Marco Savarese. 22 i problemi classici dell'antichità. Riferimenti bibliografici

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1 i poblemi clssici dell'ntichità Rifeimenti bibliogfici L. unt, P. Jones, J. edient, Le dici stoiche delle mtemtiche elementi, Znichelli, 98. oe, Stoi dell mtemtic, Isedi, 976 G. Loi, Le scienze estte nell ntic geci, Hoepli, 94 Mco Svese I te poblemi clssici dell ntichità 5 liceo scientifico sttle. ighi om

2 . L dimostzione dell impossibilità delle costuzioni Vleio, che non c h domito HQ HM + MQ + In definitiv l popozione divent b + guglindo il pimo membo di quest equzione ciscuno dei imnenti si ottiene il sistem Indice. I tenttivi di costuzione Qudtu del ettngolo p. Ippocte e l qudtu delle lunule, p. L dupliczione del cubo, p. 5 L soluzione di Menecmo, p. 7 L soluzione di Pltone, p. 9 L tisezione dell ngolo, p.0 L soluzione di chimede, p. 0 L soluzione di Nicomede, p. Ippi e l qudtu del cechio, p.. L dimostzione dell impossibilità delle costuzioni 5 che equivle ll equzione cubic b { + b 0 () che potemmo chime l equzione dell tisezione, in qunto il poblem sebbe isolto qulo ess vesse un dice costuibile. M l equzione () è un equzione pmetic e l vee o meno dici costuibili dipende dl vloe di b. Pe esempio, se b 0 l equzione () divent ( ) 0 che h dici 0, e ; tutte costuibili. In effetti se b 0 l ngolo vle 90 e questo ngolo si tisec molto fcilmente. In veità vi sono infiniti ngoli che possono essee tisecti: ogni ngolo minoe di 60 che simo in gdo di costuie è l tez pte di un ngolo che possimo tisece. onsideimo o b /, cso pe cui l equzione dell tisezione divent 0 Pe il teoem dell dice zionle le possibili soluzioni zionli di quest equzione sono ±. Poiché nessuno di questi vloi l soddisf ess non mmette soluzioni zionli. Se ne deduce llo, dl teoem dell dice costuibile, che quest equzione non h nenche dici costuibili. Non è quindi possibile tisece un ngolo pe cui vle b /; pe tle vloe il tingolo ettngolo h l ipotenus doppi di un cteto quindi l ngolo vle 60. l momento che bbimo tovto un ngolo che non può essee tisecto bbimo dimostto che l tisezione dell ngolo, fcendo uso soltnto dell ig e del compsso, è impossibile. quest dispens è disponibile su: gennio 0 - v..

3 0 i poblemi clssici dell'ntichità dunque p + q ν K n, con ν K n- soluzione dell equzione (). É possibile dimoste che nche p q ν è soluzione dell (). bbimo visto che l somm delle te dici è pi b/ quindi + p + q ν + p q ν b/ cioè b/ p che pptiene K n- ; ciò è ssudo peché si e supposto che n fosse il più piccolo numeo tle che un cmpo K n conteng un dice dell cubic di ptenz.. I tenttivi di costuzione L impossibilità dell dupliczione del cubo Simo finlmente ivti ll dimostzione dell impossibilità dell dupliczione del cubo. Si scelg un unità di lunghezz pi l lto del cubo ssegnto. Il volume del cubo llo isult ugule, peciò il cubo ichiesto h un volume ugule. Voglimo desso costuie un segmento che h l stess lunghezz del lto del cubo cecto, si tle lunghezz si h equzione cubic che non h dici zionli è quindi, pe il teoem dell dice costuibile, non h nenche dici costuibili. L impossibilità dell tisezione dell ngolo Pe l tisezione bst f vedee che esiste un ngolo che non poss essee tisecto. Si considei l soluzione di Nicomede dove bbimo indicto con b, Q e P; inolte siccome è bitio lo fissimo d subito pi ll unità di misu, cioè. ome pim cos ossevimo che i tingoli PQ, P e HQ sono simili, pe cui i lti sono in popozione b HQ il tingolo M è isoscele e quindi l ltezz è nche medin, d cui llo b P H HM + M. L dimostzione è un po lboios, bisogn sviluppe (p + q ν ) + b(p + q ν ) + c(p + q ν ) + d 0, potl nell fom + ν 0 che implic 0 e 0; Se o sviluppimo (p q ν ) + b(p q ν ) + c(p q ν ) + d, ci ccogimo che ess è ugule ν, nch ess null pe e uguli 0. M Q Intoduzione I te fmosi poblemi degli ntichi geci imsti senz soluzione sono: l qudtu del cechio (cioè l costuzione di un qudto che bbi l stess supeficie di un cechio dto), l tisezione dell ngolo e l dupliczione del cubo. è un cos impotnte d ggiungee peò: i poblemi dovevno essee isolti fcendo uso soltnto dell ig (senz gduzione) e del compsso. Soge spontne l domnd: peché e consentito solo l uso dell ig e del compsso? Peché limitsi questi due soli stumenti? ome vedemo gli stessi geci tovono soluzioni ltentive i poblemi le quli peò ichiedono l utilizzo di linee cuve nziché di sole ette e ciconfeenze; queste soluzioni li lsciono comunque sempe insoddisftti. L questione, in veità, è squisitmente filosofic o pe meglio die estetic: Pltone concepiv l ett e l ciconfeenz quli cuve essenzili e pefette (l ciconfeenz nco più pefett dell ett essendo un cuv fi nit) e itenev, toto, che qulsisi figu geometic potesse essee costuit ttveso l combinzione di queste due sole entità fondmentli. Il pegiudizio che dovesse esistee un soluzione elegnte che fcesse uso solmente dell ig e del compsso potò scte tutte le soluzioni ltentive tovte, m ebbe il meito di condue ll scopet di un notevole quntità di nozioni mtemtiche. ggi sppimo che è impossibile effettue le costuzioni in questione con i soli stumenti concessi di fi losofi m l dimostzione di ciò venne compiutmente sviluppt soltnto nel dicinnovesimo secolo medinte nozioni lgebiche che non eno note gli ntichi geci. Ripecoeemo in queste pgine l ffscinnte stoi dei tenttivi di costuzione. L geometi gec, in un ceto senso, è un gioco d tvolo ftto di costuzioni geometiche con ig e compsso e come tutti i giochi possiede egole ben pecise. nche l ig e il compsso non possono essee utilizzti nosto picimento, sono soggetti te egole che devono essee ssolutmente ispettte. Pimo, con l ig si può tccie il segmento d un punto qulsisi d un lto punto qulsisi. Secondo, sempe con l ig, si può polunge un segmento qunto ci pe (ovvimente di un quntità finit). Tezo, col compsso si può tccie un ciconfeenz con cento e ggio qulsisi. Tutto qui, lto non è pemesso. Non si può quindi pendee col compsso un segmento di un cet lunghezz e tspotlo dove ci pe, oppue fe l stess cos con l ig ponendovi sop dei segni. Quest opezione, in veità, può essee eseguit, il ftto è che non si può fe diettmente. I geci eno tlmente mnti dell pefezione che il loo senso estetico considev inelegnte postule più dello stetto indispensbile; pe cui il tspoto di un segmento medinte l uso del compsso non è consentito solo peché esiste. Le te egole non sono lto che i pimi te postulti di uclide. Il quto postulto ichiede che tutti gli ngoli etti sino uguli f loo, il quinto è il fmoso V postulto: si ved l dispensin L stoi del V postulto.

4 i poblemi clssici dell'ntichità. L dimostzione dell impossibilità delle costuzioni 9 un pocedu più complict, che coinvolge solo le te egole citte, medinte l qule è possibile svolgee lo stesso compito. Quest pocedu è enuncit nell poposizione II del pimo libo degli lementi. É espeienz comune che un gioco si impi più velocemente vedendo qulcun lto gioce che leggendo pe bene le istuzioni quindi inizimo subito col qude lcune figue molto semplici, pe esempio un ettngolo. Qudtu del ettngolo (uclide, libo II, pop. XIV) dei dti medinte un numeo finito di opezioni zionli e di estzioni di dici qudte. In conclusione simo ivti pote enuncie il seguente isultto genele Teoem. ondizione necessi e sufficiente ffinché un poblem si isolubile con ig e compsso è che si poss tdue in un poblem lgebico isolubile pe dicli qudtici cioè che i pmeti delle soluzioni si possno ottenee d Q mplito con i pmeti dei dti ttveso un numeo finito di opezioni zionli ed estzioni di dici qudte. Simo qusi ivti ll dimostzione dell impossibilità dell dupliczione e dell tisezione, dobbimo soltnto ichime i seguenti teoemi: Lemm. Se, b, c sono numeo intei, e b sono pimi f loo e è un divisoe del podotto bc, llo è un divisoe di c. Teoem dell dice zionle. Se m/n (con m e n pimi f loo) è un soluzione zionle dell equzione + b + c + d 0 () Si il ettngolo dto, si polunghi di un segmento pi ll ltezz (bst tccie l ciconfeenz di cento e ggio ), poi si bisechi e si il punto di bisezione (bst costuie due tingoli equiltei uno sop e l lto sotto), si tcci l semiciconfeenz di cento e ggio. Si polunghi fino d inconte l semiciconfeenz nel punto. Il segmento è il lto del qudto che stimo cecndo. M chi ci dice che il qudto di lto h popio l stess supeficie del ettngolo di ptenz? videntemente dopo ogni h h costuzione c è sempe bisogno di un bell dimostzione che ci gntisc che quello che bbimo tovto coisponde effettivmente ciò che cechimo. L dimostzione ndebbe effettut pe vi pumente geometic, m l cos il più delle volte non è fftto bnle, meglio icoee ll lgeb. Si il ggio dell semiciconfeenz, e h l ltezz del ettngolo. L supeficie del ettngolo vle semplicemente: ( h)h; pe l supeficie del qudto usimo il teoem di Pitgo sul tingolo, si h: ( h) h h c.v.d. Vi mosto un poblem di costuzione, di cui ho tovto l soluzione ( die il veo l h tovt un mio studente) m del qule sto nco cecndo l dimostzione pumente geometic. Il poblem chiede di costuie il tpezio ettngolo che h pe bsi due segmenti ssegnti e le digonli pependicoli f loo. L costuzione è l seguente: si l bse mggioe ssegnt, d si innlzi l pependicole, si H il punto di tle che H si pi ll. In veità tesio invent l geometi nlitic popio pe isolvee più gevolmente i poblemi geometici. H K coefficienti intei, llo m divide il temine noto e n divide il coefficiente di. dim. sostituendo m/n in () si h: m + b m + c m + d m + bnm + cn m+ n d n n n 0 0 che iscivimo in due modi, isolndo ispettivmente il pimo e l ultimo ddendo e ccogliendo un fttoe comune l secondo membo: ( ) ( ) m n bm + cnm + n d, dn m cn + bmn + m ; Si noti che le quntità f pentesi sono intee. ll pim eguglinz si deduce che n è un divisoe di m. M n e m sono pimi f loo e quindi pe il lemm pecedente n è un divisoe di. nlogmente dll second eguglinz segue che m divide d. Teoem. L somm delle te dici dell equzione cubic () vle b/. dim. sino, le te dici, bst sviluppe l espessione ( ) ( ) ( ) e confonte il coefficiente di II gdo. Teoem dell dice costuibile. Se un equzione cubic coefficienti zionli non h dici zionli llo nessun delle sue dici è un numeo costuibile ptie d Q. dim. supponimo pe ssudo che esist un soluzione costuibile e quindi pptenente ll ultimo cmpo di un cten di cmpi estesi ptie d Q: Q K... K n e inolte si n il più piccolo numeo pe cui ciò vveng (si và n > 0 peché pe ipotesi l equzione non h dici zionli). Si. Un punto e un ett possono essee visti come coppie odinte di numei (; ), (m, q), un ciconfeenz come ten di numei ( c ; c ; ); questi sono i pmeti dei dti. nlogmente si pl di pmeti delle soluzioni.

5 8 i poblemi clssici dell'ntichità. I tenttivi di costuzione Poposizione. L dice qudt di un numeo costuibile è costuibile. Si il segmento unitio, lo polunghimo dll pte di di un quntità pi l numeo di cui voglimo este l dice qudt; costuimo l semiciconfeenz di dimeto e innlzimo d l pependicole che intesec l semiciconfeenz in, è il segmento cecto; inftti pe il secondo teoem di uclide ovveo. bse minoe ssegnt, d H si innlzi un lt pependicole; si tcci poi l semiciconfeenz di dimeto e si K l intesezione f l semiciconfeenz e l pependicole in H; con cento in si tcci l ciconfeenz di ggio K e si l intesezione f l ciconfeenz e l pependicole in ; d si conduc l pllel d e si l intesezione f l pllel e l ett HK; è il tpezio cecto. L qudtu del tingolo è fcile, e non c è bisogno nenche dell figu: tccit un ltezz, l si bisec, poi si tcci l pllel ll bse pe il punto di bisezione e si innlzno dgli estemi dell bse le pependicoli, il ettngolo che si fom è equivlente l tingolo dto. questo punto possimo concludee che nche qulsisi poligono è qudbile in qunto si può sempe itglilo in tnti tingoli. Venimo o ll qudtu di figue cuvilinee. Ippocte e l qudtu delle lunule Qunto detto pot lle seguenti conclusioni:. Tutti i numei zionli ( Q) sono costuibili.. Posto k Q, m k Q è possibile costuie un nuovo cmpo dto dll estensione K( k) { + b k;, b Q} che contiene Q come sottocmpo. I numei del nuovo cmpo sono chimente tutti costuibili. Pocedendo di questo psso possimo costuie infinite estensioni di numei costuibili: Q K... K n... in lte pole, Tutti i numei ottenuti con opezioni zionli e estzioni di dici qudte sono costuibili. Supponimo o di ve isolto un poblem con ig e compsso. Nel isolvelo possimo vee:. intesecto ette. Sino m + q e m + p le equzioni di due ette incidenti in un ceto sistem di ifeimento, con m, m, p, p pptenenti d un ceto cmpo K di numei costuibili. Non è difficile dimoste che l intesezione delle due ette è un numeo costuibile ovveo continu d essee in K; m+ q. intesecto un ett e un ciconfeenz. tteemo il sistem ( c) + ( c) equivlente d un equzione di II gdo con coefficienti zionli del tipo + b + c 0 le cui soluzioni, se esistono, sono b b 4c e quindi pptengono l cmpo K( b 4c) ; in genele si esce dl cmpo dei zionli ( meno che b 4c si un qudto pefetto);. intesecto due ciconfeenze. Il sistem, medinte iduzione, può essee icondotto d un lto sistem contenente l equzione di un ciconfeenz e di un ett (l sse dicle) e quindi ci si iconduce l cso pecedente. Possimo quindi ffeme che tutti i numei costuibili si possono ottenee ptie di pmeti Ippocte di hio ( d non confondee con Ippocte di oo, , il pde dell medicin) e un mecnte che, cduto nelle mni dei piti e vendo peduto ogni bene, ndò d tene pe cece di iottenee le sue popietà medinte un zione legle. unte il lungo soggiono fequentò le scuole dei filosofi e si dedicò llo studio dell geometi. L stoi non ci dice come si concluse l su cus, m sppimo che Ippocte divenne fmoso pe lti motivi: l qudtu delle lunule e lcuni isultti pe soluzione del poblem dell dupliczione del cubo. Le lunule sono egioni di pino delimitte d chi pptenenti ciconfeenze diffeenti. Ippocte pobbilmente pensv che, vendo le lunule contoni cuvi, l loo qudtu lo vebbe potto pim o poi ll tnto gognt soluzione del poblem dell qudtu del cechio. omincimo llo col qude quest semplice lunul: si un tingolo ettngolo isoscele. Si tcci l semiciconfeenz di dimeto e le semiciconfeenze di dimeto e. Si vengono fome due lunule che bbimo evidenzito con il ttteggio. Ippocte dimost che l somm delle supefici delle due lunule è pi ll supeficie del tingolo. Inftti si il ggio dell ciconfeenz pe ; clcolimo l somm delle supefici dei due segmenti cicoli sotto le lunule, che è dt dll e dell semiciconfeenz di dimeto meno quell del tingolo: ee π π.. seg cic ( ) sottimo dll supeficie totle delle due semiciconfeenze di dimeto e quelle dei due segmenti cicoli: ottenimo l e del tingolo. ( ) eelun. π π c.v.d.. Il pof. Vincenzo occi, coinvolto nell questione, h tovto un elegnte soluzione nlitic del poblem: ponimo in l oigine del sistem di ifeimento, si, b, K c, l equzione dell ett è: c/b; quell pe : c/ + c; pe il I teoem di uclide su K si h c b, se fccimo il podotto dei coefficienti ngoli delle due ette ottenimo: c /b ovveo l condizione di pependicolità.

6 4 i poblemi clssici dell'ntichità. L dimostzione dell impossibilità delle costuzioni 7 onsideimo o un lt lunul. Pendimo un semiciconfeenz di dimeto e cento. Inscivimoci un tpezio isoscele con (bst tccie l ciconfeenz di cento e ggio ). Tccimo poi l semiciconfeenz di dimeto. Ippocte dimost che l e del semicechio di dimeto è pi ll supeficie del tpezio meno te volte l supeficie dell lunul ttteggit. Inftti l e del tpezio vle: e( ) e( ) 4 lcolimo l e del segmento cicole sotto l lunul: e.. π π 4 seg cic L supeficie dell lunul ttteggit sà: In definitiv si h: e lun. ( ) ( ) π π π e( ) elun π + 6 π c.v.d. Se l lunul ttteggit fosse stt qudbile lo sebbe stto nche il cechio. Putoppo peò quest lunul è di un tipo diffeente d quell vist pecedentemente e, come è fcile immgine, Ippocte non iuscì mi qudl. Nel tenttivo di qude lunule Ippocte si ciment nche con quelle il cui peimeto esteno è mggioe di un semiciconfeenz. onsideimo il solito tingolo ettngolo isoscele F; d F innlzimo l pependicole F tle che F F. É fcile moste che F. questo punto Ippocte costuisce un tpezio isoscele di bse tle che e. Quest costuzione è un po complict; F uotimo il qudilteo in modo d mettee oizzontle e tccimo le due ciconfeenze di cento e e ggio. d occhio si intuisce che il tpezio esiste, bst muovee F contemponemente i punti F ed sulle ciconfeenze in modo d non modifice l lunghezz dei te segmenti e f si che F isulti pllelo d. M in questo tipo di poblemi l questione è sempe l stess: G ( ) : ( X ) : X ; m X X e quindi X : X : X d cui l tesi. Simo giunti ll conclusione che poblemi geometici tttti con ig e compsso coispondono opezioni lgebiche che si possono effettue medinte opezioni zionli ed estzioni di dici qudte. L pocedu lgebic di solito ichiede mino intuito nche se può essee lung e lboios nei clcoli. Pe pote tsfome l dupliczione e l tisezione in poblemi lgebici comincimo col definie esttmente cos intendimo pe costuzione con ig e compsso dett nche costuzione elemente. definizione. Un costuzione elemente è un successione finit di opezioni del tipo: congiungee due punti con un ett; tccie un ciconfeenz noti il cento e il ggio; tove le eventuli intesezioni t due ciconfeenze, t un ciconfeenz e un ett o t due ette; scegliee un punto bitio su un ett o un ciconfeenz nel pino. definizione. Un segmento è costuibile con ig e compsso se è il isultto di un costuzione elemente. Fissto un segmento di lunghezz uniti diemo che un numeo ele α è costuibile se è possibile costuie con ig e compsso un segmento di lunghezz pi l vloe ssoluto di α. poposizione. I numei ntuli sono costuibili. dim. bst ipote il segmento n volte su un ett. poposizione. I numei zionli sono costuibili. dim. supponimo di vole costuie il zionle m/n. É sufficiente ipote su un ett, ptie d un punto bitio, m volte il segmento unitio e dividee il segmento ottenuto in n pti uguli pplicndo il teoem di Tlete. poposizione. L somm, l diffeenz, il podotto, il quoziente di due numei costuibili sono costuibili. dim. pe l somm e l diffeenz l dimostzione è bnle pe il podotto e il quoziente bst osseve l figu seguente. b b b b b b

7 6 i poblemi clssici dell'ntichità. I tenttivi di costuzione 5, il poblem è sempe lo stesso, come si dimost che l costuzione è coett. Vi invito fe qulche tenttivo in modo utonomo, intnto vi fccio vedee come il poblem si semplific medinte l lgeb. Si e X ; llo l popozione : X X : X divent che pot ll equzione di II gdo: + 0 l cui soluzione positiv vle ( 5 ) Pe veifice che l costuzione pecedente è coett bst llo poe l oigine del sistem di ifeimento in e detemine il ggio dell ciconfeenz di sinist. ( 5 ) 5 etmente stte moendo dll vogli di spee come si dimost pe vi geometic. Vi ccontento subito: polunghimo fino d inconte l ciconfeenz in. Gudte bene l ngolo in e l ngolo in evidenziti nell figu seguente X X come si f con ig e compsso? opo veci pensto non poco, ho tovto quest soluzione m pobbilmente ce ne sono lte più F elegnti. Si G l intesezione dell ciconfeenz di cento e ggio con l bse ; con cento in G si tcci l ciconfeenz di ggio G e si l intesezione con l ciconfeenz di cento e ggio F. on cento in si tcci poi l ciconfeenz di ggio e si l intesezione con l ciconfeenz G di cento. è il tpezio cecto. Pe dimostlo è sufficiente note che il qudilteo G è un ombo peché h i lti tutti uguli. Ippocte costuì poi due chi. Il pimo pss pe,, e ed è l co dell ciconfeenz cicoscitt l tingolo (si noti che quest volt II non è un semiciconfeenz). L lto, l co, è costuito in modo tle che il segmento cicole IV I III si simile 4 l segmento I, pe fe ciò è sufficiente tccie pllelo. gli dimost che l lunul limitt dgli chi e h l stess IV e del tpezio e quindi nch ess è qudbile. L dimostzione quest volt è pesto ftt. Si icodi che tutt l costuzione è stt ftt in modo che e inolte quindi il segmento cicole IV h un supeficie tipl del segmento cicole I essendo i due segmenti simili. Le loo ee inftti sono popozionli i qudti delle code sottese. L dupliczione del cubo X X Non si diebbe m quei due ngoli sono conguenti, l ngolo in inftti è un ngolo ll ciconfeenz con un lto tngente e insiste sull co X come l ngolo in ; dunque i tingoli e X sono simili pe cui : X ; pplicndo un not popietà delle popozioni si h N un leggend che il e Minosse vesse ftto costuie un tomb fom di cubo pe il figlio Gludo m qundo venne spee che e lung solo cento piedi in ciscun diezione pensò che fosse toppo piccol. Piccolo spzio inveo ccodste d un sepolco di e, ddoppitelo, consevndolo sempe di fom cubic egli disse, e odinò i costuttoi di obbedie in fett ddoppindo i lti dell tomb. É chio che si sbgliv: duplicndo i lti un figu pin si quduplic mente un solid divent otto volte. I geometi llo si miseo ll icec di un pocedimento pe duplice il volume di un solido qulunque consevndone l fom e questo poblem pese il nome di dupliczione del cubo. Un lt leggend colleg il poblem con l isol di elo, pe cui tlvolt si pl di poblem di elo. Si n che pollo vesse chiesto gli bitnti di elo, ttveso un ocolo, di ddoppie il 4. ue segmenti dell stess ciconfeenz o di ciconfeenze diffeenti si dicono simili se gli ngoli l cento sottesi dlle loo code sono uguli.

8 6 i poblemi clssici dell'ntichità 5 volume del suo lte cubico, mntenendone l fom. Qundo essi si ccoseo che il poblem non e fftto bnle, si ivolseo Pltone, il qule disse loo che pollo vev ftto quest ichiest non peché volesse vemente un lte doppio m pe moste qunto l mtemtic fosse impotnte. Notimo che il qudto si duplic molto fcilmente: bst tccie l digonle e costuici sop un lto qudto. un punto di vist lgebico, se il lto del qudto è di lunghezz, si deve costuie un qudto il cui lto bbi lunghezz, tle che, quest equzione è equivlente ll popozione: Si deduce che il lto del qudto ichiesto può essee costuito come l medi popozionle t segmenti ettilinei di lunghezz e. nlogmente pe il cubo si và, poblem che Ippocte icondusse ll costuzione di due segmenti ettilinei in popozione medi continu f segmenti e. iò signific costuie due segmenti e in modo tle che Il segmento di lunghezz isult essee il lto del cubo cecto 5. Non sppimo bene come Ippocte si ivto questo isultto, possimo pense che egli bbi gionto più o meno nel seguente modo: pendimo due cubi di lto dicenti uno ll lto, in modo d fome un pllelepipedo di lti, ed, il cui volume vle quindi. Immginimo o di tsfome questo pllelepipedo in un lto che bbi lo stesso volume e l stess ltezz m tle che uno dei lti di bse bbi l lunghezz ichiest. Poiché non cmbino il volume e l ltezz del solido, non cmbi neppue l e di bse, quindi:, ovveo : () Supponimo o di tsfome il solido così ottenuto in un tezo solido fom di cubo, sempe con lo stesso volume, m con i lti tutti uguli d. L fcci ltele di lti e deve tsfomsi in un qudto di lto con l stess supeficie. Quindi:, ovveo lle espessioni () e () segue che: Il poblem dell dupliczione del cubo, comunque, non è fftto isolto: l scopet di Ippocte seve soltnto tsfome il poblem oiginle in un lto diffeente che consiste nell costuzione di due medie popozionli f segmenti ettilinei di lunghezz e. ome omi è chio il poblem non è isolubile con l utilizzo esclusivo di ig e compsso. In effetti, nel cece di isolvelo, i geci feceo uso di lte cuve o di stumenti divesi dll ig e dl compsso. Vedimo un pio di queste soluzioni. ( ) 5. pe dimostlo si icv di pimi due temini dell popozione e si sostituisce negli lti due.. L dimostzione dell impossibilità delle costuzioni ome bbimo ccennto i te poblemi clssici venneo isolti nel dicinnovesimo secolo. L tisezione e l dupliczione nel 87 pe ope di Wntzel, l qudtu invece più tdi, nel 88 dl mtemtico tedesco Fedinnd von Lindemnn (85 99). In tutti i csi l soluzione si ivelò un dimostzione che l costuzione icect e impossibile. Pe l tisezione dell ngolo e l dupliczione del cubo le dimostzioni fnno ifeimento concetti lgebici del tutto sconosciuti gli ntichi geci, in pticole si f uso di isultti dell teoi delle equzioni di tezo gdo. L dimostzione dell impossibilità dell qudtu del cechio è nco più compless e si bs sull tscendenz del numeo π. ome vete intuito le dimostzioni di impossibilità fnno uso dell lgeb. bbimo visto ll inizio dell dispensin che volte le dimostzioni pe vi pumente geometic non sono fftto bnli; un metodo molto efficce consiste popio nel tsfomle in poblemi di geometi nlitic e ffonte le questioni d un punto di vist lgebico. L lgeb è uno stumento estemmente potente e mnipole numei e lettee ci isult più fcile che osseve figue geometiche: l icec dell soluzione pss dll intuizione qusi mgic di moste che due ngoli sono uguli l poblem tecnico di isolvee un equzione pmetic. Fccimo un esempio, che è sempe l cos miglioe. onsideimo l fmos sezione ue di un segmento; i geci dovno questo poblem, Kepleo dice: L geometi h due gndi tesoi: uno è il teoem di Pitgo; l lto è l divisione di un segmento secondo il ppoto medio ed estemo. Il linguggio è sempe lo stesso, i geci non possedendo l lgeb fcevno tutto con le popozioni : si dto un segmento, l sezione ue è il segmento X tle che : X X : X. L costuzione è l seguente: si il segmento, costuimo il tingolo ettngolo (con l ngolo in etto) tle che si pi / (mi ccomndo, bisogn flo con ig e compsso, mic con l squd). on cento in tccimo l ciconfeenz di ggio e si X l intesezione con l ipotenus. on cento in tccimo l ciconfeenz di ggio X e si X l intesezione con. X è l sezione ue cect.. Più o meno come si f in second medi. X X /

9 4 i poblemi clssici dell'ntichità. I tenttivi di costuzione 7 zione con e con l qudtice. noto inostto che chi coispondenti di cechi stnno t loo come i ispettivi ggi, pe cui PQ l quest popozione e dll (6) si ottiene PQ l (7) Si bbssi d R l pependicole RH su. R è un punto dell qudtice quindi soddisf le condizioni dell equzione (5) ovveo α : 90 d : l d cui PR PQ d l Sostituendo nell pecedente fomul l (7) si conclude che d PR Risultto evidentemente ssudo in qunto l pependicole RH d è l più beve di tutte le linee. Se ne deduce che l ipotesi (6) di ptenz è fls. ome l solito si lsci l lettoe l dimostzione dell flsità dell lt ipotesi. L tesi cui simo giunti può essee scitt nell fom l l ovveo un popozione che contiene segmenti ettilinei e l co cicole. questo punto medinte un semplice costuzione geometic, si può fcilmente tccie un segmento che si ugule in lunghezz ll co. Nell figu seguente viene esplicitt l costuzione pe tove il quto temine di un geneic popozione, il metodo è sempe quello di utilizze il teoem di Tlete. c b c b Un volt tccito un segmento pi ll lunghezz dell co disegnimo un ettngolo coll bse lung il doppio dell co e ltezz ugule l. Questo ettngolo h evidentemente supeficie pi πl, bst qudlo con l pocedu vist pg. e il gioco è ftto. Ntulmente e ben chio gli ntichi geci che l uso di quest cuv violv le egole del gioco; il punto inftti non può essee deteminto con ig e compsso. Questo punto può solo essee ppossimto con bisezioni successive degli ngoli di lto e dei coispondenti segmenti di in modo d costuie punti dell qudtice sempe più vicini d. L soluzione di Menecmo Sppimo che Menecmo (c ) fu il mesto di lessndo Mgno, e l leggend gli ttibuisce il celebe neddoto in ispost ll ichiest del suo egle discepolo di qulche scocitoi pe impe più pidmente l geometi: Mio e, pe viggie ttveso il pese ci sono stde pe i e e stde pe i cittdini comuni, m nell geometi c è un sol std pe tutti 6. Menecmo viene iconosciuto il meito di ve scopeto le sezioni coniche ovveo le cuve che si ottengono tglindo un cono cicole etto medinte un pino pependicole un elemento del cono. Queste cuve, note qulsisi studente, vengono oggi tttte come ppesentzione gfic di equzioni di II gdo e sono: l ellisse, l pbol e l ipebole. Si teng pesente peò che il concetto di equzione e sconosciuto gli ntichi geci i quli le studiono d un punto di vist squisitmente geometico. Menecmo ptì d un cono cicole etto con un ngolo ettngolo l vetice (ovveo l cui genetice bbi un ngolo di 45 ). gli tovò che, qundo il cono viene tglito d un pino pependicole un delle ette genetici, l intesezione è ppesentt, in temini di moden geometi nlitic, d un equzione del tipo l, dove l è un costnte che dipende dll distnz del pino di intesezione dl vetice. Povimo dimoste queste popietà: consideimo un cono (con vetice in ) e seghimolo con un pino pependicole ll ett del cono; si G l cuv intesezione. Si pend o un punto P qulsisi dell cuv e si intesechi il cono con un pino oizzontle che lo seghi nell ciconfeenz PVR; si Q l lto punto di intesezione dell cuv con l ciconfeenz. Pe motivi di simmeti PQ è pependicole RV quindi P è medio popozionle t i segmenti R e V. Inolte, dll similitudine dei tingoli V e segue che V : :, e dll similitudine dei tingoli R e segue che R : R :. llo, se le coodinte del punto P sono P e si h R V ovveo, sostituendo i temini uguli, R V R R R R F 6. Si dubit dell utenticità di quest leggend peché un simile è ttibuit uclide e l e Tolomeo I. Q G P V

10 8 i poblemi clssici dell'ntichità. I tenttivi di costuzione onsideto che i segmenti R, e sono gli stessi pe tutti i punti dell cuv in questione, possimo die che ess è un pbol in qunto l equzione che l ppesent è del tipo l dove l è un costnte che sà chimt ltus ectum. Tonimo desso l poblem dell dupliczione del cubo. Ippocte e ivto dll pim eguglinz segue che cioè (); dll second si ottiene invece cioè Le equzioni () e (4) ppesentno due belle pbole entmbe con vetice nell oigine, l pim con sse di simmeti coincidente con l sse delle odinte e l second con quello delle scisse. Il punto P di coodinte (; ) pptiene ll pim pbol e può essee costuito con ig e compsso dto che conoscimo l lunghezz del lto del cubo che voglimo duplice. Il punto Q di coodinte (/; ) pptiene invece ll second pbol; in definitiv le due pbole sono completmente deteminte in qunto ne conoscimo il vetice, l sse di simmeti e un punto. (4). R. Si costuisc un qudto in modo tle che l semiett F si tovi intenmente.. Si tcci (in qulche modo) l tisettice e si X l intesezione con F.. Si tcci XG pllelo. 4. Si tisechi il segmento G deteminndo il punto H su. 5. H si tcci l pllel GX che intesec l tisettice in Y. 6. Si tcci Y. L ngolo Y è l ngolo cecto. Mente Menecmo si dedicv l poblem dell dupliczione del cubo il ftello, inostto (90 0..), scopì un inteessnte popietà del punto teminle dell tisettice di Ippi che può essee utilizzt pe qude il cechio; d llo l cuv divenne più comunemente not col nome di qudtice. Q R d l Q P α H P I punti di intesezione delle due pbole si tovno isolvendo il sistem coispondente che divent: 4 0 Quest equzione h due soluzioni eli 0 e. Si R l soluzione non bnle, bbssimo l pependicole d R sull sse e si S il piede di tle pependicole. Il segmento S vle ed è popio il lto di un cubo di volume. S gli most che, se l è il lto del qudto, l lunghezz del segmento vle l π. Pe gli studenti del V nno, cui non dovebbe essee sconosciut un po di nlisi mtemtic, l dimostzione è semplice. Se nell equzione (5) che ctteizz l tisettice, sostituimo d R senα, potimo in dinti e fccimo il limite pe α 0 ottenimo: l l limr lim α α 0 α 0π senα π I geci non conoscevno l lgeb, figuimoci l nlisi; l dimostzione di inostto si bs esclusivmente su considezioni di geometi elemente. Nel solito linguggio delle popozioni egli most che il lto l del qudto è medio popozionle t il segmento e l co del quto di cechio, ovveo : l l :. inostto icoe un dimostzione pe ssudo, tipic del pensieo mtemtico geco, fcendo vedee che l non può essee né minoe né mggioe di l/. omincimo col dimoste che l non è minoe di l/. Supponimo pe ssudo che lo si, ovveo che l (6) l con >. Poiché > l dll popozione (6) si ottiene l > ; in definitiv, l > > ; ciò signific che vi è un segmento P di lunghezz tle che > P >. Tccimo o il quto di ciconfeenz con cento e ggio. Sino Q e R i suoi punti di intese-

11 . I tenttivi di costuzione 9 Ippi e l qudtu del cechio Il sofist Ippi (c ) inventò un cuv chimt tisettice medinte l qule è possibile isolvee si il poblem dell tisezione dell ngolo che quello dell qudtu del cechio. Si considei il seguente qudto. Si teng pesente che, pe qunto il poblem semb isolto, l soluzione non è stt ottenut fcendo uso soltnto di ig e compsso dl momento che le pbole non possono essee costuite con tli stumenti. L soluzione di Pltone 5 Un segmento inizilmente coincide con e uot, con cento in, fino potsi in. Un secondo segmento, nch esso inizilmente coincidente con, tsl in diezione veticle, dl bsso veso l lto, imnendo pllelo d, fino potsi in. Il pimo segmento uot velocità ngole costnte mente il secondo tsl velocità linee costnte; i due segmenti ptono e ivno nello stesso istnte quindi, qundo il segmento che uot h pecoso un ngolo di 5, quello che tsl h ftto un sesto del pecoso totle. In ogni istnte del loo movimento simultneo i due segmenti hnno un punto di intesezione: l cuv tisettice è l insieme di tutti questi punti. É fcile moste che, se X è un punto qulsisi dell tisettice, l distnz di X dl lto del qudto è popozionle ll ngolo X ovveo (si ved l figu seguente) se chimimo l il lto del qudto, d l distnz e α l ngolo, si h: α 90 d (5) l Vedimo o come si tisec un ngolo usndo l tisettice. Si ossevi l figu seguente, quell di dest; si F l ngolo che si vuole tisece. L pocedu è l seguente: F Si un tpezio ettngolo con le digonli pependicoli che si intesecno nel punto. Se,, ed è fcile moste, considendo l similitudine dei tingoli ettngoli in cui est diviso il tpezio, che l qule non è lto che l popozione medi continu di Ippocte. Vi sfido tente l costuzione del tpezio con ig e compsso, non c è veso di iuscici in lcun modo; eppue è chio che il tpezio esiste; Pltone ( ) iesce disegnlo escogitndo il seguente stuto mchingegno (molto poco pltonico). l n X G X m l α d d H d/ α α/ Y Nell figu in lto sinist l st n può scoee veticlmente, m imne pependicole d l, mente l st m è igidmente conness d l sempe pependicolmente. Sull dest invece vi sono due ste disposte coce bloccte d ngolo etto in modo che ed, dove è l lunghezz del cubo che si vuole duplice. Quest coce deve essee mess sop le due ste m e n in modo tle che il punto si tovi su n, si su m, il polungmento di pssi pe e quello di pssi pe il punto di intesezione di l e

12 0 i poblemi clssici dell'ntichità. I tenttivi di costuzione n. on oppotuni scoimenti dell st n e otzioni delle ste disposte coce il tpezio cecto può essee individuto e llo isult popio ugule l lto del cubo di volume doppio. Si ossevi nco un volt che l costuzione h ftto uso di stumenti non concessi dll estizione pltonic. Soluzioni di questo tipo, che compotno lo scoimento e l otzione di ste gdute, eno chimte neusis (νεῦσις) ovveo soluzioni medinte inclinzione. L tisezione dell ngolo gli ntichi geci picev molto costuie ngoli di mpiezz ssegnt. Ptendo dll costuzione di pochi ngoli fondmentli, come quelli di 60 (l ngolo di un tingolo equilteo) e 08 (l ngolo di un pentgono egole), essi eno in gdo di costuie lti ngoli pplicndo un o più volte i seguenti pocedimenti:. Somme due ngoli dti.. Sotte un ngolo dto d un lto.. isece un ngolo ssegnto. d esempio un ngolo di 75 può essee ottenuto bisecndo due volte un ngolo di 60 e sommndolo poi d un lto di 60. É pobbile che questo gioco poti pim o poi chiedesi se si possibile tisece un ngolo (in modo d pote costuie d esempio un ngolo di 0 )., questo poblem pe qunto igud i segmenti è bnle, il teoem di Tlete inftti pemette di dividee un segmento non solo in te pti m in tutte quelle che voglimo, e quindi non c è motivo pe spettsi che pe gli ngoli intevengno poblemi pticoli. Invece l impes, ppentemente semplice, esiste qulsisi tenttivo: con l ig e il compsso si possono tisece solo pticoli ngoli (come quello etto o quello pitto) m non esiste lcun pocedu genele. L dimostzione di questo ftto è dovut l mtemtico fncese Piee Luent Wntzel (84 848) che nel 87 pubblic un ticolo dl titolo: Ricec sui metodi pe iconoscee se un poblem può essee isolto con ig e compsso, dove individu un citeio di non-costuibilità chimto in seguito Teoem di Wntzel. ome l solito se si bbndonno le egole del gioco e si icoe d lti metodi, come d esempio soluzioni medinte inclinzione, l tisezione è possibile. Vedimo un pio di esempi: quello di chimede (87..) e quello di Nicomede (c ). L soluzione di chimede Si α l ngolo d tisece. on cento nel vetice si tcci un ciconfeenz di ggio bitio individundo i punti P e Q sulle due semiette di α. Polunghimo P dll pte di ; sull ig segnimo un segmento P ugule l ggio ; questo punto, con l ig non più intons, tcci-. un estemo del segmento si tcci un semiett sull qule si distendno un numeo di segmenti ugule l numeo di pti in cui si vuole dividee il segmento, individundo i punti P, P,..., P n. ll ultimo punto si tcci il segmento P n. Le pllele l segmento pssnti pe P, P,..., individuno sul segmento i punti, che dividono il segmento nel numeo di pti cecte. mo il segmento pssnte pe Q tle che P si mnteng sull ciconfeenz e sul polungmento di P. É fcile moste che l ngolo β P è un tezo di α. Inftti, il tingolo P è isoscele e quindi l ngolo esteno QP sà pi β; m nche il tingolo P Q è isoscele pe cui l ngolo l vetice P Q vle 80 4β; d ciò segue immeditmente che l ngolo α è pi β. L soluzione di Nicomede α Si considei l seguente figu. è l ngolo che deve essee tisecto. Si. Il segmento è pependicole ll semiett e l semiett è pllel ll semiett. bbimo poi tccito un segmento Q che intesec in P, in modo tle che PQ. llo è fcile dimoste che l ngolo Q è un tezo dell ngolo. P P β P Il pocedimento medinte inclinzione ichiede che su un ig si segni un segmento PQ, si deve poi f scoee P su e Q su fino qundo l ig non pssi pe.. cco l clssic dimostzione pe intimidzione che in veità non è fftto bnle. Il testo di ifeimento [unt] suggeisce di unie il punto con il punto medio M di PQ. L situzione miglio peché intuimo che i tingoli MQ e M sono isosceli, m come dimostlo? Il unt tce e nch io ho dovuto pensci un po. Poi mi è venut l illuminzione di costuie l ciconfeenz di dimeto PQ, con questo sttgemm l dimostzione si f ccessibile. Si α Q; l ngolo Q α peché lteno inteno, l ngolo M vle α peché esteno del tingolo MQ; segue quindi che Q α in qunto il tingolo M è isoscele. M Q P Q