(in funzione di L, x e M).

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1 SCA GENERAE T-A gennio 03 pof. spighi (Cd ingegnei Enegetic Un stellite tificile di mss m pecoe obite cicoli di ggio R ttono ll lun di mss M. Supponendo che il ggio dell obit R coincid con il ggio dell lun detemine: il peiodo di ivoluzione T del stellite. Assumendo l un come un sistem sfeico con l mss distibuit unifomemente, detemine: l densità medi ρ dell un. 3 Dti: G m / kg s, M kg, R 738 km. Due dischi hnno momenti d inezi e ispetto llo stesso sse fisso oizzontle coincidente con l sse di simmeti d essi pependicole. nizilmente il disco è femo, mente il disco uot intono ll sse di simmeti con velocità ngole î. Ad un ceto istnte i due Disco Disco dischi vengono conttto e, cus dell ttito t le due supefici, ssumono l stess velocità ngole i ˆ f f. Detemine: il modulo di ^ f ; i l enegi dissipt E. Dti: kg m, 9 kg m, d / s 3 Un scensoe di mss M è femo l pimo pino di un condominio. Ad un ceto istnte il cvo si spezz e l cbin cde lungo le sue guide veso l sottostnte moll mmotizztice di costnte elstic K, che l scensoe compime pecoendo in totle, ll istnte di mssim compessione dell moll, un ttto veticle lungo. Un dispositivo di sicuezz gisce d feno sulle guide, in modo che esse sviluppino, in cso di emegenz, un foz d ttito costnte di modulo si in slit che in disces. Rimblzndo, l scensoe iton d un ltezz in cui l moll h icquistto l su lunghezz iposo. Detemine: l mssim compessione x dell moll; l espessione del modulo dell foz (in funzione di, x e M. pos iniz mx comp pos le ( x, y, z 3x yi + x 3 + 4yz ˆj + 4y zk ˆ, detemine: le dimensioni fisiche dell costnte α ; se il cmpo è consevtivo e nel cso clcole l enegi potenzile in un punto P(x,y,z; c il lvoo compiuto dll foz qundo spost il punto di ppliczione d R(0,0,0 S(,,. 4 Dto il cmpo di foze α ˆ ( 5 Due punti mteili di msse m e m scivolno l uno veso l lto su un pino oizzontle liscio con velocità v e v. Ad un ceto istnte, utndosi, essi imngono ttccti pe mezzo di un piccolo gncio. Detemine: il vettoe velocità v ssunt dl sistem dopo l uto; l enegi E pes nell uto. Dti: m kg, m kg, ˆ v i m / s, v ˆ i m / s 6 Enuncie e illuste il significto dei teoemi sul cento di mss.

2 Soluzioni compito: Esecizio : Poichè possimo considee l lun come un punto mteile collocto nel cento del pinet e nel qule si concentt tutt l su mss M, dl secondo pincipio dell dinmic si h che l foz gvitzionle esecitt dll un sul stellite di mss m, poduce l foz centipet che mntiene il stellite tificile sull su obit cicole di ggio R, secondo l elzione 3 mm mm 4π 4π R G m R G m R T R R T GM π R 4 π (738 0 T GM s h 49 7 Dto che l lun é suppost simmeti sfeic, l densità medi ρ é dt d: M M 3M ρ kg / m V 4π R 4π R 4 π ( Spendo che l densità medi dell te é ρ TERRA kg / m si icv che l lun h un densità medi pi cic il 64% di quell teeste. Esecizio Poichè il sistem non é soggetto d lcun foz esten (o meglio l isultnte delle foze estene è null, il sistem consev il momento dell quntità di moto: K ini K t l istnte inizile e quello le ( + f lungo l ett î e possimo dunque omettee l notzione vettoile. Dunque: f ( + d / s 0 dove entmbi i vettoi sono dietti uto t i due dischi può essee schemtizzto come un uto completmente nelstico dove si pede dunque un pte dell enegi. E E E dove ini Eini e ( ( ( ( E + f d cui

3 9 E Eini E J ( Dove si vede che E é positivo (cioé c é più enegi ll inizio che ll e come tteso. Esecizio 3: Applichimo il teoem delle foze vive: T T dove tot in in tot é il lvoo di tutte le foze che giscono sull scensoe e Tin ( T in é l enegi cinetic nello stto inizile (le, dove pe stto inizile (le si intende l scensoe femo d un quot (l scensoe femo d ltezz zeo e l moll completmente compess. Sull scensoe giscono 3 foze: l foz di gvità, l foz di ttito delle guide e l foz dell moll. Essendo l scensoe femo si nell istnte inizile che in quello le Tin Tin 0 mente x ( ( tot g + + m dx Mg k x 0 Sostituendo nel teoem delle foze vive si ottiene: ( ( ( Mg Mg k x 0 x k Applichimo il teoem delle foze vive pe le sole foze non consevtive che ssume l fom: nc Ein Ein dove é il lvoo delle sole foze non consevtive che giscono sull scensoe (in questo cso l sol foz di nc ttito delle guide e Ein ( E in é l enegi meccnic nello stto inizile (le, dove pe stto inizile (le si intende l scensoe femo ll quot di ptenz (l scensoe femo d ltezz x e l moll in condizione di iposo. Ein Mg x Ein Mg ( nc + x x + x Dunque sostituendo nc Ein Ein si ottiene: ( + x Mg x Mg Mg( x ( + x

4 Esecizio 4: costnte α h le seguenti dimensioni fisiche: [α] []/[ 3 ][M][ - ][T - ] e unità di misu N/m 3 oppue Kg/ (m s. l otoe del cmpo è nullo, dunque il cmpo è consevtivo. Clcolndo il lvoo su un cmmino ettilineo ttti t l oigine O(0,0,0 ed un punto geneico C(x,y,z x00 xy0 xyz dx+ dy+ dz OP x y z OP 000 x00 xy0 x00 xy0 xyz 3 α 3xydx ( x 4yz dy 4yzdz x00 xy0 { } 3 xy0 xyz xy yz α( xy 3 yz x00 xy0 α dunque OP V( ooo,, V( xyz,, α( xy+ yz d cui segue l enegi potenzile V( xyz,, α( xy 3 + yz c l lvoo t il punto R(0,0,0 S(,, è dto d: V( R V( S V( ooo,, V(,, 0 3α 3α RS Esecizio 5: uto é schemtizzbile come un uto pefettmente nelstico. mponendo l consevzione dell quntità di moto nell uto si ottiene: + m+ m v v ( ˆi ˆi ˆi v m+ m e sostituendo i vloi si ottiene: enegi meccnic non si consev dunte l uto, in pticole

5 E E + m+ m v + E N N+ E ( dove E è l enegi pes dunte l uto. 3 4 E + ( m+ m v + J.33J 9 3