Teoria marginalista della distribuzione del reddito

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1 Teoia maginalista della distibuzione del eddito Enico Bellino Maggio 28 1 Funzioni di offeta di capitale e lavoo ichiami Nelle lezioni sulla concoenza pefetta si è visto come si deteminano i pezzi dei beni. Pe ciascun bene si ha da un lato una funzione di domanda collettiva, ottenuta aggegando le funzioni individuali di domanda del bene stesso. Dall alto lato si ha una funzione di offeta collettiva di beve o di lungo peiodo. La loo intesezione detemina, al tempo stesso, la quantità scambiata del bene e il suo pezzo di equilibio (vedi figua 1). p D S p D p p S y y ȳ y Beve peiodo Lungo peiodo Figua 1: Equilibio sul mecato di un bene La deteminazione delle emuneazione dei fattoi poduttivi capitale e lavoo, cioè il saggio di inteesse e il salaio unitaio, viene spiegata sulla base della stessa logica domanda-offeta. I consumatoi offianno i fattoi poduttivi, mente le impese li domandeanno. Si è visto che dal poblema di scelta intetempoale si ottiene una funzione individuale di offeta di ispamio, che, salvo eccezioni, è una funzione cescente del saggio di inteesse e che indichiamo con s i () (vedi figua 2). Aggegando le funzioni individuali si ottiene la funzione di offeta di ispamio totale o collettiva: S() = I s i (). i=1 Escludendo i casi eccezionali si ottiene una cuva cescente (vedi figua 3). Dal poblema di scelta fa consumo e tempo libeo si ottiene una funzione individuale di offeta di lavoo, che, salvo eccezioni, è cescente ispetto al salaio unitaio, l s i () (vedi figua 4).

2 s i s i caso nomale caso eccezionale Figua 2: Funzione individuale di offeta di ispamio S caso nomale Figua 3: Funzione di offeta di ispamio collettiva l s i l s i caso nomale caso eccezionale Figua 4: Funzione individuale di offeta di lavoo Aggegando queste funzioni individuali si ottiene la funzione di offeta di lavoo totale o collettiva I L s () = l s i (). Escludendo ancoa i casi eccezionali si ottiene una cuva cescente (vedi figua 5). i=1

3 caso nomale L s Figua 5: Funzione di offeta di lavoo collettiva 2 Funzioni di domanda di capitale e lavoo Passiamo oa alla costuzione delle funzioni di domanda dei fattoi. Esse si ottengono dalla soluzione del poblema della scelta della combinazione dei fattoi che minimizza il costo di poduzione di un dato livello di podotto, ȳ. Un impesa che vuole minimizzae il costo di poduzione di un dato livello ȳ di podotto deve isolvee il seguente poblema: min C = K + L s.v. F (K, L) = ȳ. (1) K,L Pima di isolvee tale poblema sono necessaie due ossevazioni. È necessaio pecisae il significato della vaiabile K, qui usata pe indicae l impiego di capitale. Il temine capitale in economia si ifeisce nomalmente ai mezzi di poduzione podotti, cioè all insieme dei mezzi di poduzione che sono futto di attività poduttiva pecedente, a diffeenza di lavoo e tea, che sono mezzi di poduzione non podotti ma disponibili in natua; sono capitale, pe esempio, i macchinai impiegati, gli stabili all inteno dei quali si svolge l attività poduttiva, i mateiali di consumo utilizzati (es. il cabuante pe un autocao, la cata e il tone pe un negozio che poduce fotocopie), etc. La singola vaiabile K si ifeisce a questo insieme eteogeneo di mezzi di poduzione; essa va dunque intesa come il valoe di tale insieme, non essendo logicamente possibile sommae le quantità impiegate di beni divesi (capannoni impiegati + liti di benzina!). Il concepie la vaiabile K in valoe ape alcuni poblemi di odine logico che la teoia non è stata in gado di isolvee in maniea soddisfacente. Senza entae nel dettaglio si segnala che il poblema pincipale si pone quando l ottica dell analisi viene spostata dal livello della singola impesa a quella dell inteo sistema: infatti mente pe la singola impesa ha senso suppoe, gazie alla solita ipotesi di concoenza pefetta, che i pezzi dei beni capitale impiegati siano dati dall esteno, quando si passa all inteo sistema i salai e il saggio di inteesse e i pezzi di tutti i beni podotti, inclusi quelli usati come beni capitale, sono un incognita da deteminae. Ci si tova petanto nella situazione in cui pe deteminae i pezzi dei beni, i salai e il saggio di inteesse bisogna conoscee il valoe del capitale impiegato in

4 ciascuna impesa; tuttavia pe conoscee tale valoe è necessaio già conoscee i pezzi dei beni capitale, che è pate di ciò che la teoia deve deteminae. 1 La vaiabile è stata usata nell analisi delle scelte di consumo intetempoali pe indicae il saggio di inteesse. Oa qui viene usata pe indicae il pezzo unitaio del capitale. Ciò si spiega ossevando che l acquisizione del capitale necessaio pe potae avanti l attività poduttiva da pate di un impesa ichiede l immobilizzazione di potee d acquisto nei divesi beni capitale che vengono impiegati. Supponiamo che essi siano tutti infinitamente duevoli nel tempo, un ipotesi questa molto estittiva, ma accettabile in pima appossimazione pe alcuni beni capitale (un capannone, pe esempio, è un bene capitale che può duae e imanee ugualmente efficiente fatto salvo lo svolgimento di alcune opee di manutenzione, che in pima appossimazione possono essee tascuate pe tutta la duata della vita di un impesa). I costi che un impesa sostiene pe l impiego di beni capitale infinitamente duevoli sono solo quelli elativi agli inteessi da pagae a chi ha finanziato l acquisto o da imputae ugualmente ai costi dell impesa se tale acquisto è stato fatto con fondi popi dell impesa; tale imputazione all attività poduttiva appesenta il costo oppotunità deivante dal mancato guadagno di non ave potuto impiegae tali fondi in attività altenative. L impoto coispondente al valoe del bene capitale non è invece da imputae all attività poduttiva, essendo il bene infinitamente duevole. in quanto alla fine di tale attività il bene infinitamente duevole è disponibile pe alte destinazioni economiche (pe esempio, il capannone di pima può essee affittato o venduto). Il costo da imputae all attività poduttiva in esame saà K, dove è il costo di una unità di capitale (cioè un euo, visto che in K il capitale è misuato in valoe). Pe i beni capitale cicolante, quelli cioè che che duano un solo peiodo, in quanto si distuggono integalmente nel pocesso poduttivo (pe esempio, il cabuante pe fa funzionae un autocao, la cata e il tone pe le fotocopie, etc.). il costo da imputae all attività poduttiva saà 1 + pe ogni unità (ogni euo) di capitale cicolante impiegato. Una situazione intemedia si avebbe pe tutti quei beni capitale che non hanno vita infinita, ma che duano comunque pe più peiodi poduttivi. In tal caso il costo da imputae all attività poduttiva saà δ + pe ciascuna unità (ogni euo) di capitale investito, dove δ (, 1) indica la quota di ammotamento del capitale ifeita al singolo peiodo (pe es. se un capitale dua dieci peiodi, δ saà all incica pai a 1/1.) Nella ealtà di un impesa saanno impiegati beni capitale con divese duate, da quelli infinitamente duevoli a quelli cicolanti. Dovemmo avee quindi una specificazione complessa dei divesi beni capitale e dei divesi pofili di ammotamento. La scelta di indicae il costo del capitale con il temine K nell espessione contabile del costo coisponde quindi a ipotizzae, implicitamente, che tutti i beni capitale impiegati abbiano vita infinita; è un ipotesi semplificatice, che può essee accettata in pima appossimazione. Come noto le condizioni pe individuae la combinazione ottimale E sono: SMST(K, L) = / F (K, L) = ȳ. (2a) (2b) 1 Ulteioi appofondimenti di tali poblemi esulano dagli scopi del coso intoduttivo di Economia politica; essi tovano spazio in testi più avanzati o nel coso di Analisi economica.

5 (2) è un sistema di due equazioni in due incognite, K ed L, e te paameti,, e ȳ. Le sue soluzioni, K ed L, saannno petanto funzioni di questi paameti, K = K d (,, ȳ) e L = L d (,, ȳ). (3) Se, e ȳ anziché essee consideati paameti dati vengono consideate come vaiabili, sebbene non sotto il contollo dell impesa, le (3) indicano, pe ogni possibile pezzo dei fattoi (e pe ogni possibile livello dato di podotto), le quantità di capitale e di lavoo che l impesa desidea acquisie al fine di minimizzae il costo di poduzione di ȳ. Esse petanto sono chiamate funzioni di domanda condizionate di capitale e di lavoo. L aggettivo condizionate deiva dal fatto che in esse compae, ta gli agomenti, la quantità da podue del bene: le (3) indicano petanto la domanda dei fattoi condizionatamente alla poduzione di ȳ unità di podotto. È possibile veificae che l andamento delle funzioni di domanda ottenute è quello tipico pe tali funzioni (cioè decescente ispetto al coispondente pezzo del fattoe). Supponiamo inizialmente che vai il pezzo del capitale,, e che estino costanti il pezzo del lavoo,, e la quantità di bene che si vuole podue, ȳ. Pe fissae le idee supponiamo che aumenti, pe esempio da 1 a 2 e da 2 a 3 ; ciò significa che il capitale si incaa ispetto al lavoo; agionando in temini analitico-geometici (si veda il gafico supeioe della figua (6)) si vede che un aumento di agisce solo sul secondo membo della (2a); esso ende gli isocosti più inclinati (più ipidi ); l isoquanto invece imane invaiato. Il nuovo punto di equilibio 2 non potà che tovasi lungo lo stesso isoquanto ma spostato più in alto e più a sinista. Ciò significa che l aumento di implica una iduzione dell impiego di K e un aumento dell impiego di L. Dal punto di vista economico possiamo spiegae ciò dicendo che il incao del capitale ispetto al lavoo dà luogo al cosiddetto effetto di sostituzione, in base al quale l impesa sostituisce il fattoe incaato con quello ibassato. Ripotando su alto un gafico (si veda il gafico infeioe della figua 6) i te valoi assegnati a e i te coispondenti valoi di K si osseva che essi si dispongono lungo una cuva decescente (quest ultima si ottiene facendo assumee a tutti gli (infiniti) valoi positivi). La funzione di domanda di capitale è petanto decescente ispetto al pezzo del capitale. Effetto analogo si avebbe se si avesse un aumento di con e ȳ costanti: tale aumento causeebbe una iduzione dell impiego di lavoo (vedi figua 7). A seguito dell aumento del pezzo del lavoo ispetto al capitale l impesa sostituisce il fattoe incaato con quello ibassato. La funzione di domanda di lavoo è petanto decescente ispetto al pezzo del lavoo. 3 Equilibio sul mecato dei fattoi Distibuzione del eddito Siamo oa in gado di mostae come dall equilibio sul mecato dei fattoi emege la teoia maginalista o neoclassica della distibuzione del eddito. Affonteemo tutta l analisi seguendo il metodo dell equilibio paziale: si considea cioè l equilibio su un mecato alla volta, e non si consideano le inteazioni fa i vai mecati. Iniziamo dal mecato dei capitali. Si è appena visto come si ottiene la funzione di domanda di capitale da pate di un impesa. Aggegando ta impese (i saà 2 Pe semplicità suppoemo di avee a che fae con ottimi inteni, sia pima che dopo la vaiazione del pezzo.

6 L 1 < 2 < 3 K 1 > K 2 > K 3 L 3 L 2 E... 3 E E L 1 F (K, L) = ȳ K 3 K 2 K K K d = K d (,, ȳ) K 3 K 2 K 1 K Figua 6: Effetti di una vaiazione di Funzione di domanda di capitale L L L 1 E 1 < 2 < 3 L 1 > L 2 > L L L 2... E. 2 E L F (K, L) = ȳ K K 1 K 2 K L 2 L L d = L d (,, ȳ) Figua 7: Effetti di una vaiazione di Cuva di domanda di lavoo. l indice che identifica la singola impesa) si ottenee la cuva di domanda di capitale totale o collettiva: J K d () = Kj d (,, ) (4) j=1 (si è volutamente talasciato di indicae la dipendenza del capitale domandato da ciascuna impesa dal salaio unitaio e dalla quantità di bene podotto in vista del

7 fatto che, come si è detto, si svolge un analisi di equilibio paziale). È necessaia a questo punto una pecisazione. La quantità di capitale indicata nelle funzioni di domanda delle singole impese, K d (,, ), dovendo entae come agomento nella funzione di poduzione, indica l intea quantità di capitale che deve essee pesente in esse pe suppotae l attività poduttiva. Consideando che il capitale è un fattoe poduttivo che in gan pate imane da un peiodo poduttivo all alto, fatto salvo quella pate che si deteioa da un peiodo all alto (l ammotamento), ciascuna impesa domanda effettivamente sul mecato soltanto la quantità di capitale che deve essee aggiunta a quella che imane dopo il peiodo poduttivo; potemmo definie tale quantità con il temine investimento lodo ( lodo in quanto contiene anche l ammotamento del capitale investito olte che il suo eventuale incemento pe pemettee l espansione della poduzione). In maniea molto udimentale potemmo ottenee la funzione di domanda di investimento semplicemente sottaendo dalla quantità totale di capitale ichiesto dalle impese pe la poduzione, indicato dalla (4), la quantità di capitale già investito in esse, indicata dalla costante K: I() = K d () K. La cuva di offeta di ispamio e di domanda di capitale individuano la configuazione di equilibio del mecato dei capitali: la loo intesezione individua la quantità di ispami e di investimenti di equilibio, S = I, e il saggio di inteesse di equilibio, (vedi figua 8). I() S() I = S K Figua 8: Equilibio nel mecato del capitale In modo analogo la cuva di offeta di lavoo e la cuva di domanda di lavoo individuano la configuazione di equilibio del mecato dei lavoo: la loo intesezione individua il livello di impiego della foza lavoo in equilibio, L, e il salaio unitaio di equilibio, (vedi figua 9). Sono necessaie oa due ossevazioni. a) In coispondenza delle configuazioni di equilibio appena viste si veifica, ovviamente, la piena occupazione dei fattoi; questa popietà è paticolamente ilevante se ifeita al mecato del lavoo. b) Se un mecato si dovesse tovae al di fuoi della configuazione di equilibio si sviluppano all inteno di esso delle foze che sono in gado di ipotalo veso la configuazione di equilibio, con un pocesso di auto-aggiustamento analogo a quello visto pe il mecato dei beni. Supponiamo, pe esempio, che

8 L d () L s () L d L Ls L Figua 9: Equilibio nel mecato del lavoo il salaio unitaio si tovi al livello > ; in tal caso si manifesta un eccesso di offeta, pai a L s L d ; i lavoatoi che al salaio voebbeo lavoae e si tovano disoccupati saanno disposti a offie la loo foza lavoo a un salaio unitaio minoe; in tal modo tutti i lavoatoi già impiegati, pe mantenee il posto di lavoo, dovanno accettae una iduzione del salaio; essa faà così idue l offeta di lavoo e aumentae la domanda: le quantità domandate e offete si muovono così entambe nella diezione dell equilibio. Tale pocesso continueà fino a quando la posizione di equilibio non saà aggiunta. 4 Significato economico delle vaiabili distibutive nell equilibio concoenziale È significativa l intepetazione economica che si può dae ai valoi assunti dalle vaiabili distibutive in coispondenza dell equilibio pe quelle impese che opeano in un egime di concoenza pefetta sia sul mecato dei fattoi che sul mecato del podotto che poducono e vendono. Patiamo dalle condizioni (2) che caatteizzano in una singola impesa la combinazione di impiego dei fattoi che minimizza il costo di poduzione di un dato livello di podotto; in paticolae osseviamo che, poiché si dimosta che dl dk y=ȳ SMST = PMg K, la (2a) può essee i-espessa nella foma PMg L PMg K = PMg L = λ, (2a ) dove λ indica il valoe comune delle due fazioni indicate nella (2a ). Ragionando in temini disceti le poduttività maginali dei due fattoi possono essee espesse ispettivamente dai appoti y K / K( PMg K ) e y L / L( PMg L ), dove y K indica la vaiazione di podotto conseguente alla sola vaiazione K del capitale impiegato (fema estando la quantità impiegata di lavoo) e y L indica la vaiazione di podotto conseguente alla sola vaiazione L del lavoo impiegato (fema estando la quantità impiegata di capitale). La (2a ) diventa peciò Ma se i appoti K y K e L y L K y K = L y L = λ. (2a ) sono fa loo uguali e sono uguali a λ alloa anche il

9 appoto fa la somma dei numeatoi e la somma dei numeatoi saà pai a λ, cioè 3 K + L y K + y L = λ. (2a ) La fazione a pimo membo di (2a ) ha peò un significato economico ilevante, che ci pemetteà di dae un significato al paameto λ: le gandezze K e L sono le vaiazioni di capitale e lavoo che danno luogo, ispettivamente alle vaiazioni di podotto y K e y L, ispettivamente. Il numeatoe a pimo membo della (2a ) indica petanto la vaiazione che subisce il costo totale, CT, quando il podotto viene fatto vaiae di un ammontae totale pai a y = y K + y L ; il appoto a pimo membo della (2a ) è petanto il costo maginale, e quindi possiamo scivee CT y = λ. (2a ) Il paameto λ pesente nella (2a ) è dunque il costo maginale. 4 Tenendo conto 3 Si supponga, in geneale, che a b = c d numeatoi e i denominatoi, cioè a+c b+d cioè ottenuto che ad ; in tal caso c = b ; la fazione ottenuta sommando i ad a+ b, può essee iscitta nella foma b+d = a(1+ d b ) b(1+ d b ) = a b ; si è a b = c d = a + c b + d. 4 Questo isultato è anche ottenibile in maniea più igoosa. Conviene dappima isolvee il poblema di minimizzazione del costo di poduzione di un dato livello di podotto utilizzando il metodo dei moltiplicatoi di Lagange. Le condizioni di pimo odine ottenute dalla lagangiana associata al poblema (1), sono L(K, L, λ) = K + L + λ[ȳ F (K, L)]. L K = : = λ F K, (5a) L L = : = λ F L, (5b) L = : λ F (K, L) = ȳ. (5c) Si ossevi che dividendo la (5a) pe la (5b) e consideando (5c) si ottiene il sistema (2): i due metodi di soluzione, quello geometico e quello analitico, coincidono dunque. Consideiamo oa l effetto sul costo totale di una vaiazione infinitesimale del livello dato della quantità podotta, pai a dy. Calcoliamo a tale scopo la deivata ispetto a y del costo totale, la cui espessione contabile è data da CT = K + L. Teniamo inolte conto di come devono vaiae le quantità impiegate dei fattoi in modo che esse continuino a ispettae le condizioni di ottimalità (5). Si ha dct dy Tenendo conto delle condizioni di ottimalità (5a) e (5b) si ha dct dy = λ F dk K dy + λ F dl L dy = λ ( F dk K dy + F L D alta pate deivando totalmente ambo i membi di (5c) si ha Sostituendo la (7) nella (6) si ha = dk dy + dl dy. ) dl. (6) dy dy = F F F dk dk + dl K L K dy + F dl = 1. (7) L dy che è quanto si voleva dimostae. dct dy = λ, (2a )

10 che in coispondenza dell equilibio di concoenza pefetta il poduttoe uguaglia il costo maginale al pezzo le uguaglianze (2a ) diventano = = p, dalle PMg K PMg L quali si ottiene p PMg K = e p PMg L =. (8) Le (8) espimono il contenuto della teoia maginalista della distibuzione del eddito: in un equilibio di concoenza pefetta l impenditoe spinge l impiego di ciascun fattoe fino al punto in cui il valoe del suo podotto maginale uguaglia la emuneazione unitaia. In questo modo ciascuna delle unità di fattoe impiegata, che pesa singolamente può sempe essee vista come l unità maginale, cioè l ultima impiegata, quella che ha contibuito a podue l ultimo incemento di podotto, cioè PMg K o PMg L, iceve una emuneazione esattamente uguale al valoe (viene moltiplicata pe il pezzo del podotto) di ciò che questa unità di fattoe impiegato ha podotto. L inteazione fa domanda e offeta dei fattoi, cioè il mecato, fa sì che si deteminino delle emuneazioni giuste pe ciascuno dei fattoi di poduzione: esattamente pai al contibuto che ciascuna di esse ha dato al valoe della poduzione. Le uguaglianze (8) possono essee appesentate gaficamente: tenendo conto del fatto che nomalmente la poduttività maginale di un fattoe è una funzione decescente della quantità di fattoe impiegata, cioè la poduttività maginale del capitale è una funzione decescente della quantità di capitale impiegato e la poduttività maginale del lavoo è una funzione decescente della quantità di lavoo impiegata, si appesentano sullo stesso gafico, pe ciascun fattoe, la sua poduttività maginale in valoe, cioè p PMg K (K) pe il capitale e p PMg L (L) pe il lavoo, e la data emuneazione del fattoe stesso (cf. figua 1). Dalla figua 1 si vede infatti che, p PMg K (K j ) p PMg L (L) K j 1 K j K j + 1 K j L j 1 L j L j + 1 Figua 1: Uguaglianze fa il valoe del podotto maginale di un fattoe e la sua emuneazione volendo massimizzae il pofitto, non avebbe senso pe l impenditoe femasi a un impiego di fattoe in coispondenza del quale il valoe di ciò che poduebbe una sua ulteioe dose impiegata (il podotto maginale in valoe del fattoe) fosse supeioe alla emuneazione che deve essee pagata a tale dose: non avebbe senso femasi, ad esempio, in un livello di impiego di capitale pai a K 1 (o di lavoo pai a L 1), in quanto il valoe dell incemento di podotto geneato da un unità aggiuntiva, p PMg K (K 1) (o p PMg L (L 1)), è infeioe a ciò che l impenditoe deve pagae pe acquisie tale dose di fattoe, cioè (o nel caso del lavoo). Discoso analogo e contaio si potebbe fae se l impiego di capitale fosse K + 1 (o L

11 di lavoo L + 1): in quel caso conveebbe idue l impiego del fattoe. Il punto di equilibio è petanto appesentato da K (o da L ), dove, appunto, sono veificate le (8).