Appunti di Controlli Automatici 1 Capitolo 1 Introduzione ai controlli

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1 Appunti di Contolli Automatici Capitolo Intoduzione ai contolli Intoduzione ai sistemi contollati... Schemi a blocchi...3 Modelli matematici...4 Condizioni iniziali...5 Sistemi lineai o non lineai...5 Sistemi stazionai o non stazionai...6 Contolli ad azione dietta e in etoazione...6 Esempio: motoe in coente continua con eccitazione costante...0 Reti coettici e schemi misti...5 Esempio: egolazione di un motoe in coente continua...6 Riepilogo della simbologia...8 MODELLI MATEMATICI DI ALCUNI SISTEMI DINAMICI...0 Metodo deduttivo pe la costuzione del modello matematico di un sistema...0 Modelli dinamici... Cicuiti elettici... Esempio... Sistemi meccanici... Esempio...5 Esempio...7 Oggetti statici ed oggetti dinamici...8 Esempio...8 ESEMPI DI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE...30 Pemessa...30 Amplificazione elettonica: sevomeccanismo di posizione...30 Amplificazione pneumatica...3 Sistemi a segnali campionati...3

2 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Intoduzione ai sistemi contollati L automazione è un complesso di tecniche volte a sostituie l intevento umano, o quanto meno a miglioane l efficienza, nell esecizio di dispositivi e di impianti. Un impotante capitolo della scienza dell automazione è costituito dalla disciplina dei contolli automatici: tale disciplina si occupa dello studio dei dispositivi (detti egolatoi, contolloi o più semplicemente dispositivi di contollo ) mediante i quali si fanno vaiae automaticamente le gandezze libeamente manipolabili di un sistema (detto sistema contollato) in modo che esso subisca l evoluzione nel tempo consideata miglioe possibile. Un sistema è un insieme di pati, dette oggetti o anche sub-sistemi, che opeano in coopeazione ta loo pe un qualche fine comune. Ciascun oggetto è identificato da oppotuni attibuti, ossia da pecise gandezze fisiche legate ta loo da leggi analitiche: queste gandezze fisiche sono genealmente vaiabili nel tempo e le si chiama peciò vaiabili. Le funzioni che appesentano l andamento delle vaiabili nel tempo si dicono segnali. Solitamente, nei sistemi, l evoluzione di alcune vaiabili è conseguenza dell evoluzione di alte: ecco peché si distinguono le vaiabili di ingesso (o vaiabili indipendenti o cause) e le vaiabili di uscita (o vaiabili dipendenti o effetti). Quando, le vaiabili di un sistema sono state suddivise in vaiabili di ingesso e vaiabili di uscita, si pala di sistema oientato. E possibile inolte classificae le vaiabili di ingesso: ci sono infatti le vaiabili manipolabili, ossia quelle il cui andamento può essee imposto abitaiamente, e le vaiabili non manipolabili, dette anche distubi, sul cui andamento nel tempo non si può influie, in quanto casuale o assegnabile ad abitio solo da pate di un alto opeatoe. Essenzialmente, quindi, le vaiabili di ingesso sono classificabili in 3 categoie: ingessi di segnale: ad esempio, se consideiamo un PC, si tatta dei dati battuti su tastiea; ingessi di mantenimento: si tatta di ingessi genealmente contenenti gosse quantità di enegia, spesso necessaie pe il funzionamento del sistema; sempe nell esempio di un PC, un tipico ingesso di mantenimento è la coente elettica di alimentazione. Anche se, genealmente, ad ogni ingesso sono associate mateia, enegia ed infomazioni, gli ingessi di mantenimento taspotano essenzialmente enegia; distubi: si tatta genealmente di azioni che l ambiente esecita sul sistema, divese da quelle azioni che invece sono state volontaiamente pedisposte sul sistema (cioè appunto gli ingessi di segnale e quelli di mantenimento). Sono dunque ingessi indesideati (spesso impevedibili), ma dei quali bisogna necessaiamente tene conto. Lo scopo dei contolli automatici è fondamentalmente quello di pevenie l azione dei distubi sul sistema pogettato. In quest ottica, il compito del contollo è di pedispoe delle azioni in modo tale che il sistema si compoti in un ceto modo (ossia fonisca delle deteminate uscite) a pescindee dalla pesenza di eventuali distubi. Ciò pesuppone, ovviamente, che il sistema possa disciminae, mediante oppotuni meccanismi, i segnali dai distubi: esso deve eagie agli ingessi nel modo voluto, mente non deve invece eagie ai distubi.

3 Intoduzione ai contolli Ogni sistema è sepaato, mediante un confine (fisico o astatto) dall ambiente, ossia da ciò che ciconda il sistema ed è diveso dal sistema stesso. L ambiente scambia con il sistema enegia, mateia ed infomazioni. Mateia Enegia Infomazioni Ingesso Causa Input Affeenza Stimolo AMBIENTE Sistema contollato Uscita Effetto Output Effenza Reazione Mateia Enegia Infomazioni Un sistema deve avee pincipalmente 3 equisiti: autonomia: il sistema deve essee nettamente distinguibile dall ambiente esteno; ciò significa che i legami ta le sue pati intene devono essee molto più foti ispetto a quelli che tali pati hanno con l esteno; coeenza: i legami ta le pati intene devono essee tali da pote distinguee, all inteno del sistema, dei sistemi più piccoli, detti sottosistemi; esilienza: quando il sistema subisce delle sollecitazioni dall esteno e si mette in moto, deve essee in gado di tonae nello stesso stato in cui ea inizialmente non appena le sollecitazioni hanno temine. Noi ci occupiamo solo dei sistemi apeti, che cioè scambiano sia mateia sia enegia sia infomazioni con l ambiente esteno. Schemi a blocchi E molto utile appesentae i sistemi come blocchi e le loo vaiabili come collegamenti dei blocchi con l ambiente esteno o con alti sistemi. I collegamenti sono in genee contaddistinti con fecce oientate veso il sistema se si tatta di ingessi pe il sistema stesso o veso l esteno se si tatta di uscite dal sistema. Il caso più semplice è quello indicato nella figua seguente: v A Sistema contollato ω Si tatta di un sistema ad una sola vaiabile (appesentativo cioè di un unica elazione causa-effetto), in cui l ingesso è appesentato da v A, mente l uscita da ω. Questo tipo di sistemi sono detti S.I.S.O, che sta appunto pe Single Input Single Output, e sono quelli di cui ci occupeemo nel coso. 3

4 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Più complesso è invece il caso seguente: c v A v e Sistema contollato ω i A i e In questo caso, abbiamo un sistema a molte vaiabili, visto che è appesentativo di più elazioni causa-effetto. Modelli matematici Si dice che si conosce un modello matematico di un sistema quando si dispone di equazioni e di paameti che pemettono di deteminae gli andamenti nel tempo delle uscite del sistema, noti che siano quelli degli ingessi. In questi modelli matematici, le vaiabili coispondono in genee a numei eali, che ne costituiscono le misue in pefissate unità, mente i segnali coispondono a funzioni che legano tali numei eali alla vaiabile eale tempo. Il modello matematico di un sistema può essee più o meno accuato; nei contolli automatici, si sacifica spesso la pecisione a favoe della semplicità. Pe i sistemi SISO cui noi siamo inteessati, vedemo che è sufficiente un unica elazione che, a patie dall ingesso, fonisce l uscita: questa elazione pende il nome di funzione di tasfeimento del sistema. Se gli ingessi al sistema isultano costanti pe lunghi peiodi di tempo, è sufficiente utilizzae un modello matematico statico (o puamente algebico), il quale descive il legame ta i valoi degli ingessi (supposti appunto costanti) ed i valoi delle uscite che ad essi coispondono una volta che il sistema abbia aggiunto una condizione di funzionamento in cui TUTTI i segnali siano costanti (si pala di condizione o posizione o stato di equilibio o stato di egime stazionaio). Genealmente, un modello statico è accettabile anche quando la vaiazione nel tempo degli ingessi è sufficientemente lenta in appoto ai tempi di isposta popi del sistema. Il modello statico di un sistema ad una sola vaiabile saà dunque dato dall unica funzione y=f(x) di una sola vaiabile, mente il modello statico di un sistema a molte vaiabili consiste in più funzioni (tante quante sono le uscite) di più vaiabili (tante quanti sono gli ingessi). I modelli matematici statici non sono usati spesso nello studio dei sistemi di contollo, in quanto non danno alcuna infomazione sul cosiddetto egime tansitoio, cioè sull andamento tempoale delle uscite duante il passaggio da uno stato di egime stazionaio ad un alto. In geneale, il pogetto dei dispositivi di contollo è basato invece popio su specifiche iguadanti il compotamento del sistema in egime tansitoio. Pe descivee il compotamento di un sistema in egime tansitoio bisogna icoee ad un modello matematico più geneale, detto modello matematico 4

5 Intoduzione ai contolli dinamico: tale modello è costituito da una o più equazioni diffeenziali espimenti legami non solo ta le vaiabili di ingesso e di uscita, ma anche ta le loo ispettive deivate ispetto al tempo. L inteo coso dei Contolli Automatici è dedicato allo studio delle popietà dei modelli matematici dinamici. Condiiziionii iiniiziiallii In geneale, quando si studia il compotamento di un sistema in egime tansitoio (deteminando l andamento delle uscite coispondente ad un fissato andamento degli ingessi, ossia deteminandone la isposta ad una fissata eccitazione), si suppone genealmente che il sistema sia inizialmente in quiete, ossia che le vaiabili di ingesso e di uscita siano inizialmente tutte nulle e che l uscita (o le uscite) imaebbe nulla se l ingesso (o gli ingessi) non subisse vaiazioni. Se invece questa ipotesi di quiete iniziale non è soddisfatta, l uscita non dipende più solo dall ingesso, ma anche dalla condizione iniziale (o stato iniziale) del sistema. E impotante pecisae che il valoe nullo di una vaiabile può essee un oppotuno valoe di ifeimento, ispetto al quale essa viene misuata, pe cui la condizione di quiete è in patica un qualunque stato di equilibio. Sistemi lineai o non lineai Un modello matematico (o un sistema) si dice lineae quando soddisfa la popietà di sovapposizione degli effetti, che andiamo ad enunciae: supponiamo che il sistema si tovi inizialmente in quiete; supponiamo inolte che esso abbia n ingessi e che x' ( t), x' ( t),..., x' n ( t) e x'' ( t), x'' ( t),..., x'' n ( t) siano due qualunque insiemi di segnali in ingesso a tale sistema; supponiamo anche che il sistema abbia m uscite e che le isposte agli insiemi di segnali di ingesso pima citati siano ispettivamente y' ( t), y' ( t),..., y' m ( t) e y'' ( t), y'' ( t),..., y'' m ( t) ; supponiamo infine di scegliee due qualsiasi costanti eali a e b e di poe in ingesso al sistema il seguente insieme di segnali: ax' ( t) + bx'' ( t), ax' ( t) + bx'' ( t),..., ax' ( t) + bx'' ( t) Alloa, sotto tutte queste ipotesi, diemo che il sistema è lineae se l insieme di isposte coispondente a questo insieme di ingessi è ay' ( t) + by'' ( t), ay' ( t) + by'' ( t),..., ay' ( t) + by'' ( t) Un modello o un sistema che invece non soddisfa questa popietà si dià non lineae. E bene ossevae che ci sono divesi sistemi che ammettono modelli lineai solo a patto che i valoi delle vaiabili non escano da deteminati campi. n m n m 5

6 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Sistemi stazionai o non stazionai Un modello matematico o un sistema, lineae o meno che sia, si dice stazionaio quando soddisfa la popietà di taslazione nel tempo di cause ed effetti, che andiamo ad enunciae: supponiamo che il sistema (ad n ingessi ed m uscite) si tovi inizialmente in quiete; supponiamo che x ( t), x ( t),..., x n ( t) sia un geneico insieme di segnali in ingesso e supponiamo che il coispondente insieme di isposte sia y ( t), y ( t),..., y m ( t) ; supponiamo infine di scegliee una geneica costante eale positiva T e di poe in ingesso al sistema il seguente insieme di segnali: x ( t T), x ( t T),..., x ( t T) Alloa, sotto queste ipotesi, diemo che il sistema è stazionaio se l insieme di isposte coispondente a questo insieme di ingessi è y ( t T), y ( t T),..., y ( t T) Un modello o un sistema che invece non soddisfa questa popietà si dià non stazionaio. In patica, quindi, un sistema è stazionaio (o anche tempo-invaiante) se, taslando l ingesso di una quantità T, esso isponde con la stessa uscita, ma taslata anch essa di T. Se, invece, il sistema isponde con una uscita divesa, alloa non è stazionaio (o anche tempo-vaiante). n m Contolli ad azione dietta e in etoazione Consideiamo un semplice sistema ad una sola vaiabile contollata, nel quale cioè è individuata una sola vaiabile di uscita sul cui andamento nel tempo si vuole e si può influie mediante un apposito egolatoe. Pensiamo, ad esempio, ad un geneatoe elettico, ossia un dispositivo che convete in enegia elettica della enegia fonitagli dall esteno sotto qualche alta foma: Enegia (sotto qualsiasi foma) Geneatoe elettico Enegia elettica L obbiettivo del contollo è quello di mantenee l uscita su un valoe costante nel tempo, ad esempio una tensione fissa sul valoe 0V, a pescindee da eventuali distubi agenti sul geneatoe. E possibile ottenee questa azione di contollo mediante il collegamento illustato nella figua seguente: 6

7 Intoduzione ai contolli Regolatoe m Sistema contollato c y y In questo schema, ispetto al pecedente, è stato inseito un egolatoe a monte del sistema contollato (il geneatoe); il collegamento ta i due è stato effettuato in modo che il egolatoe possa agie su di una vaiabile manipolabile m, detta anche segnale di attuazione (nel caso del geneatoe elettico, potebbe tattasi di un alta tensione elettica olte quella di uscita). L azione del egolatoe si esplica mediante un attuatoe (non ipotato in figua), ossia un dispositivo che povvede a modificae la vaiabile manipolabile popozionalmente ad un segnale fonito dal egolatoe, dato dalla vaiazione di una gandezza fisica adatta pe la tasmissione a distanza dell infomazione (ad esempio una tensione elettica o una coente elettica o una pessione pneumatica). Al egolatoe giungono infomazioni sui valoi di alte vaiabili di ingesso al sistema contollato, sulla vaiabile contollata c (la tensione di 0V nel caso del geneatoe) e su eventuali alte vaiabili di uscita del sistema contollato. Queste infomazioni sono ese disponibili mediante dei tasduttoi (non ipotati in figua), ossia dispositivi che misuano una gandezza e la convetono in un alta di divesa natua fisica, adatta pe la tasmissione a distanza dell infomazione (ad esempio ancoa una tensione elettica o una coente elettica o una pessione pneumatica). Non sempe gli ingessi non manipolabili (cioè i distubi) del sistema contollato possono essee diettamente misuati e convetiti in un segnale da inviae al egolatoe. Inolte, ta gli ingessi non manipolabili si possono includee anche le cosiddette vaiazioni paametiche, cioè le vaiazioni, dovute a qualunque causa (ad esempio ad usua e deteioamenti vai), dei legami ingesso-uscita del sistema contollato. Tali vaiazioni paametiche non possono essee diettamente misuate tamite tasduttoi, ma eventualmente solo dedotte con metodi indietti, vale a die con l elaboazione di alte misue. In questi casi, il tasduttoe è sostituito dall elaboatoe, ma lo schema indicato pima e le consideazioni fatte su di esso consevano la loo validità. Una impotante infomazione che giunge al egolatoe è data dalla vaiabile di ifeimento (o segnale di ifeimento), indicata in figua con : essa condiziona infatti l influenza del egolatoe sulla vaiabile contollata c. Negli appaati di contollo più semplici, l obbiettivo dell azione di contollo è il cosiddetto inseguimento (o assevimento o semplicemente contollo), nel senso che si vuole ottenee la popozionalità, istante pe istante, ta la vaiabile contollata e quella di ifeimento: in temini analitici, un appaato ideale, pogettato pe l inseguimento, deve dunque soddisfae una elazione del tipo c( t) = K( t) 7

8 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo dove la costante K è caatteistica dell appaato ed è chiamata costante di egolazione (o anche costante di contollo). L alto possibile obbiettivo pe l azione di contollo è la cosiddetta egolazione: mente l inseguimento si ha quando l ingesso e l uscita possono avee un andamento tempoale qualsiasi, la egolazione si ha quando sia l ingesso sia l uscita sono delle quantità costanti. L azione di egolazione si ende spesso necessaia in quanto i distubi si oppongono al mantenimento dei valoi costanti desideati. Noi siamo inteessati alle azioni di inseguimento, mente solo in qualche caso paticolae consideeemo poblemi di egolazione. La elazione c(t)=k (t) tipica dell inseguimento implica che la vaiabile contollata dipenda unicamente dalla vaiabile di ifeimento e isulti invece indipendente da tutti gli alti eventuali ingessi (inclusi i distubi) al sistema. Nella patica, pe la pesenza di tali ingessi e pe l inezia del sistema contollato (che non può chiaamente seguie un segnale di ifeimento vaiabile toppo apidamente nel tempo o addiittua discontinuo), la elazione c(t)=k (t) è soddisfatta a meno di un eoe, cioè di uno scato ta il valoe effettivo della vaiabile contollata e quello che idealmente si voebbe ottenee: questo eoe vale cioè e ( t ) = U K ( t ) c ( t ) dove K (t) è l uscita che si voebbe ottenee, mente c(t) è quella che ealmente si ottiene. Si può anche definie un eoe con ifeimento alla vaiabile di ingesso: si avà in questo caso che e ( t ) = ( t ) K c( t) I Le specifiche che delineano la qualità di un appaato di contollo si ifeiscono spesso all andamento nel tempo dell eoe ed al suo valoe in condizioni di egime stazionaio. C è una impotante classificazione dei sistemi contollati, basata sulle infomazioni utilizzate dal egolatoe pe la popia azione di contollo: se il egolatoe opea utilizzando, olte al segnale di ifeimento, solo infomazioni iguadanti gli ingessi del sistema contollato, alloa si pala di contollo ad azione dietta (o in catena apeta) o meglio di contollo in anello apeto (in inglese feedfowad); se, invece, il egolatoe opea utilizzando, olte ad, solo infomazioni iguadanti la stessa vaiabile contollata c ed alte uscite del sistema contollato, alloa si pala di contollo in etoazione oppue in catena chiusa o anche in anello chiuso (in inglese feedback, che significa alimentazione all inveso). In alte paole, un contollo ad azione dietta è caatteizzato dal fatto che il valoe della vaiabile manipolabile non dipende da quello della vaiabile contollata né da quelli di alte vaiabili dipendenti del sistema contollato; non ci sono dunque pecosi chiusi di segnale. Al contaio, in un contollo in etoazione, il valoe della vaiabile manipolabile dipende da quello della vaiabile contollata 8

9 Intoduzione ai contolli e da quelli di alte vaiabili dipendenti del sistema contollato, pe cui è pesente sempe almeno un pecoso chiuso di segnale (detto anello di etoazione). Pe compendee meglio in cosa consista un contollo ad azione dietta, facciamo il seguente esempio: consideiamo un caso di egolazione, in cui si vuol mantenee l uscita su un valoe costante Y0; pe ottenee questa elazione, è possibile pocedee nel modo seguente: si effettuano delle pove sul sistema, sollecitandolo mediante divesi valoi dell ingesso e ilevando le coispondenti uscite; inseiti su un gafico i valoi dell uscita coispondenti ai divesi valoi dell ingesso, si ottiene una cuva intepolante; fissando su questa cuva il valoe Y0, si ottiene il coispondente valoe U0 dell ingesso. Quella appena descitta è una tipica opeazione di taatua. L inconveniente, in un pocedimento di questo tipo, è appesentato popio dalla pesenza di eventuali ingessi, non voluti, che tendano ad alteae il funzionamento pevisto pe il sistema: può tattasi di distubi agenti dall esteno (inclusi pe esempio i fattoi climatici) o di vaiazioni paametiche, cioè distubi povenienti dall inteno del sistema. In entambi i casi, questi fattoi alteano le condizioni sotto le quali è possibile effettuae la taatua così come è stata descitta. Un pocedimento di questo tipo è adottabile solo quando non è ichiesto un elevato gado di pecisione dell uscita e quando si ceca comunque una soluzione economica pe il poblema della egolazione. Se, invece, i magini pe l uscita sono molto più istetti, alloa la soluzione in anello apeto non funziona. Esistono poi due tipi di etoazione: la etoazione è negativa se, immaginando di sezionae in un punto qualsiasi l anello di etoazione, una petubazione del segnale a valle viene ipotata con segno opposto sul segnale a monte del sezionamento; invece, la etoazione è positiva se la petubazione a valle viene ipotata con lo stesso segno sul segnale a monte del sezionamento. Nei sistemi di contollo ad azione dietta, il valoe della vaiabile manipolabile viene deteminato ento il egolatoe in base ad un modello matematico del sistema contollato, senza opeae alcuna veifica sulla ispondenza del valoe della vaiabile contollabile (ossia sul fatto che la elazione c(t)=k (t) sia effettivamente veificata): questi sistemi si definiscono peciò anche contolli pedittivi, mente invece i sistemi di contollo in etoazione sono detti contolli esploativi, in quanto il valoe della vaiabile manipolabile viene deteminato in base alla misua della vaiabile contollata ma anche alla veifica della ispondenza alla elazione c(t)=k (t). C è anche da die che, nella patica, l azione dietta e la etoazione si pesentano genealmente insieme: infatti, poiché le due soluzioni tecniche hanno pegi e difetti complementai, nel pogetto degli appaati di contollo più affinati è oppotuno utilizzale entambe, pe esempio impiegando la metodologia tipica dei contolli ad azione dietta pe miglioae la qualità di un sistema fondamentalmente in etoazione o vicevesa. 9

10 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Esempio: motoe in coente continua con eccitazione costante Consideiamo il motoe in coente continua, con eccitazione costante, appesentato nella figua seguente: Il nosto scopo è quello di contollae la velocità ω del otoe, ossia di costuie un dispositivo che, agendo sulla tensione di amatua va (detta anche segnale pilota pe la funzione svolta nel dispositivo), faccia in modo che sia soddisfatta, istante pe istante, la seguente elazione di popozionalità: ω( t) = K v ( t) C In questa elazione, v è una vaiabile di ifeimento (consistente in una tensione ai capi dell avvolgimento di campo), mente K C (costante di egolazione) è un paameto assegnato. La tensione di ifeimento v si suppone vaiabile molto lentamente o, al limite, costante, in modo che si possa utilizzae pe il sistema un modello statico. E chiao che il motoe costituisce il sistema contollato (detto anche plant). La velocità angolae del otoe è la vaiabile contollata (cioè l uscita), mente la tensione d amatua è la vaiabile manipolabile (cioè una vaiabile di ingesso sulla quale possiamo agie): v a Sistema contollato ω Facciamo l ipotesi che la caatteistica statica del motoe sia sufficientemente stabile e possa essee descitta dalla elazione lineae ω( t) = Kv ( t) (dove K è una costante nota): a 0

11 Intoduzione ai contolli ω ω( t) = Kv ( t) a K v a Si può alloa pensae di impiegae il contollo ad azione dietta il cui schema a blocchi è ipotato nella figua seguente: v Sistema Regolatoe v a ω contollato A K Questo schema si ottiene collegando, in cascata al motoe, un amplificatoe di tensione con guadagno A=K C/K, dotato di uno stadio di uscita sufficientemente potente pe pilotae il cicuito d amatua (in patica, lo stadio di uscita dell amplificatoe costituisce l attuatoe del sistema di contollo). Si ende in questo modo soddisfatta la elazione di popozionalità ω( t) = K v ( t) : ω C ω( t) = K v ( t) C K C v Ci sono tuttavia divesi aspetti negativi pe lo schema appena illustato: in pimo luogo, nel caso in cui la caatteistica statica del motoe, anziché essee lineae del tipo ω( t) = Kv a ( t), sia non-lineae, occoe costuie un amplificatoe con caatteistica ingesso-uscita non-lineae, in modo che la caatteistica complessiva isulti lineae, come ichiesto dalla elazione ω( t) = K v ( t) ; C in secondo luogo, in genee la velocità angolae ω è funzione, olte che della tensione di amatua v A, anche di alte vaiabili (distubi), cosicché un contollo che si basi unicamente sulla validità della elazione ω( t) = Kv a ( t) non può fonie isultati soddisfacenti: se, infatti, all albeo motoe fosse collegato un dispositivo utilizzatoe che sviluppi una coppia esistente c

12 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo vaiabile nel tempo, si veificheebbeo vaiazioni della velocità angolae dovute popio alle vaiazioni di tale coppia. Alloa, supponendo ancoa valido un modello lineae pe il motoe, possiamo scivee, al posto della elazione ω( t) = Kv a ( t), una elazione che tenga conto anche della coppia esistente, cioè una elazione del tipo ω( t) = Kv ( t) Zc ( t) a In questo modo, il sistema ha due ingessi ed il suo compotamento statico può essee appesentato con una famiglia di caatteistiche ingesso-uscita, che in questo caso assume la configuazione appesentata nella figua seguente: ω c =- c =0 c = Z K v a Si tatta cioè di ette divese al vaiae di c. Adesso, il contollo ad azione dietta consideato pima non fonisce più i isultati desideati, in quanto la elazione ω( t) = K C v ( t) non viene più soddisfatta a causa della pesenza, nel modello matematico del sistema contollato, del temine Zc (t). Se il distubo è misuabile facilmente (cosa che non avviene nel caso di una coppia), usando un tasduttoe apposito, che tasmette istante pe istante una tensione elettica popozionale al distubo stesso, si può pensae di neutalizzane o compensane l azione; si giunge in questo modo al egolatoe, sempe ad azione dietta, il cui schema a blocchi è appesentato nella figua seguente: c motoe Z/AK Z + v Sistema Regolatoe v a ω contollato A + K + -

13 Intoduzione ai contolli Ovviamente, si capisce che un egolatoe di questo tipo si complica eccessivamente quando si debba tene conto di tutti i numeosi distubi che possono inficiae la validità della elazione ω( t) = Kv a ( t). Pe questo motivo, conviene icoee ad un contollo in etoazione negativa, ealizzabile secondo lo schema a blocchi appesentato nella figua seguente: motoe Z c v Amplificatoe Sistema v a ω A contollato K e - v t H In patica, è stato eliminato il amo che potava il valoe della coppia c (moltiplicato pe Z/AK) a sommasi alla vaiabile di ifeimento v, mente è stato aggiunto un amo di etoazione coispondente all azione di un tasduttoe: la vaiabile contollata ω viene misuata mediante il tasduttoe che genea un segnale vt(t) inviato al egolatoe; questo segnale viene sottatto al segnale di ifeimento v(t), in modo da ottenee un segnale eoe e(t), che viene inviato all ingesso di un amplificatoe di guadagno A, con stadio di uscita sufficientemente potente da pote pilotae diettamente il cicuito di amatua del motoe. In condizioni di egime stazionaio, sono dunque soddisfatte le seguenti elazioni: ω( t) = Ge( t) Zc ( t) e( t) = v ( t) Hω( t) in cui si è posto G=A K e si è indicata con H la costante di taduzione del tasduttoe che misua ω. Sostituendo nella pima equazione l espessione di e(t) fonita dalla seconda, otteniamo dunque che G ω( t) Gv ( t) GHω( t) Zc ( t) ω( t) ( ) ( ) GH v t Z = GH c t = + + Se dovesse poi valee la condizione G H>>, basteebbe scivee che ω( t) ( ) ( ) H v t Z GH c t Le caatteistiche statiche del sistema complessivo diventano dunque quelle illustate nella figua seguente: 3

14 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo ω c =- Z 0 c =0 c = G + GH Z 0 Z = + GH v Facendo un confonto con quelle ottenute mediante il contollo ad azione dietta, si osseva una minoe sensibilità al distubo appesentato dalla coppia c(t): le divese ette, al vaiae della coppia esistente, sono infatti più vicine ta loo. Un alto vantaggio dello schema in etoazione è che, in base all ultima elazione ottenuta, il legame ta v ed ω tende ad essee indipendente da eventuali vaiazioni subite da A e da K, in quanto tale legame dipende essenzialmente dalla costante H, che è elativa ad un componente lineae e molto stabile. Detto questo, ci possiamo facilmente accogee che un sistema di contollo in etoazione consente di eliminae anche alte cause di eoe. Supponiamo infatti che il legame espesso dalla elazione ω( t) = Kv a ( t) sia soddisfatto in modo molto appossimativo, date le numeose cause di eoe che inficiano la validità di questo semplice modello lineae. Pe tenee conto di queste cause di eoe, possiamo geneicamente scivee che ω( t) = Kv ( t) ± ω ( t) a dove ω(t) appesenta appunto l eoe (tempo-vaiante) dovuto a distubi, a nonlineaità ed a vaiazioni del paameto K. Se questo eoe, come avviene spesso, è limitato (vale a die che ω( t) < ), questo fa si che la velocità angolae effettiva, MAX in funzione della tensione di amatua, sia sempe compesa nella fascia indicata nella figua seguente: ω MAX K v a Assumendo alloa la elazione ω( t) = Kv a ( t) ± ω ( t) come modello matematico del motoe al posto della elazione ω( t) = Kv a ( t) Zc ( t), possiamo pogettae un sistema in etoazione caatteizzato dalle elazioni 4

15 Intoduzione ai contolli ω( t) = Ge( t) ± ω( t) e( t) = v ( t) Hω( t) Sostituendo nella pima equazione l espessione di e(t) fonita dalla seconda, otteniamo dunque che G ω ( t) = Gv (t) GHω(t) ± ω(t) ω (t) = v (t) ± ω(t) + GH + GH Se dovesse ancoa valee la condizione G H>>, potemmo dunque concludee che GH>> ω( t) ( ) H v t ossia che, quanto più G H>>, tanto più l influenza dei distubi, delle non-lineaità e delle vaiazioni dei paameti viene notevolmente idotta, come si deduce dalla caatteistica della figua seguente: ω MAX + GH G + GH v Questo è dovuto appunto alla etoazione, che poduce un segnale che dà luogo ad una vaiazione della tensione di amatua che si oppone a qualunque causa tendente a povocae un valoe di ω diveso ispetto al valoe imposto agendo su v. In definitiva, questo esempio seve a mettee in evidenza i vantaggi dei contolli in etoazione ispetto ai contolli ad azione dietta: l intinseca obustezza dell azione di egolazione in appoto al fatto che il sistema contollato sia inceto, cioè con paameti non noti e/o soggetti a vaiae nel tempo. Ci sono addiittua dei casi in cui il contollo in etoazione è l unico possibile, in quanto il contollo ad azione dietta compoteebbe un eoe inaccettabile. Reti coettici e schemi misti Dalle consideazioni fatte nell esempio pecedente, emegono solo aspetti positivi del contollo in etoazione. In ealtà, il contollo in etoazione ha un punto debole e cioè il fatto che le condizioni che assicuano un buon compotamento in egime stazionaio (vale a die elativa insensibilità ai distubi, alle non-lineaità ed alle vaiazioni paametiche) sono nomalmente in contasto con il equisito di un 5

16 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo soddisfacente compotamento in egime tansitoio. In alte paole, il buon compotamento in egime stazionaio avviene a scapito del buon compotamento in egime tansitoio. Pe scendee ancoa di più nei dettagli, abbiamo pima visto che la etoazione è tanto più efficace quanto maggioe è il cosiddetto guadagno di anello, ossia la costante che caatteizza il tasfeimento di segnale, in condizioni di egime stazionaio, lungo l anello di etoazione: alloa, mantenendo elevato il guadagno di anello, si coe spesso il ischio che il compotamento dinamico non sia soddisfacente. Pe miglioae la isposta del sistema o addiittua pe stabilizzae un sistema instabile senza idue il guadagno di anello (che si vuole elevato pe avee la massima pontezza, la massima pecisione e la massima insensibilità ai distubi), è necessaio inseie, nel dispositivo di contollo, degli oppotuni sistemi di coezione del compotamento dinamico. Questi sistemi pendono il nome di eti coettici e, ento ceti limiti, possono miglioae il compotamento in egime tansitoio, a paità di guadagno di anello. Tuttavia, può anche accadee che, pu icoendo a eti coettici, non si iesca ugualmente a endee compatibile l esigenza di un compotamento soddisfacente in egime tansitoio con quella di una elevata insensibilità alle vaie cause di petubazione. In questi casi è necessaio icoee a schemi misti: si adotta una azione dietta, in genee gossolana, che tende a idue la sensibilità ai distubi più impotanti, e ad una etoazione più pecisa e affinata, che pealto, essendo già neutalizzate le maggioi cause di eoe, non ichiede un guadagno di anello eccessivamente alto e consente peciò un miglio compotamento in egime tansitoio. Genealmente, nei sistemi in etoazione, l instabilità deiva dall inezia e dai itadi popi del sistema contollato: questi fattoi implicano solitamente che l azione coettice sulla vaiabile manipolabile si manifesti pe un tempo eccessivo ispetto a quello stettamente necessaio pe l annullamento dell eoe, il che pota ad una sovacoezione, ossia ad un eoe in senso opposto, che può essee addiittua supeioe all eoe oiginaio: in questo caso di innesca un egime di oscillazioni di ampiezza elevata. Esempio: egolazione di un motoe in coente continua Ripendiamo il caso esaminato nell esempio pecedente, con la diffeenza che ci poniamo come obbiettivo quello di ealizzae una egolazione di ω: vogliamo cioè fae in modo che la velocità del otoe isulti costante nel tempo. v a Sistema contollato ω Pe pima cosa, dobbiamo stabilie come alimentae il motoe; a questo scopo, utilizziamo un ponte addizzatoe, ossia una dispositivo di convesione di coente elettica altenata in coente elettica continua. La caatteistica del ponte è quella che la sua tensione di uscita (cioè la tensione di amatua v a) non è pefettamente continua, ma ha un valoe medio diveso da 0: 6

17 Intoduzione ai contolli vo ( ωt) π π ωt Usando alloa degli oppotuni diodi contollati, possiamo egolae il valoe medio di v a agendo sull angolo di accensione α del ponte. Abbiamo dunque uno schema del tipo seguente: α A v a Sistema contollato ω Pe pilotae α, abbiamo inolte bisogno di un oppotuno cicuito di innesco. Indicata con V i la tensione in ingesso a questo cicuito, isulteà dunque α = f ( V i ) : V i Cicuito di innesco α A v a Sistema contollato ω A monte del cicuito di innesco seve anche un oppotuno contolloe, sulla cui funzione, peò, non ci soffemiamo: C V i Cicuito di innesco α A v a Sistema contollato ω L ultimo componente è un tasduttoe che misui il valoe assunto dalla vaiabile contollata ω: V IN C V i Cicuito di innesco α A v a Sistema contollato ω V D Tasduttoe Solitamente, come tasduttoe in un dispositivo di questo tipo si usa una dinamo tachimetica: si tatta di un geneatoe di coente continua, ad eccitazione costante, 7

18 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo in gado di tasfomae una vaiabile non elettica, quale è appunto la velocità ω, in una vaiabile elettica e, pecisamente, in una tensione. La tensione V IN è quella che alimenta il tutto: il contolloe C confonta V IN con V D (che è popozionale ad ω) e pilota il cicuito in base al confonto. Lo schema pogettato è chiaamente ad anello chiuso, ma si potebbe pensae anche ad uno schema ad anello apeto, che si otteebbe semplicemente eliminando il contolloe ed il tasduttoe. Il poblema dello schema ad anello apeto saebbe essenzialmente legato al cosiddetto distubo di caico, ossia al fatto che il caico alimentato dal motoe è vaiabile e quindi è poco pevedibile. Olte a questo, ci sono anche questioni di influenza della tempeatua sui vai campi magnetici ed anche divesi tipi di vaiazioni paametiche. L insieme di questi distubi endeebbe ω soggetta a vaiazioni toppo gandi pe essee tolleabili, pe cui l anello chiuso è senz alto da pefeie. Nello schema ad anello chiuso, infatti, quale che sia la causa della vaiazione, quest ultima viene ilevata dal contolloe, il quale povvede, ignoando la causa, a compensae la pesenza dell eoe in modo oppotuno. Esso fa dunque in modo da mantenee la condizione di funzionamento desideata, pu non conoscendo nel dettaglio le cause che tendono ad alteala. Si capisce dunque quale sia l impotanza del contolloe, che deve conciliae l elevata pecisione con la quasi cetezza che non si veifichino peicolosi fenomeni di instabilità. Riepilogo della simbologia Pe concludee questa pima pate, ichiamiamo bevemente i temini ed i simboli intodotti nei pecedenti paagafi. Un sistema di contollo totalmente in etoazione coisponde allo schema a blocchi tipico appesentato nella figua seguente: d d d 3 Sistema Regolatoe m c contollato w Tasduttoe di misua In questo schema, è la vaiabile di ifeimento (detta anche set point), m è la vaiabile manipolabile, c la vaiabile contollata, d,d,d3 i distubi, w la vaiabile di etoazione. Lo scopo del dispositivo è quello di endee la vaiabile contollata popozionale, istante pe istante, alla vaiabile di ifeimento. E possibile anche distinguee i vai componenti del egolatoe: 8

19 Intoduzione ai contolli e Reti coettici Amplificatoe di segnale Amplificatoe di potenza e attuatoe m nodo compaatoe w Regolatoe un nodo compaatoe (detto anche ogano di decisione) che esegue la diffeenza ta il segnale di ifeimento e il segnale di etoazione w, geneando il segnale eoe e; quest ultimo ha impotanza fondamentale, in quanto, come si è visto, influenza la egolazione del segnale m in ingesso al sistema contollato: non è impotante sapee quale sia il motivo dell eoe ilevato, ma è impotante solo l azione di coezione che da esso dipende; natualmente, quanto più consistente è l eoe, tanto maggioe saà l azione di coezione ( ); le eti coettici, che sevono ad elaboae il segnale eoe pe ottenee un miglioamento del compotamento dinamico del sistema complessivo; un amplificatoe di segnale; un amplificatoe di potenza; un attuatoe, che deve agie sulla vaiabile manipolabile m del sistema contollato, vaiandola popozionalmente al segnale elaboato ed amplificato. Ricodiamo che, in molti casi, le gandezze vaiabili cui è affidata la tasmissione a distanza dei segnali non sono elettiche (tensioni e coenti), ma meccaniche (taslazioni e otazioni di ogani meccanici e foze) oppue idauliche (pessione di aia o olio all inteno di conduttue). Numeosi tasduttoi, specie i più semplici, foniscono infatti segnali che non sono elettici. La pincipale caatteistica dei sistemi in etoazione è quella pe cui deve essee possibile distinguee gli ingessi di contollo popiamente detti e gli ingessi di distubo. Il compito del contollista è quello di pogettae i sottosistemi C (contolloe) e T (tasduttoe) in modo che l uscita y sia legata all ingesso u nel modo voluto e a pescindee dai distubi e dalla vaiazioni paametiche. E ovvio che la coispondenza ta l uscita e l ingesso è possibile se si ha una descizione matematica, cioè un modello, del sistema contollato (plant). Questo modello deve essee abbastanza fine se si vuole ealizzae un efficiente sistema di contollo. Ricodiamo che l ogano di decisione può tovasi sia nel amo dietto (che è quello che va dall eoe all uscita) sia nel amo di etoazione (che va dall uscita all eoe) sia anche in entambi: in quest ultimo caso, si pala di contollo con due gadi di libetà. 9

20 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Modellllii matematiicii dii allcunii siistemii diinamiicii Metodo deduttivo pe la costuzione del modello matematico di un sistema Esistono due modi divesi pe costuie un modello matematico di un dispositivo eale: modo induttivo: si considea il sistema contollato come una sogente di infomazioni; dalla misua delle vaiabili estene si passa a delle ipotesi... modo deduttivo: si utilizzano quelle leggi, già esistenti, sulle quali sappiamo che si basa il compotamento di deteminati oggetti. Noi siamo inteessati solo al metodo deduttivo, che possiamo schematicamente definie come composto dai seguenti 5 passi: individuae le vaie pati che costituiscono il sistema in esame; individuae gli attibuti che caatteizzano ciascuna di queste pati: natualmente, vanno consideati solo gli attibuti significativi pe i nosti scopi, mente sono inutili tutti gli alti; caatteizzae ogni oggetto individuato mediante un modello matematico: pe esempio, nel caso di un cicuito elettico dobbiamo individuae il legame matematico ta gli attibuti dell oggetto di cui al punto pecedente; stabilie i vincoli ta i vai oggetti: sempe con ifeimento ad un cicuito elettico, si tatta di applicae le leggi di Kichoff, mente, pe un sistema meccanico, si tatta delle leggi della dinamica; eliminae le vaiabili intene e oientae il sistema: bisogna cioè individuae il legame ta l ingesso e l uscita combinando oppotunamente le leggi di cui al punto pecedente. Esaminando un sistema SISO mediante questo metodo deduttivo, si ottiene una elazione, coispondente ad una equazione diffeenziale, del tipo ( n m,,,...,,,,,..., ) f y Dy D y D y u Du D u D u In alte paole, stabilie il compotamento del sistema contollato significa essenzialmente individuae l equazione diffeenziale che lega l ingesso u all uscita y. Questa equazione, in geneale, è piuttosto complessa, ma vedemo che essa si semplifica sotto oppotune ipotesi. = 0 E impotante sottolineae che vale sempe la elazione m n, il che significa che il numeo di ingessi non è mai supeioe al numeo di uscite (anche il caso in cui m=n è un caso limite). Si tatta di un vincolo poveniente da pecise agioni fisiche, del quale non faemo mai a meno. 0

21 Intoduzione ai contolli Modelli dinamici Quando si studia un sistema di contollo in etoazione, dato che non si può pescindee dal poblema della stabilità, è necessaio sevisi di modelli matematici dinamici, espessi da equazioni diffeenziali. Molto spesso, è possibile utilizzae modelli dinamici lineai stazionai, che consistono in equazioni diffeenziali lineai a coefficienti costanti, la cui soluzione è elativamente semplice. In questa sezione vogliamo alloa mostae alcuni esempi tipici di modelli matematici dinamici, allo scopo di illustae i pocedimenti geneali che usualmente si usano pe la loo deduzione e allo scopo di chiaie le inteessanti analogie esistenti ta modelli di sistemi fisici di divesa natua. Ci occupeemo invece in seguito della soluzione delle vaie equazioni diffeenziali con cui avemo a che fae. Cicuiti elettici Sappiamo bene che i cicuiti elettici lineai a paameti concentati sono sistemi complessi appesentabili come inteconnessioni di sistemi elementai o componenti quali esistenze, induttanze, capacità, geneatoi, tasfomatoi ideali e via dicendo. Le equazioni che appesentano il compotamento di questi componenti elettici sono le seguenti: esistoe v( t) = Ri( t) induttoe v t = L di ( t ) ( ) = LDi( t) dt t condensatoe v t = + = C i d Q 0 ( ) ( τ) τ C C D i ( t ) geneatoe di tensione v( t) = V geneatoe di coente i( t) = I N v t = N v t ( ) ( ) tasfomatoe ideale N i ( t) = N i ( t ) 0 0 Esempiio Consideiamo il semplice cicuito RL indicato nella figua seguente: + -

22 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Il semplice fatto di ave disegnato il cicuito appesenta il passo del metodo deduttivo, in quanto abbiamo individuato le pati costituenti il cicuito, ossia il geneatoe, l induttoe e la esistenza. Abbiamo anche individuato gli attibuti significativi di ciascun oggetto ( passo): v R ed i R sono quelli pe il esistoe, ϕ e i L sono quelli pe l induttoe, V g quello pe il geneatoe. Il 3 passo consiste nel tovae un legame ta gli attibuti individuati: in questo caso, si tatta delle equazioni di funzionamento dei singoli elementi cicuitali, ossia v v R L = Ri R dϕ dϕ = = dt di L di L dt (si considea l induttoe come non lineae). Il 4 passo consiste nello stabilie i vincoli ta i vai oggetti: nel caso di un cicuito elettico, si tatta semplicemente di applicae la LKC e la LKT, pe cui abbiamo che LKC i = i = i R L g LKT v + v = v R L g Il 5 passo è infine quello di mettee insieme le ultime 4 elazioni tovate, in modo da tovae il vincolo ta l ingesso (appesentato dalla tensione applicata dal geneatoe) e l uscita (appesentata ad esempio dalla coente nel cicuito): dϕ di Ri + = di dt Questo è dunque il modello matematico del sistema contollato. Ovviamente, questo modello diventa utilizzabile solo a patto di conoscee come vaia il flusso ϕ in funzione della coente i, ossia a patto di conoscee con pecisione la caatteistica dell induttoe non lineae. v g Sistemi meccanici Le equazioni diffeenziali che descivono il moto dei sistemi meccanici si icavano, di egola, espimendo l equilibio delle foze e delle coppie applicate a ciascuna delle pati in movimento. In geneale, così come nel caso dei cicuiti elettici, ci ceca di adottae modelli a paameti concentati, in quanto sono quelli di più facile impiego: pe esempio, in un modello a paameti concentati la massa di una molla, che isulta ovviamente distibuita, si suppoà tascuabile oppue concentata agli estemi della molla stessa. Si ceca anche di adottae modelli lineai, anche se questo implica la limitazione dello studio a vaiazioni elativamente piccole delle gandezze in gioco. Al contaio, nei sistemi meccanici esistono dei fenomeni non-lineai, i quali, pe la discontinuità delle caatteistiche, non sono suscettibili neanche di una lineaizzazione locale. Il più impotante di questi fenomeni è l attito; volendo imanee nel campo dei modelli lineai, bisogneebbe consideae solo l attito viscoso, consistente in una foza F o in una coppia che si oppone al moto ed è

23 Intoduzione ai contolli popozionale alla velocità v, secondo una caatteistica del tipo indicato nella figua seguente: In ealtà, c è spesso anche un attito secco (detto anche attito al distacco), consistente in una foza che equiliba la foza applicata e impedisce l inizio del moto finché questa non supea una ceta soglia Fd, olte la quale il movimento inizia e la foza di annulla. Una appesentazione appossimativa della caatteistica coispondente è ipotata nella figua seguente: Infine, può essee pesente il cosiddetto attito coulombiano, caatteizzato da una foza nulla quando il copo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opposi al moto. La caatteistica coispondente è del tipo seguente: L attito al distacco e l attito coulombiano sono fenomeni tipicamente non lineai, pe cui, finché l appossimazione isulta accettabile, nei modelli matematici si considea il solo attito viscoso. In quest ottica, i sistemi meccanici in moto taslatoio si possono consideae costituiti da componenti elementai dei tipi appesentati nella figua seguente: 3

24 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo La figua a) appesenta una massa, nella quale si manifestano le foze di inezia: appaentemente si tatta di un elemento ad un solo teminale, ma in ealtà ci sono due teminali, in quanto la posizione x è comunque pesa ispetto ad un ifeimento che, pu valendo 0, va comunque tenuto in consideazione. La elazione funzionale pe questo elemento meccanico è f t f t f t M d x ( ) = ( ) ( ) = = MD x dt La figua b) appesenta una molla, in cui si concentano le foze di ichiamo elastico: si tatta di un elemento ideale, a due mosetti, definito dalla elazione ( ) f ( t) = K x ( t) x ( t) nota come legge di Hook, dove x ed x indicano le posizioni dei due estemi della molla ispetto ad un pefissato ifeimento. L idealità di questo elemento deiva dal fatto che lo si suppone pivo di massa e pivo e di attito. Le uniche popietà consideate sono quelle elastiche. Le vaiabili x ed x sono dette vaiabili acoss, mente f è una vaiabile tue. La figua c) indica infine un ammotizzatoe (o stantuffo), in cui si concentano le foze di attito: si tatta sempe di un elemento ideale a due mosetti, dove l idealità deiva sia dal fatto che si tiene conto solo delle popietà di attito sia dal fatto che le due vaiabili acoss (cioè le velocità Dx ed Dx dei due estemi) e la vaiabile tue (cioè la foza f) si suppongono legate da semplice popozionalità dietta: ( x t x t ) BD( x t x t ) f ( t) = B d ( ) ( ) = ( ) ( ) dt In conclusione, quindi, un sistema meccanico saà costituito da un collegamento, più o meno complesso, di questi elementi fondamentali. 4

25 Intoduzione ai contolli Facciamo anche ossevae che le elazioni funzionali appena elencate sono ottenute supponendo che gli estemi dei vai componenti meccanici siano sottoposti a moto taslatoio oizzontale. Esempiio Consideiamo il pototipo della sospensione di una automobile, appesentato nella figua seguente: x M M u Cominciamo col fae qualche ipotesi semplificativa. Stiamo intanto consideando la sospensione di una sola uota, nell ipotesi che il peso dell auto si ipatisca in pati uguali sulle quatto uote; M appesenta la massa dell auto che gava sulla sospensione consideata, mente M è la massa della uota. La sospensione in sé è costituita da una molla e da uno stantuffo, supposto lineae quando invece nella ealtà non è così. Facciamo inolte l ipotesi che si tatti di un sistema di taslazione che possa muovesi solo in diezione veticale. Il suolo appesenta il nosto piano di ifeimento, pe cui abbiamo associato a ciascuna massa una posizione ispetto a tale ifeimento: x appesenta la posizione di M ispetto al ifeimento, mente x appesenta la posizione di M. C è poi da definie la posizione dell estemo libeo della molla infeioe ispetto al ifeimento: la indichiamo con u e la consideiamo come ingesso al nosto sistema. In questo modo, abbiamo stabilito il nosto sistema di ifeimento. Passiamo adesso a scivee le equazioni costituenti dei vai elementi, patendo dall alto: M k B F F F F K B M g = M = k = M = B [( x x ) L ] D( x x ) g D x M k F F F K M g = k = M D = M g [( x u) L ] x (icodiamo che L ed L sono le elongazioni, ispettivamente, della molla e della molla ) 5

26 Appunti di Contolli Automatici - Capitolo Il passo successivo è quello di impoe gli oppotuni vincoli ta queste elazioni. Esistono vai modi pe fae questo: un modo abbastanza comodo è quello di consideae ciascun copo fisico come isolato da tutti gli alti, in modo da tacciae, pe ciascun copo, il diagamma di copo libeo nel geneico istante t. Patiamo alloa dalla massa M : F K F B x M F M F g F K Applicando la legge di Newton, otteniamo Passiamo adesso alla massa M : M F + F + F F F = M g K B K 0 F M x M F B F g F K Il bilancio delle foze dice in questo caso che M F + F + F + F = M g K B 0 Sostituendo le espessioni delle vaie foze e combinando le due equazioni ottenute, peveniamo ad una equazione diffeenziale lineae (in quanto lo sono i vincoli e le elazioni costitutive) del odine, nelle incognite x ed x. Dato che a noi inteessa il legame ingesso-uscita, dobbiamo poi individuae l uscita, che può essee ad esempio la posizione di una delle due masse. 6

27 Intoduzione ai contolli Esempiio Consideiamo un ecipiente, di sezione S, contenente un ceto liquido: q u h q y Siano sy la sezione del tubo di uscita, qu la potata di liquido immessa nel ecipiente e qy la potata di liquido in uscita dal ecipiente stesso. L obbiettivo dell azione di contollo è quello di mantenee costante il livello h di liquido nel ecipiente, pe cui si tatta di un poblema di egolazione. Una volta individuato l oggetto contollato, ce ne seve il modello matematico e questo ci viene fonito dall equivalente, in idaulica, della legge di Kichoff pe i cicuiti: si tatta della legge q q S dh u y = dt E possibile inolte usae il pincipio di Toicelli pe espimee la potata in uscita in funzione di k: isulta infatti che q = ks gh, da cui otteniamo che y y q ks gh S dh u y = dt A questo punto, dobbiamo effettuae l oientazione del poblema, ossia dobbiamo scegliee l ingesso e l uscita: abbiamo poca scelta, in quanto l uscita è ovviamente h, mente l ingesso non può che essee q u. Il passo successivo saebbe quello di integae l equazione diffeenziale ottenuta poco fa, ma è una opeazione tutt alto che semplice. Possiamo alloa pocedee nel modo seguente: in pimo luogo, possiamo povae a cecae un alto modello, che conduca ad una equazione diffeenziale facilmente integabile; una volta integata questa equazione, otteemo una soluzione chiaamente appossimata del nosto poblema e dovemo modificala in modo da tene conto della non-lineaità del sistema. Una opeazione di questo genee pende il nome di lineaizzazione. 7