Risultati esame scritto Fisica 2-20/06/2016 orali: alle ore presso aula C

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1 Risutti esme scitto Fisic - /6/6 oi: e oe. pesso u C gi studenti inteessti isione o scitto sono pegti di pesentsi i giono de'oe mtico oto mmesso mmesso 85 7 mmesso mmesso mmesso nc mmesso mmesso mmesso mmesso mmesso ncnon cssificto

2 sme di Fisic Coso Inteteneo di Ing. Infomtic e iomedic /6/6 Pobem n tomo di idogeno è costituito d un nuceo ente cic di un potone, Q + + e, ttono que uot un eettone ente cic negti, Q e (doe e è i moduo de cic de eettone). Si ssum ce unic foz pesente si foz di Couomb, e ce eettone si muo di moto cicoe unifome. Dimoste ce enegi () de eettone i con distnz d nuceo secondo seguente fomu: e Pobem Si dto un fio ettiineo finito di ungezz pi e pecoso d coente I. ) Dto un pino pssnte pe i cento de fio e pependicoe d esso (edi figu sinist), detemine i ettoe cmpo mgnetico (moduo, diezione e eso) geneto su un punto di questo pino distnz d cento de fio. [spimee i isutto in funzione dei pmeti, I e, ote ce dee costnti uniesi se necessio]. ) Si dt un spi qudt di to e pecos d coente I in senso ntioio in figu ( dest); utiizze i isutto pecedente pe detemine i ettoe cmpo mgnetico (moduo, diezione e eso) geneto su sse pependicoe spi e pssnte pe i suo cento, distnz z d cento. [spimee i isutto in funzione dei pmeti, I e z, ote ce dee costnti uniesi se necessio]. 3) Confonte i isutto ottenuto pe spi qudt con nogo isutto pe un spi cicoe, ne cso in cui e due spie bbino stess e e pe z>>. Pobem 3 Si dto un condenstoe pino fcce qudte di to e distnz f e piste pi <<. A inteno de condenstoe si to un copo dieettico fom di peepipedo con fcce qudte di to e spessoe, ce inizimente occup esttmente i oume inteno de condenstoe. L costnte dieettic eti è pi e i peepipedo mss m. I copo dieettico è ibeo di muoesi ungo sse peo uno dei ti dee fcce qudte (edi figu), e i cento de dieettico si to inizimente ne posizione ( oigine de sse coincide co cento de condenstoe). Le piste de condenstoe sono coegte un genetoe di tensione continu cui diffeenz di potenzie è pi. ) Detemine espessione de cpcità de condenstoe in funzione di, C(), supponendo ce i dieettico eng spostto d oigine in un posizione geneic te ce <. ) Ccoe i oo G () ftto d genetoe pe uno spostmento de dieettico d d un posizione geneic te ce <. 3) Ccoe i oo () ftto de foze eettosttice pe uno spostmento nogo queo de punto ), e i oo tote () ftto d inteo sistem (condenstoe più genetoe) pe te spostmento. 4) Tenendo conto ce d ()F d, ccoe foz F() ce gisce su dieettico in funzione di, pe <, e de un ppesntzione gfic di F() in funzione di. 5) Posto i dieettico ne posizione /, ccoe coente I ce cico ne genetoe fino qundo i dieettico non i ne posizione, ssumendo ce i dieettico pt d / con eocità nu. [Si espimno i isutti in funzione dei pmeti,, m,,, in funzione de coodint oe iciesto, ote ce dee costnti uniesi oe necessio].

3 Souzione pobem L enegi de eettone intono nuceo sà pi somm di enegi cinetic e potenzie: K + m + ( e) doe enegi potenzie è dt d intezione de cic de eettone, e, co potenzie eettosttico, (), geneto d nuceo neo spzio cicostnte. simo pe () espessione de potenzie geneto d cic puntifome +e de nuceo distnz geneneic : e doe con te espessione si è posto ( ). Tonndo enegi de eettone si quindi ce: m e Ricodndo ce foz di Couomb f un cic positi e un negti è un foz cente tttti, ne segue ce foz di Couomb è foz centipet esponsbie de moto cicoe unifome: m F C m Couomb e doe C è cceezione centipet ce è pi /. D utim fomu scitt possimo toe un espessione pe m d sostituie successimente ne enegi cinetic: m e Quindi enegi de eettone dient: e e e Souzione pobem Punto ): Come ne cso de fio infinito pecoso d coente I, i ettoe cmpo mgnetico geneto d tutto i fio distnz d esso, gice ne pino otogone fio e diezione e eso dti d tngente ciconfeenz (ente i cento coincidente con posizione de fio) ce gi in senso ntioio ttono coente I de fio. Pe qunto igud i moduo de cmpo mgnetico, diidimo i fio in tnte pozioni infinitesime d, ciscun dee qui gene un pozione di cmpo mgnetico d: I d d 3 I d sinθ d 3 doe ne utim fomu è stto espicitto i moduo de podotto ettoie d utiizzndo i seno de ngoo compeso i due ettoi, sinθ. D figu si ede ce sinθsin(9 α ) e quindi sinθcosα, doe

4 α è ngoo compeso f i ettoe e i ettoe, quest utimo essendo poiezione di su pino otogone fio. Ringindo utim fomu si ottiene ce: I d sinθ d I d cosα d tiizzndo e seguenti uguginze (fe ifeimento figu): y tnα dy dα dy dα cos α cos α dα d dy cos α cosα cos α inteno de fomu ottenut pe d, si i : I dy d cosα cos α dα I d cos α cosα cos α I cosα d dα Quest utimo è i contibuto infinitesimo d dto cmpo mgnetico tote d un pozione infinitesim d de fio. Sommndo tutti questi contibuti pe inte ungezz de fio, si i cmpo mgnetico tote : d I + α α cosα dα Ne utimo pssggio distnz d fio è stt pott fuoi d segno di intege pecè si ttt de poiezione di su pino otogone fio, ed è costnte pe tutte e pozioni di fio d. Gi estemi di integzione sono dti d α e +α, ce sono gi ngoi ce indiiduno e estemità de fio (ne cso di fio infinito si ebbe α π/). Risoendo i pecedente intege si ottiene ce:

5 I α α + [ sinα ] I I [ sinα sin( α )] sinα sinα I π Pe pote espimee i isutto in funzione dei pmeti de pobem, è necessio espimee diesmente i sinα. Con ifeimento figu bbimo ce: R + R sinα sinα + In definiti si seguente espessione pe i cmpo mgnetico (): I π + Punto ): L spi è costituit d qutto ti, ciscuno di ungezz pi come i fio de punto ). n punto P situto distnz z su sse etice pssnte pe i cento de spi, si to distnz d cento di ciscuno dei qutto ti de spi (edi figu), con ( +z ) /. Quindi i cmpo mgnetico geneto in P d un soo to de spi obbedisce egge tot punto ), ce ci estituisce i moduo de cmpo mgnetico (), doe è i cmpo geneto d un soo to. Come detto punto ), te cmpo mgnetico diezione e eso de tngente ciconfenz ce gi in senso ntioio intono fio (di un soo to). I to in figu gene o i cmpo mgnetico, ce fom un ngoo θ con sse etice pssnte pe i cento de spi. I to opposto,, gene i cmpo (in figu) ce stesso moduo di, m diezione e eso ipotti in figu. Anc esso fom un ngoo θ con sse etice, m è dietto eso sinist in figu (mente è dietto eso dest). Ne consegue ce e componenti oizzonti di e si nnuno ecipocmente, mente e componenti etici sono ugui e si sommno. Anogo discoso e pe gi ti due ti, quindi i cmpo mgnetico tote è peo sse etice e dietto eso to in figu (con coente I ce gi in senso ntioio ist d to); i moduo di è pi 4 ote componente etice di (un pe ciscun to). Quindi 4,z, doe,z è componente etice di : I I π + π + z + + z doe si è ftto uso de ftto ce ( +z ) / ; pe componente etice bbimo ce:

6 , z, z π π I ( + z ) ( + z ) I cosθ ( + z ) ( + z ) ( + z ) Ne utimo pssggio si è ust ezione (edi figu doe è messo in eidenz qui sono gi ngoi ugui e pi θ): cosθ + z Infine pe i cmpo mgnetico tote si ce: z 4 z π, z I( 4 ) ( + z )( + z ) Punto 3): I cmpo mgnetico geneto d un spi cicoe su suo sse distnz z d cento de spi, CIRC (z), è dto d: I( R ) ( R ) 3 π CIRC π + z doe R è i ggio de spi. Poicé spi qudt to pi, su supeficie S è dt d 4 (ce compe numetoe de utim espessione tot punto ); pe un spi cicoe si inece ce supeficie S è dt d πr (ce compe numetoe de utim espessione scitt). Ao i cmpi mgnetici di spi cicoe e spi qudt di ugue supeficie S sono dti d: IS CIRC π π ( R + z ) 3 IS ( + z )( + z ) Pe z>> si ottiene ce i temine dominnte denomintoe è popio z, e pe i cmpi mgnetici di spi cicoe e qudt di ugue supeficie S si ottiene ce: IS CIRC ( z >> ) 3 πz IS ( z >> ) 3 πz Quindi gnde distnz z d cento de spi, i cmpo mgnetico geneto ungo sse pssnte pe i cento de spi è o stesso si pe spi cicoe e ce pe spi qudt qundo queste nno ugue supeficie S e sono pecose d ugue coente I, oeo qundo e due spie nno o stesso momento di dipoo mgnetico mi S. Souzione pobem 3 Punto ): Qundo i dieettico iene spostto di un ttto > (eso dest in figu), i condenstoe isut essee i peo f due condenstoi, di cui uno competmente uoto e di ungezz pi, e to

7 competmente pieno di dieettico e di ungezz pi. Pe entmbi questi condenstoi to to de supeficie è dto d to. tiizzndo espessione de cpcità pe condenstoi pini fcce pee, si nno e seguenti espessioni pe i due condenstoi: ( ) C ; C D doe C e C D sono ispettimente cpcità de pte uot e di que con dieettico. Dto ce queste due pti sono in peo, cpcità tote sà somm dee pecedenti: C C + C D ( ) C + C [ + ( ) ] C [ ( ) ] Come detto sop, bbimo fino consideto uno spostmento >. M se consideimo uno spostmento di pi entità ne eso opposto (oeo <), i oe de cpcità tote C dee essee stess ottenut ne utim espessione, pecé si ttt fisicmente deo stesso oggetto. Pe pote ottenee o stesso oe di C pe > e < qundo i moduo è o stesso, è necessio sostituie i suo moduo: C [ ] ( ) Quest utim espessione ci d giust dipendenz di C d, pe tutti i oi di (si positii ce negtii). Punto ): Qundo i dieettico iene spostto, si un izione de cpcità C ; poicé diffeenz di potenzie i cpi de condenstoe è costnte e pi, o spostmento coisponde nce un izione di cic Q sue piste de condenstoe: Q C Q [ ] ( ) doe bbimo contestuizzto egge genee pe i condenstoi pesente pobem (con Q e C dipendenti d ). L utim espessione scitt ppesent i oe de cic Q pe uno spostmento de dieettico; pe si inece ce: [ ] Q Ne segue ce izione di cic Q pe uno spostmento de dieettico d è pi : Q Q Q Q [ ( ) ] [ ] Q ( ) Dto ce pe un dieettico si sempe ce >, d utim espessione segue ce cic sue piste de condenstoe diminuisce ( Q<) se i dieettico si spost eso esteno de condenstoe (in questo cso di condenstoe non isoto e con diffeenz di potenzie costnte). Quest izione di cic Q ttes i genetoe e si à, in coispondenz di te pssggio di cic, un oo ftto d genetoe pi :

8 Q G G I oe negtio di G indic ce i oo è subito d genetoe, oeo i genetoe ccumu enegi pe uno spostmento de dieettico d eso esteno. Punto 3): L enegi potenzie eettosttic ccumut ne condenstoe, pe un posizione geneic te ce <, è pi : [ ] C Pe si o ce: [ ], Pe uno spostmento de dieettico d fino d un geneic posizione si o seguente izione di enegi potenzie eettosttic : [ ] [ ], Poicé i oo ftto de foze eettosttice è pi izione di enegi potenzie cmbit di segno, si o ce: doe utim espessione ppesent i oo ftto de foze eettosttice pe uno spostmento de dieettico d d un geneic posizione te ce <. Sommndo i oo ftto d genetoe G, e queo ftto de foze eettosttice (intezione couombin inteno de condenstoe), si ottiene i oo tote ftto d sistem pe spingee fuoi i dieettico: G + + Dto ce <, ne segue ce i sistem eettico ne su inteezz (genetoe più condenstoe) subisce un oo se i dieettico iene esttto, oeo è necessio compiee oo d esteno pe este i dieettico.

9 Punto 4): D espessione dt ne testo de pobem, d ()F d, segue ce foz F cui è soggett i dieettico in ssenz di zioni estene è pi deit ispetto de isutto ppen toto pe (): d F d d F ( ) d F F ( ) d d ( ) sign doe è stt ust funzione sign() come deit de moduo ( funzione sign() estituisce i segno de gomento, oeo è pi + pe > e pi pe <). L foz F è quindi costnte in moduo ed è sempe diett eso inteno de condenstoe, oeo è negti (diett eso sinist) pe > ed è positi (diett eso dest) pe > (ne condizione di <). Segue un ppesentzione gfic di F() in funzione di, sempe pe <: Punto 5): Ne punto ) è stt tot espessione de cic Q() pesente sue piste de condenstoe: Q [ ( ) ] Mn mno ce i dieettico si muoe d / eso, si izione di cic dq sue piste de condenstoe, e te dq coincide con cic ce ttes i genetoe. Ne segue ce coente ce ttes i genetoe dunte te moto è dt d: dq dq d I dt d dt d I ( ) sign dt Ne utim espessione imne d detemine d/dt ce coincide con eocità de dieettico,. Siccome è not foz tote F() ce gisce su dieettico in funzione di, possimo sciee i II pincipio de dinmic pe i diettico: m F ( ) sign m Poicé i pobem ciede coente I pe dieettico ce si muoe d / e i in, si ce > dunte questo spostmento e quindi sign(). L utim espessione dient o:

10 m m L cceezione è quindi costnte, d cui segue ce simo in pesenz di un moto unifomemente cceeto (d / fino ). In t cso si seguente espessione pe eocità () in funzione de posizione : + doe ne utimo pssggio bbimo sostituito e condizioni inizii, oeo dieettico ce pte d / con eocità inizie nu. Sostituendo espessione di si i : m m m Ne utimo pssggio è stt pes souzione con dice negti, pecé i moto è unifomemente cceeto eso inteno de condenstoe e quindi eocità è diett eso sinist in figu (ne diezione de sse negtio dee ). Abbimo deteminto eocità in fuzione di, pecé i testo de pobem iciede di espimee i isutto in funzione de coodint m non in funzione de tempo t. Sostituendo fomu ppen tot pe () espessione de coente I() si ottiene ce: 3 + m I m I I Come si ede coente I() è positi pe ce d +/, oeo cic ttes i genetoe concodemente diffeenz di potenzie mn mno ce i dieettico è isuccito inteno de condenstoe (discoso contio se inece i dieettico si spost d eso esteno, con conseguente coente I ce si muoe in eso opposto ).