GM, si ottiene 0 r a

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1 Esecitazione n FIICA PEIMENALE (CL In Edi) (Pof Gabiele Faa) AA / Gaitazione i iaini di scaae un tunnel passante pe il cento della ea e colleante due punti diaetalente opposti della supeficie teeste upponendo tascuabili li attiti e la otazione della ea, quanto tepo ipieeebbe un copo lasciato cadee da una iboccatua pe aiunee l alta esteità del tunnel? Di ce oto si uoe il copo? Quale saebbe la elocità assia da esso assunta? Indicando con M e ispettiaente assa e aio della ea, con la assa del copo e con la sua distanza dal cento della ea, la foza ce aisce sul copo è: e, tenendo conto ce a, si ottiene a d dt aendo posto In definitia 3, Il oto del copo è, dunque, aonico attono al cento della ea, di equazione sen t, pe cui il tepo ipieato pe pecoee il tunnel è alloa pai a ezzo peiodo, cioè t 53 s La elocità assia è quella assunta in coispondenza del cento della ea e ale 3 MAX 7,86 / s

2 i suppona ce il tunnel dell esecizio pecedente non passi pe il cento della ea, a coniuna due punti qualsiasi della supeficie teeste Deteinae il tepo ipieato dal copo a pecoee l inteo tunnel x Dal pecedente esecizio sappiao ce Luno il tunnel aisce sul copo, dunque, la coponente del peso ce ale x F L equazione del oto è quindi: x a a x i tatta ancoa di oto aonico con pulsazione, pe cui t 53 s, coe nel caso pecedente, indipendenteente dalla posizione del tunnel

3 3 Calcolae a quale altezza dall equatoe teeste la foza centifua eualia esattaente la foza peso uccessiaente, ipotizzando ce l equilibio delle due foze si ealizzi al liello del ae, calcolae di quanto il iono saebbe più bee Indicando con x e i aloi della acceleazione di aità ispettiaente a quota x e a liello del ae, dalla lee di x aitazione seue: (I), doe = 6,37 x 6 è il aio della ea La condizione di equilibio delle due foze, indicando con ad / s 8664 la elocità anolae della otazione teeste, è data da x x (II) Dalla (I) e dalla (II) si icaa x k L ipotesi attuale è: (III) e, indicando con la duata di una otazione copleta, si a (IV) Dalle (III) e (IV) si icaa Indicando con = 8664 s l attuale iono sideeo, si aebbe in definitia: 7,6 8 8 NB Non solo il iono isulteebbe 8 olte più bee, a la diezione della caduta libea dei copi saebbe paallela all asse teeste, infatti a oni latitudine λ si aebbe cos cos, copensazione secondo il piano del paallelo 3

4 4 i indicino con d = 3,8 8 la distanza ea-luna, con = 6,4 6 il aio della ea e con = 6, 4 k la sua assa, con =,7 6 e con = 7,4 k ispettiaente il aio e la assa della Luna (a) Deteinae l eneia potenziale di un copo puntifoe di assa situato in una eneica posizione A del capo aitazionale ceato dalla ea e dalla Luna supposte fisse; (b) Diostae ce esiste un unica posizione X di equilibio; (c) Calcolae la inia elocità con cui un azzo ettoe dee abbandonae la supeficie teeste pe aiae in X A L θ ea d Luna X d X (a) Ponendo l eneia potenziale nulla all infinito si a: U A G G e dato ce L = ( +d -d cosθ) / si ottiene L U A U, G d d cos (b) Pe aee l equilibio dee essee F + F L =, il ce è possibile solo in un punto inteno al seento ea-luna nei cui punti le due foze G G anno esi opposti, peciò X d X (con X d), da cui si icaa ( ) X - d X + d =, equazione con adici eali X =,9 d ; X =, d 4

5 Va scatata la soluzione X pecé estena alla coniunente ea- Luna Nueicaente X = 3,4 8, ce è una posizione di equilibio instabile (c ) Vale la conseazione dell eneia eccanica ta la posizione di G G patenza e il punto X : U X d Dato ce l eneia potenziale cesce uoendosi dalla ea a X, il inio aloe si ottiene ponendo (X ) =, il ce copota: G G U X 4 in, / s d 5 Un azzo di assa iene lanciato dalla ea eso il ole con elocità Nota la distanza d ta la ea e il ole, noncé le loo assa, e i loo ai e, calcolae: (a) il aloe * tale ce pe > * il azzo aiuna il ole; (b) la elocità con la quale il azzo iune sulla supeficie solae nel caso (a) F F = d 5

6 6 La isultante delle foze ale G, si annulla quando d *, è dietta eso la ea pe < *, eso il ole pe > * La elocità inia * aldisopa della quale il azzo aiune il ole, è quella ce peette al azzo di iunee a distanza * dal cento della ea con elocità nulla In coispondenza il laoo copiuto conto la foza ale: L* = U ( ) U ( * ) = * * * d d G da cui si icaa L * * (a) la elocità con cui il azzo iune sul ole si ottiene dalla conseazione dell eneia eccanica: d U U da cui si icaa d d G d U U

7 6 Un pianeta P di assa M P = 3 3 k uota attono a una stella su un obita cicolae di aio = 6,7 e con una elocità anolae costante = -6 ad/s Assuendo ce l acceleazione di aità sulla supeficie del pianeta ala = 3,4 /s, calcolae: (a) la assa della stella; (b) il aio del pianeta; (c) la elocità di fua dal pianeta (a) Il pianeta nel capo aitazionale della stella è sottoposto a una foza centale e conseatia: 3 M M P 3 G M P M 4,5 k G (b) La foza aitazionale ce il pianeta esecita su un qualsiasi copo di assa situato sulla sua supeficie è pai al peso del M P P 6 copo stesso: G P 4 P (c) La elocità di fua è, pe definizione, la elocità ce consente a un copo di assa di uscie dal capo aitazionale in cui si toa e di potasi, all infinito con elocità nulla Il suo aloe si ottiene dalla conseazione dell eneia: E k + U = E k + U M P P f G f,3 4 P P / s 7

8 7 Un satellite di assa descie un obita cicolae di aio attono a un pianeta di assa M >>, toae le espessioni dell eneia cinetica, dell eneia eccanica, del oento anolae, del peiodo e della elocità aeolae nel oto di elatio a M Il satellite nel capo aitazionale del pianeta è sottoposto a una foza centale e conseatia: M M G G E k M G L eneia cinetica dipende dal aio dell obita ed è uuale, in M odulo, alla età dell eneia potenziale ce ale: U G pe M cui l eneia eccanica, è data da: E Ek U G neatia, in accodo con il fatto ce il satellite si toa in uno stato leato Il oento anolae, essendo L costante M G, è dato dall espessione: (NB Il oento anolae L è leato all eneia cinetica dalla elazione E k = L /M ) Il peiodo di ioluzione è: 3 Infine, la elocità aeolae ale: d dt L costante 8

9 8 Un satellite atificiale di assa = 8 k pecoe un obita cicolae di aio = 7, 6 attono alla ea deteinae l eneia ce dee essee fonita al satellite pe falo passae ad un obita di aio = 9, 6 L eneia eccanica del satellite ale E M Ek U G L inceento di eneia necessaio a cabiae obita è dato da: E M E E G 4,4 9 J NB Pia opeazione da astonauta: il iento a tea L astonauta dee poessiaente idue il aio dell obita; icodando ce ciò equiale ad auentae la elocità della naicella accendendo i azzi - 9

10 Le aiazioni di eneia ta le due obite di aio e -, tenendo M M conto ce <<, ce E k G e ce U G, sono: M M Ek Ek fin Ek G G in U U fin Uin i eifica dunque ce: E k U, non si consea l eneia? In ealtà l alto U di eneia è pai al laoo esistente copiuto dai as di espulsione dei azzi L astonauta, infatti, dee oientae i azzi in aanti se uole auentae la sua elocità e oientasse i azzi all indieto i as espulsi copiebbeo laoo otoe, con allentaento della naicella e passaio su un obita con aio aioe

11 econda opeazione da astonauta: l aancio Cosa dee fae la MI pe aanciae lo uttle? MI uttle Dato ce e ce 3 pe aiunee lo uttle la MI dee auentae la sua elocità anolae Pe fa questo l astonauta accende i azzi in aanti, potandosi sull obita di aio = -, sulla quale la elocità anolae saà: ' Dato ce ( - x ) = - x + x e pe x<< ( - x ) = - x e in eneale si a ( - x ) n = nx, pe cui:

12 ' Oa la elocità anolae della MI supea di quella dello uttle e quindi dopo un tepo pai a t = / le due naicelle si toeanno sullo stesso aio A questo punto la MI accende i azzi all indieto, allentando fino a aiunee lo uttle sull obita iniziale 9 Un copo di assa cade libeaente da una altezza non tascuabile ispetto al aio teeste Calcolae, tascuando la esistenza dell aia, la elocità finale e il tepo di caduta O

13 3 Indicando con la eneica quota del copo e con l acceleazione di aità al liello del ae, dalla lee di Newton si a: e pe il teoea di conseazione dell eneia d Inteando, si ottiene e pe = si a FIN Calcoliao il tepo di olo: d d t V Con la sostituzione u si ottiene: du u u t V Infine t V accos NB Pe <<, cioè pe si ottenono FIN e t V, elazioni alide supponendo = costante

14 Deteinae il aio dell obita di un satellite eostazionaio, spieando pecé non dipende dalla sua assa Il satellite dee uoesi di oto cicolae unifoe luno un obita sul piano dell equatoe e dee pecoela in un tepo t = 4 L equazione del oto, ispetto a un sistea di ifeiento con oiine al cento della ea e assi fissi ispetto alle stelle è 3 M 7 G 3 4, 6, 6 La soluzione non dipende dalla assa del satellite unicaente pecé il appoto ta la assa aitazionale e la assa ineziale di un copo ale con un eoe di una pate su pati 4 La assia distanza di una coeta dal ole è = 53, ente la inia è = o,88 La elocità della coeta all afelio ale = 9 /s Calcolae la elocità al peielio Nel oto della coeta si consea il oento anolae (oeo la elocità aeolae) e, dato ce in quei punti le elocità sono otoonali al aio ettoe, dee essee: 54,8 3 s 4

15 Un astonae di assa si toa senza popellente icino alla supeficie di un pianeta sfeico di aio e assa M calcolae: (a) la elocità dell astonae ce consente ad essa di entae in un obita cicolae attono al pianeta; (b) il inio aloe della elocità ce consente all astonae di allontanasi indefinitaente dal pianeta (a) L unica foza ce aisce è l attazione aitazionale e questa foza è la foza centipeta ce, pe una oppotuna elocità iniziale dell astonae, poduce un oto cicolae unifoe di aio M G (b) Applicando il eoea di conseazione dell eneia eccanica, ta la posizione iniziale e una posizione eneica, si a: G M G M e l astonae si allontana all infinito ( ) il secondo ebo si iduce a ed è ciao ce è inio pe = i ottiene così M G (elocità di fua) NB i noti ce ale la elazione Pe la ea = 7,9 k/s ; =, k/s Pe la Luna =,7 k/s ; =,4 k/s 5

16 3 Una stazione spaziale di assa si uoe attono alla ea di assa M su un obita cicolae di aio con elocità A un ceto istante dalla stazione iene lanciata una sonda di assa con elocità paallela a, di eso opposto e di odulo pai a olte la elocità di fua dal capo aitazionale teeste Detta = la assa della stazione dopo il distacco della sonda, deteinae: (a) il appoto / ce consente alla stazione di ianee leata alla ea; (b) nell ipotesi pecedente, deteinae l asse aioe dell ellisse descitta da in funzione di (a) Inizialente la stazione si uoe di oto cicolae unifoe, M pe cui la sua elocità ale: G, ente la elocità di fua è Al oento del distacco si consea la qd = da cui si icaa Dai dati del poblea isulta pe cui si a: 3 Affincé la stazione iana leata alla tea occoe ce <, cioè 3, 4 3 (b) Oa >, infatti 3, 3 pe cui l obita di è ellittica e nel oto alono la conseazione del oento anolae ispetto al cento della ea e la conseazione dell eneia 6

17 ciiao le coispondenti elazioni ta la posizione P in cui aiene il distacco della sonda e in cui il ettoe elocità è otoonale al aio ettoe, e il punto P in cui la elocità è di nuoo otoonale al aio ettoe : M M G G M G G M ( G ) Le due soluzioni di questa equazione sono: M la seconda soluzione = coisponde alla posizione del distacco e appesenta il peieo dell obita, ente la pia, tenendo conto ce, 3 e ce, ale = 5,45 e coisponde all apoeo L asse aioe dell ellisse ale alloa a = + = 6,45 b NB Dato ce si anno,83; b 3,6 a a a 7