoe fisso (D) ilevato dalle tabelle. Sugli iteessi matuati a fie ao la baca attua la iteuta fiscale pai al 27,5% dell iteesse; vegoo iolte detatte le spese pe la gestioe del coto, otteedo così l iteesse etto iscuotibile. N D D = 36.3 Si detemii l iteesse podotto dai segueti ivestimeti: 3.98,74 impiegato pe 8 mesi al saggio del 3%; 2.65,83 impiegato pe u ao al saggio del 4%;.32,9 impiegato pe 2 mesi e 2 gioi al saggio del 2% (si cosidea il mese di 3 gioi). I = I = 3. 98, 74, 3 8 = 697, I = 2.65,83,4 = 82,63 I =. 32, 9, 2 8 = ,.4 Si detemii il saggio otteuto dai segueti capitali:.87,7 che, dopo u ao, foisce u iteesse di 53,23; 2.582,28 che, dopo 6 mesi, foisce u iteesse di 5,65. I = 53, 23 = =, 3 ( 3%). 87, 7 565, = = , 4 ( 4%).,

8 8 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo.5 Si detemii il capitale ( ) capace di foie i u ao u iteesse di 43,7 al saggio del 2%. = I = 43, 7 2 =2., 658, 5.6 Si detemii il valoe di capitalizzazioe (V ) di u fodo di 5 ha, capace di foie u beeficio fodiaio (Bf) auo costate di 4.5 al saggio di capitalizzazioe dell %. I = o meglio V = V = 4. 5 =45., (più pobabile valoe di mecato del fodo) Bf.2.2 Il motate, detto ache capitale futuo o fiale, si può idicae co il simbolo M o co. Pe defiizioe il motate ( ) è dato dalla somma del capitale iiziale ( ) più gli iteessi (I) matuati i u detemiato peiodo di tempo (), che al massimo è u ao: motate = capitale iiziale + iteessi = + I sostituiamo I = = + accogliamo il a fattoe comue ed avemo: = ( + ) ( + ) = fattoe di posticipazioe ad (I) semplice o u semplice passaggio algebico icaveemo il capitale iiziale ( ) o somma scotata o meglio, pe evideziae il fattoe di aticipazioe: = + = + = + fattoe di aticipazioe o scoto ad (I) semplice

9 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 9.7 Si depositao i baca i segueti ispami: all iizio dell ao 5 e a metà ao 8. Si vuol cooscee il motate () alla fie dell ao al saggio dello,2. ome pima opeazioe si ipotao i valoi sul gafico: 5 8 = 5 ( +, 2) + 8 +, = ( + ) = 5 (,2) + 8 (,) = =.38 Quidi pe tovae il motate semplice basteà moltiplicae il capitale iiziale ( ) pe il fattoe di posticipazioe ( + ). ota bee Si icoda che el isolvee ( + ) pima si moltiplica pe, poi si somma..8 Pe estiguee subito u debito di 3 che scade fa 3 mesi, quato bisoga vesae oggi al saggio di scoto accodato dell 8%? = = 3 +, 8 3 = 294, Quidi pe tovae il capitale iiziale ( ) basteà moltiplicae il capitale futuo ( ) pe il fattoe di aticipazioe ad iteesse semplice: + I coclusioe, u capitale spostato el futuo si tasfoma i motate ( ); spostato el passato, si tamuta i valoe scotato o capitale iiziale ( ) (è da icodae che il o è solo quello ifeito all ao zeo). ota bee È impotate acoa pecisae il picipio fodametale della matematica fiaziaia, secodo il quale o si possoo addizioae, sottae o cofotae ta loo i valoi peseti i tempi divesi se o dopo aveli esi omogeei, ifeedoli allo stesso mometo co l uso dei fattoi pecedetemete tattati.

10 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo.2.3 Mesilità costati posticipate Posticipate sigifica che le ate si veificao alla fie di ciascu peiodo di tempo idicato; i questo caso, alla fie di ciascu mese (m = ata mesile posticipata). m Posticipado, co la fomula pecedete, le sigole ate mesili icaveemo la fomula isolutiva: m = m + m = m m + + m = somma dei tempi futtifei (tale somma scatuisce sommado tutte le fazioi di tempo: m = = m( + 55,) = 55,) La sommatoia da a m coispode al motate ( ). ota bee Pe detemiae la somma dei tempi futtifei (pe mesilità, bimestalità, timestalità...), ivece di sommae le fazioi di mesi i cui matuao gli iteessi, si può pocedee icodado la seguete fomula (che seve pe calcolae il tempo ): =. R 5, 2 + 5,. R = umeo delle ate,5 = se la ata è posticipata +,5 = se la ata è aticipata osì pe le mesilità posticipate avemo 2 5, = 55,. R = R R +. 5, , fomula geeale

11 Uità Nozioi di iteesse e di capitale Bimestalità costati posticipate. R,,, oppue: somma dei tempi 2 5 = = 25 = B (6 + 2,5) Timestalità costati posticipate = T (4 + 2, =,,5) Quadimestalità costati posticipate 3 5 2, = = Q (3 + ) Semestalità costati posticipate 3 = 25, B 3 8 T =,5 4 8 Q = , =, = S (2 +,5) 6 S 6 =,5 I quest ultimo caso o si ispamiao opeazioi di calcolo, ifatti pocededo co la posticipazioe delle ate avemo: = S ( +,5) + S Se i valoi cosideati soo aticipati, cioè ifeiti all iizio di ciascu peiodo di tempo cosideato, i coefficieti moltiplicatoi del saggio saao aumetati di uo, oto che sia il tempo futtifeo dei valoi posticipati (petato, pe le mesilità il coefficiete saà o di 5,5 ma di 5,5 + = 6,5; pe le bimestalità 2,5 + = 3,5, ecc.).. R Oppue si icaveao dalla egola + 5, 2 facedo la somma dei tempi futtifei. peché le ate soo aticipate, oppue

12 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo.9 Mesilità costati aticipate: = m ( + 6,5) 2 + 5, 65 =, m 78 = 6, Somma dei tempi futtifei = 65,, i quato ai si aggiugoo peché la pima ata è all iizio dell ao e quidi matuao gli (I) pe u ao. Bimestalità costati aticipate: , =, B = B (6 + 3,5) e così pe le timestalità, le quadimestalità, le semestalità aticipate = 3,5. U fabbicato è affittato pe 8 mesili aticipati. Si detemii al saggio del 2% il caoe complessivo pecepito dal popietaio a fie ao (cioè compesivo degli iteessi sulle ate), che si appeseta co il simbolo Rpl (Reddito padoale lodo). m = Rpl = = m ( + 6,5) = 8 ( +,2 6,5) = Lo scoto (Sc) è la somma che si detae da u capitale quado lo si vuole aticipae el tempo; scotae o aticipae u capitale ha lo stesso sigificato. Lo scoto può essee calcolato ei due segueti modi. Scoto matematico o azioale Pe detemiae la somma scotata ( ) secodo il metodo matematico basteà detae dal motate o capitale futuo ( ) gli iteessi (I): = = I I = Sc = (Sc = scoto)

13 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 3 saao quidi valide le segueti uguagliaze: = Sc = + I Sc = = I lo scoto matematico è uguale all iteesse cambiato di sego Nei coteggi patici la somma scotata ( ) o si icaveà dall espessioe = poiché il appeseta l icogita, besì dalla fomula vista i pecedeza: = + Pe icavae lo scoto azioale o matematico (Sc m ) saà sufficiete dal motate ( ) togliee il capitale scotato o iiziale ( ): Sc m = Sc m = scoto matematico o azioale Seza calcolae tale diffeeza si può isolvee sostituedo il Sc m = Scm = + Sc Sc m m = + = + + accogliamo il miimo comue deomiatoe semplificado avemo: Sc m = + è l iteesse sul motate scotato all attualità che gli coispode: Sc m = I = Scoto bacaio o commeciale Lo scoto effettuato dalle bache è coteggiato i modo diveso. Matematicamete, come visto i pecedeza, lo scoto (Sc) è calcolato sul valoe iiziale ( ) Sc = I =, mete le bache lo calcolao sul valoe fiale o motate ( ): Sc b = Asvemo quidi: = Sc b = sostituedo lo (Sc b ) avemo: da cui:

14 4 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo = ( ) Quidi matematicamete si usa quest ultima fomula pe calcolae la somma scotata ( ) mediate lo scoto bacaio (Sc b ). Lo scoto applicato dalle bache è quidi maggioe di quello calcolato matematicamete e dà quidi ua somma scotata ( ) più piccola di quella otteuta matematicamete. Se lo scoto bacaio fosse applicato pe lughi peiodi di tempo (più ai) si poduebbeo somme scotate ( ) iisoie, ulle o pesio egative.. Poedo il saggio del 5% pe il tempo = 2 ai, qualuque capitale si aulla completamete: = ( ) = 3.5 (,5 2) = 3.5 ( ) = 3.5 = La legge ammette l uso dello scoto bacaio pe peiodi o supeioi all ao (i quato è basato sulle fomule dell iteesse semplice). I geee pe lo scoto delle cambiali, le bache accettao quelle la cui scadeza o supea i 3 mesi. Nei coteggi estimativi le fomule elative allo scoto bacaio o commeciale o vegoo applicate. Riassumedo si ha: scoto matematico Sc m = + scoto bacaio Sc b = = + = ( )

15 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 5 esecizi svolti alcolo del Bf auo e del eddito medio mesile aticipato Ua villa al mae foisce ei mesi estivi i segueti edditi lodi: all iizio di giugo 4.; all iizio di luglio 5.; alla fie di agosto 6.. Le spese di pate padoale (Spp) ammotao a 2.5 aue cosideate mediamete aticipate. Si detemii al saggio del 4%: il beeficio fodiaio Bf a fie ao; il Bf medio mesile aticipato. Svolgimeto alcolo il beeficio fodiaio a fie ao Bf = Rpl Spp 7 Rpl = , , +. +, = , 4 6 Spp = = Bf = =. 723 alcolo il beeficio fodiaio medio mesile aticipato Dalla fomula del motate di mesilità aticipata, oto il motate che appeseta il Bf auo (.723) icaveemo la mesilità: m 6 = Bf = m( + 65, ) m = + 65,. 723 m = =. 37, 76 +, 4 65,

16 6 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo 2 alcolo del valoe di u appatameto pe capitalizzazioe del Bf U appatameto è affittato ad u caoe auo di. da pagasi i ate bimestali aticipate; le spese padoali (Spp) ammotao a.8 semestali posticipate. Si detemii il valoe dell appatameto sapedo che al mometo della stima il fabbicato ecessita di spese staodiaie pe. da pagasi all iizio di maggio (saggio d iteesse 4%; saggio di capitalizzazioe 3%). Svolgimeto Essedo l affitto auo di. da pagasi i ate bimestali aticipate, calcolo la ata bimestale:. = alcolo il beeficio fodiaio a fie ao Bf = Rpl Spp Rpl = 2. (6 +,4 3,5) =.28 Spp =.8 (2 +,4,5) = Bf = = alcolo il valoe odiaio (V ) V = Bf =. 3 = 288., 33 Detazioe al V : spese staodiaie ifeite al mometo della stima (cioè all iizio dell ao), che dovao essee aticipate di 4 mesi =. +, 4 4 = alcolo il valoe eale (V R ) V R = V = =

17 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 7 3 alcolo del Bf auo U agicoltoe el coso dell ao ottiee i segueti podotti (P) e sostiee le segueti spese (Sp): podotti spese a fie apile 6.97,48 all iizio di mazo.539,37 a fie giugo 4.648, all iizio di luglio 2.65,83 a fie ottobe 8.263,3 a fie settembe.87,6 ogi 4 mesi aticipati 258,23 Si detemii il Bf auo al saggio d iteesse del 2%. Svolgimeto Sul gafico si ipotao sopa i P e sotto le Sp. 6.97, , 8.263, ,37.87,6 2.65,83 Q = 258,23 alcolo il Bf auo: P Sp 8 P = ,, , +, ,, = , 39 Sp = ,, 2. 65, 83 +, ,, + 258, , 2 2 = , 33 ( P Sp ) = 3. 2, 6 ( ) =

18 8 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo.3 Iteesse \ e motate composto L iteesse composto (già defiito i pecedeza) si distigue i: ) discotiuo auo; 2) covetibile; 3) cotiuo. ota bee Nelle applicazioi estimative icoeemo esclusivamete all iteesse composto discotiuo; i patica, dicedo solo iteesse composto, itediamo popio questo. Alle fomule del motate e dell iteesse composto si icoe pe peiodi supeioi all ao..3. Gli iteessi matuati dopo u ao sul capitale iiziale ( ) vegoo a questo sommati, i modo che poducao ell ao successivo u uovo iteesse, e così di seguito Ricaviamo la fomula del motate composto podotto dopo ai. Il motate dopo il pimo ao saà: = + I = + sostituiamo I = (peché il tempo è u ao) accogliamo il ( ) e avemo: = ( + ) il biomio ( + ), che espimiamo co il simbolo q, appeseta il motate di u euo pe u ao = q ( + ) = q Il motate alla fie del secodo ao saà: 2 = + I sostituiamo I = 2 = + 2 = ( + ) 2 = q ma = q (vedi sopa), pe cui: 2 = q q 2 = q 2 e così di seguito 3 = q 3 Quidi avemo dopo ai: = q ( + ) = q q = fattoe di posticipazioe ad iteesse composto

19 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 9 da cui si icaveà il ( ): = q q = fattoe di aticipazioe o scoto ad iteesse composto si tovao già isolti sulle ta- I coefficieti di posticipazioe (q ) e di aticipazioe vole fiaziaie. q. Si depositao i baca i segueti capitali: 6 subito, 9 alla fie del secodo ao. Al saggio del 2% quato si potà ealizzae dopo 5 ai? = q ? 4 5 = 6 q q 3 = 6,4 + 9,6 =.67,48.3 Si devoo pagae i segueti debiti: 5,65 fa due ai e 54,94 fa te ai e mezzo; 258,23 fa quatto ai. ocodado di pagae subito al saggio del 9%, quato si dovà vesae? 3 5,65 54, , = q 565 = q 2 +,,, = 349, 4 q 2 Esamiiamo oa le espessioi ivese che cosetoo di detemiae il saggio e il tempo. Riceca del saggio () Noto il motate ( ), il capitale iiziale ( ) e il tempo (), il saggio è così icavato: = ( + ) ( + ) = + = + =

20 2 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo Riceca del tempo () Noto il motate, il capitale iiziale e il saggio, il umeo degli ai () si ottiee: = q q = o l uso delle tavole fiaziaie si potà stabilie, i coispodeza del coefficiete q più vicio a quello calcolato dal appoto /, il umeo degli ai ()..4 Sapedo che il capitale iiziale ivestito è di 65 e il motate matuato al saggio del 4% è di.27, si detemii il tempo () di ivestimeto. q = q. 27 = = 87237, 65 Dalle tavole fiaziaie al saggio del 4% il coefficiete q più vicio a,87237 coispode a 6 ai: = L iteesse composto matuato dopo ai si ottiee detaedo dal capitale futuo o motate ( ) il capitale iiziale ( ). I = I = scoto composto matematico (si idica ache co Sc) L espessioe può essee isolta i fuzioe o del o del : isolvedo i fuzioe del : I = sostituiamo il ( = q ) I = q accogliamo il ed avemo: I = (q ) isolvedo i fuzioe del : I = sostituiamo il = q I = q q accogliamo il ed avemo: I = q oppue isolvedo all iteo della paetesi: I =

21 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 2 I = q q Questa fomula foisce l iteesse composto o scoto composto matematico. lo scoto composto commeciale è dato dal solo umeatoe: Sc = (q ).5 Aticipazioe di capitali (calcolo del ) Il sigo Rossi deve pagae i segueti debiti:.549,37 fa u ao; 2.582,28 fa 2 ai;.22,4 fa 3 ai e 2 mesi. ocoda co il ceditoe di pagae tutto oggi. Quato dovà vesae al saggio dell 8%?.549, ,28.22,4 alcolo della somma iiziale ( ): = q q ,.,., 2 +, 8 2 = , 78 q 3.6 alcolo del motate composto al 4 ao Il sigo Rossi ha depositato i baca i segueti ispami: 4.3,66 all iizio del ao; 2.685,58 all iizio del 2 ao; 3.356,97 a 2 ai e 3 mesi; 3.98,74 al 4 ao. Si vuol cooscee a quato coispode il motate matuato alla fie del 4 ao al saggio del 2%. 4.3, , , alcolo del motate alla fie del 4 ao: = q q 3 +.,., q +., =., 3.98,74

22 22 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo.7 alcolo dell iteesse composto (I ) Depositado oggi i baca la somma di 3.987,4 al saggio del 2%, a quato ammoteao gli iteessi composti matuati dopo 5 ai? 3.987,4 I Applicado subito la fomula isolutiva avemo: I = (q ) I = 3.987,4 (q 5 ) = 3.222,69 L iteesse composto covetibile si ha quado l iteesse si accumula al capitale e diveta co esso futtifeo ad ogi fazioe costate di ao (ogi semeste, quadimeste, timeste...). Petato più volte i u ao l iteesse si covete i capitale. Idicado co k il umeo di volte i cui gli I si sommao al capitale i u ao (capitalizzazioe semestale k = 2, quadimestale k = 3, timestale k = 4, bimestale k = 6, mesile k = ); le fomule del motate e dell iteesse composto covetibile si ottegoo da quelle già viste i pecedeza, moltiplicado peò il tempo pe k e dividedo il saggio () pe k. Pe il motate composto covetibile avemo: = q sappiamo che q = ( + ) = ( + ) = + k k Pe l iteesse composto covetibile si avà: I = (q ) ma q = ( + ) I = [( + ) ] I k = + k Saggio omiale e saggio effettivo Nel caso della capitalizzazioe composta fazioata gli I podotti vegoo aggiuti al capitale più volte i u ao, petato il motate podotto saà supeioe a quello che si ha i egime di capitalizzazioe composta aua. Il saggio utilizzato pe la capitalizzazioe fazioata saà solo omiale peché quello effettivo o eale saà più elevato, i quato gli I divetao motate più volte i u ao. Pe icavae il saggio effettivo o eale ( e ) basteà togliee u euo dal motate composto covetibile di u euo pe u ao: e k = + k oppue e = k k ( + )

23 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 23.8 Si vuole cooscee il tasso effettivo d ivestimeto di u capitale impiegato pe u ao al saggio dell 8% covetibile semestalmete (cioè 2 volte i u ao: k = 2). e = +, 8 = 8, 6% 2 2, 8 Oppue si isolve co la seguete espessioe: e = + 2, = 8, 6% Saggi equivaleti Due saggi si dicoo equivaleti quado lo stesso capitale, capitalizzato ad iteesse discotiuo auo e ad iteesse covetibile, foisce alla stessa scadeza u motate u- guale. Dato il saggio effettivo ( e ) calcolato i pecedeza, si potà icavae il saggio omiale auo covetibile () come segue: e k = + k k = umeo di volte i cui gli I si sommao al capitale i u ao + e = + k k questa espessioe appeseta la fomula dei saggi equivaleti k + e = + k ( ) k = k + e estaedo la adice (k) dai due membi da cui si icava il saggio omiale covetibile L iteesse composto cotiuo si ha quado gli I matuati ad ogi istate si sommao al capitale pe divetae essi stessi ad ogi istate futtifei. Al calcolo del motate si può aivae co la seguete fomula fiale: = e e = base dei logaitmi atuali o epeiai il cui valoe appossimativo è 2, Tale fomula o si usa elle applicazioi estimative.

24 24 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo Fomule I = iteesse semplice (il tempo è al massimo u ao) = ( + ) motate semplice ( = al massimo u ao) ( + ) fattoe di posticipazioe ad iteesse semplice = + + capitale iiziale o somma scotata ( = al massimo u ao) fattoe di aticipazioe o scoto ad iteesse semplice = q q = ( + ) motate composto ( = più ai) fattoe di posticipazioe ad iteesse composto = q capitale iiziale ( = più ai) = q + ( ) fattoe di aticipazioe o scoto ad iteesse composto I = (q ) iteesse composto, oto il Sc q = q scoto composto matematico, oto il

25 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 25 esecizi da svolgee Iteesse e motate semplice. alcolae l iteesse semplice sui segueti capitali: 6.97,48 al saggio del 6% pe il tempo di u ao; 4.389,88 al saggio del 6% pe mesi; 3.39,38 al saggio dell 8% pe 6 mesi; ,84 al saggio del 7% pe 6 mesi e 2 gioi. 2. alcolae il saggio impiegato sui segueti ivestimeti: u capitale di 5.493,7 ha futtato i u ao 69,75 (I); u capitale di 6.455,7 ha futtato i 8 mesi 43,7 (I); u capitale di 3.29,37 ha futtato i u ao 4.338,24 (I); u capitale di 5.64,57 ha futtato i 6 mesi.32,9 (I). 3. alcolae il capitale ivestito sapedo che: poduce u iteesse di 5.267,86 i u ao al saggio dell 8%; poduce u iteesse di 4.3,66 i 6 mesi al saggio del 2%. 4. Il sigo Rossi deposita i baca i segueti ispami: all iizio dell ao.32,9; all iizio di maggio.87,6; alla fie di luglio 2.892,6; al dicembe 2.65,83. Si detemii il motate a fie ao al saggio del 2%. 5. La sigoa Maisa deve pagae i segueti debiti: alla fie di mazo 3.98,74; alla fie di giugo 4.3,66; all iizio di ottobe 2.582,28. ocoda di saldae subito i suoi debiti all iizio dell ao: quato dovà vesae al saggio di scoto dell 8%? 6. U agicoltoe sostiee le segueti spese: 7.746,85 all iizio di mazo; 4.3,66 all iizio di giugo;.329,4 alla fie di settembe. Si detemii al saggio del 6% la spesa complessiva a fie ao. 7. U appatameto è dato i affitto ad u caoe auo di 7.2 da pagasi i ate mesili aticipate, le spese di pate padoale ammotao al 28% del a cosideate mediamete aticipate. Si detemii il Bf auo ed il eddito etto bimestale aticipato ( = 4%). 8. U appatameto foisce u caoe di affitto di.2 mesili posticipati, le spese padoali (Spp) ammotao a 4 all iizio dell ao e 3. a fie giugo. Nell ipotesi che il cotatto sia odiaio e cotiuativo si detemii il valoe dell appatameto (V ). ( i = 4%; c = 2,5%) ( i = saggio d iteesse; c = saggio di capitalizzazioe) 9. U azieda agaia di 2 ha è data i affitto ad u caoe semestale aticipato di 9.; le Spp ammotao a 5. all ao cosideate mediamete aticipate. Si detemii al saggio del 4% il Bf a fie ao ed il valoe dell azieda (V ) al saggio di capitalizzazioe dell %.. Pe l acquisto di u televisoe vegoo pospettate le segueti modalità di pagameto: i ate mesili posticipate pe u ao di 5,65; i ate timestali aticipate pe u ao di 54,94; pagameto uico alla cosega di 593,93 (oggi). Quale modalità di pagameto è più coveiete pe l acquiete? ( = 6%).. U appatameto al mae, acquistato pe 25., viee affittato ei mesi estivi otteedo i segueti icavi posticipati: giugo e settembe 2.5 mesili; luglio 3.; agosto 3.5. Le Spp ammotao a 2.8 ifeite a fie ao. Detemiae: il Bf del popietaio a fie ao; il Bf medio mesile posticipato; il saggio di futtuosità dell ivestimeto. Il saggio di iteesse pe i coteggi è il 2%.

26 26 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo esecizi da svolgee. Applicado La sigoa Sofia i picipi acquista delle tasfomate u appatameto di Laplace, al pezzo di l atitasfomata 2.; l appatameto delle segueti viee fuzioi. affittato ad si calcoli u caoe auo di 9.5 da pagasi i due ate semestali aticipate, le Spp ammotao a 2.5 da cosideasi a metà ao. Sapedo che il saggio di iteesse pe il calcolo del Bf auo è del 4%, si detemii il saggio di ivestimeto dell appatameto. 3.Vegoo pesetate allo scoto le segueti cambiali: 65 co scadeza fa 3 mesi; 8 co scadeza fa 2 mesi e 2 gioi. A quato ammotao lo scoto azioale (Sc m ) e lo scoto bacaio (Sc b )? ( = 8%) 4. È più coveiete ivestie u capitale di ,84 capace di foie u iteesse auo di.446,6, oppue ivestie u capitale di ,2 capace di foie i u ao u iteesse di 4.79,2? 5.Tasfomae il eddito auo di 3.98,74 i eddito mesile aticipato ed i u eddito bimestale posticipato. ( = 8%) 9.I u azieda si sostegoo le segueti spese:.29,4 all iizio di febbaio; 4.3,66 al di maggio; 6.97,47 a fie settembe. Si detemii la spesa media mesile e bimestale aticipata. ( = 6%) 2.Deposito i baca la somma di 2., a fie ao itio u motate di 2.2. Si chiede il saggio di iteesse applicato. 2.U agicoltoe sostiee le segueti spese: a fie mazo 5. a fie giugo 2. a fie ovembe 8. Si detemii la spesa complessiva a fie ao ( = 3%) 22.U appatameto è dato i affitto pe u caoe mesile aticipato di.2; le Spp ammotao a 3.7 aui cosideate mediamete aticipate. Si detemii il Bf auo, e ell ipotesi che il cotatto sia odiaio e cotiuativo il valoe dell appatameto (V ) ( i = 4%; c = 2,5%) 6. La sigoa Maia è popietaia di u appatameto che cocede i affitto pe u caoe timestale aticipato di 8, le Spp aue soo pai al 32% del Rpl cosideate mediamete aticipate. Si detemii il Bf auo pecepito dalla sigoa. ( = 4%) 7.U appatameto è affittato ad u caoe auo di 5. da pagasi i ate quadimestali aticipate. Le Spp ammotao a 2. all iizio di giugo e 2.5 al 2 di dicembe. Si detemii il Bf auo ed il eddito etto timestale e bimestale aticipato. ( = 4%) 8. Pe u miglioameto fodiaio si sostegoo le segueti spese: 5. a metà ao; 6.5 all iizio di ottobe; 8. a fie ao. Si vuol sapee il costo iiziale della miglioia. ( = 4%)

27 Uità Nozioi di iteesse e di capitale 27 esecizi da svolgee Iteesse e motate composto. Dispoe sul gafico i segueti valoi e calcolae il motate alla fie del 5 ao al saggio del 4%: alla fie del ao.5; alla fie del 2 ao 2.8; all iizio del 3 ao 2.; alla fie del 4 ao 3.5; a 4 ai e 8 mesi U miglioameto fodiaio della duata di 3 ai ha compotato le segueti spese: al ao 5.6; al 2 ao 6.8; al 3 ao 7.9. Si detemii al saggio del 3% il costo fiale (K 3 ) e iiziale della miglioia (K ). 3. La sigoa Elea, che ha u debito di 4.5 che scade fa u ao e 8 mesi, vuole aticipae il pagameto ad oggi. Quato dovà vesae al saggio del 6%? 4. U bosco ceduo che si taglia ogi 6 ai foisce i segueti edditi etti: dalla ceduazioe al 6 ao 9.65; dal sottobosco si icavao all iizio del 3 ao.2 e dopo 4 ai e 6 mesi.3. Si detemii il eddito etto alla fie del tuo (6 ao). Saggio 5%. 5. Si detemii l iteesse composto matuato dopo 5 ai, poedo oggi a futto u capitale iiziale di 3.98,74 al saggio del 4%. 6. Tovae la somma iiziale ( ) dei segueti valoi (solo impostae) Tovae la somma fiale ( ) dei segueti valoi (solo impostae) Devo effettuae i segueti icassi:.6 fa u ao e 2.5 fa 2 ai. Poiché ho bisogo di deao, chiedo il pagameto immediato al saggio di scoto dell 8%. Quato devo icassae?

28 28 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo esecizi da svolgee 9. U agicoltoe ell aco di 3 ai sostiee le segueti spese pe eseguie ua miglioia: all iizio del ao 5.; alla metà del ao 8.; alla fie del ao.; alla fie del 2 ao 5.; alla fie del 3 ao 8.; a 2 ai e 8 mesi 2.. Si detemii il costo della miglioia alla fie del 3 ao (k ) al saggio del 4%.. U bosco ceduo del tuo ecoomico di 8 ai foisce i segueti edditi etti: dalla ceduazioe alla fie del tuo 5.; dallo sfollo all iizio del 5 ao.2; dal sottobosco al 3 ao 8, al 5 ao 9 e al 7 ao.. Si detemii il eddito etto alla fie dell 8 ao al saggio del 4%.. U bosco ceduo del tuo ecoomico di 4 ai foisce i segueti podotti e spese: P: dalla ceduazioe alla fie del 4 ao 2.; dallo sfollo a 8 ai e 3 mesi.8; dal sottobosco al 4 ao 5 al ao.3. Sp: all iizio del tuo 3., alla fie del 4 ao 4.. Si detemii il eddito etto alla fie del 4 ao al saggio del 3%.. Il Sig. Rossi deve al Sig. Vedi le segueti somme: a metà del ao 8.; alla fie del ao.; alla fie del 2 ao 4.. ocoda di pagae i suoi debiti subito (mometo zeo) al saggio di scoto del 6%. Quato dovà vesae? 3. U ivestimeto ha podotto alla fie del 5 ao ua somma di 25.; qual è il capitale ( ) ivestito all iizio del ao al saggio del 6%?

29 29 uità Peequisiti Aualità costati oosceza del calcolo aitmetico e algebico. oosceza del sigificato dei fattoi di posticipazioe e aticipazioe. oosceza del sigificato di cocetti ecoomici applicabili all estimo. 2. Geealità Le aualità costati, che idicheemo co il simbolo (a), soo valoi positivi (cediti, podotti, edditi...) o egativi (debiti, spese...) che si ipetoo costatemete co il medesimo valoe ogi ao. Nei calcoli ecoomico-estimativi fequetemete accade di dove calcolae somme o accumulazioi (fiali, iiziali o itemedie) di ua seie di valoi aui costati, futtifei i agioe composta. Si potebbe a tal fie posticipae le sigole ate aue costati (a) mediate il fattoe di posticipazioe ad iteesse composto (q ); questo compoteebbe u igete mole di calcoli, che saà icodotta a u uica fomula, come vedemo più avati. Le aualità si dicoo vaiabili quado le ate aue o si susseguoo co la stessa etità di valoe; queste aualità possoo vaiae seza citeio, oppue: secodo ua legge matematica, quado aumetao o dimiuiscoo i base a u costate appoto; secodo ua legge ecoomica, quado ispecchiao valoi ecoomici (l aumeto pogessivo dell equo caoe); secodo ua legge atuale, è il caso delle coltue aboee coetaee le cui poduzioi vaiao i elazioe al ciclo. Le aualità che ci iteessao soo quelle costati; queste si distiguoo elativamete alla duata i limitate e illimitate, elativamete alla scadeza i posticipate ed aticipate, o ache mediamete aticipate. Limitate: quado la ata aua si ipete fio alla data pestabilita. Illimitate: quado la ata aua si ipete peeemete, cioè all ifiito (si cosidea u valoe auo ifiito quado si ipete olte 8- ai). Posticipate: quado la ata aua si veifica alla fie di ciascu ao. Aticipate: quado l aualità si veifica all iizio di ciascu ao. Mediamete aticipate: quado l aualità si veifica a metà di ogi ao. I poblemi elativi alle aualità costati soo: Obiettivi Sape isolvee i quesiti di accumulazioe fiale e iiziale di edditi e spese aue costati. Sape icavae la quota aua di eitegazioe e di ammotameto e compilae u piao di ammotameto. Sape isolvee quesiti di capitalizzazioe di edditi aui costati illimitati. la iceca della somma fiale (S ) o accumulazioe fiale al mometo (); la iceca della somma iiziale (S ) o accumulazioe iiziale al mometo zeo (); la iceca della aualità costate i fuzioe della somma fiale (S ) o della somma iiziale (S ); la iceca della somma itemedia (S m ) (è ua cosegueza dell utilizzazioe delle fomule pecedeti).

30 3 Pate Matematica fiaziaia applicata all estimo ota bee L accumulazioe fiale (S ) o iiziale (S ) si può idicae ache co (A ) o (A ). Il seguete schema iassume i vai tipi di aualità costati che abbiamo itodotto. a a a a Posticipate 2... S S Limitate a a a a Aticipate 2... S S Aualità costati a a a Posticipate S Illimitate (olte 8- ai) a a a Aticipate 2... S Delle aualità illimitate compae solo l accumulazioe iiziale (S ) i quato quella fiale o è quatificabile poiché S = (ifiito). 2.2 Dimostazioe Dimosteemo la fomula elativa all accumulazioe fiale (S ) di aualità costati posticipate limitate, dalla quale si otteao poi tutte le alte. a q a q 2 a q a a a a a 2... S S L accumulazioe fiale (S ) si detemia ipotado ogi aualità (a) alla fie dell ao () (scadeza dell ultima ata) co il elativo fattoe di posticipazioe ad iteesse composto (q ).