Elementi di Cinematica COORDINATE CARTESIANE. r r. & r COOORDINATE LOCALI COORDINATE POLARI. r = r. λ r

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1 Elementi di Cinemtic COORDINTE CRTESINE O P j y i x j y i x j y i x COOORDINTE LOCLI ( ) µ ϑ ϑ λ ϑ ) ( - µ λ ϑ λ COORDINTE POLRI τ ϑ ρ τ ρ n

2 Elementi di Cinemtic MOTO RETTILINEO j O i COORDINTE CRTESINE x i y j x i y j x i y j Se il punto è incolto muoesi lungo un tiettoi ettiline, è possibile scegliee un SDR tle che l posizione del punto si detemint solo dl loe dell coodint x (scle) MOTO RETTILINEO UNIFORME dx(t) dt COST d(t) dt 0 x(t) t t 0 dt x 0 (t t0) x0

3 Elementi di Cinemtic MOTO RETTILINEO j O i COORDINTE CRTESINE x i y j x i y j x i y j Se il punto è incolto muoesi lungo un tiettoi ettiline, è possibile scegliee un SDR tle che l posizione del punto si detemint solo dl loe dell coodint x (scle) MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE CCELERTO d(t) dt x(t) x d x(t) dt (t) t 1 0 dt x0 0 (t t0) (t t0) t 0 COST t 0 dt (t t0) 0 t 0

4 Elementi di Cinemtic MOTO CIRCOLRE: Il punto P è incolto muoesi lungo un tiettoi ciconfeenzile di ggio costnte. Coniene espeimee le leggi del moto in coodinte poli: λ λ ϑ µ ) ( - ϑ ) λ ( ϑ ϑ µ COST 0 Pe identifice l posizione di P è sufficiente conoscee l coodint ngole q ϑ µ ϑ µ ϑ λ t n h solo componente tngenzile h componente tngenzile e nomle In genee si indic con ω l elocit ngole ϑ ωµ ω µ ω λ t n

5 Elementi di Cinemtic CINEMTIC DEL CORPO RIGIDO Copo igido: elemento mteile geometicmente esteso (nel pino o nello spzio) ed indefombile. Dunte il moto l distnz elti t qulsisi coppi di punti pptenenti l copo imne init. Y Nel pino, il copo igido possiede 3 gdi di libetà, l posizione del copo nel pino ispetto nd un SDR è identifict d 3 pmeti: y 0 O x 0, y 0 : coodinte di un punto del copo q: oientzione di un ett solidle l copo ispetto d un sse di ifeimento. x 0 q X L scelt del punto O e dell ett solidle l copo sono bitie.

6 Elementi di Cinemtic Y y 0 O x 0 q q X L scelt dell ett è biti, e l coodint ngole q dipende dl SDR scelto. ϑ' ϑ α ϑ L elocità ed ccelezione ngoli sono gndezze ctteistiche del moto del copo igido nel suo complesso, petnto non sono ifeite d lcun punto in pticole. Conenzionlmente, ll elocità ngole si ssoci un ettoe con diezione nomle l pino di otzione e eso dietto eso l ossetoe che ede un otzione ntioi (egol dell mno dest). L elocità ed ccelezione ngoli sono ctteistiche del moto, petnto non dipendono dl SDR: d ϑ' d( ϑ α) dϑ ω ' ω dt dt dt d ϑ' d ( ϑ α) d ϑ ω ' ω dt dt dt k i j ω

7 Nel pino si identificno te tipi di moto igido: Moto tsltoio, moto ottoio, moto pino geneico. MOTO TRSLTORIO Dunte il moto un qulsisi line solidle l copo si mntiene pllel se stess. Y y t 1 t 0 t q q q x X É fcile ossee che dunte il moto tsltoio ciscun punto del copo h l medesim elocità lim ' t lim ' t t 0 t 0

8 Nel pino si identificno te tipi di moto igido: Moto tsltoio, moto ottoio, moto pino geneico. MOTO ROTTORIO Il copo uot intono d un sse fisso. Dunte il moto tutti i punti del copo (tnne il punti sull sse) seguono un tiettoi cicole intono ll sse di otzione. Y y 0 ω, ω q P P µ λ Y y 0 ω, ω q t n P µ λ x 0 X X Pe il geneico punto P pptenente l copo ed identificto dl ettoe posizione ispetto ll sse di otzione si h: ω µ ω µ t t n n ω λ t n x 0

9 MOTO ROTTORIO Il copo uot intono d un sse fisso. Dunte il moto tutti i punti del copo (tnne il punti sull sse) seguono un tiettoi cicole intono ll sse di otzione. Y y 0 ω, ω q t n P µ λ t ω µ ω µ t n n ω λ t n x 0 X N..: l elocità cesce linemente con l distnz dll sse di otzione elocità ed ccelezione ngole sono ininti del copo, ed sono costnti pe tutti i punti ll stess distnz dll sse di otzione

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11 MOTO PINO GENERICO Il moto di un copo igido che si muoe libemente in un pino può essee consideto come un combinzione di un moto tsltoio ed un moto ottoio. Pe definizione di copo igido, due punti pptenenti l copo mntengono init l distnz ecipoc, petnto un ossetoe solidle l copo in un ceto punto, ede qulsisi lto punto muoesi con moto ottoio. doe / l l λ ettoe posizione di ispetto Nel tempo Dt il punto si pot in e in / l ϑ / diidendo pe Dt e pssndo l limite... t t t / fomul fondmentle dell cinemtic / ω l

12 MOTO PINO GENERICO Oimente, le considezioni pecedenti hnno lidità genele, ogni punto del copo può essee scelto come bse pe il clcolo degli lti punti del copo: / ω l / / ω l / In entmbi i csi l elocità ngole è positi (diett lungo l sse Z).

13 MOTO PINO GENERICO Pe qunto igud le ccelezioni, deindo l espessione dell elocità ispetto l tempo, si ottiene / teoem di Rils Il temine / ppesent l ccelezione del punto ispetto, quindi à un componente momle ed un tngenzile: / /n /t /n ω l λ ω l µ /t Si noti che /n è sempe diett d eso (diezione λ) mente il eso di /nt i coeentemente con il segno (eso) dell ccelezione ngole.

14 ESEMPIO: Rotolmento pino Ruot che otol senz stiscie su un pino. É not l elocità di tslzione del cento dll uot. Dunte il otolmento puo, nel punto di conttto dell uot con il suolo non c è moto eltio: il punto h elocità costntemente null. Pe ciscun punto dell uot si può sciee: / 1 ω Rot Rot Ts 3 ω ω ω ω ω ω / / ω 0 ω ω

15 CENTRO DI ISTNTNE ROTZIONE Dunte il moto pino geneico di un copo igido, in ogni istnte esiste un punto C del copo (o solidle d esso) ctteizzto d elocità null. Tle punto è detto cento di istntne otzione (CIR). In ogni istnte, ogni lto punto del copo può essee consideto come otnte intono C con un cet elocità ngole ω Pe detemine l posizione del CIR è necessio conoscee l elocità di due punti pptenenti l copo. Se le elocità nei due punti non sono pllele sono sufficienti le due diezioni.

16 CENTRO DI ISTNTNE ROTZIONE Un olt indiidut l posizione di C, l elocità ngole ω è dt d: ω Noto il CIR e l elocità ngole è fcile detemine l elocità di ogni punto del copo. Pole fiss: luogo dei punti del sitem di ifeimento fisso che dientno successimente cento di istntne otzione. Pole mobile: luogo dei punti del pino solidle l copo dientno successimente cento di istntne otzione. Dunte il moto l pole mobile otol senz stiscie sull pole fiss.