Fisica Generale A Integrali di Scalari e Vettori ( ) Integrali. Integrale Semplice di una Funzione Scalare (II)
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- Elisabetta Zanella
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1 Itegli Fisi Geele A U itegle è sempe l somm di u umeo ifiito di temii ifiitesimi: Il simolo è u defomioe di u lette (somm). Divesi tipi (dl puto di vist pplitivo) di itegle: Itegle semplie (di u fuioe sle o vettoile); Itegle doppio (di u fuioe sle o vettoile); Itegle tiplo o itegle di volume (di u fuioe sle o vettoile); Itegle di lie di u fuioe sle; Itegle di lie di u fuioe vettoile; Itegle di supefiie di u fuioe sle; Itegle di supefiie di u fuioe vettoile... Itegli di li e ettoi Domeio Glli Otoe 4, 4 Digitll siged Domeio Glli DN: IT, oalma MATER TUDIORUM - UNIERITA' DI BOLOGNA/776, sglli, givenmedomeio, seilnumeit:glldnc58ta944, dqulifie5946, Domeio Glli Dte: 4..4 :7: +''! Itegle emplie di u Fuioe le Itegle emplie di u Fuioe le (II) i dt u fuioe sle f defiit ell itevllo [, ] R; uddividimo l itevllo [, ] i u eto umeo di itevllii di lghe Δt ( )/, pedimo eto di essi i puti: t, + Δt, t + Δt, + Δt,, t Δt, e osideimo l somm: Δt Δt Δt Δt Δt t t t t4 t5 f ti Δt () L itegle semplie di u fuioe sle si può itepete ome l e sottes dll uv he ppeset l fuioe (vedi figu). L itegle semplie si lol ptie dll fuioe pimitiv: Dett F l fuioe pimitiv dell fuioe f : Δt Δt Δt Δt t6 t7 t8 t9 F l itegle semplie si lol medite l diffee dell fuioe pimitiv gli estemi di itegioe: Nel limite i ui gli itevllii diveto ifiitesimi, l somm divet l itegle semplie: f (t ) Δt i Δt I f (t ) dt I t f (t ) dt F (t ) F (t ) t f (t ) dt f ( t ) Δt f t Δt ! !
2 Itegle emplie di u Fuioe ettoile Itegle emplie di u Fuioe ettoile (II) Alogmete, si dt u fuioe vettoile v defiit ell itevllo [, ] R; uddividimo l itevllo [, ] i u eto umeo di itevllii di lghe Δt ( )/, pedimo eto di essi i puti: t, + Δt, t + Δt, + Δt,, t Δt, e osideimo l somm vettoile: Δt Δt Δt Δt Δt Δt Δt Δt Δt v ( t i )Δt t t t t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 Nel limite i ui gli itevllii diveto ifiitesimi, l somm divet l itegle semplie: Ahe l itegle semplie di u fuioe vettoile si lol ptie dll fuioe pimitiv: Dett w l fuioe pimitiv dell fuioe v: w v ( t)dt l itegle semplie si lol medite l diffee dell fuioe pimitiv gli estemi di itegioe: I v dt w t t t w ( t ) v ( t i )Δt I v t Δt dt 5! 6! Itegle Doppio di u Fuioe le Itegle Doppio di u Fuioe le (II) i dt u fuioe sle f defiit ell isieme R ; uddividimo l isieme i u eto umeo di ettgolii di e ifiitesim Δ Δ, pedimo eto di essi i puti: (, ), (, ),, (, ) e osideimo l somm: f ( i, i )Δ Δ Nel limite i ui gli itevllii diveto ifiitesimi, l somm divet l itegle doppio: f ( i, i )Δ Δ I f, Δ d d Δ 9 Δ 7 8 Δ Il lolo di u itegle doppio si idue l lolo di due itegli semplii; e l isieme R è u ettgolo [,] [,d], d il lolo è semplie: I d f (, ) d d d f (, )d,,d e l isieme R è u ehio di eto O e ggio il lolo è u po più omplito: I f (, ) d d d f (, )d ( O,) + O + 7! 8!
3 Itegle Doppio di u Fuioe ettoile i dt u fuioe vettoile v defiit ell isieme R ; uddividimo l isieme i u eto umeo di ettgolii di e ifiitesim Δ Δ, pedimo eto di essi i puti: (, ), (, ),, (, ) e osideimo l somm vettoile: v ( i, i )Δ Δ Nel limite i ui gli itevllii diveto ifiitesimi, l somm divet l itegle doppio: v ( i, i )Δ Δ I v, Δ d d Δ 9 Δ 7 8 Δ Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le i dt u fuioe sle f defiit ell isieme R ; uddividimo l isieme i u eto umeo di uetti (più peismete di pllelepipedi) di volume ifiitesimo Δ Δ Δ Δ, pedimo eto di essi i puti: (,, ), (,, ),, (,, ) e osideimo l somm: Δ f ( i, i, i )Δ Δ Δ Δ Δ Nel limite i ui i uetti diveto ifiitesimi, l somm divet l itegle tiplo (o itegle di volume): f ( i, i, i )Δ Δ Δ I f,, f,, Δ Δ Δ d d d d 9!! Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (II) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (III) Esempio : osideimo il volume: (,,) ;,,,,, l fuioe: e l itegle: I f (,, ) d d d d d i h: { } f,, viluppdo i loli, si h: I d d d d d d d d d ( )d I d d d d d d d d d d d d d!!
4 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (I) Esempio : osideimo sempe il volume: (,,) ;,,,,, m, quest volt, l fuioe: e l itegle: I f (,,) d d i h: { } f,, d d d I d d d d d d d d d d Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le () viluppdo i loli, si h: I d d d d d d d ( )d d d 6! 4! Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (I) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (II) Esempio : osideimo il volume:,, l fuioe: f,, e l itegle: d I f,, d d d d ;,,,,, i h: I d d d d d d d d d d viluppdo i loli, si h: I d d d d d d d d d d d 5! 6!
5 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (III) Esempio 4: osideimo il volume: (,, ) ;,+,,+,,+ { } l fuioe: f,, e l itegle: I f (,, ) d d d d d i h: I d d d d d d d O + Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (IX) viluppdo i loli, si h: I d d d d d d d d + + d + ( )t d + ( )t ( )t + + d ( ) ( ) d ( ) 7! 8! Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (X) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (XI) viluppdo i loli, si h: I d d ( ) ( ( ) ) Esempio 5: osideimo uovmete lo stesso volume, he possimo desivee he ome: (,, ) ; ρsi os, ρsi si, ρos,ρ,,,,, l fuioe: f (,, ) ρ e l itegle: I f (,, ) d d d d d e eseguie l itegle i oodite sfeihe ooe sivee l elemeto di volume d i oodite sfeihe:,, d d d d dρ d d ρ,, 9!!
6 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (XII) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (XIII) Dte le tsfomioi t oodite tesie e oodite sfeihe: ρsi os ρsi si ρos lo joio si sive: det,, ρ,, ρ ρ ρ ( ρ,,) (,,) det ρ si os ρ os os ρ si si si si ρ os si ρ si os os ρ si Eseguedo i loli pe lo joio: si os ρ os os ρ si si,,) ( ρ,,) det si si ρ os si ρ si os os ρ si os det ( ρ si )det ρos os ρos si si os si si ρsi si ρsi os + ρ si si ρ si os os ( ρ si os) + ρsi ( ρsi ) ρ si os + ρ si ρ si (,,) d d d d ρ,, dρ d d ρ si dρ d d ρ!! Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe le (XI) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe ettoile Avemo petto, pe l itegle: (,,) d d d d ρ,, I d d d d dρ d d ρ si dρ d d ρ si dρ d d ρ si dρ d d d d ρ si dρ d d ρ si d si d d os d ρ i dt u fuioe vettoile v defiit ell isieme R ; uddividimo l isieme i u eto umeo di uetti (più peismete di pllelepipedi) di volume ifiitesimo Δ Δ Δ Δ, pedimo eto di essi i puti: (,, ), (,, ),, (,, ) e osideimo l somm vettoile: Δ v ( i, i, i )Δ Δ Δ Δ Δ Nel limite i ui i uetti diveto ifiitesimi, l somm divet l itegle tiplo (o itegle di volume): v ( i, i, i )Δ Δ Δ I Δ Δ Δ v (,, ) d d d d v,,! 4!
7 Itegle di Lie di u Fuioe le Itegle di Lie di u Fuioe le (II) i dt u fuioe sle f defiit i R e si dt u uv γ(, ) R, vete, pe estemi, i puti e ; edimo, sull uv γ(, ), u eto umeo di puti:,,, γ (, ), i ( i, i, i ) γ (, ) Δs 7 6 e osideimo l spet: Δs Δs Δs Δs 6 4 Δs Δs 5 5 4,,,,, i ui segmeti ho lughe: Δs, Δs,, Δs, Δs L uv γ(, ) R, può essee defiit utilido u pmteo ξ : γ { ; ( ξ), ξ ξ,ξ } L itegle di lie si lol quidi ome: γ (, ) Δs 7 6 ξ I f ( ) ds f ( ( ξ) ) d dξ Δs Δs Δs Δs 6 4 γ (,) dξ Δs Δs 5 5 ξ 4 L somm dei podotti dell fuioe pe tli lughee, el limite i ui essi diveto ifiitesimi, diviee l itegle di lie: f ( i, i, i )Δs i I Δs i f ( ) ds f (,, ) ds γ (,) γ (,) 5! 6! Itegle di Lie di u Fuioe le (III) Itegle di Lie di u Fuioe ettoile Esempio: Cosideimo u semiiofee: γ {(,,) ; os, si,,, } e l fuioe: f ( ) i h: d d î + ˆ + ˆk si î + os ˆ + ˆk d d si + os I f ( ) ds f ( ( ) ) d d d d d γ γ i dt u fuioe vettoile v defiit i R e si dt u uv γ(, ) R, vete, pe estemi, i puti e ; edimo, sull uv γ(, ), u eto umeo di puti:,,, γ (, ), i ( i, i, i ) γ (, ) Δ 7 6 e osideimo l spet: Δ Δ Δ Δ Δ,,,,, Δ 5 4 fomt di segmeti oietti: Δ, Δ,, Δ, Δ L somm dei podotti sli dell fuioe pe tli segmeti, el limite i ui essi diveto ifiitesimi, diviee l itegle di lie: v ( i, i, i )i Δ i Δi I v ( ) i d v (,,) i d γ (,) γ (,) 7! 8!
8 Itegle di Lie di u Fuioe ettoile (II) Itegle di upefiie di u Fuioe le L uv γ(, ) R, può essee defiit utilido u pmeto ξ : γ { } ; ( ξ), ξ ξ,ξ L itegle di lie si lol quidi ome: ξ I v ( ) i d v ( ( ξ) ) i d dξ γ (,) dξ ξ γ, 6 Δ Δ Δ Δ Δ 5 Δ 7 Δ 6 i dt u fuioe sle f defiit i R e si dt u supefiie R ; uddividimo l supefiie i u eto umeo di supefii ifiitesime Δ, pedimo su di esse i puti: (,, ), (,, ),, (,, ) e osideimo l somm: f ( i, i, i )Δ Nel limite i ui le supefii Δ diveto ifiitesime, l somm divet l itegle di supefiie: f ( i, i, i )Δ I f Δ d 9!! Itegle di upefiie di u Fuioe le (II) Itegle di upefiie di u Fuioe le (III) L supefiie R, può essee defiit utilido i pmeti ξ e η: { } ; ( ξ,η), ξ ξ,ξ, η η,η L itegle di supefiie si lol quidi ome: ξ η f ( ) d dξ f ( ( ξ,η) ) ξ η dη ξ η Cosideimo, pe esempio, l supefiie di u semisfe: (,,) ; si os, si si, os,,,, e l fuioe: f ( ) i h: det î ˆ ˆk det î ˆ ˆk os os os si si si si si os ˆk si os î + si si ˆ + si os os + si os si si os î + si si ˆ + si os ˆk!!
9 Itegle di upefiie di u Fuioe le (I) Itegle di upefiie di u Fuioe ettoile Duque: si os î + si si ˆ + si os ˆk si 4 os + si 4 si + si os si 4 + si os si si + os si si d d d d si d d si d d si d d os ( + )d d i dt u fuioe vettoile v defiit i R e si dt u supefiie R ; uddividimo l supefiie i u eto umeo di supefii ifiitesime Δ, pedimo su di esse i puti: (,, ), (,, ),, (,, ) e osideimo l somm: v i i ˆ ( i ) Δ Nel limite i ui le supefii Δ diveto ifiitesime, l somm divet l itegle di supefiie: v i I Δ i ˆ ( i ) Δ i ˆ d v! 4! Itegle di upefiie di u Fuioe ettoile (II) Itegle di upefiie di u Fuioe ettoile (III) L supefiie R, può essee defiit utilido i pmeti ξ e η: { ; ( ξ,η), ξ ξ,ξ, η η,η } L itegle di supefiie si lol quidi ome: ξ η v ( )i ˆ d dξ v ( ( ξ,η) ) i ξ dη η ξ η Cosideimo, pe esempio, l supefiie di u semisfe: (,, ) ; si os, si si, os,,,, e l fuioe vettoile: v i h: ˆk det î ˆ ˆk det î ˆ ˆk os os os si si si si si os ˆk si os î + si si ˆ + si os os + si os si si os î + si si ˆ + si os ˆk 5! 6!
10 Itegle di upefiie di u Fuioe ettoile (I) Duque: ˆk ˆk si os î + si si ˆ + si os ˆk si os si v ( )i ˆ d ˆk i ˆ d d ˆk i d d si( ) d d si( ) d os d d os( ) 4 d os os 4 d Domeio Glli Diptimeto di Fisi domeio.glli@uio.it 7!
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