Ottavio Serra. Dalle leggi di Keplero alla legge di gravitazione universale di Newton.

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1 Ottvio Se Dlle leggi di Keleo ll legge di gvitzione univesle di Newton Pemess utti snno he Newton giunse ll legge di gvitzione univesle deivndol mtemtimente dlle te leggi ottenute induttivmente d Keleo sull bse delle ohe ossevzioni dell stonomo dnese iho Bhe E imensbile eò he Newton bbi eseguito l deduzione e l vi geometi, osì ome è esentt nel suo olvoo: Filosohie ntulis inii mthemti, qundo già d divesi nni vev messo unto i nuovi metodi dell nlisi infinitesimle sotto il nome di teoi delle flussioni Pobbilmente Newton non volev llontnsi too dll mtemti di tio geo fmilie gli sienziti suoi ontemonei Seondo il fisio tedeso Mx Bon, emio Nobel e l su inteetzione obbilisti dell meni quntisti, Newton vebbe usto l nlisi infinitesimle e oi vebbe esentto dimostzioni e isultti in veste geometi Siome Newton non lsiò lun ti delle sue elbozioni, Bon tent un iostuzione in hive moden del modo on ui il gnde sienzito giunse ll gvitzione univesle tendo dlle leggi emiihe di Keleo Vieves, l legge di Newton onsente, ovvimente, di ive le leggi di Keleo, m f molto di iù: unifi i fenomeni elesti e teesti, (legge univesle), emette di lole le msse dei oi elesti, sieg le mee, f ie he le leggi di Keleo sono solo ossimte Siome l deivzione delle obite lnetie tie dll legge di Newton è esentt in tutti i tttti di meni (vedi e esemio not ), dò ll fine solo un enno sull vlidità ossimt delle leggi di Keleo e in tiole dell tez legge Pe lti tioli, si uò onsulte il mio tiolo Moti ini, ubblito sul Numeo dell Annuio del Lieo sientifio Soz, nno solstio , he si tov nhe nel mio sito O, seguendo Bon, esoò ome Newton vebbe otuto giungee ll legge di gvitzione D Keleo Newton Riodo le te leggi di Keleo: I ineti desivono intono l Sole obite ine hiuse Peismente ellissi, di ui il Sole ou un fuoo Il ggio vettoe he unise il Sole un inet szz ee uguli in temi uguli Il oto t il qudto del temo di ivoluzione (eiodo obitle) e il ubo del semisse mggioe è lo steso e tutti i ineti Siome le ellissi sono qusi ioli, il semisse mggioe uò essee sostituito on l distnz medi del inet dl Sole Pe l legge, è ossibile desivee il moto di un inet intoduendo un sistem di ssi x, y nel ino on l oigine nel Sole; usndo oodinte oli,, vemo: [] x os y sen Deivndo isetto l temo ivimo le omonenti dell veloità: x os sen [] y sen os Un ulteioe deivzione temole i dà le omonenti dell elezione: Mx Bon, Filosofi ntule dell uslità e del so, Boinghiei 96 Lndu e Lifsi, Meni, Boinghiei 965; Goldstein, Meni lssi, Znihelli 97 digilndelibeoit/ottviose0, tell tioli, lieo sientifio soz

2 [] x os sen os sen y sen os sen os Ponendo [4] (elezione dile) e [5] [6] x os sen y sen os (elezione tsves), le [] si ossono sivee: (vedi fig) Fig Consideo o da d, (elemento d e) Pe l legge di Keleo [7] da dt A dell veloità ele) (L veloità ele è ostnte; è dett ostnte delle ee ed è il doio Pe semlifie i loli suessivi onviene oe u=/ Petnto d d d d( u ) du du du [8] u u u u ; dt d dt d d d d [9] d d du du ; dt u d u u d d du du u u d u d ( ) 0 u d ui segue Dunque l elezione tsves è identimente null; l elezione del inet è tutt dile Sfuttimo o l seond te dell legge di Keleo e sivimo l equzione dell ellisse in oodinte oli on il olo in un fuoo (quello outo dl Sole): eos ( e è l eentiità, il meto dell ellisse, ioè l semi od ssnte e il fuoo e eendiole ll sse fole) Pe θ=0 si h il eielio, e θ=π l felio Peiò il semisse mggioe (fole) dell ellisse sà Infine, e il semi sse minoe b si tov ( ) e e e L distnz fole =e= b ( e ) ( e ) e e Venimo o l lolo dell elezione dile (vedi fomul [4]) Ooe lole ed : e e

3 d d d du du dt d d u u d d u, quindi d () d d ( du ) d u u u d u dt d d d d d (Si teng esente l legge di Keleo: d u d u u u u u d u d [0] 4 du u u d Utilizzndo o l equzione ole dell ellisse: si iv [] du e sen d u eos, d d u u ; ed infine e eiò eos u, ) Petnto L elezione di un inet è dunque diett veso il Sole (segno - ) ed invesmente oozionle l qudto del ggio vettoe (dell distnz del inet dl Sole) L ostnte di oozionlità /, e quel he ne simo fino questo momento, otebbe essee dives d inet inet, m l legge di Keleo i f ie he è l stes e tutti i ineti Simo he / =K, ostnte e tutti i ineti Integndo l [7] si h l e dell ellisse: A=(/) e quindi =A/ Sendo he A=πb e iodndo he =b / (vedi i eedenti loli sull ellisse), si ottiene 4 4 si uò sivee [] Q K, lo stesso e tutti i ineti Posto 4π K=Q, l elezione entle dei inti L ostnte Q, essendo l stess e tutti i ineti del sistem sole, non uò he diendee dll unio lto oo imlito, ioè il Sole, ed è dett i gvitzionle del Sole L elezione entle dei ineti è ust dl Sole, è dovut un foz ttttiv eseitt dl Sole Eseizio Chi non onose o non vuole use l equzione ole dell ellisse, tovi Q onsidendo le obite dei ineti ioli (il hé t entesi è qusi estto) e lihi l legge di Keleo sostituendo, semisse fole dell ellisse, ol ggio dell obit iole Dl ielo ll te Il gnde ulteioe sso vnti di Newton è stto elizzto elbondo l genile intuizione he i fenomeni teesti e elesti sono dell stess ntu (l neddoto dell mel) Pensò he l Lun è in obit ttono ll e tttt dll stess foz he f dee i sssi (e le mele) Se iò è veo, ensò Newton, l elezione di gvità g sull e si deve ote ive di dti obitli dell

4 Lun L essenz dell teoi newtonin e già delinet veso il , qundo Newton vev -4 nni; m siome non vev dti uti sul ggio dell e e sull distnz dell Lun, ottenev e g vloi molto divesi d quelli ottenuti ol endolo; inviò etnto l ubblizione dei Pinii fino l 687, qundo oté disoe di nuovi e iù uti dti geodetii e stonomii e ottenne e g un vloe in buon odo on le misuzioni teesti Vedimo ome fee Egli li l [] l moto dell Lun, dove o Q è l i gvitzionle dell e e è l elezione entiet dell Lun: v 4, d ui segue Q 4 ( e) ( è l distnz e Lun, igoe è il semisse mggioe dell obit lune; il eiodo sidele dell Lun) D lt te l elezione di gvità g sull e è in modulo g=q/r, essendo R il ggio dell e, eiò 4 g R Inseendo i vloi numeii =84000 Km=,840 8 m, = 7 g 7 h 4 m s =,60 6 s, R=6,40 6 m, si ottiene,84 0 g 4 9,798 9,8 6,4 0,6 0 4 ms Questo isultto settole onsò Newton ome il mssimo sienzito dell eo e guidò l ie sientifi nei due seoli suessivi L foz di gvitzione univesle Newton oi v olte e sfuttndo l legge dell dinmi, il iniio di zione e ezione, stbilise he due oi (untifomi o sfeii) integisono eiomente on un foz il ui modulo è QQ F sitt ome segue: [] enendo onto he l foz è un gndezz vettoile ed è ttttiv, l fomul v QQ F Sesso l [] viene esentt nell fom [ bis] F G, in ui G è dett ostnte di Newton, µ mss gvitzionle Il motivo di quest denominzione (mss) isle llo stesso Newton, he onsideò l foz on ui l e tte un oo, l foz eso P, ome odotto dell elezione di gvità e l mss (inezile) m del oo, in bse ll su legge dell dinmi Dett µ l mss gvitzionle dell e, µ quell del oo, ottenimo (R è il ggio dell e suost sfei): G mg R g Riodo o he il eiodo delle iole osillzioni di un endolo semlie è l lr m G Newton fee un seie di eseimenti on un endolo ostituito d un sfe v he iemì suessivmente delle iù svite sostnze, diffeenti e mss e omosizione himi; fem estndo l lunghezz l del filo di sosensione, egli tovò in ogni so lo stesso eiodo Conluse etnto he l mss gvitzionle di un oo è oozionle ll mss (inezile): µ=αm, dove α è un ostnte univesle Pendendo ome unità di mss gvitzionle quell dell unità di mss ine- 4

5 zile, ioè del hilogmmo, α ssume il vloe E questo il motivo e ui si die h l foz di ttzione gvitzionle è oozionle l odotto delle msse e l [ bis] si sive [4] mm F G L deteminzione del vloe numeio di G è solo un oblem tenio he fu isolto d Cvendish (7-80) on l bilni di tosione nel 798 (Vedi fig he esent shemtimente l bilni di tosione) fig Il vloe ttulmente ettto è G=6,670 - Nm /Kg Noto G, fu ossibile lole l mss dell e dll elezione di gvità, del Sole di dti dell obit teeste e le msse dei ineti dotti di stelliti dlle obite dei stelliti Si tovò he tutti i ineti hnno msse molto iole isetto quell del Sole Giove, he è il inet iù mssiio, 8 volte l e, h un mss he è meno di /000 di quell del Sole Più diffiile fu detemine l mss di oi elesti ivi di stelliti; e esemio, l mss dell Lun fu detemint sfuttndo l llsse mensile, ioè il iolo sostmento mensile ente delle stelle dovuto l inulo ovoto dll Lun sull e O nhe l Lun è dott di stelliti (tifiili) e l su mss è lolt on gne utezz (mlun 8 me) M l legge di Newton onsente molto di iù Integndo le equzioni del moto è ossibile deteminne l obit di un inet, lole le etubzioni he un inet subise d tutti gli lti, soie nuovi ineti E osi he il fnese Ubin Le Veie (8 877) evide ol l sol foz dei loli l esistenz di Nettuno e siege le disenze ossevte sull obit di Uno Nettuno fi ossevto e l im volt dll stonomo tedeso Glle nel 846 sull sot dei loli effettuti d Le Veie L legge di Newton emette inolte di ie he le leggi di Keleo sono solo ossimte, intoduendo il onetto di mss idott Mss idott Il moto di un inet intono l Sole è in eltà un oblem due oi, dto he il Sole non è fisso: essi obitno entmbi intono l omune ento di mss Diimo in genele P e P due tielle integenti di mss m ed m, ed le loo distnze d un unto O (eventulmente il ento di mss) Intodotti i vettoi e selt l oigine O nel ento di mss m,,, m m, isult m m 0 D quest equzione e dll m m, si iv m m [5], Deivndole entmbe due volte, bbimo le elezioni: m m m m 5

6 m, m m m m m Moltilindo l im e m e l seond e m si hnno le foze: mm m m m : è l foz eseitt dll seond tiell sull im, m mm m m quell di ezione dell im sull seond; ome si vede, esse sono ooste (uguli in modulo e diezione e di veso ontio), ome vuole8t) l tez legge dell dinmi L quntità mm m m si him mss idott del sistem Se m=m è l mss del Sole, m=m quell di un inet, il vettoe distnz he v dl Sole l inet, l legge dell gvitzione di Newton si sive l elezione del inet isult essee M m G Pe qunto onene l legge di Keleo, ottenimo, ossimndo l obit on un ehio, [6] G M m ( ) 4 Mm Mm G m M m e quindi Come si vede, il oto t il ubo del ggio dell obit ( igoe del semisse mggioe) e il qudto del eiodo di ivoluzione non diende soltnto dll mss del Sole, m nhe dll mss del inet Siome eò, ome bbimo notto, i ineti hnno msse tsubili isetto quell del Sole, l legge di Keleo è vlid on buon ossimzione Nel so del nosto stellite l nss m è /8 dell mss M dell te, non oio tsubile, eiò, un volt not l mss dell e, l [6] emette di ive l mss dell Lun Ottenuto il ggio vettoe eltivo (t) in funzione del temo, le [5] emettono di detemine le obite (t) ed (t) dei due oi (e esemio il Sole e un inet) isetto l loo ento di mss Queste due obite sono loo volt ellissi ol fuoo nel ento di mss In eltà le obite non sono esttmente ellissi e l eio etubzione dei ineti, ddiittu non sono nenhe obite hiuse; il loo eielio si sost l sse del temo (eessione del eielio) e tle eessione uò essee qusi omletmente lolt on l legge di Newton, slvo un iolissimo esiduo he è mssimo e il inet Meuio, in qunto è il iù viino l Sole: 4 seondi d o e seolo Questo sostmento esiduo è stto siegto dll teoi dell Reltività genele di Einstein (96), m quest è un lt stoi 4 Eseizio Detemine l distnz d del ento di mss del sistem e Lun dl ento dell e, onosendo l distnz e Lun =84 mil hilometi e sendo he l mss dell e è 8 volte quell dell Lun Confonte d ol ggio dell e R=67 hilometi Eseguie un lolo nlogo e il sistem Sole e (=50 milioni di Km, MSole=0 mil me e Rggio R del Sole= Km) 4 Einstein: Sull teoi seile e genele dell eltività (volgizzzione), Znihelli 9; Koff: I fondmenti dell eltività einsteinin, Hoeli 9; Levi Civit: Fondmenti di meni eltivisti, Znihelli 98; Pntleo ( u di): Cinqunt nni di eltività, Giunti-Snsoni 955; Fbbi: Pe un insegnmento modeno dell eltività, AIF sezione di Lu-Pis 985; Se: Reltività, Annuio del Lieo Sientifio Soz 005 (vedi nhe sul sito di not ) 6

7 Aendie mtemti: equzione ole dell ellisse Assumimo l oigine delle oodinte oli (; θ) nel fuoo F (vedi fig ) fig Dll definizione dell ellisse: PF+PF = segue s=- Posto FF =, notimo he < Clolimo s ol teoem del oseno (o immginimo un oedimento ltentivo oiettndo P sull sse ole x): s ( ) 4 os( ) 4 4 os Quindi 4 4 os ( ) 4 4 os 4 4 b os ( os ) eos Giustifite l seguente ffemzione: l equzione eedente e os e infine vle nhe e l iebole (ovvimente, in tl so l eentiità e isult > Il meto h lo stesso signifito he e l ellisse) 7