Esercitazione 03: Calcolo della linea elastica e carico critico di strutture a trave

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1 Meccnic e Tecnic dee Costruzioni Meccniche Esercitzioni de corso. eriodo II rof. Leonrdo ERTINI Ing. Ciro SNTUS Esercitzione 03: Ccoo de ine estic e crico critico di strutture trve Indice 1 Trve incstrt in fessione sezione vribie 1 Trve ppoggit su due punti, crict sbzo 3 Instbiità de equiibrio di strutture trve cricte di punt Sistemi d esticità concentrt Trve d esticità distribuit Trve incstrt in fessione sezione vribie In Fig.1 è mostrto o schem di un trve incstrt, soecitt d un crico fettente di estremità, cui sezione b è vribie ungo sse de trve, ed è pri b 0 in corrispondenz de incstro. z F h uz ( ) b 0 Figur 1: Trve incstrt, soecitt d un crico fettente di estremità, con sezione vribie. Determinre bbssmento de sse de trve u in funzione de coordint curviine z, considerndo sotnto i termini fessioni. Confrontre souzione ottenut con que retiv cso notevoe di trve incstrt e crict estremità, con sezione uniforme. 1

2 Souzione: u(z) = 6F Eb 0 h 3 z (1) Trve ppoggit su due punti, crict sbzo In Fig. è mostrto o schem di un trve ppoggit su due punti e soecitt d un crico fettente posto sbzo. z z ' F uz ( ) b C Figur : Trve su due ppoggi con crico sbzo. Determinre bbssmento de sse de trve u in funzione de coordint curviine z, considerndo sotnto i termini fessioni. Suggerimento: Trovre integre genere nei due trtti e C, imporre spostmento nuo in corrispondenz degi ppoggi e C ed infine imporre condizione di continuità e di tngenz in corrispondenz de punto. Utiizzre coordint z ne primo trtto, mentre risut più comodo introdurre un tr coordint z per i secondo trtto. Souzione: Trtto : Trtto C: u(z) = Fz3 6EI F EI ( + b )z + F ( + b) () 3 3EI u (z ) = Fz 3 6EI b + Fz EI Fb 3EI z (3)

3 3 Instbiità de equiibrio di strutture trve cricte di punt 3.1 Sistemi d esticità concentrt In Fig.3 è mostrto o schem di un trve dott di un sconnessione in mezzeri, sostenut d un eemento d esticità concentrt (mo fessione) e crict d un forz secondo sse de trve. C ϕ k ϕ v C = k ϕ ϕ Figur 3: Trve crict di punt con sconnessione in mezzeri ed esticità concentrt. L condizione indeformt è di equiibrio, m, te equiibrio perde di stbiità d un certo vore de crico, detto crico critico C. fine di vutre entità de crico critico è necessrio considerre struttur in un configurzione divers d que indeformt. Tuttvi, è di interesse sotnto i crico critico e non i comportmento successivo perdit di stbiità. er cui è possibie sfruttre tutte e sempificzioni retive inerizzzione e scrivere condizione di equiibrio ne configurzione deformt: v k ϕ v = 0 (4) fine di vere te condizione soddisftt, con spostmento v non nuo, è necessrio che: k ϕ = 0 (5) per cui i crico critico è pri : C = k ϕ vendo sfruttto inerizzzione non è possibie vere nessun informzione circ i comportmento dopo ver rggiunto i crico critico. Spesso non è di interesse te informzione, in qunto è bene che struttur rimng ontn d condizione di perdit di stbiità. (6) 3

4 Determinre i crico critico retivo struttur di Fig.4. 1 C k ϕ Figur 4: Trve crict di punt con sconnessione non in mezzeri ed esticità concentrt. Souzione: C = k ϕ, 1 = (7) Determinre i crico critico retivo struttur di Fig.5. k ϕ Figur 5: Trve crict di punt, incerniert bse con esticità concentrt. Souzione: C = k ϕ 4 (8)

5 Osservzione: Notre che i crico critico de struttur di Fig.5 è o stesso di que de struttur di Fig.4, ne cso in cui: 1. Determinre i crico critico retivo struttur di Fig.6, in cui compiono due sconnessioni estiche. k ϕ k ϕ Figur 6: Trve crict di punt, dott di due sconnessioni d esticità concentrt. Suggerimento: Notre che generic configurzione deformt è funzione di due prmetri, d esempio gi spostmenti orizzonti dei due punti intermedi. L condizione di equiibrio divent quindi un sistem. L equiibrio perde stbiità in corrispondenz de crico per i que i sistem mmette infinite souzioni, ossi determinnte de mtrice de sistem nuo. Souzione: C = k ϕ (9) 5

6 3. Trve d esticità distribuit Le strutture mostrte in precedenz hnno interesse didttico, tuttvi, e trvi sono crtterizzte d esticità distribuit, piuttosto che concentrt. I cso più sempice di ccoo di crico critico con struttur trve (esticità distribuit) è fornito d trve crict di punt con estremità vincot termente (trve di Euero), Fig.7. ξ v( ξ ) EI d v d v ξ + = 0 Figur 7: Trve crict di punt ed incerniert bse. C è un profond differenz fr i ccoo de ine estic per strutture che non si discostno moto d oro configurzione di riferimento ed invece probemi di instbiità, dove minim perturbzione d configurzione di riferimento è cus stess de perdit di stbiità. I momento fettente v è ppunto generto d deformzione stess de struttur. Imponendo equzione de ine estic, ne configurzione deformt rispetto equiibrio: ponendo: EI d v + v = 0 (10) dξ λ = EI ed utiizzndo pice per intendere derivt rispetto sciss curviine ξ, si può riscrivere equzione de ine estic secondo form: v + λ v = 0 (1) che mmette come integre genere: v(ξ ) = sin(λξ)+cos(λξ) (13) Imponendo condizione contorno: v(ξ = 0) = 0 (14) segue che: = 0. Infine, imponendo tr condizione di spostmento nuo estremità, si ottiene: sin(λ) = 0 (15) nche in questo cso si ripresent souzione indeformt: = 0, m nche possibiità di vere un souzione deformt che soddisfi e condizioni contorno: sin(λ) = 0 (16) 6 (11)

7 che è risot d: λ = nπ (17) È opportuno determinre sotnto prim dee souzioni (n = 1), dto che se struttur perde stbiità d un certo crico non h interesse i comportmento crichi più ti. Quindi in definitiv i crico critico è dto d condizione precedente sostituendo n = 1 (crico di critico di Euero): C = π EI (18) I risutto ppen trovto è corretto, tuttvi, imposizione de equzione differenzie de ine estic, Eq.10, è vid soo nei csi prticori in cui è possibie scrivere i momento fettente in funzione deo spostmento incognito. Ne cso di Fig.8, invece, i crico gener un momento fettente vribie ungo trve che è funzione deo spostmento v(ξ ) m nche deo spostmento de estremità v(). ξ v( ξ ) d v EI [() v v()] ξ 0 d ξ = Figur 8: Trve crict di punt, incstro bse ed estremità iber. L equzione de ine estic è: EI d v + v = v() (19) dξ che è differenz de precedente present un termine noto. Quest equzione differenzie può essere riscritt introducendo λ, con o stesso significto de cso precedente: v + λ v = λ v() (0) ed mmette souzione: v(ξ ) = sin(λξ)+cos(λξ)+c 1 (1) 7

8 Determinre i crico critico, di perdit di stbiità crico di punt, per i cso di Fig.8. Suggerimento: Utiizzre souzione de equzione differenzie Eq.1, ed imporre e condizioni contorno. Souzione: C = π EI 4 () Osservzione: Si può ritrovre stess souzione per simiitudine geometric d cso di Euero, precedentemente risoto. 8