11. Geometria piana ( ) ( ) 1. Formule fondamentali. Rettangolo. A = b = h = = b h. b = base h = altezza. Quadrato

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1 11. Geometi pin 1. Fomule fonmentli Rettngolo = h = h = h p= + h p= + h h= p = p h + ( ) = h = h h = = se = igonle p = peimeto h = ltezz = e p = semipeimeto Quto = l l = = l l = l = lto = igonle = e p = peimeto p = semipeimeto Pllelogmm = se h = ltezz = lto oliquo = e p = peimeto Tingolo m h,, = lti h = ltezz = e p = peimeto p= semipeimeto = h = h = h p= + = p = p ( ) I lti opposti sono plleli e uguli. Gli ngoli opposti sono uguli. Gli ngoli ienti sono supplementi. Le igonli si tglino eipomente metà. h = = h = h = p( p )( p )( p ) fomul i Eone p= p = 1 Mein eltiv l lto è m = + l = + p p isettie eltiv l lto è ( ) 1

2 Tingolo ettngolo h = = h = p=++ γ H Teoem i Pitgo M = +, =, = h = ipotenus = teto = teto h = ltezz eltiv ll ipotenus M = mein eltiv ll ipotenus = e p = peimeto Tingoli ptioli 1 teoem i Eulie = H, = H teoem i Eulie H = H H Il tingolo ettngolo è sempe insiviile in un semiionfeenz i imeto l ipotenus e ggio M. M = Romo p = 4 1 l = = 1 1 l + = 4 4 4l 1 = = 1 l = lto 1, = igonli = e p = peimeto = ggio el ehio insitto Deltoie 1, = igonli, =e = 1 1 = = 1 Il eltoie h le igonli pepenioli e i lti uguli ue ue.

3 Tpezio 1 = se mggioe = se minoe = e ( 1 + ) h = = 1 h h = = h Tpezio isosele l h l = se mggioe, = se minoe, l = lto, h = ltezz = igonle, = e, p = peimeto ( ) + h = p= l+ + h = l + = h + l = h + Tpezio ettngolo D H D = se minoe, = se mggioe, = lto oliquo, D = H = ltezz, e D igonli H= D D= D + H = H = H + H = D + D Poligono egole l l O H tutti gli ngoli e tutti i lti uguli. l = lto el poligono, n = numeo i lti = ggio el ehio iositto, = potem = ggio el ehio insitto, p = peimeto, p = semipeimeto, = e, f = numeo fisso e, N = numeo fisso potem lto tingolo equilteo l 3 = 3, lto quto l 4 = lto pentgono egole l 5 = 10 5 lto egono egole l 10 = = p = n l = l f = l N = p= n l p l = N numeo fisso potem f numeo fisso e Tingolo Quto pentgono esgono ettgono ottgono enngono egono

4 ionfeenz e ehio = ionfeenz = e = imeto Settoe iole l π = π = π = π = π = π = π = ngolo el settoe, l = lunghezz ell o l = π o 180 = π 360 o 180 = l π o 360 = π o l 180 = π 360 = π o o oon iole R = ggio el ehio inteno, R = ggio el ehio esteno, = e ( ) = π R Poligono iositto un ionfeenz p = peimeto el poligono, p = semipeimeto = e el poligono = ggio el ehio insitto = p = p p = Tingolo insitto e iositto un ionfeenz R = e el tingolo,, lti el tingolo R = ggio el ehio iositto = ggio el ehio insitto p = semipeimeto = R = = 4 R 4 p 4

5 . Pime efinizioni i geometi zionle Enti pimitivi. Gli enti pimitivi ell geometi sono punto, ett, pino. Semiett. Si him semiett l pte i ett ostituit un punto i ess, etto oigine ell semiett, e tutti i punti he stnno ll stess pte ispetto ll oigine. Semipino. Si ie semipino i oigine l ett l figu fomt ll ett e un elle ue pti in ui ess ivie il pino. Segmento. Si him segmento l insieme ei punti e e i tutti quelli he stnno t e. Segmenti onseutivi. Due segmenti si iono onseutivi se hnno in omune soltnto un estemo. Segmenti ienti. Due segmenti si iono ienti se sono onseutivi e pptengono ll stess ett. D E F Figu 1. e sono segmenti onseuti; DE e EF sono segmenti ienti. Punto meio. Si him punto meio i un segmento il punto inteno l segmento he lo ivie in ue pti onguenti. ngolo Si ie ngolo isun elle ue pti in ui un pino è iviso ue semiette venti l oigine in omune; le semiette si iono lti ell ngolo; l oigine omune lle ue semiette si ie vetie ell ngolo. ngolo onvo. Un ngolo si ie onvo se ontiene i polungmenti ei suoi lti. ngolo onvesso. Un ngolo si ie onvesso se non ontiene i polungmenti ei suoi lti. L ngolo in gigio è onvo poihé ontiene i polungmenti ei suoi lti L ngolo in gigio è onvesso poihé non ontiene i polungmenti ei suoi lti ngolo pitto è quello he h i lti he sono uno il polungmento ell lto. ngolo nullo è quello ostituito solo ue semiette sovpposte. ngolo gio è quello he h pe lti ue semiette sovpposte e he ontiene tutti i punti el pino. ngolo etto è l ngolo metà ell ngolo pitto. ngoli onseutivi. Due ngoli si iono ngoli onseutivi se hnno il vetie e un lto omune e giiono pte oppost ispetto l lto omune. ngoli ienti. Due ngoli si iono ngoli ienti se sono onseutivi e se i lti non omuni giiono sull stess ett. 5

6 Figu. Gli ngoli e sono onseutivi; gli ngoli γ e δ sono ienti ngoli opposti l vetie. Due ngoli onvessi si iono ngoli opposti l vetie se i lti el pimo sono i polungmenti ei lti ell lto. isettie. Si ie isettie i un ngolo l semiett he h oigine nel vetie ell ngolo e ivie l ngolo in ue ngoli onguenti. ngoli omplementi. Due ngoli si iono omplementi se l loo somm è un ngolo etto. ngoli supplementi. Due ngoli si iono supplementi se l loo somm è un ngolo pitto. ngoli esplementi. Due ngoli si iono esplementi se l loo somm è un ngolo gio. ngolo uto. Un ngolo si ie uto se è minoe i un ngolo etto. ngolo ottuso. Un ngolo si ie ottuso se è mggioe i un ngolo etto. Misu egli ngoli Sistem sessgesimle (DEG). L unità i misu pe gli ngoli è il go, efinito ome l 360 pte ell ngolo gio. I sottomultipli el go sono il pimo he è l sessntesim pte i un go (60 =1 ) e il seono he è l sessntesim pte el pimo (60 =1 ). Sistem sesseimle (GRD). Nel sistem sesseimle l unità è sempe il go m i suoi sottomulpli sono il eimo i go, il entesimo i go, e. Esempio. Psse gi sesseimli sessgesimli: 35,1 = 35 0,1 60' = 35 7,' = 35 7' 0, 60" = 35 7'1" Rinti (RD). Un'lt unità i misu pe i gi è il inte, efinito ome ngolo l ento i un ionfeenz tle he l misu ell o esso iniviuto è ugule ll misu el ggio ell ionfeenz. Pe psse gi inti e vieves si us quest popozione 180 : g= π : Dove g è l misu in gi ell ngolo, è l misu ininti ello stesso ngolo. 1 = 180 = 57,9578 = π π 3 Esempio. Tsfome 135 in inti. 180 :135 = π : = = π Rette omplni. Due ette si iono omplni se pptengono uno stesso pino. Rette sgheme. Due ette si iono sgheme se non pptengono uno stesso pino. Rette inienti. Due ette omplni si iono inienti se hnno uno, e uno solo, punto in omune. Rette pllele. Due ette omplni he non hnno nessun punto in omune si iono pllele. Rette pepenioli. Due ette si iono pepenioli se inontnosi fomno qutto ngoli etti. Distnz punto-ett. L istnz i un punto P un ett è il segmento i pepeniole ontt l punto ll ett. sse i un segmento. Si ie sse i un segmento l ett pepeniole l segmento e pssnte pe il punto meio. γ δ 6

7 Figu onv o onvess. Un figu si ie onvess se, onsieti ue qulsisi suoi punti, il segmento he li unise è ontenuto nell figu. Si ie onv se esistono lmeno ue punti pe i quli il segmento he li unise non è intemente ontenuto nell figu. F G Figu. L figu F è onv pehé il segmento he unise i suoi punti e e in pte estenmente F; G è onvess pehé tutti i suoi punti sono uniti segmenti he ono sempe intenmente G Figue onguenti. Due figue si iono onguenti quno esiste un movimento igio he le sovppone pefettmente. Rette pllele tglite un tsvesle. Due ette pllele tglite un tvesle fomno le seguenti oppie i ngoli γ δ γ' δ' ' ' lteni inteni onguenti: γ= ; =δ lteni esteni onguenti: γ =; =δ oisponenti onguenti: = ; = ; γ= γ ; δ =δ oniugti inteni supplementi: γ+δ =180 ; +=180 oniguti esteni supplementi: γ +δ=180 ; + =

8 3. Tingoli Si ie ltezz eltiv un lto il segmento i pepeniole l lto onott l vetie opposto. Si ie mein eltiv un lto il segmento he unise il punto meio el lto on il vetie opposto. Si ie isettie i un ngolo l semiett usente l vetie ell ngolo e he ivie metà l ngolo stesso. Si ie sse i un lto l ett pepeniole l lto e pssnte pe il suo punto meio. itei i onguenz ei tingoli Dti ue tingoli ome in figu ' ' ' γ 1 iteio: i ue tingoli sono onguenti se hnno onguenti ue lti e l ngolo ompeso = ; = ; γ=γ iteio: i ue tingoli sono onguenti se hnno onguenti un lto e i ue ngoli esso ienti = ; = ; = 3 iteio: i ue tingoli sono onguenti se hnno onguenti ispettivmente i te lti = ; = ; = itei i onguenz ei tingoli ettngoli Due tingoli ettngoli sono onguenti se hnno ointmente onguenti: ue teti; un teto e un ngolo uto; l ipotenus e un ngolo uto; l ipotenus e un teto. Popietà i ngoli e lti i un tingolo In un tingolo ogni ngolo esteno è mggioe i isuno egli ngoli inteni esso non ienti. In un tingolo un ngolo esteno è onguente ll somm ei ue ngoli inteni esso non ienti. φ ϕ= + In un tingolo l somm egli ngoli inteni è un ngolo pitto. In un tingolo l somm egli ngoli esteni vle 360. In un tingolo on ue lti isuguli, lto mggioe è opposto ngolo mggioe. In un tingolo on ue ngoli isuguli, ll ngolo mggioe è opposto il lto mggioe. In un tingolo isun lto è minoe ell somm egli lti ue e mggioe ell loo iffeenz. γ' ' ' 8

9 <+, <+, <+ > -, > -, > - In un tingolo ettngolo gli ngoli uti sono omplementi. Se pe il punto meio i un lto si ti l pllel un lto lto, ess tgli il tezo lto nel suo punto meio. ongiungeno ue punti mei i ue lti i un tingolo si ottiene un segmento pllelo l tezo lto e onguente ll su metà. Popietà el tingolo isosele Definizione. Un tingolo he h ue lti onguenti si ie isosele. In un tingolo isosele gli ngoli ienti ll se sono onguenti. In un tingolo isosele l isettie ell ngolo l vetie è mein e ltezz. Punti notevoli i un tingolo Gli ssi ei lti i un tingolo si inontno in uno stesso punto etto ioento. Le isettii egli ngoli inteni i un tingolo pssno pe uno stesso punto etto inento. Le ltezze i un tingolo si inontno in uno stesso punto etto otoento. Le meine i un tingolo si inontno in uno stesso punto etto iento. Figu. Il punto D è l intesezione elle ltezz, quini è l otoento. Il punto E è l inonto elle isettii, quini è l inento. Il punto I è l intesezione elle meine, quini il iento. Teoemi sul tingolo ettngolo Teoem i Pitgo. In un tingolo ettngolo l somm ei quti ostuiti sui teti è equivlente l quto ostuito sull ipotenus. 9

10 1 teoem i Eulie. In un tingolo ettngolo il quto ostuito su un teto è equivlente l ettngolo vente pe lti l ipotenus e l poiezione i quel teto sull ipotenus. teoem i Eulie. In ogni tingolo ettngolo il quto ostuito sull ltezz eltiv ll ipotenus è equivlente l ettngolo vente pe lti le poiezioni ei teti sull ipotenus. Teoem i Tlete. Un fsio i ette pllele tglite ue tsvesli etemin su i esse ue insiemi i segmenti iettmente popozionli. = = ' ' ' ' ' ' Figu 3. Teoem i Tlete Teoem ell isettie ell ngolo inteno. L isettie i un ngolo inteno i un tingolo ivie il lto opposto in pti popozionli gli lti ue lti. K :=K:K Teoem ell isettie ell ngolo esteno. L isettie i un ngolo esteno i un tingolo, se non è pllel l lto opposto, inont il polungmento el lto opposto in un punto le ui istnze gli estemi el lto stnno f loo ome i lti ienti. D H isettie ell ngolo esteno D H punti i intesezione t l isettie e il polungmento el lto. Il teoem ffem he :=H:H Teoem ell pllel un lto. In un tingolo un qulsisi pllel un lto he intese gli lti ue lti etemin su i essi segmenti in popozione. H 10

11 E D E:E=D:D itei i similituine ei tingoli 1 iteio. Due tingoli sono simili se hnno ue ngoli ointmente onguenti, ioè isposti llo stesso moo ispetto ll ngolo t essi ompeso. iteio. Due tingoli sono simili se hnno ue lti popozionli e l ngolo t essi ompeso onguente. 3 iteio. Due tingoli sono simili se hnno i te lti popozionli. Popietà ei tingoli simili In ue tingoli simili le ltezze, le meine e le isettii he si oisponono sono popozionli un oppi i lti omologhi, il loo ppoto è ugule l ppoto i similituine. In ue tingoli simili i peimeti sono popozionli un oppi i lti omologhi, il loo ppoto è ugule l ppoto i similituine. In ue tingoli simili le ee sono popozionli l quto i un oppi i lti omologhi, ioè il loo ppoto è ugule l quto el ppoto i similituine. Due tingoli equiltei sono sempe simili. Due tingoli ettngoli, on un ngolo uto onguente, sono simili. Due tingoli isoseli, on gli ngoli l vetie onguenti, sono simili. 4. Poligoni Popietà egli ngoli i un poligono L somm egli ngoli inteni i un poligono onvesso i n lti è onguente n- ngoli pitti. L somm egli ngoli esteni i un poligono è sempe onguente ue ngoli pitti. γ' ' γ δ' ' φ δ φ' Somm egli ngoli inteni ++γ+δ+φ=(n-)180 Somm egli ngoli esteni + +γ +δ +φ =

12 Popietà el pllelogmm Definizione. Si ie pllelogmm un quilteo onvesso he h i lti opposti plleli t i loo. O δ γ D Il pllelogmm h Lti opposti onguenti: =D; D= ngoli opposti onguenti: =γ; =δ ngoli ienti llo stesso lto sono supplementi: +δ = 180 ; γ+=180 Le igonli si inontno nel loo punto meio O=O; DO=O Il punto i inonto elle igonli è il ento i simmeti Popietà el ettngolo Definizione. Si ie ettngolo un pllelogmm he h tutti gli ngoli onguenti. Il ettngolo h le igonli onguenti. Popietà el omo Definizione. Si him omo il pllelogmm he h tutti i lti onguenti Il omo h: le igonli pepenioli; le igonli sono isettii egli ngoli opposti. Poligoni insitti e iositti un ionfeenz Un poligono si ie insitto in un ionfeenz se tutti i suoi vetii sono punti ell ionfeenz; l ionfeenz si ie iositt l poligono; il ggio ell ionfeenz si ie nhe ggio el poligono. Un poligono si ie iositto un ionfeenz se tutti i suoi lti sono tngenti ll ionfeenz; l ionfeenz si ie insitt nel poligono, il ggio ell ionfeenz si ie potem el poligono. potem Poligono insitto Poligono iositto Teoem. Un poligono è insiviile in un ionfeenz se gli ssi ei suoi lti si inontno tutti nello stesso punto. Teoem. Un poligono è iosiviile un ionfeenz se le isettii ei suoi ngoli inteni si inontno tutte nello stesso punto. 1

13 Teoem. Un quilteo insitto in un ionfeenz h gli ngoli opposti supplementi; vieves un quilteo on un oppi i ngoli opposti supplementi è insiviile in un ionfeenz. +=180 +δ=180 δ γ Teoem. In un quilteo iositto un ionfeenz l somm i ue lti opposti è onguente ll somm egli lti ue lti; vieves se in un quilteo l somm i ue lti opposti è onguente ll somm egli lti ue lti esso è iosiviile un ionfeenz. +=+ Teoem i Tolomeo. In un quilteo insitto in un ionfeenz isult he: il ettngolo he h pe imensioni le igonli el quilteo è equivlente ll somm ei ettngoli he hnno pe lti i lti opposti el quilteo. n m m n= + Definizione. Un poligono si ie poligono egole se h tutti i lti onguenti e tutti gli ngoli onguenti. Teoem. Ogni poligono egole è si insiviile si iosiviile un ionfeenz e le ue ionfeenze hnno lo stesso ento. Similituine t poligoni Due poligoni i ugule numeo i lti sono simili se hnno i lti omologhi in popozione e gli ngoli ointmente onguenti. 13

14 5. ionfeenz e ehio Definizioni Si him ionfeenz il luogo ei punti el pino he hnno istnz ostnte un punto fisso etto ento. Si him ehio l insieme ei punti i un ionfeenz e ei suoi punti inteni. Si him o un qulsisi segmento i ui estemi sono punti ell ionfeenz. Si him segmento iole i se un o isun elle ue pti in ui l o ivie il ehio. Si him segmento iole ue si l pte i ehio elimitt ue oe. Si him o i ionfeenz l pte i ionfeenz elimitt ue suoi punti. Si him ngolo l ento un ngolo he h il vetie nel ento ell ionfeenz. Si him ngolo ll ionfeenz un ngolo he h il vetie sull ionfeenz e i lti entmi senti o uno sente e l lto tngente ll ionfeenz. Si him settoe iole un pte i ehio elimitt ue ggi. Teoem ell tngente. Se un punto esteno un ionfeenz si mnno le tngenti ll ionfeenz stess, i segmenti i tngente sono onguenti e l semiett i ogine il punto esteno e pssnte pe il ento è isettie ell ngolo fomto lle tngenti. O T P PT e PT sono tngenti PT=PT T PO = OPT ' OTP = OT ' P= 90 T Teoem ell ngolo l ento. Ogni ngolo ll ionfeenz è l metà el oisponente ngolo l ento. Teoem elle oe. Se ue oe i un ionfeenz si inteseno, i segmenti ell un sono i mei e i segmenti ell lt sono gli estemi i un popozione. K DK:K=K:K D 14

15 Teoem elle senti. Se un punto esteno un ionfeenz si tino ue senti, un sente e l su pte esten sono i mei, l lt sente e l su pte esten sono gli estemi i un popozione. P P:PD=P:P Teoem ell sente e ell tngente. Se un punto esteno un ionfeenz si onuono un sente e un tngente ll ionfeenz, il segmento i tngente è meio popozionle f l inte sente e l su pte esten. P T D P:PT=PT:P Sezione ue. L pte ue i un segmento è il segmento D he è meio popozionle t l inteo segmento e l pte imnente D, quini :D=D:D. D 5 1 D= = 0,618 Rppoto ueo. Si him ppoto ueo il ppoto t un segmento e l su pte ue, questo 1+ 5 ppoto vle ϕ= = 1,618. D Rettngolo ueo. Si ie ettngolo ueo un ettngolo nel qule il ppoto t l se e l ltezz è il ppoto ueo. 15