Angoli e funzioni. goniometriche

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1 UNITÀ 1 ngoli e funzioni goniometihe TEORI 1 Definizioni di ngolo Misu degli ngoli 3 Funzioni goniometihe seno e oseno 4 Funzioni goniometihe tngente e otngente 5 Vloi delle funzioni goniometihe 6 Gfii delle funzioni goniometihe 7 Relzioni t le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo 8 Relzioni t le funzioni goniometihe di ngoli ssoiti 9 Funzioni invese 10 Risoluzione dei tingoli ettngoli 11 Fomule goniometihe 1 Poiezione di un segmento e pendenz di un ett Istituto e Museo di Stoi dell Sienz, Fienze RISSUMENDO LORTORIO INFORMTICO Exel Clolo e ppesentzione gfi delle funzioni seno e oseno UTOVLUTZIONE Questo qudnte, ostuito nel 1608 d Tois Volkme, mtemtio e ofo dei duhi di vie, potev essee usto in stonomi, in topogfi e pe sopi militi. L fitt qudetttu seve pe il lolo dei seni e dei oseni. L o gduto è povvisto di nonio. L ussol in sso sinist, moviile, segnl l diffeenz f nod geogfio e nod mgnetio. nhe il eto del qudnte è finemente iniso e pesent divese funzioni. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

2 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. Definizioni di ngolo ngolo L geometi definise ngolo isun delle pti del pino in ui esso è diviso d due semiette usenti d uno stesso punto O; il punto O si die vetie dell ngolo e le due semiette (O e O) si diono lti. Un ngolo si indi itulmente on l notzione lettele OY, oppue on un lette minusol dell lfeto geo:,,, d e., m nhe on le lettee minusole x, y qundo è inognito. ngolo oientto Pe elimine l intinse miguità dell peedente definizione è neessio estendee il onetto di ngolo, ssumendo un delle due semiette he lo geneno (pe esempio O) ome oigine e definendo il senso di otzione oio ome senso positivo pe le otzioni. Un ngolo di vetie O e semiett oigine O = si die oientto positivmente ( FIGUR 1) qundo quest deve uote in senso oio intono O pe sovpposi l lto O = (lto estemo). Si die oientto negtivmente se l stess otzione vviene in senso ntioio. Nel nosto ontesto si f ifeimento in genee d ngoli positivi, dunque legti ll otzione oi dell semiett oigine. L ngolo oientto positivo di lti O e O in FIGUR 1 viene indito on l notzione OY (le pime due lettee indino sempe il lto oigine); mente quello di FIGUR (sempe positivo) viene indito on l notzione OY (dunque le notzioni OY e OY indino ngoli oientti divesi). Gli ngoli oientti poi, possono essee mggioi dell ngolo gio; inftti, se immginimo he il lto oigine O dell ngolo OY vd sovpposi l lto estemo O dopo ve desitto uno o più ngoli gii ompleti, si ottiene un ngolo on mpiezz mggioe dell ngolo gio. + F Q P Che os sono gli ngoli oientti? Sono le pozioni di pino desitte dll semiett oigine dunte l otzione, in senso oio, pe ndsi sovppoe ll lt semiett dell ngolo. O + FIGUR 1 Rotzione in senso oio dell semiett O intono l punto O pe definie l ngolo = O X positivo. O β FIGUR Rotzione in senso oio dell semiett O pe definie = O X. F Q P Che vntggi offono gli ngoli oientti? Essi eliminno l miguità onness ll definizione geometi di ngolo (pte onv o pte onvess del pino definite dlle due semiette). Inolte hnno senso si gli ngoli negtivi he quelli di mpiezz mggioe dell ngolo gio. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

3 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE l =. Misu degli ngoli Il dinte R O R Gli ngoli sono gndezze misuili, il he impone l dozione di un unità di misu. Nelle vlutzioni teoihe tle unità di misu è il dinte. Il dinte è definito ome l ngolo l ento in un ehio di ggio itio R he sottende un o il ui sviluppo l è ugule llo stesso ggio R (pe d = 1 è l = R). FIGUR 3 L misu di in dinti è dt dl ppoto f l lunghezz dell o sotteso e il ggio dell ionfeenz di ento O. Dunque, pe ottenee l mpiezz in dinti di un geneio ngolo = OY ooe f ifeimento un ehio on ento in O e ggio itio R = O = = O, ll o l inteettto sul ehio dlle due semiette O e O, ed eseguie il seguente ppoto ( FIGUR 3): l d = (1) R Ntulmente pe l = R si h d = 1. D semplii vlutzioni sull peedente definizione si h: F Q P Che os è il dinte? È l unità pe l misu delle mpiezze degli ngoli ust nel ontesto teoio-mtemtio. È definito dl ppoto t lo sviluppo dell o di ehio ompeso t le due semiette e il ggio itio dello stesso ehio il ui ento oinide on l intesezione delle stesse semiette. R d ngolo gio: = = 6, R ngolo pitto: R d = = 3, R ngolo etto: R d = = 1, R I sistemi di misu opetivi Il dinte ome unità di misu degli ngoli è onveniente in tutte le onsidezioni di ttee teoio, mente l stess unità di misu è poo effie in tutte le elozioni di ttee ptio-pplitivo. In tle mito è neessio definie lte unità di misu degli ngoli he dnno luogo sistemi di misu ngoli TELL 1 Sistemi di misu ngole Sistem sessgesimle Sistem deimle Sistem entesimle Unità Gdo sessgesimle, indito on l pie (), è 1/ 90 dell ngolo etto. Gdo sessgesimle, indito on l pie (), è 1/ 90 dell ngolo etto. Gdo entesimle, indito on ( ), ( g ) o (gon), è 1/ 100 dell ngolo etto. Sottomultipli Il pimo sessgesimle, indito on (l), è 1/ 60 del gdo. Il seondo indito on (m), è 1/ 60 del pimo (quindi 1/3600 del gdo). Deimi, entesimi, millesimi, e. di gdo sessgesimle. Quindi un ngolo espesso in questo sistem di misu si ompot ome un nomle numeo deimle. Deimi, entesimi, millesimi, e. di gdo entesimle. Tlvolt (mente) si pl di pimi ( - ) entesimli [pim oppi di ife deimli] e seondi ( = ) entesimli [seond oppi ife deimli]. Impieghi È un sistem di misu dtto i loli mnemonii, petnto veniv pefeito sopttutto in pssto. In esso non vlgono le egole dell itmeti deimle, m egole nloghe quelle del sistem oio. È un sistem onveniente nel lolo on mezzi menii, ome le ttuli loltii tsili. Le opezioni itme tihe vengono eseguite on le fmilii egole dell numezione deimle. Come il sistem deimle è dtto l lolo menio, nel ispetto delle egole dell numezione deimle. È qusi univeslmente dottto in Topogfi, pe l su gnde ptiità opetiv. Es. 1417l6m 14, ,476 [ = ] 3 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

4 (sessgesimle, deimle e, in ptiole, entesimle) ltentivi quello pim definito (sistem nlitio). Nell TELL 1 sono definite le unità di misu e desitte le tteistihe dei te sistemi di misu ngole utilizzti nei ontesti ptio-opetivi. Convesione t sistemi di misu ngoli Qulunque si il sistem di misu dottto, l mpiezz degli ngoli imne invit, il he signifi he il ppoto t l misu di un ngolo, in un qulunque sistem, e l ngolo pitto, espesso nello stesso sistem, deve este invit. Si può, quindi, sivee: UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE d = 180 d = 00 = Utilizzndo di volt in volt un di queste te elzioni è possiile onvetie l mpiezz di un ngolo, espess in un dto sistem di misu, quell espess in uno qulunque degli lti sistemi. Le opezioni d eseguie pe queste onvesioni t sistemi di misu ngole (he pelto sono utomtizzte in tutte le loltii sientifihe) sono sintetizzte nelle TELLE, 3, 4. TELL Convesioni di un ngolo espesso in gdi sessgesimli () Gdi deimli Gdi entesimli Rdinti Fomule gdi + pimi 60 + seondi 3600 Dopo l onvesione in deimli: 00 = = Dopo l onvesione in deimli: d = 180 Esempi = 4817l6m 17 6 = = 48,905 = 4817l6m = 48,905 = 48, = 53,6561 = 4817l6m = 48,905 d = 48,905 = 0 d, TELL 3 Convesioni di un ngolo espesso in gdi entesimli ( ) Gdi deimli Gdi sessgesimli Rdinti Fomule = = Dopo l onvesione in deimli: gdi + [(deimli gdi) $ 60]l + + [(deimli pimi) $ 60]m d = 00 Esempi = 71,4568 = 71, = 64,3111 = 71,4568 = 64,3111 = ,3111 $ l,666 = = 6418l + 0l,666 $ 60 = 6418l40m = 71,4568 d = 71, = 1 d,14 TELL 4 Convesioni di un ngolo espesso in dinti ( d ) Gdi deimli Gdi sessgesimli Gdi entesimli Fomule 180 d = Dopo l onvesione in deimli: gdi + [(deimli gdi) $ 60]l + + [(deimli pimi) $ 60]m 00 d = Esempi d = 1 d,54 = 1 d, = 87,3187 d = 1 d,54 = 87,3187 = ,3187 $ 60 = 8719l,1 = = 8719l + 0l,1 $ 60 = 8719l07m d = 1 d,54 = 1 d,54 00 = 97,008 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 4

5 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P he os seve il oeffiiente 06 65? Seve tsfome l mpiezz di un ngolo espess in dinti nel oispondente vloe espesso in seondi sessgesimli, e vieves. Qundo si onsideno ngoli molto pioli, può essee onveniente onvetie il vloe in dinti di tli ngoli diettmente in seondi sessgesimli e entesimli. In effetti si h: d 180 $ 60 $ 60 $ m = = $ d d 00 $ 100 $ 100 $ = = = $ d 3. Funzioni goniometihe seno e oseno j Il ehio goniometio Un ehio si die goniometio qundo il suo ento O è l oigine di un sistem di ssi tesini OXY e il suo ggio R viene ssunto ugule ll unità di misu dei segmenti (si die peiò he il suo ggio è unitio: R = 1). Inolte, pe onvenzione, indito on il punto di intesezione del ehio on l sse delle odinte, il lto O viene ssunto qule lto oigine degli ngoli oientti di vetie O (PFIGUR 4). F Q P Che os è il ehio goniometio? È un ehio onvenzionle di g gio unitio (R = 1) e on ento oinidente on l oigine di un sistem tesino. Viene utilizzto pe semplifie le de finizioni delle funzioni goniometihe. Il ifeimento l ehio goniometio, pu non indispensile, pemette di semplifie l definizione delle funzioni goniometihe e di vlutne pidmente le tteistihe. Consideimo un geneio punto sul ehio goniometio geneto dl lto estemo O dell ngolo l ento = OY ; possimo osseve he l posizione del punto sul ehio dipende solmente dll mpiezz dello stesso ngolo. Se o poiettimo sull sse delle odinte (PFIGUR 5), si viene fome il tingolo ettngolo OC di ipotenus O = R = 1, e ome effetto di qunto ffemto pim, nhe i teti C e OC di questo tingolo dipendono solmente dll ngolo (mente l ipotenus imne sempe R = 1). Dto poi he le lunghezze di tli teti ppesentno pue le oodinte tesine di, ne onsegue he nhe l siss X e l odint Y del punto sono funzioni dell ngolo, ioè ogni vloe di oisponde un deteminto vloe si pe l siss X si pe l odint Y del punto Y Y C sen X R = O 100 X os Y 300 O X R = 1 Y 100 X FIGUR 4 Cehio goniometio e ngolo oientto. FIGUR 5 Un punto sul ehio goniometio h pe oodinte i vloi delle funzioni seno e oseno. 5 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

6 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Definizioni di seno e oseno Ftt quest pemess, è possiile definie le seguenti funzioni dell viile dell ngolo : viene definito seno dell ngolo, e viene indito on l notzione sen, il ppoto t il teto C (opposto ll ngolo ) e l ipotenus O = R del tingolo ettngolo OC; viene definito oseno dell ngolo, e viene indito on l notzione os, il ppoto t il teto OC (diente ll ngolo ) e l ipotenus O = R del tingolo ettngolo OC: F Q P Quli sono le unità di misu delle funzioni goniometihe? Nessun: in eltà isun fun zione goniometi è definit dl ppoto f le lunghezze di due segmenti, petnto è un numeo dimensionle. C sen = R OC os = () R Dl punto di vist dimensionle è possiile osseve ome tli funzioni sino numei pui, pehé definiti dl ppoto di due gndezze dell stess speie. Considendo poi he nel ehio goniometio O = R = 1, le peedenti definizioni () diventno: sen = C = X os = OC = Y (3) Come si vede l semplifizione nell impiego del ehio goniometio onsiste nel ftto he in tle mito i vloi delle funzioni seno e oseno sono di ftto oinidenti, ispettivmente, on le lunghezze dei segmenti C e OC (o dlle oodinte tesine di X e Y ); tle semplifizione è evidenzit in PFIGUR 5. Tuttvi ooe sempe iode he nell eltà le funzioni seno e oseno non sono segmenti, m imngono sempe ppoti di segmenti (ppoti he nell mito del ehio goniometio pesentno i denomintoi uguli ll unità) e he le definizioni () imngono inltete nhe l di fuoi del ehio goniometio. Petnto, nhe se il vloe di un funzione goniometi di un ngolo viene definito nell mito semplifito del ehio goniometio, esso ssume omunque signifito ssoluto. Vloi di seno e oseno di 30, 45 e 60 Vizioni e peiodiità delle funzioni seno e oseno Fendo ifeimento l ehio goniometio (PFIGUR 6) in oispondenz degli ngoli he definisono i qutto qudnti, è file stilie i vloi delle funzioni seno e oseno (he sono 0, 1 o -1) in oispondenz degli ngoli = 0; = 90 (100 ); = 180 (00 ); = 70 (300 ). Inolte see file dimoste he in oispondenz degli ngoli = 30 (33,3); = 45 (50 ); = 60 (66,6); le funzioni seno e oseno ssumono vloi fili e utili d iode memoi he, insieme i peedenti, sono sintetizzti nell PTELL 5. FIGUR 6 ngoli ptioli pe l deteminzione dei vloi delle funzioni seno e oseno. C X = 0 Y = 1 O = 0 R = 1 R = 1 O C = 100 X = 1 Y = 0 X = 1 R = 1 O Y = 0 R = 1 = 00 O C X = 0 = 300 Y = 1 C Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 6

7 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P I vloi delle funzioni seno e oseno di uno stesso ngolo hnno sempe vloi divesi? No, 45 (m nhe pe lti vloi) le funzioni seno e oseno pesentno lo stesso vloe. TELL 5 Vloi delle funzioni seno e oseno pe luni ngoli notevoli = sen os Più in genele, l vie dell ngolo, le funzioni seno e oseno ssumono vloi eli sempe e omunque pptenenti ll intevllo d -1 1, vloi estemi ompesi. Quest ilevnte situzione può essee sintetizzt dlle seguenti notzioni: -1 # sen # 1-1 # os # 1 Cesendo l ngolo olte l ngolo gio, 400 ( 360 o ), i vloi dell funzione seno e dell funzione oseno si ipetono peiodimente. Possimo llo ffeme he seno e oseno sono funzioni peiodihe on peiodo di 400. Ciò signifi he tli funzioni dopo un ngolo gio tonno d ssumee gli stessi vloi (pe esempio sen 485 = sen 85 ). Più in genele (on n inteo) possimo sivee: sen( + n 400 ) = sen os( + n 400 ) = os 4. Funzioni goniometihe tngente e otngente Con ifeimento ll PFIGUR 7, è possiile definie le ulteioi seguenti funzioni dell ngolo : viene definit tngente dell ngolo, e indit on l notzione tg, il ppoto (qundo esiste) t il teto C (opposto ll ngolo ) e il teto OC (diente ll ngolo ) del tingolo ettngolo OC; viene definit otngente dell ngolo, e indit on l notzione otg, il ppoto (qundo esiste) t il teto OC (diente ll ngolo ) e il teto C (opposto ll ngolo ) del tingolo etto OC: 7 F Q P Cos signifi ffeme he le funzioni goniometihe sono peiodihe? Signifi he dopo un deteminto intevllo (360 pe seno e oseno, 180 pe tngente e otngente) ipoduono gli stes si vloi. C tg = OC OC otg = (4) C nhe i vloi di queste funzioni sono numei pui. Inolte, osì ome pe le funzioni seno e oseno, nhe le funzioni tngente e otngente posseggono un signifito semplifito nell mito del ehio goniometio, in ui i vloi di queste funzioni oinidono on le lunghezze di deteminti segmenti. In effetti, onsidendo l PFIGUR 7 e tindo l tngente geometi l ehio goniometio nel punto, imne definito il punto T intesezione t l stess tngente e il polungmento del lto estemo O dell ngolo. L lunghezz del segmento T (oppue l siss X T di T) oinide on il vloe dell funzione tngente dell ngolo. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

8 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE C os O Y sen R = 1 X tg X T Y T t 100 X C os Y R = O 100 sen X s Y S Y S otg H X FIGUR 7 Definizione dell funzione tigonometi tngente. FIGUR 8 Definizione dell funzione tigonometi otngente. nlogmente, tindo l tngente geometi l ehio goniometio nel punto H (PFIGUR 8), l lunghezz del segmento HS (oppue l odint Y S di S) oinide on il vloe dell funzione otngente dell ngolo. In definitiv, nell mito del ehio goniometio, le peedenti definizioni (4) diventno: tg = T = X T otg = HS = Y S (5) Ossevndo poi le () e le (4) sono evidenti le seguenti elzioni: sen os 1 tg = otg = otg = (6) os sen tg Esistenz delle funzioni tngente e otngente Mente le funzioni seno e oseno esistono sempe (ioè fonisono sempe un numeo ele pe qulsisi ngolo (dunque sono funzioni ontinue), iò non è veo pe le funzioni tngente e otngente; esse, inftti, non esistono pe ptioli ngoli he nnullno i denomintoi delle (4). Se i limitimo onsidee ngoli minoi dell ngolo gio l funzione tngente non esiste 100 e 300, mente l funzione otngente non esiste 0 e 00. Questi vloi ngoli ppesentno punti di disontinuità pe le due funzioni (he petnto sono dette disontinue). Tuttvi un po pim o un po dopo questi vloi (PFIGURE 9 e 10), le funzioni tngente e otngente ssumono vloi molto gndi on segno positivo (+ 3, più infinito) oppue negtivo (- 3 meno infinito). Ciò giustifi le notzioni onvenzionli del tipo: tg 100 =! 3 otg 00 = " 3 l posto delle notzioni fomlmente oette: tg 100 = non esiste; otg 00 = non esiste. Vizioni e peiodiità delle funzioni tngente e otngente Dl ompotmento delle funzioni tngente e otngente in oispondenz degli ngoli he sepno i qutto qudnti esminti l punto peedente, e iodndo le elzioni (6), possimo ostuie l PTELL 6 in ui sono olti i vloi delle due funzioni in oispondenz degli ngoli già onsideti nel so delle funzioni seno e oseno. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P Pe qule gione le loltii non possiedono un tsto dedito l lolo del vloe dell funzione otngente? Pehé l otngente di un ngolo può essee ottenut utilizzndo il vloe dell tngente dello stesso ngolo, fendone poi il eipoo. F Q P I vloi delle funzioni tngente e otngente di un ngolo sono sempe otteniili ome lunghezz di un segmento? No, le due funzioni sono ppesentte dll lunghezz di un segmento solo nell mito del ehio goniometio. 8

9 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 9 Vizione dell funzione tngente. Y 0 tg T T T T t t O R = X + 00 FIGUR 10 Vizione dell funzione otngente. S Y 400 S 300 O + R = 1 S otg H 100 X + 00 TELL 6 Vloi delle funzioni tngente e otngente pe luni ngoli notevoli = tg ! 3 0! 3 0 F Q P L funzione tngente esiste pe qulsisi ngolo? No, in oispondenz di eti v loi ngoli (es. 90 ) l funzione tngente non esiste. Un po pim o un po dopo questi vloi l tngente ssume vloi ssoluti molto gndi on segno positivo o negtivo. otg! ! 3 0! 3 Ossevndo le PFIGURE 9 e 10, e onsidendo le elzioni (6), possimo endei onto dei segni he le funzioni tngente e otngente ssumono nei vi qudnti. Inolte, si può ffeme he le funzioni tngente e otngente ssumono, l vie dell ngolo, tutti i vloi eli ompesi nell intevllo - 3, + 3. Tle situzione può essee sintetizzt dlle seguenti notzioni: - 3 # tg # # otg # Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

10 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE D qunto esposto, si può osseve he nhe le funzioni tngente e otngente sono peiodihe, m on peiodo di 00 (ngolo pitto). In effetti qundo l ngolo ese d , l tngente e l otngente ssumono, nello stesso odine, gli stessi vloi he pesentno qundo l ngolo vi d Possimo llo ffeme, pe fe un esempio, he tg 44 = tg 44, o he otg 356 = otg 156. Più in genele (on n inteo) possimo sivee: tg( + n $ 00 ) = tg otg( + n $ 00 ) = otg 5. Vloi delle funzioni goniometihe Fin qui sono stti onsideti i vloi delle funzioni goniometihe pe ngoli ptioli (0, 30, 45, 90, 180 e.). Tuttvi nell pti è neessio detemine i vloi delle funzioni goniometihe ifeite non solo d ngoli ptioli, m nhe d ngoli qulunque (pe esempio sen 73,4; tg 45,36). Oggi il lolo di tli vloi viene effettuto on le mhine loltii tsili di tipo sientifio. Le modlità di impiego di tli loltii tsili, nel lolo dei vloi delle funzioni goniometihe, dipendono dlle tteistihe he queste pesentno e he vino d un s ostuttie ll lt. Lsimo peiò ome eseizio l lettoe il ompito di veifie, sul lietto di istuzioni dell popi loltie, le sequenze d ttive pe ottenee i vloi delle funzioni ete. Un volt quisito l uso dell loltie tsile, sà possiile, pe esempio, lole i vloi delle funzioni goniometihe pe gli ngoli ompesi t 0 e 360, intevllndoli on un psso di 10 in 10, e ostuie l PTELL 7. F Q P Esiste un qudnte in ui tutte le funzioni sono positive? Sì, il pimo (0-90 ). F Q P Esiste un qudnte in ui tutte le funzioni sono negtive? No, in nessun qudnte si veifi l simultne negtività di tutte le funzioni goniometihe. TELL 7 Vloi delle funzioni goniometihe pe ngoli on psso di 10 = sen 0 0, ,340 0, ,340-0, os 1 0, , , , , tg 0 0, , , , , otg - 5,6718, , , , Gfii delle funzioni goniometihe Tutte le funzioni goniometihe posseggono un tteisti ppesentzione gfi he si estende infinitmente sinist e dest. Tuttvi, essendo queste funzioni peiodihe, le tteistihe di tli gfii possono essee vlutte ompiutmente nell mito del pimo ngolo gio, dunque limitndo l nlisi nell intevllo ompeso t 0 e 360. Funzioni seno e oseno Pe ostuie i gfii delle funzioni y = sen e y = os, ooe segliee un sl onvenzionle di ppesentzione degli ngoli (pe esempio 5 mm = 10), poi ipote sull sse delle sisse i vloi degli ngoli ompesi t 0 e 360 e sull sse delle odinte i oispondenti vloi del seno e del oseno (d esempio usndo quelli ontenuti nell PTELL 7), fissndo peventivmente nhe in questo so un oppotun sl onvenzionle di ppesentzione (pe esempio 4 m = 1). I gfii he si ottengono sono himti ispettivmente sinusoide e osinusoide; le PFIGURE 11 e 1 ipotno tli uve nel ttto di sse delle sisse in Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 10

11 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 11 Pozione del digmm dell funzione y = sen pe ompeso t 0 e y = sen π 3π/ π π/ 1 peiodo π FIGUR 1 Pozione del digmm dell funzione y = os pe ompeso t 0 e y = os π 3π/ π π/ 1 peiodo π ui gli ngoli sono ompesi t 0 e 360 (0 e 400 ), ioè nell mito del pimo ngolo gio. Funzioni tngente e otngente nlogmente possimo ostuie gfii delle funzioni y = tg e y = otg. Tli gfii sono himti ispettivmente tngentoide e otngentoide; le PFIGURE 13 e 14 ipotno tli uve nel ttto di sse delle sisse in ui gli ngoli sono ompesi t 0 e 400 (0 e 360). Ossevimo he le pllele ll sse Y tite pe = 100 e = 300, ppesentno sintoti pe l funzione tngente; nlogmente l sse Y e l pllel ll sse Y tit pe = 00, ppesentno sintoti pe l funzione otngente. 11 F Q P L estensione, sull sse delle sisse, delle ppesentzioni gfihe di seno e oseno sono limitte solo eti intevlli? No, le due ppesentzioni sono illimitte si dest dell sse y (ngoli positivi) si sinist (ngoli negtivi). 7. Relzioni t le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo T le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo esistono elzioni indipendenti; due di queste sono l pim e l tez delle (6), he pe omodità ipoponimo: sen 1 tg = otg = (7) os tg Olte queste due elzioni indipendenti, è possiile ivne un tez (t seno e oseno di uno stesso ngolo) pplindo il teoem di Pitgo l tingo- Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

12 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE y = tg + + y = otg peiodo π peiodo π FIGUR 13 Pozione del digmm dell funzione y = tg pe ompeso t 0 e 400. FIGUR 14 Pozione del digmm dell funzione y = otg pe ompeso t 0 e 400. lo etto OC (PFIGU R 15) nell mito del ehio goniometio (iodndo he O = R = 1 è l ipotenus di tle tingolo). Considendo poi he in tle ontesto le misue dei segmenti C e OC ppesentno ispettivmente il seno e il oseno dell ngolo, potemo sivee quell he è not ome elzione fondmentle dell goniometi: sen + os = 1 (8) F Q P Esiste un elzione he leg seno e oseno dello stesso ngolo? Sì, è l elzione dett fondmentle pe l qule l somm dei qudti del seno e del oseno di uno stesso ngolo sono sempe uguli ll unità Y R = O X C os Y sen X Y 100 X Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 00 FIGUR 15 pplindo il teoem di Pitgo l tingolo etto OC si ottiene l elzione fondmentle dell goniometi. 1

13 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Cos sono le elzioni dipendenti dell goniometi? Sono elzioni ivte dlle te elzioni indipendenti, nelle quli isun funzione goniometi viene espess in funzione delle lte. TELL 8 Relzioni t funzioni goniometihe di uno stesso ngolo (sen ) (os ) (tg ) (otg ) sen sen! 1 - os os! 1 - sen os tg 1! 1 + tg! 1 + otg 1 otg! 1 + tg! 1 + otg tg sen!! 1 - sen os 1 - os tg 1 otg otg! sen 1 - sen os! 1 - os 1 tg otg In ess, lle notzioni onvenzionli sen e os, deve essee ttiuito il signifito seguente, più oetto sotto l spetto fomle: (sen) e (os). L espessione (8) può essee osì enunit: l somm dei qudti dei vloi del seno e del oseno di uno stesso ngolo è ugule 1. Funzioni goniometihe di uno stesso ngolo Ntulmente l elzione (8), nhe se ivt nell mito del ehio goniometio, h vlidità genele pe qulunque ngolo (pe esempio: sen 76,5 + os 76,5 = 1). Le te elzioni (7) e (8) sono, ome si è detto, t loo indipendenti, e d esse possono essee deivte ulteioi elzioni t le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo. L PTELL 8 oglie tli elzioni in ui in ogni ig isun funzione goniometi viene mess in elzione un sol delle estnti. L miguità eltiv l doppio segno! he ompe in lune fomule, viene isolto vlutndo il qudnte di pptenenz dell ngolo. 8. Relzioni t le funzioni goniometihe di ngoli ssoiti Si himno ngoli ssoiti ll ngolo quegli ngoli (divesi d ) pe i quli le funzioni goniometihe, in vloe ssoluto, sono uguli quelle dell ngolo. 13 F Q P Cos sono gli ngoli ssoiti? Sono ngoli divesi, m he pesentno i vloi ssoluti delle funzioni goniometihe ugu li. Pe esempio due ngoli supplementi sono nhe ssoiti. Il segno del vloe dell funzione viene poi definito vlutndo il qudnte di pptenenz degli ngoli ssoiti. Quest popietà degli ngoli ssoiti onsente di utilizze un ngolo uto (I qudnte) pe ottenee il vloe ssoluto di isun funzione goniometi eltiv un ngolo pptenente qulunque qudnte, in genee mggioe dell ngolo etto (pe esempio pe ottenee i vloi delle funzioni dell ngolo 143, è possiile utilizze l ngolo uto 57 ). Quest opezione è not ome iduzione l I qudnte (punto suessivo) ed e indispensile in pssto pe ottenee i vloi delle funzioni goniometihe on le tvole logitmihe (esse, inftti, ontenevno solo i vloi eltivi gli Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

14 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE TELL 9 Ctteistihe degli ngoli ssoiti ngoli ntiomplementi nel I qudnte (100 + ) nel II qudnte ngoli supplementi nel II qudnte (00 - ) nel I qudnte R = 1 Y sen O X sen (100 + ) = os os (100 + ) = - sen tg (100 + ) = - otg otg (100 + ) = - tg R = 1 O 00 Y sen (00 ) 00 sen X sen = sen (00 - ) os = - os (00 - ) tg = - tg (00 - ) otg = - otg (00 - ) Esempio: sen 134 = sen( ) = os 34 Esempio: tg 168 = - tg( ) = - tg 3 ngoli ntisupplementi (1) nel III qudnte ( - 00 ) nel I qudnte ngoli ntisupplementi () nel I qudnte ( + 00 ) nel III qudnte Y sen ( 00 ) Y R = 1 00 O 00 X sen = - sen ( - 00 ) os = - os ( - 00 ) tg = tg ( - 00 ) otg = otg ( - 00 ) R = 1 O sen + 00 X sen ( + 00 ) = - sen os ( + 00 ) = - os tg ( + 00 ) = tg otg ( + 00 ) = otg sen sen ( + 00 ) Esempio: os 7 = - os(7-00 ) = - os 7 Esempio: sen 51 = - sen( ) = - sen 51 ngoli esplementi nel IV qudnte (400 - ) nel I qudnte ngoli opposti qudnte qulunque - qudnte qulunque Y sen (400 ) sen R = 1 O X sen = - sen (400 - ) os = os (400 - ) tg = - tg (400 - ) otg = - otg (400 - ) Y sen D R = 1 O sen X sen (-) = - sen os (-) = os tg (-) = - tg otg (-) = - otg Esempio: tg 337 = - tg( ) = - tg 63 Esempio: os (-8) = os 8 ngoli uti). Oggi, pe tle ompito, l uso delle loltii sientifihe h eso non indispensile tle popietà, he tuttvi è neessi in lti ontesti. Gli ngoli uti e (100 - ) di un tingolo etto sono omplementi, m possono essee nhe onsideti ssoiti in vitù delle elzioni (16) e (1) he snno poposte nel possimo pgfo 10. Nell PTELL 9 sono sintetizzte le tteistihe degli ngoli ssoiti in ui uno di questi è mggioe dell ngolo etto. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 14

15 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Le mhine loltii fnno ioso ll teni di iduzione l I qudnte? No, tle teni e indispensile on l uso delle vehie tvole nelle quli eno pesenti solo gli ngoli uti (nel I qudnte, ppunto). Riduzione l pimo qudnte Considendo le popietà degli ngoli ssoiti viste in peedenz, dto un ngolo on qulsisi vloe, è sempe possiile: tove un ngolo ompeso t 0 e 100 (dunque uto e positivo), le ui funzioni goniometihe sono uguli, in vloe ssoluto, quelle dell ngolo dto. L ie di tle ngolo uto pende il nome di iduzione l pimo qudnte. d esempio: volendo il vloe di os 7, possimo ioee lle popietà dei due ngoli ssoiti ntisupplementi: 7 e (7-180): os 7 = - os (7-180) = - os 47 quindi 47 è l ngolo idotto l pimo qudnte di 7; nlogmente volendo il vloe di tg 354, fendo ifeimento gli ngoli ssoiti esplementi, si h: tg 354 = - tg ( ) = - tg 46 quindi 46 è l ngolo idotto l pimo qudnte di 354. Qulo l ngolo fosse mggioe dell ngolo gio (tenendo onto dell peiodiità delle funzioni goniometihe), pim di onsidee gli ngoli ssoiti ooe togliee un numeo inteo di ngoli gii. Pe esempio: sen 846 = sen (846 - $ 360) = sen 16 = sen (180-16) = sen Funzioni invese Definizione del polem onnesso lle funzioni invese Esminndo le funzioni goniometihe imo visto he ogni ngolo oisponde (qundo esiste) sempe un solo vloe pe isun delle funzioni goniometihe nlizzte. l ontio, vi sono infiniti vloi dell ngolo (di ui solo due nel pimo ngolo gio) oispondenti un ssegnto vloe di un qulunque funzione goniometi. y = 0,5 Tle situzione viene en evidenzit nell PFIGUR 16, nell qule è ppesentt gfimente l funzione seno. Se immginimo di ssegne ll funzione seno il vloe esemplifitivo di 0,5, vedimo suito dll figu he questo vy = sen x , , ,33 166,66 433,33 x FIGUR 16 L funzione y = sen x ssume un deteminto vloe, d esempio 0,5, in oispondenz di infiniti vloi dell ngolo x. 1 soluzioni ompese t 0 e Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

16 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE loe dell funzione oispondono infiniti vloi dell ngolo tutti quelli individuti dll intesezione dell sinusoide di equzione y = sen on l ett di equzione y = 0,5. Nell isoluzione delle figue pine pit spesso di dove isolvee il polem definito inveso, ioè quello di detemine tutti gli ngoli he pesentno un ssegnto vloe di un funzione goniometi. Pemettendo he vengono himte equzioni tigonometihe quelle uguglinze he ontengono funzioni goniometihe on ngoli inogniti, il polem pim enunito onsiste nel isolvee equzioni elementi del tipo: F Q P ssegnto un numeo ele ompeso t -1 e 1, qunti ngoli pesentno il vloe dell funzione seno ugule questo numeo? Infiniti. sen x = on -1 # # 1 os x = s on -1 # s # 1 tg x = v on - 3 # v # + 3 (9) Pe isolvee le equzioni (9) è neessio definie le funzioni invese di seno, oseno e tngente. Esse onsentono di ottenee il pimo dei vloi dell ngolo (he essendo inognito viene indito on x 1 ), oispondente un dto vloe, s, v dell funzione onsidet, dl qule sà poi possiile detemine tutti gli infiniti lti vloi, o solo il seondo vloe x se i si limit l pimo ngolo gio (mito nel qule si sviluppno le noste polemtihe), on vlutzioni onnesse lle popietà delle funzioni. Pe ottenee questo pimo vloe x 1 dell ngolo, è neessio limite l definizione di queste nuove funzioni in intevlli ngoli en peisi e popi pe isun funzione. L funzione inves oseno Consideimo l equzione sen x = ; ess pesent infinite le soluzioni x 1, x, x 3, x 4 e. (on x 1 e x nel pimo ngolo gio). Pe ottenee il pimo vloe x 1 onsideimo solo gli ngoli x ompesi nell intevllo: -100 # x # 100 Nell mito di questo intevllo, un ssegnto vloe di (on -1 # # 1), est ssoito un solo vloe di x, he petnto è funzione univo di. Tle funzione è not ome funzione inves del seno e viene himt oseno; ess viene sitt on l seguente notzione: x = sen () he signifi, ppunto, «x è l ngolo il ui seno è» (nell intevllo -100 ; +100 ). Il vloe viene fonito dll loltie e, ome detto, deve essee intepetto ome pimo vloe x 1 (; x 1 ; # 100 ) delle soluzioni dell equzione sen x =. Il seondo vloe x viene poi deteminto iodndo he l funzione seno pesent lo stesso vloe pe due ngoli supplementi; llo, essendo x 1 (in vloe ssoluto) nel I qudnte, x ppteà l II qudnte e sà fonito dll ovvi elzione: x = 00 - x 1 Le lte soluzioni x 3, x 4, x 5 e. (m in genele noi non sevono), possono essee ivte d x 1 e x tenendo onto dell peiodiità dell funzione seno. Consideimo, pe esempio, l seguente equzione elemente: sen x = 0,5 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P In qule intevllo ngole l funzione inves oseno viene definit? Nell intevllo 100 # x # 100 nel qule, pe un vloe (ompeso t 1 e 1), d ess oisponde un solo vloe ngole x. 16

17 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P ssegnto un numeo ele ompeso t -1 e 1, l funzione inves o oseno fonise sempe un vloe ngole ompeso t 0 e 180; pehé? Pehé in questo intevllo esiste un solo ngolo il ui oseno pesent un vloe ugule l nu meo ssegnto. In questo in tevllo, ioè, l funzione ooseno è iunivo. L loltie pe sen (0,5) fonise il vloe 33,33 he ostituise il pimo vloe delle soluzioni dell equzione (petnto x 1 = 33,33); pe ottenee l seond soluzione x st lole l ngolo supplemente di 33,33. Dunque, le pime due soluzioni dell equzione peedente (pptenenti l pimo ngolo gio) sono: x 1 = 33,33 e x = 00-33,33 = 166,66 L funzione inves ooseno Con modlità pefettmente nloghe, se onvenimo di ssumee pe x, nell equzione os x = s, solo gli ngoli ompesi nell intevllo: 0 # x # 00 L equzione pesent un sol soluzione, e nhe in questo so x è un funzione univo di s. Quest è l funzione inves del oseno e viene himt ooseno, espess dll notzione: x = os (s) Ess indi he x è l ngolo il ui oseno è s (nell intevllo 0 ; 00 ). nhe in questo so tle vloe viene fonito dll loltie e ostituise il pimo vloe x 1 ( x 1 # 00 ) delle soluzioni dell equzione os x = s. Il seondo vloe x si tov iodndo he l funzione oseno pesent lo stesso vloe pe due ngoli esplementi; llo, essendo x 1 # 00, x sà $ 00 e veà fonito dll elzione: x = x 1 Consideimo, pe esempio, l seguente equzione elemente: os x = - 0,4 L loltie pe os (- 0,4) fonise il vloe 16,19797 he ostituise il pimo vloe delle soluzioni dell equzione; pe ottenee il seondo vloe x st lole l ngolo esplemente di 16, Quindi, le pime due soluzioni dell equzione peedente (pptenenti l pimo ngolo gio) sono: x 1 = 16,19797 e x = ,19797 = 73,8003 L funzione inves otngente nhe pe ottenee le soluzioni x 1, x, x 3, x 4 e. dell equzione tg x = v, ooe ptie dl pimo vloe x 1 limitndo i vloi degli ngoli x ll intevllo: -100 # x # 100 Esso i ssiu he un ssegnto vloe di v est ssoito un solo vloe di x, he petnto è funzione univo di v; ess ostituise l funzione inves dell tngente e viene himt otngente: x = tg (v) Tle vloe viene fonito dll loltie e ostituise il pimo vloe x 1 delle soluzioni dell equzione tg x = v. Il seondo vloe x viene poi deteminto iodndo il peiodo dell funzione tngente: x = 00 + x 1 17 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

18 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Esminimo, pe fisse le idee, l seguente equzione elemente: tg x = 0,3 Dll loltie pe tg (0,3) ottenimo il vloe 18,55471 (quindi x 1 = 18,55471); l seond soluzione x si ottiene ggiungendo 00 questo vloe. Dunque, le pime due soluzioni sono: x 1 = 18,55471 e x = ,55471 = 18,55471 Ctteistihe in sintesi e notzioni onvenzionli Sintetizzimo le tteistihe delle funzioni invese nell PTELL 10. TELL 10 Ctteistihe delle funzioni invese Funzione inves Notzione Intevllo di definizione ª soluzione delle equzioni (9) oseno di [;;# 1] x = sen() -100 # x #100 x = 00 - x ooseno di s [;s;# 1] x = os(s) 0 # x # 00 x = x otngente di v [;v;# 3] x = tg(v) -100 # x # 100 x = 00 + x Nelle loltii tsili si è onsolidt l itudine onvenzionle (dovut l limitto spzio sui tsti e l loo numeo limitto) di edee lle funzioni in vese peselezionndo il tsto di seond funzione (pe esempio INV oppue SHIFT) pim del tsto dell funzione desidet, o indindo l funzione inves on il suffisso esponenzile «-1»: sen INV + sen oppue sen -1 os INV + os oppue os -1 tg INV + tg oppue tg -1 Tuttvi non si deve f onfusione ttiuendo lle peedenti notzioni onvenzionli signifiti lgeii he esse non hnno. Petnto non si deve mi onfondee l funzione inves on l inveso dell funzione, seondo un intepetzione eone he le peedenti notzioni onvenzionli poteeo indue e fvoie. In definitiv ooe iode he l funzione inves oseno (indit nelle loltii ome seno -1 ) ssolutmente non equivle 1/seno. F Q 10. Risoluzione dei tingoli ettngoli Ossevimo he nelle definizioni delle funzioni goniometihe ompe sempe un tingolo ettngolo (o etto) in ui un ngolo uto oisponde ll ngolo (viile indipendente delle funzioni). Ciò pemette di isolvee i tingoli etti pendendo in onsidezione le funzioni goniometihe. L tigonometi insegn isolvee i tingoli sleni (senz ptioli popietà), ioè pemette di lole gli elementi inogniti qundo si onosono te elementi del tingolo, t i quli deve essee sempe ompeso lmeno un lto (o un lto elemento linee). Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] P Le notzioni uste nelle loltii tsili pe indie le funzioni invese sono fomlmente oette? No, sono inolte fuovinti in qunto induono onsidee eonemente l funzione inves ome l inveso del vloe ssegnto. Ciò è giustifito solo dl poo spzio disponiile sui tsti. 18

19 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 17 Relzioni tigonometihe pe un tingolo ettngolo C ssumendo ome ento del ehio dottto il vetie () o il vetie (). C Y 100 =R C Y β 100 = R X X ) ) F Q P Qule ppoto inteoe t gli ngoli uti di un tingolo ettngolo? Sono omplementi, quindi l loo somm è 90. Nel so di un tingolo ettngolo un elemento è sempe noto; questo è l ngolo etto. Quindi, pe isolvee un tingolo ettngolo st ssegne due elementi, t i quli lmeno un lto (o, omunque, un elemento linee). Inolte, indindo on e gli ngoli uti del tingolo etto, questi sono omplementi quindi legti dll elzione: + = 100, d ui segue: = = Poihé, ome si è detto, le definizioni delle funzioni goniometihe di un ngolo oientto non dipendono dl ggio del ehio dottto m solo dll ngolo stesso, possimo llo ssumee l ipotenus = ome ggio di tle ehio, dottndo ome ento il vetie e fendo oinidee il segmento = C on l sse Y delle odinte (PFIGUR 17). Utilizzo delle funzioni seno e oseno Pensimo poi di dotte le onvenzioni letteli in ess ppesentte ( = ipotenus; = C e = C teti; ngolo di vetie ; ngolo di vetie ), e di ifomule in tle mito le definizioni () di seno e oseno, dunque limitndole i soli ngoli uti: sen = os = (10) Dlle elzioni (10) si ivno immeditmente le seguenti: = $ sen = $ os = = sen os Possimo poi ife l solit ostuzione gfi, ssumendo sempe l ipotenus = ome ggio del ehio, m dottndo, quest volt, ome ento il vetie (nzihé ) e fendo oinidee il segmento = C (nzihé C) on l sse Y delle odinte (PFIGUR 17). Rifomulndo le definizioni si h: (11) (1) sen = os = = $ sen = $ os = = sen os (13) (14) (15) 19 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

20 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Dl onfonto delle elzioni (11) e (14) e iodndo he ( = ), si vede he nei tingoli ettngoli si h: sen = os = os(100 - ) os = sen = sen(100 - ) Utilizzo delle funzioni tngente e otngente llo stesso modo possimo ivedee le definizioni delle funzioni tngente e otngente dell ngolo, ifeendole llo shem di PFIGUR 17 (limittmente gli ngoli uti): (16) tg = otg = (17) = $ tg = $ otg = (18) tg Ripetimo l solit ostuzione gfi, ssumendo l ipotenus = ome ggio del ehio, m ome ento il vetie (nzihé ) e fendo oinidee il segmento = C (nzihé C) on l sse Y delle odinte (PFIGUR 17). Rifomulndo le definizioni delle funzioni tngente e otngente dell ngolo (limittmente gli ngoli uti): tg = otg = (19) = $ tg = $ otg = (0) tg Ossevndo le elzioni (18) e (0), si ilev he nei tingoli ettngoli si h: F Q P È possiile definie le funzioni tigonometihe nell mito di un tingolo ettngolo? Sì, pe gli ngoli uti. Pe esempio l funzione se no di un ngolo uto di un tin golo ettngolo viene definit dl ppoto t il teto op posto ll ngolo e l ipotenus dello stesso tingolo. tg = otg = otg(100 - ) otg = tg = tg(100 - ) (1) Enuniti eltivi ll isoluzione dei tingoli etti Le elzioni peedenti pemettono di popoe i seguenti enuniti he onsentono l isoluzione dei tingoli etti qundo sono inogniti elementi linei: In ogni tingolo ettngolo, l misu di un teto è ugule l podotto dell ipotenus pe il seno dell ngolo opposto quel teto, oppue è ugule l podotto dell ipotenus pe il oseno dell ngolo diente quel teto. In ogni tingolo ettngolo, l misu dell ipotenus è ugule l ppoto t un teto e il seno dell ngolo opposto questo teto; oppue è ugule l ppoto t un teto e il oseno dell ngolo esso diente. In ogni tingolo ettngolo, l misu di un teto è ugule l podotto dell lto teto pe l tngente dell ngolo opposto l pimo teto, oppue è ugule l podotto dell lto teto pe l otngente dell ngolo diente l pimo teto. L PTELL 11 sintetizz le modlità isolutive dei tingoli ettngoli nei si fondmentli deteminti di dti noti di ptenz. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P Esiste un elzione t le funzioni seno e oseno degli ngoli uti di un tingolo etto? Sì, il seno del pimo ngolo uto h lo stesso vloe del oseno del seondo. 0

21 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE TELL 11 Shemi isolutivi dei tingoli ettngoli Cso Shem geometio Elementi noti 1 soluzione soluzione 1 C β Ipotenus = = ngolo = $ sen = $ os = $ os = $ sen C β Cteto = = ngolo = $ otg = $ tg = = sen os β Ipotenus 3 Cteto C = sen = = $ os = os = = $ sen 4 C β Cteto Cteto = tg = = sen = tg = = os PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 136,95 m e l ngolo = 4413l30m. Soluzione = 4413l30m = 44,5 (deimli) = 90-44,5 = 45,775 = 136, 95 = 191,109 m oppue: = 136, 95 = 191,109 m sen 45, 775 os 44, 5 = 191,109 sen 44,5 = 133,94 m oppue: = 191,109 os 45,775 = 133,94 m PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 75,68 m e l ngolo = 39,15. Soluzione = ,15 = 60,85 = 75,68 tg 39,15 = 53,455 m oppue: = 75,68 otg 60,85 = 53,455 m = 75, 68 = 9,655 m oppue: = 53, 455 = 9,655 m sen 60, 85 os 60, 85 1 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

22 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 136,95 m e l ipotenus = = 191,11 m. Soluzione 136, 95 = sen 191, 11 = 50, , 95 = os 191, 11 = 49,139 Pe ontollo: (50, ,139) = 100 = 191,11 $ sen 49,139 = 133,95 m PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 45,58 m e del teto = C = 8,11 m. Soluzione tg = d ui: = tg quindi: 45, 58 = tg = 64,8190 8, 11 Not. Nel so dei tingoli ettngoli, non seve fftto iee le lte soluzioni he soddisfno l equzione peedente, in qunto questi lti vloi sono inomptiili on l geometi dei tingoli ettngoli. Qundo isolveemo i tingoli qulunque, invee, non sempe potemo sfutte tle semplifizione. tg = = 8, 11 d ui: = tg quindi: = tg = 35, , 58 45, 58 = 53,55 m oppue: = 8, 11 = 53,55 m sen 64, 819 os 64, Fomule goniometihe Le funzioni goniometihe vino l vie dell ngolo, m non vino popozionlmente esso. Ciò signifi he, se il vloe di un ngolo divent doppio o tiplo, non è fftto veo he nhe il vloe delle oispondenti funzioni goniometihe diventi nh esso doppio o tiplo. Consideimo, pe esempio, gli ngoli 30 e 60, il seondo doppio del pimo (60 = $ 30). Rifeendoi ll funzione seno, si vede ome i oispondenti vloi non isultno fftto uno il doppio dell lto: sen 30 = 0,5 e sen 60 = 0,8660, peiò sen! sen Pelto, è nhe molto semplie veifie he l funzione goniometi dell somm o dell diffeenz di due ngoli, non è fftto ugule ll somm o ll diffeenz delle funzioni goniometihe dei singoli ngoli, ioè: sen ( + )! sen + sen ome nhe tg ( - )! tg - tg Di seguito vedemo lune fomule in gdo di espimee le funzioni goniometihe di somme e diffeenze di ngoli, podotti di un ngolo pe uno sle, uti- Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P Il oseno dell somm di due ngoli è ugule ll somm dei oseni di due ngoli? No, il vloe del oseno dell somm di due ngoli può essee ottenuto d pposite elzioni dette fomule di ddizione del oseno.

23 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE lizzndo le funzioni goniometihe dei singoli ngoli. Con l uso delle loltii, ttulmente esse onsevno inteesse solo in mito teoio e didttio pe dimoste luni enuniti. j Fomule di ddizione sen ( + ) = sen $ os + os $ sen os ( + ) = os $ os - sen $ sen tg + tg tg ( + ) = 1 - tg $ tg otg $ otg - 1 otg ( + ) = otg + otg () j Fomule di sottzione sen ( - ) = sen $ os - os $ sen os ( - ) = os $ os + sen $ sen tg - tg tg ( - ) = 1 + tg $ tg otg $ otg + 1 otg ( - ) = otg - otg (3) j Fomule di duplizione sen = $ sen $ os os = os - sen $ tg tg = 1 - tg otg - 1 otg = $ otg (4) j Fomule di isezione 1 - os sen =! 1 + os os =! 1 - os tg =! 1 + os (5) 1 + os otg =! 1 - os 3 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

24 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE j Fomule di postfeesi (on ) + - sen + sen = $ sen $ os + - sen - sen = $ os $ sen + - os + os = $ os $ os + - os - os = - $ sen $ sen (6) 1. Poiezione di un segmento e pendenz di un ett Poponimo o due definizioni, utilizzndo le peedenti funzioni goniometihe, he divenno fmilii llo studente dunte l inteo oso. j Poiezione di un segmento L poiezione del segmento, pptenente ll ett -, sull ett s-s omplne on l pim, è il segmento ll (PFIGUR 18), pptenente ll ett s-s e in ui l e l sono i piedi delle pependioli ll ett stess pssnti ispettivmente pe e. Pe detemine il vloe di tle poiezione, st tie dl punto un pllel M ll ett s-s, indindo poi on l ngolo he quest fom on l M ) s s C β γ D ) s C D s FIGUR 18 In lto, poiezione di un segmento su un ett. In sso, poiezione di un spezzt CD su un ett. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 4

25 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P L pendenz di un ett può essee negtiv? Sì, se viene vlutt nel senso dell dises. ett -. Si viene fome il tingolo ettngolo M etto in M; possimo llo sivee: ll = M = $ os nlogmente (PFIGUR 18), pe estensione di qunto detto sop, l poiezione llcldl dell spezzt CD sull ett s-s è dt dll seguente elzione: ldl = $ os + C $ os + CD $ os j Pendenz di un ett Fendo ifeimento ll PFIGUR 19, onsideimo l ett - nello spzio; ess fom un ngolo on il pino oizzontle. Possimo fomule il seguente enunito: si definise pendenz dell ett - l tngente dell ngolo he l ett fom on il pino oizzontle. Indindo on p tle entità, pe definizione si h: p = tg Se onsideimo un punto sull ett -, il punto l ppesent l su poiezione sul pino oizzontle ; indindo poi on O il punto di intesezione t l ett e il pino, si viene fome il tingolo ettngolo Ol (etto in l). Espimendo l definizione di tngente nell mito di tle tingolo, e utilizzndo le notzioni di PFIGUR 19, potemo isivee l espessione peedente nel seguente modo: h p = d L pendenz di un ett, essendo definit dll tngente di un ngolo, è un numeo puo; questo viene ssunto positivo qundo si onside il veso in slit dell ett -, negtivo qundo si onside il veso in dises. Un ett oizzontle h pendenz null pehé tg 0 = 0; un ett inlint di 50 ispetto ll oizzontle h un pendenz p = 1, pehé tg 50 = 1, mente l pendenz di un ett possim ll vetile è infinitmente gnde, pehé tg 100 = 3. Nell pti vengono onsidete ette poo inlinte ispetto ll oizzontle, le ui pendenze isultno peiò infeioi ll unità. Petnto, nel linguggio ptio, si us espimee l pendenz in «pe ento», osì he, pe esempio, un pendenz p = 0,0558 divent p = 5,58%. h O d pino oizzontle π FIGUR 19 Pendenz di un ett. 5 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

26 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Rissumendo MPP DI SINTESI DELL UNITÀ NGOLI VLORI E PROPRIETÀ PROIEZIONE DI UN SEGMENTO GRFICI DELLE FUNZIONI FUNZIONI GONIOMETRICHE RELZIONI TR LE FUNZIONI TRINGOLI RETTNGOLI NGOLI SSOCITI FUNZIONI INVERSE ngolo oientto: è l pte di un pino individut dll otzione ttono l vetie di un semiett, selt ome oigine, neessi pe elizze l sovpposizione di quest on l seond semiett. Rdinte: è l unità di misu degli ngoli in mito mtemtio; esso è definito ome l ngolo l ento in un ionfeenz di ggio itio he sottende un o di lunghezz ugule llo stesso ggio. In definitiv, indindo on l lo sviluppo dell o e on R il ggio dell ionfeenz, si h: d = R l L otzione viene onvenzionlmente onsidet positiv qundo è oi, negtiv qundo è ntioi, dndo luogo ispettivmente d mpiezze ngoli positive e negtive. L ngolo oientto elimin l miguità onness ll definizione geometi di ngolo. Relzione ngolo-o-dinte: dll fomul peedente deivno le seguenti espessioni: R = l d l = R $ d Sistemi di misu opetivi: il dinte, ome unità di misu degli ngoli, imne iositto ll mito mtemtio e teoio. Nell pti, ioè qundo gli ngoli vnno misuti onetmente, si definisono lti sistemi di misu più onvenienti e omodi nel ontesto opetivo: sessgesimle, deimle, entesimle. l = + R O R O O ngolo OX positivo ngolo OX negtivo Misu di un ngolo in dinti Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 6

27 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE Convesione sessgesimle-deimle: entmi i sistemi utilizzno ome unità il gdo sessgesimle, quindi l onvesione igudeà solo i sottomultipli. L ngolo sessgesimle 430l40m veà onvetito nel sistem deimle ome segue: 30l 40m = 4, Convesione sessgesimle-dinti: ooe pim tsfome l ngolo sessgesimle nel sistem deimle, quindi pplie l seguente popozione pe ottenee il oispondente vloe in dinti: d = 180 d ui segue d = $ 180 Convesione sessgesimle-entesimle: ooe pi m tsfome l ngolo sessgesimle nel sistem deimle, quindi pplie l seguente popozione pe ottenee il oispondente vloe in gdi entesimli: = d ui segue = $ 180 Convesione entesimle-dinti: ooe pplie l seguente popozione pe ottenee il oispondente vloe in dinti: d = d ui segue d = $ Coeffiienti di tsfomzione: pit tlvolt di dove tsfome un ngolo piolo (infeioe l gdo, ioè ll unità di misu) d dinti diettmente in seondi. Coeffiiente pe tsfome dinti in seondi sessgesimli: m = 180 $ 3600m $ d = $ d C os O Y sen 00 R = 1 X tg X T Y T t 100 X Cehio goniometio: è un ehio di ggio unitio (R = 1), vente il ento oinidente on l oigine di un sistem di ifeimento tesino, il ui semisse positivo delle odinte viene ssunto ome lto oigine pe gli ngoli. Il ehio goniometio non è indispensile nell definizione delle funzioni goniometihe, tuttvi il suo impiego semplifi in modo signifitivo l tttzione. Seno e oseno di un ngolo: le funzioni seno e oseno dell ngolo, indite on sen e os, sono definite di seguenti ppoti: C OC sen = os = O O Questi ppoti imngono inviti pe qulunque vloe del ggio R del ehio dottto nell ostuzione gfi. I vloi delle funzioni sen e os sono dei numei pui, quindi senz dimensioni. Entme queste funzioni fonisono vloi eli sempe ompesi t -1 e 1. Nell mito del ehio goniometio si ottiene un impotnte semplifizione pehé, essendo O = R = 1, isult: sen = C os = OC Tngente e otngente di un ngolo: le funzioni tngente e otngente dell ngolo, indite on tg e otg, sono definite di ppoti (qundo esistono): C OC tg = otg = OC C Questi ppoti imngono inviti pe qulunque vloe del ggio R del ehio dottto nell ostuzione gfi. I vloi delle funzioni tg e otg sono dei numei pui, quindi senz dimensioni. Entme queste funzioni fonisono vloi eli sempe ompesi t - 3 e + 3. Le funzioni tngente e otngente tlvolt non esistono: diffeenz delle funzioni sen e os, le funzioni tg e otg non sempe sono definite; in effetti esse pesentno (nel pimo ngolo gio) i seguenti punti di indeteminzione: pe = 100 e = 300 tg non esiste; pe = 0 e = 00 otg non esiste. ppen un po pim e un po dopo tli vloi, le funzioni tg e otg sono invee egolmente de finite e pesentno vloi molto gndi, positivi o negtivi. Convenzionlmente si suole indie in modo sintetio quest situzioni on le seguenti notzioni ituli, nhe se non igoose: tg 100 =! 3 otg 0 =! 3 Vizione delle funzioni goniometihe: l vie del punto, quindi dell ngolo, le funzioni goniome- 7 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]