Matematica FORMULARIO RICHIAMI DI ALGEBRA. Un equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale: ax 2 bx c 0, a 0. c 0: impossibile.

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1 FRMULRI Mtemti RIHIMI DI LGER LE EQUZINI DI SEND GRD Un equzione di seondo gdo è ionduiile ll fom nomle: 0, 0 0, 0 (equzione pu) 0 se 0: impossiile se 0, 0, 0 (equzione spui) 0 ( ) 0 0, 0 (equzione monomi) 0 0 0, 0 (equzione omplet). Il disiminnte è. Δ = Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 due soluzioni eli distinte ± Δ, = Fomul idott: pi,. due soluzioni eli oinidenti = = 0 non esistono soluzioni eli LE DISEQUZINI DI SEND GRD e isolvee le disequzioni 0 e 0 (on 0), si onside l equzione ssoit 0. Se 0, l disequzione: 0 è veifit di vloi esteni ll intevllo individuto dlle dii dell equzione ssoit; 0 è veifit di vloi inteni. Se 0, l disequzione: 0 è sempe veifit tnne he pe il vloe dell die doppi dell equzione ssoit; 0 non è mi veifit. Se 0, l disequzione: 0 è sempe veifit; 0 non è mi veifit. > 0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < > > > 0 = + + < 0

2 UNITUTR MEDIIN 05 LE EQUZINI E LE DISEQUZINI N IL VLRE SSLUT se k 0: non h soluzione () k se k 0: () k se k 0: k () k () k () k () k se k 0: non h soluzione se k 0: () k () k () k se k 0: () 0 se k 0: sempe veifit Mtemti LE EQUZINI E LE DISEQUZINI IRRZINLI n () () se n è dispi: () [()] n () 0 se n è pi: () 0 () [()] n n () () se n è dispi: () [()] n () 0 se n è pi: () 0 () [()] n n () () se n è dispi: () [()] n se n è pi: () 0 () 0 () 0 () [()] n LE RRIETÀ DELLE TENZE m n mn m n mn on 0 ( m ) n mn m m ( ) m m m ( ) m on 0 n on 0 n I RDTTI NTEVLI E L SMSIZINE IN FTTRI ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 Mtemti UNITUTR MEDIIN 05..E.: ; odominio: + ; funzione esente in ; oispondenz iunivo; 0 pe ; + pe +. L FUNZINE ESNENZILE E L FUNZINE LGRITM = log ( > ) = ( > )..E.: + ; odominio: ; funzione esente in + ; oispondenz iunivo; log pe 0; log + pe +. Disequzioni esponenzili L funzione esponenzile..e.: ; odominio: + ; funzione deesente in ; oispondenz iunivo; 0 pe + ; + pe. L funzione logitmo = log (0 < < )..E.: + ; odominio: ; funzione deesente in + ; oispondenz iunivo; log + pe 0; log pe +. = (0 < < )..E.: ; odominio: {}; funzione ostnte; funzione non iniettiv. = ( = ) Logitmo di un podotto log ( ) log log, ( 0, 0) Logitmo di un quoziente log log log, ( 0, 0) Logitmo di un potenz log n n log, ( 0) mimento di se nei logitmi log log 0, 0, 0 l og, Disequzioni logitmihe 0 0 t z t z t z t z log log log log z z t = ( > ) t = (0 < < ) t t z z log = log ( > ) log log = log (0 < < ) log

4 RIHIMI DI GEMETRI UNITUTR MEDIIN 05 Mtemti I punti notevoli di un tingolo inento ioento medine ltezze o loo polungmenti isettii ssi iento otoento L inento è il ento dell ionfeenz insitt. Il ioento è il ento dell ionfeenz iositt. Il iento divide ogni medin in due pti di ui quell ontenente il vetie è doppi dell lt I itei di onguenz dei tingoli iteio iteio iteio ' ' ' ' '' '' ˆ ' ˆ ' ''' ' '' ˆ ' ˆ ˆ ' ˆ ' ''' ' '' '' '' ' ''' Il teoem di Tlete Teoem di Tlete Teoem dell isettie di un ngolo inteno di un tingolo ' ' s E ' t // s // t : = '' : '' E : E = : onseguenz del teoem di Tlete N M M MN N N MN M

5 5Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 Il teoem di itgo i + = i Relzioni f i lti di tingoli notevoli 5 5 imo iteio  ' ˆ ˆ ' ˆ ''' ' ' Teoem delle ode senti D E E : E = ED : E L equivlenz e l similitudine 0 60 p p h = p (p ) (p ) (p ) + + on p = itei di similitudine dei tingoli ' Seondo iteio  ' ˆ ' ' : '' = : '' ''' L similitudine nell ionfeenz Teoem delle senti F F : E = : ' i I teoemi di Eulide E p p imo teoem di Eulide i : = : p i : = : p Seondo teoem di Eulide p : h = h : p Fomul di Eone Tezo iteio ' ' : '' = : '' = : '' ''' Teoem dell sente e dell tngente F F : = : '

6 I teoemi sulle ode K H D H K D D D L ionfeenz V UNITUTR MEDIIN 05 ngoli ll ionfeenz e ngoli l ento gni ngolo ll ionfeenz è l metà dell ngolo l ento oispondente. V Mtemti D H D H H Tngente un ionfeenz d un punto esteno H D D H D ˆ ˆ Se d un punto esteno un ionfeenz si onduono le ette tngenti, i segmenti di tngente isultno onguenti H L lunghezz dell ionfeenz e l e del ehio = = 80 = S = = 60. Misue dell ionfeenz () e dell o di ngolo l ento ().. Misue dell e del ehio () e dell e del settoe iole di ngolo l ento (S). = p R R =. Rggio del ehio insitto nel tingolo.. Rggio del ehio iositto l tingolo. 6

7 7Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 IRMIDE RETT = p t = + V = h h h = = h t = ( + ) V = h h Fomule di geometi solid RISM RETT RLLELEIED RETTNGL U h TRN DI IRMIDE RETT N TRN DI N h S = Rh R lott zon = (p + p') t = + + ' V = h ( + ' + + ' ) = ' = ' = ( + ') t = + + ' V = h ( + ' + ') R h h h h ILINDR = = h t = (h + ) h V = h SFER = V = LTT E ZN SFERI SEGMENT SFERI DUE SI SEGMENT SFERI UN SE R = p h t = + V = h V = + + R V = d R = 70 s R V = h + h = h R h FUS SFERI SIHI SFERI NELL SFERI S = R d = 90 R f d :mpiezz del diedo in dinti : mpiezz del diedo in gdi d = = ( + ) t = ( + + ) V = d = + + s d h h R V = 6 h = s t = 6 s V = s d = s

8 GEMETRI NLITI UNITUTR MEDIIN 05 Mtemti L distnz f due punti ( ; ) e ( ; ) è dt d: ( ) ( ). Il punto medio del segmento è M( M ; M ) on: M, M. Il iento di un tingolo di vetii ( ; ), ( ; ), ( ; ) è G( G ; G ) on: G, G. 0 0 L distnz di un punto ( 0 ; 0 ) d un ett di equzione 0 è ugule : d. Il pino tesino e l ett L equzione di un ett (0;k) =k =0 =h =0 (h;0) oeffiiente ngole Rette pllele Rette pependioli m = Q( ; ) ( ; ) = m + q = m + q' =. Rett pllel ll sse.. Rett pllel ll sse.. Rett non pllel gli ssi pssnte pe i punti ( ; ) e ( ; ). = m + q = m + q' I fsi di ette. Fsio popio di ette pe un punto : insieme di tutte le ette del pino pssnti pe. è detto ento del fsio.. Fsio impopio di ette pllele un ett. 8

9 9Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 L pol on sse pllelo ll sse sse: = = + + ( 0) F ( ; Δ ) V ( ; Δ ) diettie: = +Δ se 0 l onvità è ivolt veso il sso = L ionfeenz (; β) L ipeole ( ) + ( β) = = F ( ; 0) (0 ; ) F ( ; 0) ( ; 0) ( ; 0) (0 ; ) =, < = Le onihe L pol on sse pllelo ll sse = + + V sse: = F ( ; Δ ) Δ diettie: = + Δ se 0 l onvità è ivolt nel veso opposto L ellisse (0 ; ) F ( ; 0) F ( ; 0) ( 0) ( ; 0) ( ; 0) = (0 ; ) + =, > L funzione omogfi = + + d IL SEGMENT RLI Timo l ett pllel d e tngente ll pol, e onsideimo su di ess le poiezioni e di e. L e del segmento polio è ugule dell e del ettngolo. = d S = '' S ' '

10 L SIMMETRI SSILE Fisst nel pino un ett, l simmeti ssile ispetto ll ett è quell isometi he ogni punto del pino f oispondee il punto del semipino opposto ispetto, in modo he si l sse del segmento, ossi: UNITUTR MEDIIN 05 pss pe il punto medio di ; è pependiole ll ett. L ett è dett sse di simmeti. Nel pino tesino pendimo in esme le seguenti simmetie ssili, fonendo le eltive equzioni. ' Mtemti. Simmeti on sse (sse pllelo ll sse ) = ' '. Simmeti on sse (sse pllelo ll sse ) ' ' = ' =. Simmeti on sse (isettie del pimo e tezo qudnte) ' = ' = ' d. Simmeti on sse (isettie del seondo e quto qudnte) = ' e. Simmeti on sse 0 (sse ) ' = 0 Due punti simmetii ispetto ll sse hnno sisse opposte e l stess odint. ' f. Simmeti on sse 0 (sse ) Due punti simmetii ispetto ll sse hnno l stess siss e odinte opposte. = 0 ' ' 0

11 Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 L pim elzione fondmentle sen os L seond elzione fondmentle tg s en os GNIMETRI E TRIGNMETRI L TNGENTIDE Le funzioni goniometihe = tg 5 + = I gfii delle funzioni goniometihe L SINUSIDE = sen Seno, oseno e tngente su un tingolo ettngolo L TNGENTIDE sen = os = tg = otg = L SINUSIDE = os eiodiità: R, k Z sen( k) sen eiodiità: R, k Z os( k) os = otg eiodiità: R, k Z tg(k) tg eiodiità: R, k Z otg(k) otg teto opposto sen = ipotenus ipotenus teto opposto teto diente os = ipotenus ipotenus teto diente teto opposto tg = teto diente teto diente teto opposto

12 Le funzioni goniometihe invese UNITUTR MEDIIN 05 Mtemti RSEN = sen RSEN.E.: [ ; ] odominio: ; = os.e.: [ ; ] odominio: [0; ]: RTNGENTE RTNGENTE = tg.e.: odominio: ; = otg.e.: odominio: ]0; [ Seno, oseno, tngente e otngente di ngoli notevoli dinti gdi seno oseno tngente otngente non esiste non esiste 0

13 Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 e e e sen e sen os Funzioni goniometihe di ngoli ssoiti sen () sen os () os tg () tg otg () otg sen() sen os() os tg() tg otg() otg os os sen tg otg otg tg os sen tg otg otg tg e e + e sen + e sen os + sen () sen os () os tg () tg otg () otg sen() os() tg() sen os tg otg() otg os os sen tg otg otg tg os sen tg otg otg tg

14 Le fomule di ddizione sen() sen os os sen os() os os sen sen tg tg tg() tg tg on,, k Le fomule di sottzione sen() sen os os sen os() os os sen sen tg tg tg() tg tg on,, k Le fomule goniometihe UNITUTR MEDIIN 05 Le fomule pmetihe sen tg tg tg os, on k tg Le fomule di postfeesi sen p sen q sen p q os p q sen p sen q os p q sen p q os p os q os p q os p q Mtemti Le fomule di duplizione sen sen os os os sen tg tg tg Le fomule di isezione sen o s os o s tg o o s s os p os q sen p q sen p q Le fomule di Wene sen sen [os() os()] os os [os() os()] sen os [sen() sen()] L ngolo f due ette m q, s m q, on m tg on m tg s m m tg tg(). mm γ γ γ γ β

15 5Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 Un equzione si die goniometi se ontiene lmeno un funzione goniometi dell inognit. Si himno elementi le equzioni goniometihe del tipo: sen, os, tg. sen os detemint se Equzioni goniometihe elementi detemint se impossiile se impossiile se tg detemint R Y = β + k β X = β + k i sono ptioli equzioni elementi he si possono isolvee on le popietà dell seguente tell. Tipo di equzione sen sen sen sen sen os sen os os os os os tg tg tg tg opietà = ( ) + k = γ + k sen sen k k sen sen ( ) os sen os sen sen os os k os os ( ) tg tg k tg tg ( ) Y Y = + k γ X X

16 LE EQUZINI LINERI IN SEN E SEN sen os 0 0, 0 Metodo lgeio UNITUTR MEDIIN 05 Mtemti 0 si divide pe os tg. 0 si deteminno le eventuli soluzioni di tipo k; se k, pplindo le fomule pmetihe si ottiene t tg t ( ) t 0 Metodo gfio Si sostituise Y sen e X os e si isolve quindi il sistem seguente: X Y Y X 0 Metodo dell ngolo ggiunto Si isolve il sistem seguente: sen( ) tg LE EQUZINI MGENEE DI SEND GRD IN SEN E SEN sen os sen os 0 imo metodo 0 os ( sen os ) 0 0 si divide pe os tg tg 0 Seondo metodo sen sen os Sostituendo sen os si ottiene un equzione linee. os os Un equzione linee dell fom sen sen os os d (d 0) è ionduiile un equzione omogene sostituendo d d(os sen ). 6

17 7Mtemti UNITUTR MEDIIN 05 Disequzioni goniometihe imo metodo Seondo metodo Si studi l posizione eipo t il gfio dell Si disegn l ionfeenz goniometi, si isolve l equzione ssoit, si deteminno gli hi funzione goniometi e l ett. in ui è soddisftt. L funzione seno sen < sen > = sen < sen > sen k k; sen 0 k k k k os 0 k k k k; os k k tg < os > os < L funzione oseno tg > = = os < L funzione tngente tg < + tg > tg k k; tg k k tg > os > tg <