Richiami di algebra 2. Funzione esponenziale e funzione logaritmo 4. Richiami di geometria 5. Geometria analitica nel piano 9

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1 TERI IN SINTESI Rihimi di ge Fuzioe espoezie e fuzioe ogitmo Rihimi di geometi 5 Geometi iti e pio 9 Goiometi e tigoometi Geometi iti eo spzio 9 Limiti e fuzioi otiue Deivte 6 Mssimi, miimi e fessi 9 Studio dee fuzioi Itegi Equzioi diffeezii Risouzioe ppossimt di u equzioe 5 Itegzioe umei 6 Sttisti 7 oo omitoio e poiità 8 Distiuzioi di poiità 9

2 TERI IN SINTESI RIHIMI DI LGER Le equzioi di seodo gdo U equzioe di seodo gdo è ioduiie fom ome: + +,! se,! (equzioe pu) " + " : impossiie se : ",!,! (equzioe spui) " + " ( + ) ", (equzioe moomi) " "!,! (equzioe ompet). I disimite è D. D D D D due souzioi ei distite due souzioi ei oiideti o esistoo souzioi ei, D! Fomu idott: pi ", D!. Le disequzioi di seodo gdo e isovee e disequzioi + + e + + (o ), si oside equzioe ssoit + +. Se D, disequzioe: + + è veifit di voi estei itevo idividuto de dii de equzioe ssoit; + + è veifit di voi itei. Se D, disequzioe: + + è sempe veifit te he pe i voe de die doppi de equzioe ssoit; + + o è mi veifit. Se D, disequzioe: + + è sempe veifit; + + o è mi veifit. D D D

3 Rihimi di ge T Le equzioi e e disequzioi o i voe ssouto ( ) k se k : o h souzioe se k $ : ( )! k ( ) se k : k ( ) k" k se k # : o h souzioe ( ) k ) ( ) k ( ) se k : ( ) k ( ) k k se k : ( )! se k : sempe veifit Le equzioi e e disequzioi izioi ( ) ( ) ( ) ( ) se è dispi: ( ) [ ( )] Z ( ) $ ] se è pi: [ ( ) $ ] ( ) [ ( )] \ se è dispi: ( ) [ ( )] Z ( ) $ ] se è pi: [ ( ) ] ( ) [ ( )] \ ( ) ( ) se è dispi: ( ) [ ( )] ( ) ( ) $ se è pi: ) ) ( ) $ ( ) [ ( )] Le popietà dee poteze m m $ + m m m $ ( $ ) m : m o! m : m ( : ) m o! ( m ) m $ o! I podotti otevoi e somposizioe i fttoi ( + )( ) (! )! + ( + + ) (! )! +!! (! )( " + )

4 TERI IN SINTESI FUNZINE ESNENZILE E FUNZINE LGRITM L fuzioe espoezie ( ) ( ) ( ) domiio: R; odomiio: R + ; fuzioe esete i R; oispodez iuivo; " pe ". " + pe " +. domiio: R; odomiio: R + ; fuzioe deesete i R; oispodez iuivo; " pe " +. " + pe ". domiio: R; odomiio: {}; fuzioe ostte; fuzioe o iiettiv. L fuzioe ogitmo og ( ) Logitmo di u podotto og ( $ ) og + og, (, ) Logitmo di u quoziete og og og, (, ) domiio: R + ; odomiio: R; fuzioe esete i R + ; oispodez iuivo; og " pe " ; og " + pe " +. og ( ) domiio: R + ; odomiio: R; fuzioe deesete i R + ; oispodez iuivo; og " + pe " ; og " pe " +. Logitmo di u potez og $ og, (, dr) mimeto di se ei ogitmi og og,, og!,! Disequzioi espoezii t z t z + tz + tz Disequzioi ogitmihe og og og og + + ( ) ( ) og ( ) og ( ) t z z t t z t z og og og og

5 Rihimi di geometi T RIHIMI DI GEMETRI I puti otevoi di u tigoo tezze o oo pougmeti ~ isettii ieto ~ ssi ~ ioeto ieto medie otoeto L ieto è i eto de iofeez isitt. I ioeto è i eto de iofeez iositt. I ieto divide ogi medi i due pti di ui que oteete i vetie è doppi de t I itei di oguez dei tigoi iteio iteio iteio,, W, W,, W, W W, W,,,,, I teoem di Tete Teoem di Tete Teoem de isettie di u goo iteo di u tigoo s E t ' s ' t & : : E : E : oseguez de teoem di Tete N M M, M MN ' N, N MN, 5

6 TERI IN SINTESI L equivez e simiitudie I teoem di itgo I teoemi di Euide imo teoem di Euide i : : p i + i i : : p p i p Seodo teoem di Euide h p : h h : p p p Rezioi f i ti di tigoi otevoi Fomu di Eoe p$ ^ph$ ^ph$ ^ph o p + + itei di simiitudie dei tigoi iteio iteio iteio W, W W, W W, W : : : : :... L simiitudie e iofeez Teoem dee ode seti Teoem dee seti Teoem de sete e de tgete D E E E : E ED : E F F : E : F F : : 6

7 ~ Rihimi di geometi T L iofeez I teoemi sue ode goi iofeez e goi eto K V V H D ~ D H, K D, D H, H gi goo iofeez è metà de goo eto oispodete. D H D Tgete u iofeez d u puto esteo W, W H D! D H D H % %, Se d u puto esteo u iofeez si oduoo e ette tgeti, i segmeti di tgete isuto ogueti. L ughezz de iofeez e Õe de ehio 8 S 6 Misue de iofeez () e de o di goo eto (). Misue de e de ehio () e de e de settoe ioe di goo eto (S). p R R Rggio de ehio isitto e tigoo. Rggio de ehio iositto tigoo. 7

8 TERI IN SINTESI Fomue di geometi soid ism etto epipedo ettgoo uo h p$ h + t V $ h d ( + ) ( + + ) t V $ $ d + + d s 6s t V s d s s imide ett Too di pimide ett iido p$ t + h V $ h h ( p+ p) $ t + + V h( $ ) h $ h ( h+ ) t V $ h oo Too di oo Sfe h t ( + ) V $ h h ( + ) t + + V h ( + + $ ) V ott e zo sfei Segmeto sfeio due si Segmeto sfeio u se h R ott zo R h h R S Rh h h h V + + h h V h ( R h) + Fuso sfeio Spihio sfeio eo sfeio h R R S R f d + 9 R d : mpiezz de diedo i diti : mpiezz de diedo i gdi d Vs R R 7 V h 6 8

9 Geometi iti e pio T GEMETRI NLITI NEL IN L distz f due puti ( ; ) e ( ; ) è dt d: ( ) + ( ). I puto medio de segmeto è M( M ; M ) o: M +, M +. I ieto di u tigoo di vetii ( ; ), ( ; ), ( ; ) è G ( ; ) + + G, + + G. G G o: L distz di u puto ( ; ) d u ett di equzioe + + è ugue : d I pio tesio e ett L equzioe di u ett h (;k) k (h;) Rett pe sse. Rett pe sse. Rett o pe gi ssi psste pe i puti ( ; ) e ( ; ) oeffiiete goe Rette pee Rette pepedioi Q( ; ) m + q m ( ; ) m + q m + q m + q I fsi di ette Fsio popio di ette pe u puto : isieme di tutte e ette de pio pssti pe. è detto eto de fsio. Fsio impopio di ette pee u ett. 9

10 TERI IN SINTESI Le oihe L po o sse peo sse L po o sse peo sse sse: + + ( ) + + ( ) D F ; D V ; diettie: + D se ovità è ivot veso i sso V D diettie: sse: D F ; + D se ovità è ivot e veso opposto L iofeez L eisse ( ) + ( ) + ( ) (;) (;) (;) F (;) F (;) (;) (;) L ipeoe L fuzioe omogfi ( ) + + d d F (;) (;) F (;) (;) (;) (;) I segmeto poio Timo ett pe d e tgete po, e osideimo su di ess e poiezioi e di e. L e de segmeto poio è ugue de e de ettgoo. S S

11 Geometi iti e pio T L simmeti ssie Fisst e pio u ett, simmeti ssie ispetto ett è que isometi he ogi puto de pio f oispodee i puto de semipio opposto ispetto, i modo he si sse de segmeto, ossi: pss pe i puto medio di ; è pepedioe ett. L ett è dett sse di simmeti. Ne pio tesio pedimo i esme e segueti simmetie ssii, foedo e etive equzioi. Simmeti o sse (sse peo sse ) Simmeti o sse (sse peo sse ) ( ( Simmeti o sse (isettie de pimo e tezo qudte) Simmeti o sse (isettie de seodo e quto qudte) ( ( Simmeti o sse (sse ) Simmeti o sse (sse ) ( ( Due puti simmetii ispetto sse ho sisse opposte e stess odit. Due puti simmetii ispetto sse ho stess siss e odite opposte.

12 TERI IN SINTESI GNIMETRI E TRIGNMETRI Le fuzioi goiometihe L pim ezioe fodmete si + os L seod ezioe fodmete si t os + si os t ot I gfii dee fuzioi goiometihe L siusoide L osiusoide si os eiodo: 6! R, 6k! Z si( + k) si eiodo: 6! R, 6k! Z os( + k) os L tgetoide L otgetoide 5 t ot eiodo: 6! R, 6k! Z t( + k) t eiodo: 6! R, 6k! Z ot( + k) ot Seo, oseo e tgete su u tigoo ettgoo si teto opposto ipoteus os teto diete ipoteus t teto opposto teto diete ipoteus teto opposto ipoteus teto opposto teto diete teto diete

13 Goiometi e tigoometi T Le fuzioi goiometihe ivese oseo ooseo si domiio: ; odomiio: 9 os domiio: odomiio: otgete ootgete t domiio: R ; odomiio: 9 ot domiio: R 6 Seo, oseo, tgete e otgete di goi otevoi diti gdi seo oseo tgete otgete o esiste o esiste 5

14 TERI IN SINTESI Fuzioi goiometihe di goi ssoiti e e si^ hsi si^ hsi os^ h os t^ ht os^ h os t^ ht ot ^ hot ot ^ hot e e + si^ h si os^ hos t^ ht + si^+ hsi os^+ hos t^+ h t ot ^ hot ot ^+ h ot e e + si ` os ` j os j si + si ` + j os os ` + j si t ` j ot t ` + j ot ot ` j t ot ` + j t e e + si ` j os si ` + j os os ` j si t ` j ot + os ` + j si t ` + j ot ot ` j t ot ` + j t

15 Goiometi e tigoometi T Le fomue goiometihe Le fomue di ddizioe si^ + h si os + os si os^+ h os os si si t + t t^+ h t $ t o +! + k,! + k,! + k Le fomue di sottzioe si^h si os os si os^ h os os + si si t t t^ h + t $ t o! + k,! + k,! + k Le fomue di dupizioe si si os os os si t t t Le fomue pmetihe t si + t t os, o! k + + t Le fomue di postfeesi p+ q pq si p + si q si $ os p+ q pq si p si q os $ si p+ q pq os p+ os q os $ os p+ q pq os pos q si $ si Le fomue di Wee si si 6 os^h os^+ h@ os os 6 os^+ h+ os^ h@ si os 6 si^+ h+ si^ h@ Le fomue di isezioe os si! + os os! os t! + os LÕgoo f due ette : m + q, o m t s: m + q, o m t m m t t^h. + mm s 5

16 TERI IN SINTESI Equzioi goiometihe eemeti U equzioe si die goiometi se otiee meo u fuzioe goiometi de iogit. Si himo eemeti e equzioi goiometihe de tipo: si, os, t. ( ) + k + k si detemit se # # impossiie se + k os detemit se # # impossiie se + k + k t detemit 6! R i soo ptioi equzioi eemeti he si possoo isovee o e popietà de seguete te. Tipo di equzioe opietˆ si si si si ) + k + + k si si si si( ) si os os si` j si os os si` j si` +j os os os os )! + k os os os os( ) t t t t ) + k t t t t( ) 6

17 Goiometi e tigoometi T Equzioi iei i seo e oseo si + os +!,! Metodo geio " si divide pe os! " t.! " si detemio e evetui souzioi di tipo + k ; se! + k, ppido e fomue pmetihe si ottiee * t ^ h+ t+ + t t Metodo gfio Si sostituise Y si e X os e si isove quidi i sistem seguete: X + Y ( Y + X + Metodo de goo ggiuto Si isove i sistem seguete: Z si^ + h ] [ + ] t \ Equzioi omogeee di seodo gdo i seo e oseo si + os si + os imo metodo " os ^si + os h " si ( si + os )! /! " si divide pe os! " t + t + Seodo metodo Z si ] si os ] os Sostituedo [ si si ottiee u equzioe iee. ] ] os os + \ U equzioe iee de fom si + si os + os d ^d! h è ioduiie u equzioe omogee sostituedo d d( os + si ). 7

18 TERI IN SINTESI Disequzioi goiometihe imo metodo Si studi posizioe eipo t i gfio de fuzioe goiometi e ett. L fuzioe seo (pimo metodo) Seodo metodo Si diseg iofeez goiometi, si isove equzioe ssoit, si detemio gi hi i ui è soddisftt. L fuzioe seo (seodo metodo) si si si si si " + k + k; si " + k + k + k + k L fuzioe oseo (pimo metodo) L fuzioe oseo (seodo metodo) os os os os os " + k + k + k+ k; os " + k + k L fuzioe tgete (pimo metodo) L fuzioe tgete (seodo metodo) t t t + t t t t " + k + k; t " + k + k 8

19 Geometi iti eo spzio T GEMETRI NLITI NELL SZI Distz f due puti e puto medio L distz f due puti ^ ; ; z h e ; ; z Le oodite de puto medio M di u segmeto soo: + + z+ z M, M, zm. ^ h è: ( ) + ( ) + ( z z ). k Vettoi eo spzio ogi puto ^ ; ; zh è ssoito u vettoe i+ j+ z k o moduo + + z. Dti i puti ^ ; ; z h e ^; ; zh, i vettoe d essi idividuto è ^ ; ; z zh. pezioi o due vettoi ^ ; ; zh e ^ ; ; zh: somm: + ^ + ; + ; z+ zh; podotto pe uo se: k ^k; k ; kzh. diffeez: ^ ; ; z zh. podotto se: $ + + z z. e soo pei se, o k R ' ) uti, pii e ette z z e soo pepedioi se $, ioè: ) + +. z z L equzioe geee de pio psste pe ^ ; ; z h o vettoe ome ^ ; ; h è: ^ h+ ^ h+ z ^ zh + + z + d. " z z z pio + + d : i vettoe ome è (; ; ), i pio è peo sse z e pepedioe pio. Due pii di equzioi z d pio + z + d pio + z + d : i vettoe ome è (; ; ), i pio è peo sse e pepedioe pio z. : i vettoe ome è (; ; ), i pio è peo sse e pepedioe pio z e + + z + d soo: pei se pepedioi se // " ^se,,! h; " $ " + +. // 9

20 TERI IN SINTESI L distz de puto ( ; ; z ) d pio di equzioe + + z + d è: + + z + d d (, ). + + L ett psste pe ^ ; ; z h o vettoe diezioe vm ^ ; ; h o uo h equzioi pmetihe Z + k ] [ + km, o k! R, ] z z + k \ ed equzioi tesie, vide se, m,!, z z m. L ett psste pe due puti ( ; ; z ) e ( ; ; z ) h equzioi z z z z, he soo e odizioi di iemeto di te puti, e z ^ ; ; h. + + z + d ) + + z+ d. Due ette o vettoi diezioe vm ^ ; ; h e w ^ ; m; h soo: m pee se v // w " ^se, m,! m h; pepedioi se v w " v$ w " + mm+. U pio o vettoe ome ; ; U ett può essee idividut ome itesezioe di due pii o pei: pei se // v " + m + ; v ^ h e u ett o vettoe diezioe vm ^ ; ; h soo: pepedioi se // v ",, m ^se m! h. v Supefiie sfei U supefiie sfei di eto ^ ; ; z h e ggio h equzioe: ^ h + ^ h + ^z z h. L equzioe + + z z+ d ppeset u sfe di eto ; ; k e ggio + + d se + + d $. U pio è tgete u sfe di ggio e eto se d ^, h. z

21 Limiti e fuzioi otiue T LIMITI E FUNZINI NTINUE Le opezioi sui imiti + Idihimo o u voe he può essee! R,,, +,. e i imiti de somm, de podotto e de quoziete di due fuzioi si h seguete te. im " f ( ) im g ( ) " im [ f ( ) + g ( )] " f ( ) im [ f ( ) $ g ( )] im " " g ( )! R m! R m! m+ m$ m! R,! +, se f ( ) pe " g ( ), se f ( ) pe " g ( ) fom idetemit! R!! R! + + +, se, se +, se, se + m! R, m! m! R, m! + +, se m, se m +, se m, se m +, se m, se m +, se m, se m + + fom idetemit $ +, se f ( ) pe " g ( ), se f ( ) pe " g ( ) fom idetemit + fom idetemit + + fom idetemit + fom idetemit fom idetemit + fom idetemit

22 TERI IN SINTESI Limiti di fuzioi poiomii e fuzioi zioi im im o sego dto d ego dei segi de podotto. "! "! Z! se m ] im se m m m "! [ m ] \ se m Limiti otevoi im si " im + e, dove e è u umeo izioe, e, 78 "!` j im os " ( ) im + " im os " im e " Gehi degi ifiiti Dte e te fmigie di fuzioi: ^og h,,, o, e,, o, pe " +, ogu è u ifiito di odie ifeioe ispetto que he si tov dest, ioè: ^ogh im, im ". + " + Sitetimete, possimo sivee: ^og h. Le fome idetemite L fom idetemit + Limite di fuzioe poiomie im ^ + 5h im + " + " + Utiizze gehi degi ifiiti im e im e " + " + e k Rzioizzzioe 5 5 im im ^ + + 5h + + $ im Y+ Y " + " " L fom idetemit $ Y os im6 ^ os h $ imsi $ k im^si os h " " si "

23 Limiti e fuzioi otiue T L fom idetemit Rppoto di fuzioi poiomii im k im + + k " + " + Y Utiizze i teoem di De L Hospit im ^ + h im im im $ + ^ + h + ^ + h " + " + " + " + L fom idetemit Utiizze i teoem di Ruffii pe sompoe si i umetoe si i deomitoe + ^ h^+ h im im " " ^ h^ + h Utiizze i teoem di De L Hospit im im " 7 6 " 6 L fom idetemit Utiizze i imite otevoe im ` + j e " + im + + ` j im ` + im $ e $ e j ` + j ` + j " + " + " + L fom idetemit im im e im e (poihé im pe gehi degi ifiiti) " + " + " + " + Gi sitoti e oo ie sitoto vetie sitoto oiquo q sitoto oizzote im f( ) q im [() f ( m + q)] "! " + im f( ) q " + m f ( ) im, q im [() f m ] " "