Elementi di Geometria. Lezione 01

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1 Elementi di Geometi Lezione 01

2 Cpitolo 1 - Entità geometiche elementi L geometi pin, pu tovndo ppliczione ptic in tnti polemi eli dell vit di ogni giono, è un mtei sttt che si ifeisce d oggetti logici che non possono esistee nell eltà: oggetti due dimensioni, cioè oggetti foniti di lghezz e pofondità m ssolutmente pivi di ltezz. È difficile pense oggetti di questo tipo, nche se un fntsioso scittoe del secolo scoso è iuscito descivee in un gustoso cconto un mondo in cui vivono essei due dimensioni 1. L geometi peò, come l mtemtic, è un disciplin st su un logic fee. Ess si s su lcune ssunzioni considete vee nche se non sono dimostili, dette postulti, e su ffemzioni, dette teoemi, l cui veidicità è dimostt sull se dei postulti. Il punto e l ett L elemento di se più semplice dell geometi è il punto ( ) che è un entità geometic piv di dimensioni. Un punto cioè non si può misue peché non h né lghezz, né pofondità né ltezz, eppue esiste (questo è un pimo postulto). Se consideimo due punti distinti, cioè non coincidenti, esiste un sol posizione d cui tgudndo uno si tgud nche l lto (Figu 1), cioè i due punti semno sovpposti. Se in quest stess diezione ponimo infiniti punti continu d esistee un sol posizione, l stess di pim, in cui tgudndo tutti questi punti si h l impessione di vedene uno solo. Ntulmente d un posizione dives i punti si vedono distintmente. Un seie di punti llineti in questo modo fomno quell che si chim un ett. L ett dunque è un insieme di infiniti punti llineti ed è ess stess infinit. Un ett si pesent come un ig, di cui evidentemente possimo disegne solo un pte, m doimo pense che ess si estende ll infinito si in un veso che nell lto 2. D qunto detto fino isult evidente che pe due punti 3, e B, pss un sol ett, mente pe un punto,, possono psse infinite ette (Figu 2). L insieme di tutte le ette di un pino che pssno pe un punto si chim fscio di ette. 1 Fltlndi di Edwin. ott ( ), scittoe inglese 2 Un ett si indic nomlmente con un lette minuscol 3 Un punto si indic nomlmente con un lette miuscol 1

3 Punto: entità geometic senz dimensioni Punti llineti. L ett è un insieme di infiniti punti llineti ed è ess stess infinit Minuscol Figu 1 Il punto e l ett Pe due punti pss un ed un sol ett Miuscol B Pe un punto pssno infinite ette Figu 2 Popietà del punto e dell ett 2

4 L semiett e il segmento Un punto di un ett l divide in due pti, ciscun delle quli pende il nome di semiett che h oigine nel punto e si estende ll infinito dll lt pte. Un pte di ett compes f due punti, come il ttto B nell (Figu 3), si chim segmento. I due punti e B si chimno gli estemi del segmento. Il segmento h quindi un dimensione finit che può essee misut. Questo pemette nche di stilie un confonto f due segmenti e veifice se sono uguli o qule è mggioe o minoe dell lto. Pe effettue il confonto i due segmenti B e B (Figu 4) si sovppongono in modo che un estemo del secondo si sovpposto sul pimo, su, e si ossev l posizione di B. Se questo cde ll inteno del pimo segmento, B è mggioe di B (B > B ). Se cde popio su B, i due segmenti sono uguli (B = B ). Se cde ll esteno del segmento, B è minoe di B (B < B ). Il pino Un lto degli elementi di se dell geometi è il pino di cui pelto non esiste un definizione pecis. Il concetto di pino (Figu 5) si icv pensndo d un supeficie omogene e continu come potee essee l supeficie tnquill di un lgo in ssenz di vento, non limitt dlle sponde m estes ll infinito. L ctteistic pinciple di un pino inftti è popio l su estensione senz limiti, così come estes senz limiti è l ett. L posizione di un pino peò non è necessimente oizzontle come l supeficie di un lgo. Un pino inftti può essee veticle come l pete esten di un edificio o inclinto come un tetto spiovente, m in ogni cso le supefici devono considesi idelmente estese ll infinito. Qundo si disegn un pino ovvimente isogn limitsi mostne solo un pte, così come qundo si disegn un ett, m non isogn mi dimentice che l su e- stensione v olte i limiti indicti dl disegno. Pe indice un pino in geometi si us genelmente un lette minuscol dell lfeto geco (,, g ecc. che si leggono ispettivmente lf, et, gmm). Notimo desso lcune coelzioni (Figu 6) che intecoono f i te elementi di se che imo fin qui incontto, il punto, l ett e il pino: 1. Se un ett h due punti in comune con un pino h nche tutti gli lti punti in comune con esso, e cioè l ett gice sul pino. Quest ffemzione è un postulto peché è ve m non è dimostile logicmente. È peò fcilmente intuiile che se si ppoggino due punti di un veg pefettmente diitt (l ett) su un pvimento pefettmente livellto (il pino) tutt l veg poggi sul pino. 2. Pe te punti non llineti pss un pino ed uno solo. nche questo è un postulto cioè non è dimostile logicmente m è veo. Del esto è espeienz comune che un tvolino te gme non tll mi nche se le gme hnno lunghezze divese. Inftti pe i te punti estemi infeioi delle gme pss un 3

5 Un punto di un ett l divide in due semiette L pte di ett compes f due punti di ess e B si chim segmento B Il segmento h un dimensione finit che può essee misut. Due segmenti possono essee confontti Figu 3 Semiette e segmenti B B B B B > B B B B = B B B B < B Figu 4 Confonto di segmenti 4

6 g Figu 5 Il pino Se un ett h due punti in comune con un pino, gice sul pino Pe te punti non llineti pss un pino solo Pe un ett e un punto esteno d ess pss un pino solo Pe due ette incidenti pss un pino solo Pe un ett pssno infiniti pini Figu 6 Punti ette e pini 5

7 solo pino che comci e si dgi sul pino del pvimento senz lte possiili ltentive. Fose il tvolino non est pefettmente diitto, m non tll. Se invece il tvolino h qutto gme di lunghezz dives i possiili pini di ppoggio fomti dlle estemità delle gme sono qutto 4 e il tvolino può fcilmente psse d uno ll lto di questi pini sotto l zione di un legge spint, ossi è tllnte. 3. Pe un ett e un punto esteno d ess pss un pino ed uno solo. Questo non è più un postulto m un teoem peché è dimostile in se i postulti dei punti pecedenti. Inftti consideimo due punti qulsisi dell ett ed il punto dto. I pimi due sono llineti peché pptengono ll stess ett m non sono llineti col tezo, ltimenti questo non see esteno ll ett. Si ttt quindi di te punti non llineti pe i quli pe il postulto pecedente pss un solo pino. Questo pino poi (pe il postulto del punto 1.) contiene nche tutt l ett peché contiene due punti di ess. 4. Pe due ette incidenti (cioè che hnno un punto comune) pss un solo pino. nche questo è un teoem, cioè un ffemzione che può essee dimostt. Inftti il punto comune, un punto peso su un delle due ette e un punto peso sull lt sono te punti non llineti pe cui pss un solo pino (postulto2.), su cui gicciono le due ette peché ognun di esse h due punti che gicciono sul pino (postulto 1.). 5. Pe un ett pssno infiniti pini. Inftti i punti dell ett sono tutti llineti e quindi non ne esistono te non llineti che sono necessi pe definie un unico pino. ngoli Due ette che si tovno sullo stesso pino possono vee in comune un solo punto, nessun punto o tutti i punti (Figu 7). Non possono vee in comune più di un punto senz veli in comune tutti peché pe due punti pss un sol ett e quindi se due ette hnno due punti in comune hnno in comune nche tutti gli lti. Se due ette non hnno nessun punto in comune vuol die che non si incontno mi 5. In 4 Se numeimo le gme del tvolo con i numei 1, 2, 3, 4, le tene di punti possiili sono qutto e cioè 123, 124, 134, Si suole die nche che si incontno ll infinito 6

8 tl cso le due ette si chimno pllele. Due ette che hnno un punto in comune si chimno incidenti mente due ette che hnno tutti i punti in comune si chimno coincidenti. Consideimo o due delle semiette che escono dl punto comune di due ette incidenti (Figu 8). Le due semiette dividono il pino in due pti ciscun delle quli si chim ngolo e più pecismente si chim ngolo convesso quell pte di pino che non contiene i polungmenti delle due semiette, ngolo concvo quell che li contiene. Nell figu le due semiette sono disegnte con ttto pieno, i loo polungmenti con linee ttteggite. Si noti che l ngolo non è solo quell pte disegnt con l chetto m tutt l pozione di pino compes f le due semiette, fino ll infinito. Gli ngoli, pu se sono un pozione illimitt di pino, hnno un ctteistic che può essee misut: l mpiezz. Consideimo due semiette (, s) che hnno un punto in comune () e, pe chiezz di esposizione, ptimo dl considee l ngolo convesso che esse fomno (Figu 9). Se tenimo fem un delle due semiette,, e fccimo uote l lt, s, intono l punto pe esempio in senso ntioio, mn mno che l ett uot l ngolo che esse fomno divent sempe mggioe. Ptimo d un posizione inizile in cui le due semiette sino sovpposte: l ngolo f le due semiette è zeo; mn mno che s uot l ngolo ument fino qundo, compiuto un inteo gio, l semiett s si sovppone nuovmente ll semiett. L ngolo che si fom in quest posizione è l ngolo mssimo che può fomsi f le due semiette e si chim ngolo gio. quest ngolo, pe convenzione si ssegn l misu di 360 (gdi). Qundo le due semiette si tovno l un sul polungmento dell lto, cioè qundo l semiett s h compiuto mezzo gio, l ngolo è l metà dell ngolo gio, misu cioè 180 e si chim ngolo pitto. Qundo l semiett s h compiuto un quto di gio, l ngolo misu 90 e si chim ngolo etto. In questo cso le due semiette e le intee ette cui pptengono si dicono pependicoli f loo. Infine gli ngoli compesi f 0 e 90 si chimno cuti, quelli compesi f 90 e 180 si chimno ottusi e quelli supeioi 180 sono gli ngoli concvi che, come già descitto in pecedenz, sono quelli in cui sono contenuti i polungmenti delle due semiette. Esistono vi modi pe indice un ngolo second degli elementi di cui si dispone. Nell Figu 10 sono indicti quelli di uso più comune. Se si dispone soltnto dell definizione del vetice dell ngolo, indicto con l lette, si può indice l ngolo usndo l lette che individu il vetice sovpponendovi un ccento ciconflesso Ô. Quest indiczione non è molto pecis peché due ette che si incontno in un punto fomno qutto ngoli non uno solo e l indiczione non pemette di distinguee qule di questi qutto ngoli si intende indice. Se si dispone dell indiczione delle semiette che fomno l ngolo, indicte con le lettee, s, l ngolo può essee indicto con le lettee che indicno le semiette f cui si intepone l lette che indic il vetice con l ccento ciconflesso Ôs. nche in questo cso l indiczione non è molto pecis peché non pemette di distinguee f l ngolo concvo e l ngolo convesso fomti dlle due semiette. Se sulle semiette sono individuti due punti e B l ngolo può essee indicto con le 7

9 Un punto Incidenti Due ette possono vee in comune Nessun punto Pllele Tutti i punti Coincidenti Figu 7 Rette gicenti su un pino Lto ngolo concvo ngolo convesso Vetice Lto Figu 8 L ngolo 8

10 s s s ngolo nullo = 0 ngolo cuto 0 90 ngolo etto = 90 s s s ngolo ottuso ngolo pitto = 180 ngolo gio = 360 Figu 9 mpiezz e denominzione degli ngoli ô ôs ôb B s Figu 10 Indiczioni di un ngolo 9

11 lettee che individuno i due punti ed il vetice ÔB, m non si elimin comunque l impecisione pecedente. L ngolo può infine essee indicto con un lette minuscol, di solito dell lfeto geco, d esempio (lf) inseit f le due semiette e in questo cso l indiczione è sufficiente pe individue univocmente l ngolo. ngoli consecutivi e dicenti Due ngoli si chimno consecutivi se hnno in comune il vetice e un lto e gli lti due lti gicciono nei semipini opposti ispetto l lto comune. Nell Figu 11 i due ngoli e (lf e et) hnno in comune il vetice e il lto, mente gli lti due lti, s, t, sono nei semipini opposti ispetto l lto comune. Due ngoli si chimno dicenti se sono consecutivi ed hnno i due lti non comuni s,t, disposti l uno sul polungmento dell lto, come indicto nell stess figu. Confonto di ngoli Pe confonte due ngoli e il pimo fomto dlle semiette, con vetice, il secondo dlle semiette 1, 1 con vetice 1, (Figu 12) si sovppone il vetice dell uno l vetice dell lto e un semiett dell uno d un semiett dell lto, pe e- sempio si sovppone 1 d e 1 d, e si f cdee l semiett 1 dll stess pte in cui si tov l semiett. Si possono vee te csi: 1. l semiett 1 cde ll inteno dell ngolo. In questo cso l ngolo è mggioe dell ngolo (>) 2. l semiett 1 cde popio sull semiett. In questo cso l ngolo è ugule ll ngolo (=) 3. l semiett 1 cde ll esteno dell ngolo. In questo cso l ngolo è minoe dell ngolo (<). Somm e diffeenz di ngoli L somm di due ngoli e si effettu disponendo i due ngoli uno dicente ll lto. L somm dei due ngoli è ugule ll ngolo fomto di due lti non sovpposti. Più pecismente (Figu 13) se si devono somme gli ngoli Ô e 1 Ô 1 1 si dispone il vetice 1 sul vetice, il lto 1 sul lto e si f cdee il lto 1 dll pte oppost del lto. I due ngoli isultno così dicenti e l somm è l ngolo g fomto di lti esteni Ô 1 e si h: g = + 10

12 L diffeenz f due ngoli e, supposto che (il simolo signific mggioe o ugule) si effettu sovpponendo l ngolo minoe ll ngolo mggioe e, più pecismente (Figu 14), se l ngolo è fomto dlle semiette, con vetice e l ngolo è fomto dlle semiette 1, 1 con vetice 1, si sovppone il vetice 1 l vetice, il lto 1 l lto e si f cdee il lto 1 dll pte del lto. Poiché si è supposto che, cde ll inteno dell ngolo. L diffeenz f i due ngoli è llo l ngolo g fomto dlle semiette, 1, e si h quindi: g = - 11

13 t t s s ngoli consecutivi ngoli dicenti Figu 11 ngoli consecutivi e dicenti > = < Figu 12 Confonto di ngoli 12

14 g 1 g=+ 1 Figu 13 Somm di ngoli > g 1 g=- 1 1 Figu 14 Diffeenz di ngoli 13