10 Progetto con modelli tirante-puntone

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1 0 Progetto con modelli tirnte-puntone 0. Introduzione I modelli tirnte-puntone (S&T Strut nd Tie) sono utilizzti per l progettzione delle membrture in c.. che non possono essere schemtizzte come solidi snelli o trvi ll Sint Vennt quli d esempio i plinti tozzi di fondzione, le trvi prete, le mensole tozze, m nche quelle regioni di trvi snelle soggette crichi concentrti o crtterizzte d brusche vrizioni di sezione. Il modello consiste nel ricondurre d un trliccio reticolre, con tirnti e puntoni, ovvero con ste tese e compresse, il meccnismo strutturle resistente. Nell figur 0. è indicto uno di questi meccnismi reticolri con riferimento d un trve prete. Quest ide si ritrov già ll fine dell Ottocento ed gli inizi del Novecento nel trliccio di Ritter- Mörsch (fig. 0.) per il progetto tglio delle trvi in c.. ed è stt ripres recentemente dll scuol di Stoccrd di Schlich, che ne h esteso l ppliczione ll progettzione di tutte le membrture tozze in c.. Le ste compresse (puntoni) sono mterilizzte dl clcestruzzo, mentre le ste tese (tirnti) sono costituite dlle rmture. Secondo l EC i modelli tirnte-puntone possono essere utilizzti per il progetto delle strutture llo stto limite ultimo (SLU) si di zone di continuità si di zone di discontinuità. Le regioni di continuità sono indicte come regioni B (d Bernoulli o dll inglese bem ) e sono costituite d quelle zone di trvi e pistre dove l ipotesi di Sint Vennt è soddisftt. Nello stdio fessurto sono schemtizzte ll Mörsch con trlicci reticolri di ste tese (corrente teso ed rmture di prete) e compresse (corrente compresso e bielle inclinte di clcestruzzo). Le regioni di discontinuità sono invece crtterizzte dll presenz di discontinuità di tipo sttico o geometrico (regioni tipo D, dll inglese discontinuity ), dove l ipotesi di Bernoulli non è soddisftt. Le discontinuità di tipo sttico comprendono l presenz di crichi concentrti, zone di ppoggio di estremità, zone di ncorggio di cvi di precompressione, ecc., mentre quelle di tipo geometrico includono brusche vrizioni di sezione o di direzione dell sse, presenz di perture, elementi tozzi (mensole, trvi prete, selle Gerber, ecc.). I modelli tirnte-puntone possono essere utilizzti nche per lcune verifiche gli stti limite di esercizio (SLE). A questo scopo l EC suggerisce di orientre puntoni e tirnti lungo le linee isosttiche ricvte dll nlisi dell struttur in fse non fessurt. In reltà è importnte seguire quest strd nche per l verific llo SLU (vedi pr. 0..). 0.. Il metodo S&T come ppliczione del primo teorem dell nlisi limite Un volt sostituiti eventuli crichi distribuiti con crichi concentrti equivlenti, il progetto di un membrtur in c.. con il metodo S&T consiste nell schemtizzzione del cmpo di sforzi presente nell elemento strutturle medinte un trliccio reticolre di ste rettilinee in equilibrio con i crichi esterni.

2 55 CAPITOLO 0 Figur 0. Modello S&T di un trve prete. Le curvture delle linee isosttiche vengono concentrte in corrispondenz di punti detti nodi, che rppresentno le intersezioni degli ssi delle ste con quelli di ltre ste, con i crichi pplicti o con le rezioni vincolri. Un volt definit l geometri del trliccio, si clcolno gli sforzi normli nelle ste, si progettno le rmture metlliche e si esegue l verific di resistenz dei puntoni e dei nodi. L tecnic S&T rientr tr i metodi di nlisi plstic delle strutture in c.. ed in prticolre può essere vist come un ppliczione del primo teorem dell nlisi limite (teorem del limite inferiore o teorem sttico). Questo teorem può enuncirsi nel seguente modo: se l distribuzione degli sforzi ll interno di un struttur soddisf tutte le condizioni di equilibrio (interne ed esterne) e non viol l condizione di resistenz dei mterili (condizione di plsticità), llor il crico ssocito tle distribuzione non super quello di collsso. Figur 0. Trliccio di Ritter-Mörsch.

3 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 553 Prospetto 0. Pssi per l ppliczione del metodo S&T. Individuzione delle regioni di discontinuità ( D ) in corrispondenz di crichi concentrti e/o di discontinuità geometriche Definizione dell estensione delle regioni di discontinuità medinte l ppliczione del postulto del Sint-Vennt e conseguente suddivisione dell struttur in regioni di continuità ( B ) e regioni di discontinuità ( D ) 3 Determinzione dello stto di sforzo e progetto delle rmture delle regioni B 4 Clcolo delle forze genti sul contorno delle regioni D 5 Definizione dell geometri del trliccio S&T per ciscun regione D 6 Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio di ogni regione D 7 Progetto delle rmture (ree resistenti e disposizione geometric), eventule rffinmento del modello (per esempio per semplificre l disposizione delle rmture), riclcolo degli sforzi nelle ste e riprogetto delle rmture 8 Verific dei puntoni e dei nodi, eventule ridimensionmento dei puntoni e dei nodi sull bse di considerzioni geometriche, rffinmento del modello, riclcolo degli sforzi nelle ste e riverific dei puntoni e dei nodi 9 Progetto dell ncorggio delle rmture e delle rmture diffuse per controllre l fessurzione L nlisi limite può essere pplict lle strutture in c.. solo se sono sufficientemente duttili. Ad esempio in un struttur intelit è necessrio che le sezioni delle ste bbino un cpcità di rotzione tle d consentire l formzione di tutte le cerniere plstiche là dove il modello dell nlisi limite le prevede, pertnto il collsso delle sezioni deve vere luogo per flessione con le rmture in cmpo plstico. Al contrrio l nlisi limite non è pplicbile d un telio le cui sezioni collssno tglio o per flessione con schiccimento del clcestruzzo ed rmture in cmpo elstico o poco sopr l sogli elstic. Allo stesso modo l geometri di un modello S&T deve essere scelt in modo tle che tutte le ste del trliccio possno ttingere l loro resistenz di progetto e non si verifichi l rottur nticipt di un st o di un nodo. A questo scopo è sufficiente seguire lcune regole prtiche (vedi pr. 0.5), le quli grntiscono che il clcestruzzo sopporti le deformzioni nelstiche ssocite l modello S&T. Si f osservre che l EC non pone nessun condizione sul controllo dell cpcità di deformzione del clcestruzzo e quindi non fornisce in tl senso nessun regol per l definizione dell geometri del trliccio. L EC si limit d indicre: l p.to [6.5.()P] l possibilità di impiegre modelli S&T nelle regioni dove esiste un distribuzione di tensioni non linere (per esempio gli ppoggi, in prossimità di crichi concentrti o in stti pini di tensione); l p.to [5.6.4(5)], fr i possibili mezzi per lo sviluppo di idonei modelli tirntepuntone, l determinzione di linee isosttiche e di cmpi tensionli derivnti dll teori dell elsticità linere oppure il ricorso l metodo dei percorsi di crico; precis inoltre che tutti i modelli tirnte-puntone possono essere ottimizzti con criteri energetici.

4 554 CAPITOLO 0 h h B D b b Figur 0.3 Suddivisione di un portle in zone D e B (ogni zon D si estende su ciscun lto dell discontinuità per un trtto pri ll ltezz dell elemento strutturle). L EC non pone l ccento sull importnz di identificre l geometri del trliccio per riprodurre nel modo più derente possibile il cmpo di sforzi ricvti dll nlisi elstic in fse non fessurt (dett nche fse I) dell membrtur in c.., m si limit presentrlo come uno dei possibili strumenti per lo sviluppo dei modelli tirnte-puntone. In reltà è fortemente consiglibile definire l geometri del trliccio prtire di cmpi tensionli ricvti nell fse elstic non fessurt, ltrimenti l duttilità dell membrtur può non essere sufficiente d ttivre le resistenze di progetto di tutte le ste. In ltre prole il cmpo discreto di sforzi normli del modello S&T può non insturrsi cus dell rottur premtur di qulche elemento (st o nodo). Qundo si seguono ltre strde per definire l geometri del trliccio, l duttilità dell membrtur deve quindi essere verifict, d esempio medinte un nlisi non linere gli elementi finiti. Il prospetto 0. elenc i principli pssi del metodo S&T. 0. Identificzione dell geometri del modello S&T L identificzione del modello tirnte-puntone ll interno di un struttur in c.. richiede innnzitutto l individuzione delle regioni D di discontinuità e l definizione dell loro estensione. Successivmente si suddivide l struttur in regioni B di continuità e regioni D di discontinuità e si seguono i pssi elencti nel prospetto Posizione ed estensione delle regioni D Le regioni D si collocno in corrispondenz di discontinuità sttiche (crichi concentrti) e/o di discontinuità geometriche (d es. brusche vrizioni dell line d sse). L loro e- stensione può essere determint pplicndo il postulto del Sint Vennt, secondo il qule sufficiente distnz dll re su cui sono pplicti i crichi esterni, lo stto di tensione non dipende dll prticolre distribuzione di questi crichi, m solo dll risultnte e dl momento risultnte. L distnz ll qule quest condizione può ritenersi soddisftt è ll incirc ugule ll mggiore delle dimensioni dell re crict (fig. 0.3, 0.4, 0.5).

5 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 555 ) D D h l < h b) D B D h l > h c) D B D B D h l > 4 h Figur 0.4 Suddivisione in zone D e B di trvi ppoggite di divers snellezz (ogni zon D si estende su ogni lto dell discontinuità - rppresentt dl crico concentrto e dll rezione vincolre - per un trtto pri ll ltezz h dell elemento strutturle). Quest regol è pprossimt; del resto ess serve solo come uno strumento qulittivo per l identificzione delle regioni D e per il successivo sviluppo del modello tirntepuntone. Se l elemento in esme è tozzo (es. trve prete con luce non superiore due volte l ltezz, fig. 0.4) l regione di discontinuità coincide con l elemento stesso. b D B D B D h b b l > 4 b b b > h Figur 0.5 Suddivisione in zone D e B di un trve con sezione T di lrghezz b mggiore dell ltezz h.

6 556 CAPITOLO 0 h D ql/ l < h ql/ D B D h h h l > h σ σ σ σ h D τ τ B τ τ D h ql/ σ ql/ Figur 0.6 Determinzione delle forze l contorno di un regione D : per l trve in lto (l h) le forze l contorno coincidono con i crichi esterni e con le rezioni vincolri, mentre per l trve in bsso (l > h) le forze sul bordo delle regioni D ll interfcci con l regione B sono dte dl momento risultnte e dl tglio risultnte nelle sezioni di estremità - e - dell regione B. 0.. Clcolo degli sforzi e progetto delle rmture nelle regioni B Un volt suddivis l struttur in regioni B e D, le regioni B possono essere nlizzte con i modelli vlidi e codificti per le trvi snelle. Si possono così determinre le crtteristiche dell sollecitzione in tutte le sezioni, in prticolre in quelle che segnno il confine con le regioni D, e progettre le rmture Forze genti sulle regioni D Le forze l contorno delle regioni D sono dte di crichi e dlle rezioni vincolri direttmente pplicti su di esse e dlle crtteristiche dell sollecitzione genti nelle sezioni terminli delle zone B dicenti (vedi pr. 0..). Per gli elementi tozzi formti solo d regioni tipo D (d esempio trvi prete, plinti di fondzione, mensole) le forze l contorno coincidono con i crichi pplicti e le rezioni vincolri.

7 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 557 ql/ ql/ q l/4 l/ l/4 h D h D ql/ l < h ql/ ql/ l < h ql/ q R R b q h D h D l < h l < h R R R R Figur 0.7 Schemtizzzione di crichi distribuiti sui bordi ( sinistr) con forze concentrte equivlenti ( destr). Un volt determinte tutte le forze genti su un ssegnt regione D, prim di pssre ll individuzione del modello S&T, occorre verificrne l equilibrio di corpo rigido. Se un struttur non è pin oppure non è sezione costnte, l su nlisi può essere ricondott modelli pini, che vengono nlizzti seprtmente, ossi sviluppndo un modello S&T per ciscuno dei pini sui quli viene scomposto il problem tridimensionle. Questi modelli consentono di progettre gevolmente le rmture, m non permettono di nlizzre lo stto di sforzo trissile nei nodi, che può essere studito solo medinte un modello spzile. Eventuli forze distribuite sui bordi sono schemtizzte con forze concentrte equivlenti: per esempio nelle trvi dell figur 0.7 il crico uniforme e quello trpezoidle sono suddivisi ciscuno in due prti di intensità pri lle corrispondenti rezioni vincolri. Infine eventuli forze distribuite genti ll interno delle regioni D, come per esempio il peso proprio, possono essere sostituite d forze distribuite sui bordi, che loro volt possono essere ricondotte forze concentrte equivlenti (figur 0.8). 0.3 Scelt del modello S&T di progetto All interno di un ssegnt regione D di discontinuità è possibile identificre più di un modello S&T in equilibrio con le forze pplicte sul suo contorno e che soddisf l condizione di resistenz dei mterili (figur 0.9).

8 α α 558 CAPITOLO 0 F=ql/ F=ql/ q=ph/ l/4 l/ l/4 h p h h (ph) l/ l < h (ph) l/ ql q=ph/ l < h ql ql F=ql/ l < h F=ql/ ql Figur 0.8 Schemtizzzione di un crico distribuito per unità di superficie ll interno di un trve prete (crico p sinistr) con crichi distribuiti sui bordi (crichi q l centro) e forze concentrte equivlenti (crichi F destr). ql q ql q d d z z l l ql/ ql/ ql/ ql/ ql/ q ql/ ql/ q ql/ d d z z l l ql/ ql/ ql/ ql/ Figur 0.9 Possibili modelli S&T per un trve prete (linee trtteggite = puntoni, linee continue = tirnti).

9 73 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 559 Si pone pertnto il problem di operre un scelt tr tutti i possibili modelli S&T. Come richimto sopr, l tecnic di progettzione S&T rppresent un ppliczione del teorem del limite inferiore dell nlisi limite (o teorem sttico), che è vlido per mterili rigido-plstici. Tuttvi il clcestruzzo non è un mterile indefinitmente plstico, bensì consente solo limitte deformzioni plstiche. Il teorem sttico può essere pertnto pplicto lle membrture in c.. solo se l verific dell equilibrio è ccompgnt dll verific di congruenz delle deformzioni plstiche. In sintesi il modello S&T v scelto in modo tle che in nessun elemento del trliccio si supert l cpcità di deformzione del mterile, prim che gli sforzi normli di tutte le ste bbino ttinto i vlori di progetto. Nelle regioni mggiormente sollecitte questo requisito è soddisftto se i puntoni ed i tirnti sono orientti nell direzione delle linee isosttiche ricvte dll nlisi elstic in fse I dell regione D in esme. Al contrrio nelle regioni meno sollecitte i puntoni ed i tirnti possono devire nche significtivmente dlle isosttiche di compressione e di trzione dell fse I senz che veng supert l cpcità di deformzione del clcestruzzo. L scelt del trliccio sull bse dell teori dell elsticità finisce però con il trscurre un prte dell cpcità resistente ultim dell struttur, che potrebbe essere tenut in conto pplicndo l teori dell plsticità. Se l geometri di un modello S&T ricvto in fse I viene dttt ll distribuzione degli sforzi dello stto limite ultimo, è possibile ottenere stime molto ccurte dell cpcità portnte ultim. Per esempio nel cso dell trve prete mostrt nell figur 0.0, in fse fessurt il puntone orizzontle si spost verso l lto e llo SLU si colloc in prossimità del bordo superiore. Si può llor dottre il modello S&T mostrto nell figur 0.0, dove il tirnte ggiuntivo F t posto ll incirc metà ltezz dell prete tiene conto dell presenz di un rmtur diffus su entrmbe le fcce. Questo modello fornisce un stim del crico ultimo molto prossim ll rele cpcità portnte dell prete, mentre un modello sviluppto sull bse del comportmento elstico linere fornisce un resistenz ultim pri meno dell metà di quell rele. D ltro cnto un trliccio ricvto in fse I h il vntggio di essere utilizzbile si per l verific rottur si per le verifiche in esercizio, mentre un modello bsto sull distribuzione di sforzi dello SLU non grntisce il soddisfcimento delle verifiche in esercizio. F/ F/ q F c F c F t F c3 78 F t Figur 0.0 Modello dell trve prete dell figur 0. dttto ll distribuzione di sforzi dello SLU (puntoni = linee trtteggite, tirnti = linee continue). F/ F/

10 560 CAPITOLO 0 Generlmente le regioni D progettte con modelli ricvti in fse plstic presentno un eccessivo stto di fessurzione e di deformzione in esercizio. Inoltre l identificzione del trliccio in fse elstic h il vntggio di non richiedere l conoscenz priori dell distribuzione delle rmture, necessrio invece per sviluppre il modello in fse fessurt. Secondo qunto suggerito d Schlich (987), e come già mpimente richimto sopr, per evitre grosse incomptibilità e per dttre il modello S&T l comportmento rele dell elemento strutturle, i puntoni ed i tirnti del trliccio vnno posizionti ed o- rientti secondo le linee isosttiche determinte nell fse elstic non fessurt. Al crescere del crico e prim del collsso, l elemento strutturle può dttre il proprio stto di sforzo quello considerto in fse di progetto, solo se è in grdo di sopportre deformzioni plstiche nche notevoli. Le brre di rmtur possono ssicurre elevte deformzioni plstiche senz perdit di resistenz, mentre l duttilità del clcestruzzo è molto limitt. Se il modello tirnte-puntone è stto orientto secondo le isosttiche del comportmento elstico non fessurto, le deformzioni plstiche necessrie per l ridistribuzione degli sforzi sono fcilmente tollerte di mterili. In cso contrrio è necessrio verificre l duttilità disponibile medinte un nlisi non linere gli elementi finiti. Inftti nel progetto dell membrtur in c.. si è ftto riferimento d un trliccio non derente i cmpi tensionli dell fse I, l cpcità di ridistribuzione degli sforzi può risultre estremmente limitt o ddirittur null e l rottur può vvenire premturmente un livello di crico inferiore quello di progetto. Perltro gli elementi strutturli così progettti mnifestno in esercizio un qudro fessurtivo molto ccentuto. Tuttvi si possono verificre rotture premture nche qundo l geometri del modello S&T segue le isosttiche dell fse I, m non è sufficientemente ccurt. Ad esempio se il modello non contiene tirnti tti schemtizzre le trzioni derivnti dll diffusione degli sforzi di compressione nei puntoni, il progetto delle rmture può risultre crente e fvorire l rottur nticipt dei puntoni o dei nodi. Nel selezionre tr tutti i possibili trlicci quello d utilizzre per il progetto di un regione D occorre tenere presente che i crichi tendono seguire i percorsi i quli corrispondono le minime tensioni e le minime deformzioni. Poiché i tirnti sono molto più deformbili dei puntoni di clcestruzzo, il modello con il minore sviluppo complessivo di tirnti (meno tirnti e più corti) è quello che funzion meglio. Questo semplice criterio per l scelt del modello S&T è stto introdotto d Schlich e può essere espresso nell seguente form: Σ F i l i ε mi = minimo dove: forz nell i-esim st del trliccio, F i l i ε mi lunghezz dell i-esim st, deformzione medi dell i-esim st (ε mi = ε i = costnte per i tirnti, mentre per i puntoni, ftt eccezione per quelli sezione prismtic, l deformzione ssile vri lungo l sse cus dell vrizione di sezione dlle estremità verso il centro, come descritto l pr. 0.9 per i puntoni collo di bottigli ). L equzione deriv dl principio dell minim energi di deformzione elstic pplicto l sistem di ste del trliccio, nell ipotesi che i puntoni ed i tirnti bbino un comportmento elstico-linere: ½ Σ (F i Δl i ) = ½ Σ (F i l i ε mi ) = minimo, dove Δl i è l vrizione di lunghezz dell i-esim st.

11 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 56 F F T C C T F B B F B B Figur 0. Percorsi di crico di un trve prete (puntoni = linee trtteggite, tirnti = linee continue). Il contributo deformtivo dei puntoni di clcestruzzo può essere generlmente trscurto, perché le deformzioni dei puntoni sono molto minori di quelle dei tirnti di cciio. Se nel progetto dei tirnti si dottno ree di cciio prossime l vlore di clcolo (A si = F i / f yd per l i-esimo tirnte), l deformzione è ll incirc ugule in tutti i tirnti e pri ll deformzione l limite di elsticità dell cciio (ε yd ). L espressione precedente si semplific così nell seguente: Σ F i l i ε mi = Σ F i l i ε yd = ε yd Σ F i l i = minimo Σ F i l i = minimo. Sull bse delle considerzioni svolte sopr, è opportuno orientre le ste del modello S&T di un membrtur in c.. lungo le linee isosttiche dell fse I non fessurt. A questo scopo si può utilizzre uno dei metodi richimti di seguito. Metodo bsto sull utilizzo di modelli S&T noti Rppresent il metodo più rpido per l definizione di un trliccio S&T e consiste nell dttre uno dei modelli S&T noti l cso in esme (pr. 0.6). Secondo Schlich e l. (987) nel clcolo dell energi di deformzione di un modello tirnte-puntone l energi di deformzione nei puntoni può essere trscurt. In reltà lcuni ricerctori (Brown e Byrk, 008) hnno verificto che l ipotesi di Schlich non è sempre soddisftt. A questo risultto sono giunti clcolndo l energi di deformzione di 596 provini di trvi con luce di tglio non superiore due volte l ltezz dell sezione, considerndo per ciscun provino si il trliccio dell figur 0.8b con due soli puntoni inclinti che collegno il crico gli ppoggi si quello dell figur 0.8c con più puntoni e due tirnti verticli. Per il primo trliccio, dll geometri molto semplice, l energi di deformzione dei puntoni super quell dei tirnti nel 39% dei csi; l contrrio, per il secondo trliccio, che h un geometri più rticolt, solo nel 5 % dei csi l energi di deformzione dei puntoni super quell dei tirnti. Ne discende che l crescere dell complessità del modello S&T, il contributo dei puntoni di clcestruzzo ll energi di deformzione diminuisce rispetto quello dei tirnti di cciio e può ritenersi trscurbile, m per modelli semplici con pochi puntoni l energi di deformzione immgzzint nei puntoni non è in genere trscurbile (ipotesi di Schlich non verifict).

12 56 CAPITOLO 0 P P P P P+ Δ P C C C C C C C3 C3 T T P P P ) b) Figur 0. Esempio di modello tirnte-puntone isosttico ( sinistr) e lbile m stticmente determinto ( destr) (nell figur di destr è evidenzito il cinemtismo conseguente ll ppliczione di un incremento di crico ΔP solo l crico di sinistr). P Metodo dei percorsi di crico Con questo metodo sviluppto d Schlich si uniscono le forze pplicte sul contorno dell regione D con percorsi di crico d ndmento curvilineo. A questo scopo il digrmm degli sforzi viene suddiviso in modo tle che ogni crico gente su un lto dell regione trovino l su controprte sul lto opposto. Ogni percorso f cpo due forze situte su lti opposti dell regione e h nei punti di ppliczione delle forze l loro stess direzione. Possono inoltre esistere percorsi che inizino e terminno sullo stesso lto e hnno un form d U, come d esempio il percorso B-B dell trve prete in figur 0.. Nel disegnre i percorsi di crico occorre evitre intersezioni ed è opportuno seguire l vi più breve. I percorsi di crico d ndmento curvilineo sono poi sostituiti d percorsi poligonli, i quli sono infine integrti con ltre ste per ssicurre l equilibrio dei nodi. Si ottiene così il modello S&T cercto. Metodo delle linee isosttiche Con il metodo delle linee isosttiche le ste del modello tirnte-puntone vengono collocte nell posizione e direzione delle linee isosttiche delle tensioni clcolte in cmpo elstico linere. A questo scopo si esegue un nlisi elstic linere gli elementi finiti dell membrtur in c.. e si rggruppno i nodi dove gli sforzi principli hnno ll incirc l stess intensità e direzione, seprndo gli sforzi positivi d quelli negtivi. Ogni gruppo viene poi suddiviso in sottogruppi formti d nodi vicini ed ognuno di questi viene infine sostituito d un line rett che pss per il centro di grvità degli sforzi principli del sottogruppo e h direzione u- gule quell medi di tli sforzi (Hrisis e Frdis, 99). Metodo dell bbttimento del modulo elstico (metodo itertivo) Si esegue l nlisi elstic linere gli elementi finiti dell membrtur in c.. All fine dell nlisi si individuno gli elementi poco sollecitti, ossi quelli dove l energi di deformzione è inferiore un vlore minimo prefissto, e si modific il modello ssegnndo questi elementi un vlore molto piccolo del modulo elstico, che equivle d eliminrli dl modello.

13 θ PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 563 P P C C C5 C3 C4 C6 = θ θ' T P > P R R P P P P C C5 C = C3 C6 + C3 C C4 θ' T θ' θ' T P P R P R P Figur 0.3 Esempio di modello tirnte-puntone stticmente determinto per un trve prete soggett due crichi concentrti non simmetrici; il trliccio si può pensre come sovrpposizione di un trliccio lbile (in bsso sinistr) e di uno isosttico (in bsso destr). Si esegue l nlisi elstic sul modello modificto. Al termine di quest second nlisi si ripete l stess operzione di bbttimento del modulo elstico degli elementi poco sollecitti e si v vnti con ltri pssi fino conservre solo gli elementi mggiormente sollecitti, che identificno così le ste del modello S&T. Per descrivere le ste del trliccio con sufficiente pprossimzione occorre utilizzre un discretizzzione gli elementi finiti sufficientemente fitt (D. Angotti D. & P. Spinelli, 00). 0.4 Modelli S&T lbili Il modello tirnte-puntone può essere lbile e l equilibrio è possibile solo per l prticolre condizione di crico esmint. Ad esempio il modello S&T mostrto nell figur 0.b, vlido per un trve prete soggett due crichi concentrti simmetrici, non è idoneo per l nlisi dell stess trve soggett due crichi non simmetrici (sotto l zione dei quli il trliccio non è equilibrto). Occorre pertnto definire un nuovo trliccio, come mostrto nell figur 0.3.

14 θ' θ 564 CAPITOLO 0 P P C C5 C C3 C6 θ' T θ P R > P R P P R R Figur 0.4 Trve prete soggett due crichi concentrti non simmetrici: identificzione del modello S&T prtire dl digrmm del momento flettente dell trve snell con l stess luce e soggett gli stessi crichi. In lterntiv il modello S&T di un trve prete soggett crichi concentrti non simmetrici può essere ricvto ribltndo il digrmm del momento flettente dell trve snell con l stess luce e soggett gli stessi crichi (figur 0.4). Si f notre che nche il trliccio così ottenuto è lbile, m stticmente determinto per l prticolre condizione di crico considert. 0.5 Regole prtiche per l identificzione del trliccio Per l identificzione del modello trliccio il Model Code 990 (CEB/FIP, 99) suggerisce un serie di regole prtiche, che vengono richimte di seguito. Inizilmente conviene dottre modelli S&T semplici, con poche ste, che possono essere perfezionti successivmente (fig. 0.5). Le ste del trliccio vnno orientte nell direzione delle linee isosttiche ricvte in fse elstic non fessurt, in modo d riprodurre con sufficiente pprossimzione il flusso medio degli sforzi in cmpo elstico. Tuttvi conviene disporre i tirnti in modo d semplificre l distribuzione delle rmture, utilizzndo rmture prllele oppure ortogonli i bordi dell elemento strutturle (come per esempio nell figur 0.5c). Nelle zone meno sollecitte inftti l struttur è in grdo di dttrsi ll geometri del trliccio scelto, nche se questo si discost un po dl cmpo di sforzi in fse I. Gli ngoli tr i puntoni ed i tirnti devono preferibilmente essere lmeno pri 45, ftt eccezione per quei nodi dove un puntone intersec due tirnti ortogonli, cso per il qule l EC fornisce un riduzione del 5% dell resistenz di progetto del clcestruzzo rispetto d un nodo tutto compresso (vedi pr ); in prticolre bisogn evitre ngoli inferiori 30 (fig. 0.6).

15 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 565 F F F F c F c F t F t F t F t h=l h=l h=l F t F t F t F/ F/ F/ F/ F/ F/ l l l ) b) c) Figur 0.5 Trve prete soggett crico concentrto: ) modello S&T di bse, b) modello rffinto con tirnti inclinti, c) modello rffinto con tirnti orizzontli (puntoni = linee trtteggite, tirnti = linee continue). θ > 30 θ > 45 θ > 30 θ > 30 θ > 30 ) b) c) Figur 0.6 Vrizione del modello S&T di un trve prete l vrire dell ngolo tr puntoni inclinti e tirnte orizzontle d 30 (vlore minimo) vlori mggiori di 45 : intersezione di un puntone con uno () o con due tirnti ortogonli (b e c). L limitzione sull ngolo tr puntoni e tirnti confluenti in un nodo serve limitre l fessurzione ed evitre che l ccorcimento dei puntoni e l llungmento dei tirnti vvengno ll incirc nell stess direzione. Quest limitzione sull ngolo si ritrov nche nel trliccio d inclinzione vribile utilizzto per il progetto tglio delle trvi snelle, dove l ngolo θ tr le bielle compresse e le rmture longitudinli non può ssumere vlori inferiori,8 (cot θ,5). Le forze concentrte pplicte sul bordo di un elemento strutturle tendono diffondersi secondo un ngolo di circ 3,5, come si deduce dll teori dell elsticità in un semispzio infinito (fig. 0.7). In funzione dell form e delle condizioni l contorno dell regione D l ngolo di diffusione di un crico concentrto vri ed il modello S&T deve essere dttto di conseguenz. Con riferimento ll trve prete mostrt nell figur 0.8, l crescere del rpporto L/h, l ngolo δ di diffusione del crico ument e l ngolo γ tr il puntone inclinto e il tirnte orizzontle diminuisce. In prticolre per L = h (figur 0.8) si h δ 6,5 e γ 63,5 > 45, mentre per L = 3h (figur 0.8b) risult δ 56,5 e γ 33,5 < 45.

16 566 CAPITOLO 0 P P Figur 0.7 Angolo di diffusione di un crico concentrto (dll teori dell elsticità). P δ<45 γ>45 h L=h P P/ () P/ γ<45 δ>45 L=3h (b) P/ P P/ γ>45 h h P L=3h (d) = (b+c) P/ P/ h L=3h (c) P/ P/ Figur 0.8 Modelli tirnte-puntone di un trve prete l vrire dell snellezz.

17 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 567 0,8 x h h h h regione "B" regione "D" regione "B" Figur 0.9 Distnz minim delle ste di bordi: il corrente superiore vrà un distnz dl bordo non inferiore 0,4 x, dove x è l profondità dell sse neutro clcolt nell regioni B dicenti (si può ssumere x = mx (x ; x ) essendo x e x le profondità dell sse neutro nell sezione - sinistr dell regione D e nell sezione - destr). Nel cso (b), ffinché l ngolo γ non risulti inferiore 45, è opportuno modificre il modello S&T inserendo su ogni lto un tirnte verticle posto metà strd tr l sse dell ppoggio ed il crico pplicto. Si ottiene così il trliccio mostrto nell figur 0.8c, che può nche essere combinto con il modello (b) formre un trliccio ipersttico. Per il clcolo degli sforzi nelle ste di quest ultimo modello S&T occorre pertnto considerre l rigidezz delle ste. Gli ssi dei puntoni devono essere posizionti sufficiente distnz di bordi dell elemento strutturle per tenere conto dell ingombro trsversle dei puntoni stessi (figur 0.9); lo stesso discorso vle nche per i tirnti formti d rmture distribuite su più strti e per i nodi. È possibile infine dottre trlicci ipersttici, dti dll sovrpposizione di due diversi modelli S&T, che ssorbono ciscuno un prte del crico pplicto: esempi sono dti dl trliccio dell trve prete già mostrto nell figur 0.8d e di modelli S&T utilizzti per il progetto di mensole tozze (vedi esempi 7, 8 e 9). 0.6 Modelli S&T ricorrenti Alcune tipologie di modelli S&T si ritrovno identiche in strutture pprentemente molto diverse l un dll ltr. Di seguito vengono presentti tre modelli S&T ricorrenti, reltivi : diffusione di un crico concentrto pplicto in sse d un trve prete o d un pilstro (D); diffusione di un crico concentrto eccentrico (D); trve prete su due ppoggi soggett d un crico distribuito (D3).

18 568 CAPITOLO 0 Prospetto 0. Modelli S&T ricorrenti. Sigl Descrizione Geometri Dove si utilizz b /4 /4 F/ F/ D Diffusione di forze concentrte centrte ll interno di un puntone (pr. 0.6.) H Puntoni di tutti i modelli S&T (trnne i cmpi di compressione prismtici o ventglio) F/ F/ /4 /4 F H/ e H D Diffusione di un crico eccentrico (pr. 0.6.) θ 45 Precompressione eccentric F B B ql/ ql/ D3 Crico distribuito sul bordo di un trve prete (pr ) 3 C C3 θ C T L C C3 Trve prete Precompressione centrt con due cvi posti i lembi dell sezione (si immgini di sostituire nell figur i pilstri con le testte dei due cvi) ql/ ql/

19 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 569 F b D F H > b H b b B D H b b b F F b b ) b) Figur 0.0 Puntone con discontinuità przile (H > b) e con discontinuità totle (H b) Modello di diffusione di un forz concentrt ll interno di un puntone (D) Si ssegnto un puntone di lrghezz b ed ltezz H soggetto sulle due sezioni di estremità due crichi centrti uguli ed opposti. In funzione del rpporto H/b ll interno del puntone possono versi si regioni tipo B si regioni tipo D o soltnto queste ultime. Ciscuno dei due crichi concentrti F pplicti gli estremi del puntone si diffonde ll interno di un regione D che, secondo il postulto di Sint Vennt, si estende per un trtto b prtire dll estremo cricto. Se il puntone h un ltezz H mggiore del doppio dell su lrghezz b (discontinuità przile) (fig. 0.0), le due regioni D non occupno tutto il puntone ed l centro rimne definit un regione B di ltezz (H-b) dove le isosttiche sono prllele ll sse del puntone. Vicevers se H b le regioni D si sovrppongono (o l limite per H=b risultno contigue) e l diffusione del crico vviene su un lrghezz ridott b ef, mentre viene mncre l regione B centrle (discontinuità totle) (fig. 0.0b).

20 570 CAPITOLO 0 s F / F/ F/ b/ S T F/ h = b b b σ = F/ (s b) ) b) Figur 0. Schem di diffusione di un crico concentrto secondo Mörsch. b F b b/ /4 /4 F/ /4 F/ b/ b/4 F/ /4 C=T b F/A b θ T F/ F/ F/ F b/4 b b/4 ) b) c) Figur 0. Modello tirnte-puntone per il clcolo dell forz T nel tirnte trsversle di un puntone con discontinuità przile (puntoni = linee trtteggite, tirnti = linee continue) [Figur 6.5].

21 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE Regioni di przile discontinuità Qundo il puntone h un lrghezz b inferiore ll metà dell ltezz H, l forz di trzione T ortogonle ll sse del puntone si clcol dottndo un modello tirnte-puntone che riclc lo schem di diffusione di un crico concentrto già dottto d Mörsch (fig. 0.). Dll equilibrio ll rotzione del puntone inclinto - si h (figur 0.c): b F b F b T T = T = = 0, 5 [(6.58)] b F b L inclinzione dei puntoni è misurt dl loro ngolo θ con l orizzontle; l tngente di θ è funzione del rpporto /b tr l lrghezz dell pistr e l lrghezz dell sezione: b/ tn θ = = b/ 4 / 4 /b Il prospetto 0.3 riport i vlori del rpporto T/F, di tn θ e dell ngolo θ l vrire del rpporto /b. In prticolre per /b = 0, risult T = 0,5 F, tn θ = e θ = 63,43. Il digrmm dell figur 0.3 mostr l ndmento teorico elstico e quello pprossimto ricvto con il modello S&T si del rpporto T/F si dell ngolo θ l vrire del rpporto /b. Le rmture di frettggio srnno disposte come indicto nell figur 0.4. Prospetto 0.3 Vlori di T/F e dell ngolo θ di inclinzione dei puntoni per il cso di discontinuità przile l vrire del rpporto /b. /b 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 T/F 0,5 0,3 0,0 0,8 0,5 0,3 0,0 0,08 0,05 0,03 tn θ,00,,50,86 3,33 4,00 5,00 6,67 0,00 0,00 θ ( ) 63,43 65,77 68,0 70,7 73,30 75,96 78,69 8,47 84,9 87,4 T/F θ 0,4 90 0,3 80 0, 70 0, 60 T/F teori elstic lin. θ pprox T = 0,5 F ( - /b) 0, 0,3 0,5 0,7 0,9 /b Figur 0.3 Andmento dell forz trsversle e dell inclinzione θ dei puntoni inclinti l vrire di /b ricvti con il modello S&T dell figur 0. (l curv trtteggit è invece reltiv i risultti ottenuti dll nlisi elstic del problem).

22 57 CAPITOLO 0 b b/ /4 F/ /4 F/ /4 F/ F/ F/A 0,3 b 0,3 b 0,6 b b b/4 b b/4 b Figur 0.4 Disposizione delle rmture di frettggio (le rmture sono centrte sul tirnte - del modello S&T ed interessno un trtto lungo 0,6 b) Regioni di totle discontinuità Qundo H b, si consider l diffusione dello sforzo F su un lrghezz b ef pri (fig. 0.5b): b ef = 0,5 H + 0,65 Come per il cso precedente si ssume un brccio z dell coppi intern pri ll metà dell ltezz dell zon di diffusione: z = h / = H /4. Dll equilibrio ll rotzione del puntone inclinto si ottiene: h F bef T = 4 4 che, con le sostituzioni h/ = H/4 e b ef = 0,5 H + 0,65, divent: T H 4 F 0, 5 H 0, 35 F = F T = 0, 5 0, 35 = 0, 7 4 H 4 H T F = 0, 5 0, 7 [(6.59)] H

23 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 573 b F b h=h/ ) F h=h/ h/ /4 /4 F/ θ /4 F/ F/A h=h/ h/ /4 F/ θ /4 C=T T F/ b /4 ef F/ b /4 ef F/ bef b b) c) b /4 Figur 0.5 Modello tirnte-puntone per il clcolo dell forz T nel tirnte trsversle di un puntone con discontinuità totle [Figur 6.5]: ) sovrpposizione delle regioni D nell zon centrle del puntone; b) modello S&T; c) equilibrio ll rotzione di metà modello. ef L tngente dell ngolo θ che misur l inclinzione dei puntoni - e '-' rispetto ll orizzontle è dt dll seguente espressione: H/ 4 H tn θ = = =. bef / 4 / 4 ( 0, 5H + 0, 65) - 0, 5 0, 35/H Il prospetto 0.4 riport i vlori del rpporto T/F, di tn θ e dell ngolo θ l vrire del rpporto /H.

24 574 CAPITOLO 0 Prospetto 0.4 Vlori di T/F e dell ngolo θ di inclinzione dei puntoni per il cso di discontinuità totle l vrire del rpporto /H. /H 0 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 T/F 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0, 0,0 0,9 0,8 0,7 0,6 tn θ,00,07,5,3,33,4,53,65,78,9 3,08 θ ( ) 63,43 64,4 65,06 65,89 66,73 67,58 68,45 69,3 70,0 7,09 7, Modello di diffusione di un crico eccentrico (D) Si consideri un regione D limitt inferiormente d un regione B e crict superiormente d un forz concentrt eccentric, posiziont in prossimità di uno degli spigoli superiori. Il reltivo modello S&T può essere identificto utilizzndo il metodo dei percorsi di crico di Schlich. A questo scopo si suddivide il digrmm degli sforzi genti sul bordo inferiore dell regione in due prti: l prte sinistr con risultnte ugule F e l prte destr con risultnte null (due forze uguli e contrrie, ciscun indict con B nell figur 0.6). Il percorso di crico ssocito lle due forze B uguli e contrrie entr nell regione D nel punto B ed esce nel punto B, seguendo un ndmento curvilineo U (figur 0.6), cui rimne ssocit un distribuzione di forze C di devizione degli sforzi di compressione. Approssimndo il percorso di crico curvilineo con un poligono di ste compresse e tese, si ottiene il modello S&T d utilizzre per il progetto dell regione D in esme (figur 0.6b). Nell effetture quest operzione bisogn prestre ttenzione che i puntoni compressi non presentino devizioni ngolri superiori 60 (figur 0.7), in modo che l ngolo tr essi ed i tirnti convergenti nel nodo interessto dll devizione si lmeno pri 30 (vlore minimo per ssicurre l comptibilità delle deformzioni nel modello, secondo qunto già sottolineto nel pr. 0.5 dedicto lle regole prtiche per l definizione dell geometri del trliccio). Il brccio dell coppi intern z può essere ssunto pri ll distnz tr le due forze B, che equivle d orientre l biell compress C nell figur 0.6b 45 rispetto ll orizzontle. Di seguito si riport il clcolo delle forze nelle ste del trliccio. Nell figur 0.6b le lunghezze h' e h'' individuno il punto di nullo del digrmm delle tensioni normli sull sezione post distnz H dll sezione di estremità, dove H è l ltezz dell sezione; esse sono dte dlle seguenti espressioni: h' = (H/) [ + H / (6 e)] h'' = (H/) [ H / (6 e)] con l limitzione H/6 < e < H/. Il rispetto del limite inferiore grntisce un distribuzione delle tensioni normli del tipo mostrto nell figur 0.6b (inftti per e = H/6 il digrmm delle tensioni normli srebbe tringolre, mentre per e < H/6 srebbe trpezoidle), mentre il limite superiore corrisponde l cso teorico di forz pplict sullo spigolo dell sezione.

25 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 575 ) b) Figur 0.6 Modello D : ) percorsi di crico; b) modello S&T con numerzione delle ste e dei nodi. C < 60 > 30 T C Figur 0.7 Devizione mssim (< 60 ) dell sse di un puntone. L distnz dell forz F dl bordo sinistro è dt dll seguente espressione: H 8e H b' =, e 6 mentre il brccio b dell coppi di forze B e l distnz b'' dell forz B pplict in B dl bordo destro vlgono: b'' = h'' /3 = (H/6) [ H / (6 e)], b = 4 h'' / 3 = (H/3) [ H / (6 e)].

26 576 CAPITOLO 0 Prospetto 0.5 Vlori di b'/h, b''/h, /H, b/h e θ l vrire di e/h.. e/h b'/h b''/h /H b/h (= z/h) θ ( ) 0,666 0,333 0,000 0,333 0,000 0,000 0, 0,30 0,08 0,300 0, 0,477 0,5 0,59 0,056 0,50 0,,386 0,3 0,6 0,074 0,00 0,96 5,080 0,35 0,00 0,087 0,50 0,349 8,97 0,4 0,79 0,097 0,00 0,389,539 0,45 0,6 0,05 0,050 0,40 4,98 0,5 () 0,48 0, 0,000 0,444 8,435 () Il vlore e/h = 0,5 è teorico, perché l mssim eccentricità con cui l forz F è pplict sull regione D è strettmente inferiore 0,5; tuttvi i vlori che si ottengono per e/h = 0,5 possono essere utili i fini progettuli perché rppresentno vlori limite superiori delle grndezze in gioco. Posto z = b, l ngolo θ è infine dto dll seguente espressione: θ = rctn [(b' ) / z]. Il prospetto 0.5 riport i vlori di b'/h, b''/h, /H e b/h l vrire di e/h. Not l geometri del modello è possibile determinre tutte le forze nelle ste del trliccio; questo scopo è sufficiente scrivere le equzioni di equilibrio ll trslzione verticle ed orizzontle di tutti in nodi. Nodo Equilibrio ll trslzione verticle: C cos θ = F C = F / cos θ (<,054 F), dove,054 F è il vlore limite superiore che si ottiene per il cso limite e/h = 0,5 (dl prospetto 0.5 si h: θ = 8,435, cos θ = 0,9487, /cos θ =,054) Equilibrio ll trslzione orizzontle: T = C sen θ T = (F / cos θ) sen θ = F tn θ Nodo Equilibrio ll trslzione orizzontle: T = C sen 45 C = T = F tn θ Equilibrio ll trslzione verticle: T = C cos 45 T = ( F tn θ) / = F tn θ = B Nodo 3 Equilibrio ll trslzione verticle: C 4 = C cos θ = F Equilibrio ll trslzione orizzontle: C 3 = C sen θ = (F / cos θ) sen θ = F tn θ Nodo 4 Equilibrio ll trslzione verticle: C 5 = C cos 45 = F tn θ / = F tn θ Il digrmm riportto nell figur 0.8 mostr l ndmento dell forz B, dimensionlizzt rispetto ll forz F pplict, in funzione del rpporto e/h.

27 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 577 Prospetto 0.6 Vlori degli sforzi nelle ste del trliccio espressi si in funzione di F, si in funzione di B. C F / cos θ B / sen θ C F tn θ B C 3 F tn θ B C 4 F B / tn θ C 5 F tn θ B T F tn θ B T F tn θ B Figur 0.8 Forz B (dimensionlizzt rispetto ll forz pplict F) in funzione del rpporto e/h; l forz B coincide con lo sforzo normle nei tirnti T e T e nei puntoni C 3 e C Modello di trve prete soggett crico uniformemente distribuito (D3) Si consider un trve prete su due ppoggi soggett sul bordo superiore d un crico uniformemente distribuito. Il modello trliccio per lo studio di questo elemento strutturle è mostrto nell figur 0.9. Discretizzto il crico distribuito in due forze concentrte (pr. 0..3) e fisst l posizione delle rmture inferiori del tirnte T, l geometri del trliccio è definit un volt fisst l posizione del puntone orizzontle C. A questo scopo si può seguire qunto suggerito dl Model Code 990 l punto ed dottre un brccio dell coppi intern pri 0,6 0,7 volte l distnz L tr gli ppoggi, m non superiore l brccio di lev di un trve snell con l stess luce: (0,6 0,7) L 0,67 H. Le espressioni degli sforzi nelle ste sono elencte nel prospetto 0.7.

28 578 CAPITOLO 0 ql/ ql/ C C C H C3 (0,6 0,7) L < 0,67 H C3 3 θ T L ql/ Figur 0.9 Trve prete su due ppoggi soggett d un crico uniformemente distribuito sul bordo superiore. L ql/ Prospetto 0.7 Vlori degli sforzi nelle ste del trliccio dell trve prete (D3). C ql/ C ql/( tn θ) C 3 ql/( sen θ) T ql/( tn θ) 0.7 Verific del trliccio L rottur di un trliccio S&T può essere cust d: snervmento di uno o più tirnti; schiccimento di un puntone di clcestruzzo; schiccimento di un nodo; sfilmento di uno o più tirnti in corrispondenz di un nodo. Se un elemento strutturle in c.. è stto progettto correttmente utilizzndo un trliccio tirnte-puntone, l rottur si verific secondo l prim delle quttro modlità sopr e- lencte. Le Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M ) l p.to prescrivono che nell verific dei modelli S&T l resistenz ssocit llo snervmento delle rmture si inferiore quell ssocit gli ltri meccnismi di collsso, per grntire un rottur di tipo duttile dell elemento strutturle (gerrchi delle resistenze).

29 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 579 L limitzione degli sforzi di compressione nel clcestruzzo (vedi pr. 0.9 e 0.0), l scelt di ngoli non troppo piccoli tr puntoni e tirnti e tutte le considerzioni svolte nel pr. 0.5 consentono di estendere l teori dell plsticità lle strutture di clcestruzzo, nche se questo mterile non soddisf ppieno le ipotesi ll bse di quest teori. Le tensioni limite nel clcestruzzo sono scelte in modo d scongiurre lo schiccimento loclizzto del clcestruzzo o l fessurzione longitudinle ( splitting ) dei puntoni e dei nodi e sono generlmente bste sul grdo di confinmento del clcestruzzo. Così nei nodi in cui convergono tre o più puntoni si possono ccettre livelli tensionli mggiori, grzie ll elevto grdo di confinmento del mterile, mentre nei nodi dove confluiscono uno o più tirnti il livello tensionle nel clcestruzzo deve essere minore. 0.8 Progetto delle rmture Le rmture metlliche sono utilizzte si come tirnti del modello tirnte-puntone (rmture principli) si come elementi tti resistere lle forze di trzione dovute ll diffusione del crico, che si insturno in direzione ortogonle i cmpi di compressione (rmtur di frettggio, pr. 0.6.). L re A dell sezione di ciscun tirnte si ottiene dividendo lo sforzo normle di progetto N Ed per l resistenz di progetto dell cciio: A N Ed /f yd. L rmtur principle v distribuit sull ltezz del nodo nel qule è ncort; i tirnti formti d più brre vnno disposti su più strti per evitre l congestione delle brre d rmtur e per migliorre l form del nodo. Nel nodo le rmture possono essere ncorte con pistre metlliche, con uncini oppure con moiette U; queste ultime devono essere dotte di un rggio minimo di curvtur che soddisfi le prescrizioni del p.to [8.3]. Per ncorggi in rettilineo l lunghezz di ncorggio è scelt seguendo le indiczioni del p.to [8.4], riportte nel cp.. Si ssume che l lunghezz di ncorggio inizi in corrispondenz dell sezione dove le triettorie degli sforzi di compressione nel puntone intercettno l brr o le brre di rmtur e sono devite d queste (figur 0.30). Le rmture devono essere poi prolungte lmeno fino ll fcci oppost del nodo, ossi devono ttrversrlo completmente. Bricentro del tirnte L d Figur 0.30 Ancorggio in rettilineo delle rmture in un nodo.

30 580 CAPITOLO 0 ) b) c) d) Figur 0.3 Cmpi tensionli di compressione: () prismtico, (b) collo di bottigli, (c, d) ventglio. 0.9 Verific dei puntoni I cmpi di compressione, ovvero i puntoni, sono sostnzilmente di tre tipi (figur 0.3): prlleli o prismtici, collo di bottigli, diffusivi ventglio. I cmpi prismtici ) sono tipici delle regioni B e possono essere trttti ll stregu dei pilstri soggetti sforzo normle centrto oppure del corrente compresso nel trliccio resistente delle trvi inflesse. I cmpi tensionli b), c) e d) riproducono invece l diffusione dello stto di sforzo: quelli collo di bottigli rppresentno stti di sforzo bissili o trissili nelle zone di ppliczione di crichi concentrti, mentre il ventglio rppresent cmpi di compressione prevlentemente rettilinei (curvtur trscurbile) e pertnto con sforzi trsversli trscurbili. Quest ultimo è il cso per esempio dei cmpi di compressione che in un trve prete soggett crico uniformemente distribuito si sviluppno prtire dll superficie di ppliczione del crico fino gli ppoggi (figur 0.3d). L verific dei puntoni consiste nel controllre che l mssim compressione del clcestruzzo si inferiore ll resistenz di progetto. Inoltre per cmpi di compressione collo di bottigli occorre progettre un pposit rmtur in grdo di ssorbire le trzioni trsversli, clcolte con gli schemi riportti nel pr In ssenz di cmpi di tensione trsversli o in presenz di cmpi trsversli di compressione, l resistenz di progetto di un puntone di clcestruzzo coincide con l resistenz di progetto del clcestruzzo: σ Rd, mx = f cd [(6.55)] mentre se sono presenti tensioni trsversli di trzione, l resistenz di progetto è inferiore quell del clcestruzzo ed è dt dll seguente espressione: σ Rd,mx = 0,60 υ f cd [(6.56)] dove: υ ' = f ck /50 = (5/3)υ [(6.57N)] con υ = 0,6 ( f ck /50) (f ck in N/mm ). [(6.6N)]

31 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 58 Secondo le NTC 008, per clcestruzzi di clsse non superiore ll C70/85 il coefficiente υ è pri 0,5 3 ; essendo poi υ e υ legti dll relzione υ' = (5/3)υ, si h: υ' = 5/6 = 0,83. Per le clssi di resistenz C80/95 e C90/05 si utilizz invece il vlore suggerito dll EC: υ' = f ck /50. Per f ck 70 N/mm l resistenz di progetto dei nodi in presenz di tensioni trsversli di trzione ssume pertnto il seguente vlore: σ 5 Rd, mx = 0, 60 0, 83 f cd = 0, f 4 cd Il vlore ridotto dell resistenz dei puntoni in presenz di cmpi trsversli di trzione tiene conto del ftto che le fessure indotte dlle trzioni trsversli, interrompendo l compttezz del puntone, riducono l resistenz del clcestruzzo, nche qundo esse sono prllele l puntone. L riduzione di resistenz è poi più ccentut per fessure inclinte rispetto ll direzione del puntone. Il prospetto 0.8 elenc le espressioni dell resistenz di progetto dei puntoni second dell presenz e del tipo di tensioni trsversli e dell clsse di resistenz del clcestruzzo. Prospetto 0.8 Resistenze di progetto dei puntoni. Tipo di tensioni trsversli nulle o di compressione di trzione Resistenz di progetto f cd per tutte le clssi di resistenz del clcestruzzo 0,5 f cd se f ck 70 N/mm 0,4 f cd se f ck = 80 N/mm 0,38 f cd se f ck = 90 N/mm Infine nell figur 0.3 si riport l ndmento dell resistenz del clcestruzzo del puntone l vrire dell ngolo θ s tr l sse del puntone e l direzione del cmpo di deformzione trsversle (d esempio quello ssocito d un tirnte che ttrvers il puntone), ottenut pplicndo l formul propost dlle AASHTO (007): f cd σ Rd, mx = 0, 85 f cd 0, εl con ε = ε s + (ε s + 0,00) cotg θ s dove ε deformzione principle di trzione in direzione normle ll sse del puntone, ε s deformzione nelle rmture inclinte di θ s rispetto ll sse del puntone. L espressione di ε è vlid per deformzione principle di compressione ε =0,00 nell direzione del puntone; l diminuire di θ s, ε ument e l resistenz σ Rd,mx diminuisce. 3 L resistenz compressione del clcestruzzo fessurto per tglio è espress come 0,5 f cd nelle NTC 008 (formul 4..9) e come υ f cd nell EC (formul 6.4), ne discende che secondo le NTC risult υ = 0,5. Inoltre l Not l p.to 6..3(3) dell EC rccomnd di ssumere υ = υ, pertnto risult nche υ = 0,5. 4 Si f osservre che, in presenz di trzioni trsversli, l resistenz del clcestruzzo dei puntoni è pri quell del clcestruzzo fessurto per tglio (f ' cd = 0,5 f cd ), che compre nel clcolo dell resistenz tgliocompressione dell trvi dotte di rmture trsversli (4..9-NTC).

32 58 CAPITOLO 0 Figur 0.3 Resistenz di un puntone in presenz di un deformzione trsversle ε s = l vrire dell ngolo θ s tr sse del puntone e direzione del cmpo di deformzione trsversle (AASHTO, 007) Armture trsversli Generlmente non è necessrio verificre gli sforzi nei puntoni se le verifiche nei nodi sono soddisftte e se viene dottt un pposit rmtur trsversle rispetto ll sse dei puntoni. L forz trsversle totle tr un estremità ed il bulbo centrle di un puntone può essere ssunt l mssimo pri l 5 % dello sforzo di compressione nel puntone, come si evince dl modello S&T D per l diffusione di un crico concentrto (vedi pr. 0.6.). 0.0 Verific dei nodi Un nodo di un modello S&T è definito come un volume di clcestruzzo contenuto ll interno delle intersezioni tr i cmpi di compressione dei puntoni e tr questi e le brre di rmtur e/o le forze esterne. I nodi sono zone critiche perché sede di un brusco cmbimento di direzione delle forze con conseguente concentrzione degli sforzi. In bse geometri ed estensione i nodi si clssificno in concentrti e diffusi : nei primi gli sforzi sono deviti in un zon molto ristrett rispetto ll lunghezz delle ste che vi confluiscono (figur 0.33, b), nei secondi quest zon è più estes (figur 0.33c, d). Normlmente i nodi diffusi sono meno critici e per essi non è necessri l verific degli sforzi di compressione nel clcestruzzo, vicevers in quelli concentrti occorre verificre si lo sforzo mssimo di compressione nel conglomerto si l ncorggio delle rmture. Esempi di nodi concentrti sono: i punti di ppliczione di crichi concentrti, gli ppoggi, le zone di ncorggio dove si h concentrzione di rmture ordinrie o d precompressione, le piegture delle rmture, gli ngoli dei portli.

33 3 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 583 b ef3 C 3 = b ef C () C (b) b ef (c) (d) Figur 0.33 Nodi concentrti (,b) e nodi diffusi (c,d). Le forze che giscono sui nodi devono essere equilibrte; inoltre per nodi tridimensionli occorre considerre l diffusione degli sforzi su due pini ortogonli (pr ). L cpcità resistente dei nodi è strettmente conness l dimensionmento e ll disposizione delle rmture, in prticolre l loro ncorggio Tipi di nodi In funzione del tipo di ste che vi confluiscono, i nodi possono essere suddivisi in quttro tipologie (fig. 0.34): CCC: tre puntoni, CCT: due puntoni ed un tirnte, CTT: un puntone e due tirnti, TTT: tre tirnti. In un nodo possono inoltre confluire nche più di tre ste, come mostrto nell figur Resistenz dei nodi Un volt che l geometri e le dimensioni del nodo sono stte definite occorre eseguire l verific schiccimento del clcestruzzo. L resistenz di progetto dei nodi è un liquot ν dell resistenz compressione del clcestruzzo, dove il coefficiente ν è detto fttore di efficienz. Il fttore di efficienz ssume vlori diversi per i nodi CCC, CCT e CTT: i nodi CCT e CTT hnno fttori di efficienz più piccoli dei nodi CCC, perché le tensioni di trzione trsmesse per derenz dlle brre d rmtur ne diminuiscono l resistenz.

34 584 CAPITOLO 0 Tipo CCC CCT CTT TTT Concentrto Distribuito σ σ < σ i. nodo CCC ii. nodo CCT iii. nodo CTT Figur 0.34 Tipi di nodo. F F F F tirnte 4,08 F,54 F,6 F F tirnte nodo con più di tre puntoni puntone nodo con più di tre puntoni puntone 4 F,9 F 3,69 F Figur 0.35 Esempi di nodi in cui confluiscono più di tre ste (in lto è mostrt l suddivisione di un nodo poligonle in tre nodi tringolri).

35 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 585 Ne derivno tre diversi vlori dell resistenz: σ Rd,mx per i nodi CCC, σ Rd,mx per i nodi CCT e σ 3Rd,mx per i nodi CTT (prospetto 0.9). Il prospetto 0.0 riport i vlori di σ Rd,mx, σ Rd,mx, σ 3Rd,mx l vrire dell clsse di resistenz del clcestruzzo. Di seguito si descrivono i vri tipi di nodo. Prospetto 0.9 Resistenze di progetto dei nodi. Tipo di nodo Fttore di efficienz Resistenz di progetto () CCC k =,0 σ Rd,mx,0 (ν ' f cd ) = 0,83 f cd CCT k = 0,85 σ Rd,mx 0,85 (ν ' f cd ) = 0,705 f cd CTT k 3 = 0,75 σ 3Rd,mx 0,75 (ν ' f cd ) = 0,6 f cd TTT min (f yd ; f y,der ) Compressione trissile (3D) σ Rd,mx 3,00 (ν ' f cd ) =,49 f cd () Vlori vlidi per clcestruzzi di clsse C70/85. Prospetto 0.0 Vlori delle tensioni σ Rd,mx, σ Rd,mx, σ 3Rd,mx in N/mm (σ Rd,mx > σ Rd,mx > σ 3Rd,mx ). f ck (N/mm ) f cd (N/mm ) σ Rd,mx (N/mm ) σ Rd,mx (N/mm ) σ 3Rd,mx (N/mm ) 6,80 5,64 4,80 4,3 6 9,07 7,53 6,40 5,64 0,33 9,4 8,00 7,06 5 4,7,76 0,00 8,8 8 5,87 3,7,9 9, ,00 4,,00 0, ,83 6,46 4,00,35 40,67 8,8 6,00 4, 45 5,50,7 8,00 5, ,33 3,5 0,00 7, ,7 5,87,00 9, ,00 8, 4,00, ,67 33,60 8,56 5,0

36 586 CAPITOLO 0 F c σ c σ c3 F c3 3 F c3 3 θ F c0 0 σ c0 3 θ F c σ c3 3 θ F c σ σ c c F c F c F c ) b) Figur 0.36 Nodi compressi con tre puntoni complnri: ) nodo sull ppoggio di continuità di un trve prete, b) nodo nell ngolo di un portle soggetto momento negtivo (che tende chiudere il nodo). σ c Nodi compressi (CCC) I nodi tutti compressi si trovno in corrispondenz di crichi concentrti e sopr gli ppoggi intermedi di trvi snelle e trvi prete, così come negli ngoli rientrnti di teli, nelle mensole tozze ed in corrispondenz di perture. Questi nodi sono crtterizzti dll presenz di uno stto di compressione bissile; il loro contorno viene schemtizzto con superfici pine, che individuno regioni tringolri o poligonli. L mssim tensione che può essere pplict i bordi di un nodo compresso ossi l tensione di progetto, è dt dll seguente espressione: σ Rd,mx = k υ' f cd =,0 0,83 f cd = 0,83 f cd (per f ck 70 N/mm ) [(6.60)] L figur 0.36 mostr due diversi tipi di nodi compressi con tre puntoni complnri. Il primo nodo è reltivo ll ppoggio di continuità di un trve prete ed il secondo è tipico degli ngoli rientrnti dei portli soggetti momento flettente negtivo.

37 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 587 C C 3 ) Geometri C / = C / = C 3/ 3 C 3 Figur 0.37 Nodo idrosttico Nodi compressi idrosttici Se un nodo compresso è delimitto d fcce ortogonli i puntoni e le dimensioni delle sezioni trsversli dei puntoni sono proporzionli gli sforzi normli di compressione, le tensioni normli su tutte e tre le fcce nodli sono uguli. In questo cso lo stto di sforzo nel nodo è idrosttico, ossi l tensione normle è l stess su qulsisi gicitur e d or in poi un nodo così ftto srà denominto nodo idrosttico (figur 0.37). A rigore il termine idrosttico implicherebbe l uguglinz di tutte e tre le tensioni principli; convenzionlmente nei modelli S&T pini questo termine è utilizzto per indicre lo stto di sforzo di un nodo dove sono uguli solo le due tensioni principli nel pino del modello. Se nel pino ortogonle l modello S&T si h un significtiv diffusione degli sforzi, lo stto tensionle fuori dl pino v studito con un ltro modello S&T (vedi pr ). In un nodo idrosttico non ci sono tensioni tngenzili, tuttvi il clcestruzzo dell regione nodle è in grdo di sopportrle, cosicché si possono ccettre nche nodi non idrosttici. Per i nodi non idrosttici Schlich (987) rccomnd che il rpporto tr le tensioni di compressione mssim e minim non si superiore due. Perltro non è fcile vere nodi idrosttici, perché l geometri del nodo è dettt dll disposizione delle rmture e/o dlle dimensioni delle pistre di ppoggio, dlle dimensioni trsversli dei pilstri oltre che dll geometri del trliccio. Per esempio per il nodo in lto destr dell trve prete di spessore b mostrt nell figur 0.38, si può fissre l lrghezz del puntone verticle e l lrghezz di quello orizzontle ffinché l tensione normle σ sulle due fcce nodli - e -3 si l stess; se si pone σ = σ Rd,mx (ossi pri ll resistenz del clcestruzzo in un nodo CCC) si ricvno i seguenti vlori di e : = C / (σ Rd,mx b) = C / (σ Rd,mx b)

38 588 CAPITOLO 0 C C C C 3 C 3 α α Δθ θ r C 3 θ ) b) Figur 0.38 Esempio di nodo non idrosttico. L lrghezz 3 dell terz fcci del nodo (fcci -3) vle 3 = + ed è inclint dell ngolo α = rctn ( / ) rispetto ll orizzontle. Si evince pertnto che il nodo è idrosttico solo se il terzo puntone è orientto lungo l direzione r, ortogonle ll fcci -3, mostrt nell figur 0.38b, ossi se l su inclinzione θ con l orizzontle coincide con α. In reltà l direzione del terzo puntone è già definit dll geometri del trliccio ed in generle è ruott di un ngolo Δθ rispetto ll direzione r Nodi compressi non idrosttici Nei nodi non idrosttici le fcce nodli non sono ortogonli gli ssi dei puntoni e le tensioni di compressione nei puntoni sono diverse. L verific di un nodo non idrosttico può essere ricondott quell del nodo idrosttico con l stess bse, secondo l procedur descritt di seguito (fig. 0.39). Si consideri il nodo con tre puntoni complnri, che potrebbe rppresentre per esempio il nodo di continuità di un trve prete. Se le fcce e 3 dei due puntoni inclinti formno un ngolo diverso d 90 con le direzioni dei due puntoni digonli, solo sull fcci l pressione σ c risult ortogonle e quindi coincide con un delle due tensioni principli nell regione nodle. Circ il vlore dell ltr tensione principle σ c0, gente sull fcci 0, normle ll fcci di bse, si dimostr che: σ c0 σ c se 0 0,idr σ c0 > σ c se 0 < 0,idr dove 0 è l ltezz del nodo e 0,idr è l ltezz del nodo idrosttico con l stess bse. L dimostrzione delle espressioni ppen scritte è immedit se si f riferimento ll figur 0.39, dove sono stti disegnti si il nodo non idrosttico ABC si il nodo idrosttico DBC con l stess bse.

39 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 589 F c σ c σ c3 F c3 3 A A F c0 σ c0 E σ c0,idr (=σ c) D E B D E C 0 F c F c F c σ c Figur 0.39 Nodo non idrosttico (ABC) e nodo idrosttico (DBC): i due nodi hnno l stess bse, m ltezze diverse (il nodo idrosttico è di ltezz minore). Per il nodo idrosttico DBC l tensione sull fcci DE ( 0,idr ) è ugule ll tensione i- drosttic σ c, mentre per il nodo non idrosttico ABC l tensione σ c0 sull fcci AE ( 0 ), essendo AE DE ( 0 0,idr ), è certmente inferiore σ c. In questo cso è sufficiente verificre l sol tensione σ c. In modo nlogo si dimostr che se l ltezz del nodo è minore di quell del nodo idrosttico con l stess bse, llor l tensione principle σ c0 sull fcci AE è mggiore di quell sull bse BC (σ c0 > σ c ) e quindi occorre verificre l tensione σ c0. Più in generle lo stto di sforzo in un nodo non idrosttico può essere determinto secondo l seguente procedur (Mrti, 985) (fig. 0.40):. si trccino le circonferenze di Mohr dello stto di sforzo in ciscun puntone (per esempio l circonferenz di Mohr del puntone C pss per l origine degli ssi e per il punto di sciss σ c = C / (AD s), dove σ c è l tensione di compressione nel puntone e s è lo spessore del nodo);. si determin il polo di ciscun delle circonferenze dei tre puntoni (Q A, Q B e Q C ) 5 ; 3. si trccino le rette prllele i lti BC, CA ed AB del nodo pssnti per i poli Q A, Q B e Q C delle circonferenze di Mohr dei singoli puntoni; i punti di intersezione A, B e C di queste rette con le corrispondenti circonferenze di Mohr definiscono l circonferenz di Mohr dello stto di sforzo di compressione bissile nel nodo ABC; il centro di quest circonferenz gice sull sse delle tensioni normli e le rette Q A A, Q B B e Q C C si intersecno nello stesso polo Q. 5 Il polo P dell circonferenz di Mohr è quel prticolre punto pprtenente ll circonferenz tle che l rett pssnte per P, prllel d un gicitur prefisst π, intersec l circonferenz nel punto rppresenttivo dello stto di sollecitzione sull gicitur π.

40 590 CAPITOLO 0 τ C C 3 B C A Q C σ A C D C σ σ C 3 C C ) Q Q A B Q B b) Figur 0.40 Costruzione grfic di Mohr per l determinzione dello stto di sforzo in un nodo CCC (Mrti, 985) Resistenz di un nodo CCC Ai fini prtici il clcolo dell resistenz di un nodo può essere condotto come suggerito nelle ACI (008). Ftt eccezione per i nodi idrosttici, dove l resistenz del nodo può essere clcolt con riferimento d un gicitur qulunque, per i nodi non idrosttici l resistenz si ottiene moltiplicndo l resistenz del clcestruzzo (che su volt è funzione del tipo di nodo - CCC, CCT, CTT) per l più piccol delle seguenti dimensioni: l re dell fcci nodle sull qule gisce lo sforzo di compressione F c, pres perpendicolrmente ll rett di zione di F c ; con riferimento ll figur 0.4, poiché i due puntoni inclinti non sono ortogonli lle corrispondenti fcce nodli, si prende per ognun di esse l proiezione ortogonle ll sse del puntone ( per il puntone di sinistr e 3 per quello di destr), oppure l re di un sezione che divide il nodo in due; nelle figure 0.4b,c,d sono indicte le sezioni pssnti per i tre vertici del nodo ed ortogonli lle fcce nodli; per e- sempio per l sezione AH l risultnte coincide con l proiezione orizzontle dello sforzo nel puntone 3 (o in modo equivlente di quello nel puntone ). L resistenz σ R del nodo mostrto nell figur 0.4 è dt d: F F F c Fc Fc3 FAH CH BH 3 σ = R min ; ; ; ; ; b b 3 b AH b CH b BH 3 b dove b è lo spessore dell elemento strutturle nell direzione normle l pino del nodo Suddivisione delle regioni nodli In molti csi per semplificre i clcoli è utile suddividere un nodo in più prti; ciscun porzione in cui il nodo viene suddiviso trsferisce un prte delle forze genti su di esso. Per esempio nel nodo mostrto nell figur 0.4b l rezione F c è suddivis in un componente F ' c, che equilibr l componente verticle di F c, ed in un componente F '' c, che equilibr l componente verticle di F c3.

41 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 59 F c σ c F c3 3 F c σ c F c3 θ 3 A σ c3 A σ c3 B B C C 0 B B H F c F AH = F c3 cos θ C F c C σ c σ c F c ) F c b) F c σ c F c3 3 F c σ c F c3 3 A σ c3 A σ c3 F CH H B B C C B B H H 3 C C F BH3 σ c σ c F c c) d) F c Figur 0.4 Nodo CCC: ) verific sulle fcce ortogonli gli ssi dei puntoni (AB', AC', BC); b), c), d) verific sulle sezioni del nodo perpendicolri lle fcce nodli. Ci sono poi molti csi in cui l regione nodle h un form poligonle e l nlisi del suo stto di sforzo richiede l suddivisione in regioni tringolri collegte d puntoni intermedi ggiuntivi rispetto quelli originri (figur 0.4). Nell eseguire quest suddivisione occorre verificre che l nuov geometri si comptibile con quell dell elemento strutturle, perché l ingombro del nodo dopo l suddivisione risult mggiore di quello inizile (zone trtteggite nell figur 0.4c). Nel nodo dell figur 0.4 l risultnte F c delle forze F c e F c coincide con l forz di compressione nel puntone BCEF interno l nodo; l forz F c è inoltre in equilibrio con le forze F c3 e F c4.

42 59 CAPITOLO 0 F c F c F c F c A B C F c3 F E D F c3 F c4 F c4 F c F c ) b) B A C F E F c F c4 D F c F c3 F c4 F c F c3 c) d) F c Figur 0.4 Nodo qudrngolre: ) geometri, b) suddivisione del nodo, c) puntone BCEF interno l nodo, con trtteggite le porzioni non comprese nell geometri inizile, d) poligono delle forze Nodi compressi-tesi con tirnti ncorti disposti in un sol direzione (CCT) I nodi compressi-tesi sono nodi nei quli l rmtur viene ncort o devit; si distinguono nodi nei quli sono ncorte brre in un sol direzione (CCT) e nodi con tirnti disposti in più di un direzione (CTT). I nodi CCT sono tipici degli ppoggi di estremità delle trvi. Questo tipo di nodi si ritrov nche sotto le pistre di crico delle mensole, negli ngoli dei teli e nelle selle Gerber (si vedno gli esempi 5 e 7). L nlisi di un nodo CCT può essere ricondott quell di un nodo CCC, se il tirnte viene ncorto medinte un pistr post dll prte oppost del tirnte stesso (figur 0.43b). L pressione di progetto di un nodo CCT è dt dll seguente espressione: σ Rd,mx = k υ ' f cd = 0,85 0,83 f cd = 0,7 f cd (per f ck 70 N/mm ) [(6.6)] dove σ Rd,mx = mx (σ Rd, ; σ Rd, ) (figur 0.43). Rispetto d un nodo CCC, l resistenz risult diminuit del 5 % cus dell fessurzione indott nel nodo dll diffusione dello sforzo di trzione trsmesso dl tirnte. Anlizzndo il nodo nel suo pino medio, l rmtur può essere immgint diffus u- niformemente sull intero spessore b dell elemento strutturle (b = dimensione ortogonle l pino del modello S&T) e con un ltezz effettiv u, sull qule vviene l devizione dei cmpi di compressione. Le espressioni d utilizzre per l ltezz effettiv u, secondo qunto indicto nel Model Code 990, sono riportte nel prospetto 0..

43 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 593 Prospetto 0. Altezz effettiv u di un nodo CCT. Tipo di nodo Altezz effettiv un solo strto di rmtur che non prosegue oltre il cmpo di compressione devito u = 0 l b,net lunghezz di ncorggio > c* c* σ c F c F c σ c θ F t u un solo strto di rmtur che si prolung oltre il puntone di lmeno c*, dove c* è l distnz dell sse dell rmtur dl bordo inferiore u = c* il prolungmento dell brr per un trtto c* oltre il cmpo di compressione devito, consente un distribuzione dello sforzo prtire dll estremo dell brr su un ltezz lmeno pri c*, nell ipotesi di diffusione degli sforzi 45 su mbo i lti dell brr θ senθ u θ u cosθ θ c* σ c F c θ n strti di rmtur posti d intersse s, che si estendono oltre il cmpo di compressione devito per un trtto pri l vlore mssimo tr c* e s/ u = c* + (n-) s come per il cso precedente, considerndo un diffusione 45 degli sforzi dlle estremità delle brre verso il nodo s F t u c* F c σ c > (c*; s/)

44 s 594 CAPITOLO 0 F cd σ Rd, u F td σ Rd, F cd l bd ) b) Figur 0.43 Nodo CCT di un ppoggio di estremità: ) brre ncorte per derenz nel nodo, b) tirnte ncorto con pistr. F c θ senθ u cosθ σ c θ u θ θ F t σ c F c Figur 0.44 Schem per il clcolo dell lrghezz del puntone digonle di un nodo CCT sull ppoggio di estremità di un trve prete. C è d tenere presente che in presenz di rmture disposte su più strti, l resistenz del nodo può essere umentt del 0 % (vedi pr ). L lrghezz dell ppoggio, l ngolo θ del puntone, l ltezz effettiv u e l lrghezz del cmpo di compressione digonle sono legte dll seguente relzione (fig. 0.44) = sen θ + u cos θ. Per l verific del nodo occorre clcolre l pressione di conttto ll bse del nodo F σ = c c b

45 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 595 Prospetto 0. Vlori del rpporto σ c / σ c l vrire dell ngolo θ e del rpporto (u/ ) (le cselle con vlori inferiori ll unità sono evidenzite con sfondo grigio). θ ( ) u/ 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 30 3,4,97,63,36,4,96,8,68,56,46 3,5,99,64,35,3,94,78,65,54,44,35 35,66,36,3,93,77,64,5,4,33,5 37,5,39,4,94,77,63,5,4,3,4,7 40,6,95,78,64,5,4,3,4,7,0 4,5,98,80,65,53,4,3,4,7,,05 45,8,67,54,43,33,5,8,,05,00 47,5,69,55,44,35,6,9,,06,0 0,96 50,57,46,36,8,0,3,07,0 0,97 0,93 5,5,48,38,9,,5,09,03 0,98 0,94 0,90 55,39,3,3,6,0,05,00 0,96 0,9 0,88 57,5,3,5,8,,07,0 0,97 0,93 0,89 0,86 60,6,0,4,08,03 0,99 0,95 0,9 0,88 0,85 6,5,,5,0,05,0 0,97 0,93 0,90 0,87 0,84 65,6,,07,03 0,99 0,95 0,9 0,89 0,86 0,83 67,5,,08,04,0 0,97 0,94 0,9 0,88 0,85 0,83 70,09,06,0 0,99 0,96 0,93 0,90 0,88 0,85 0,83 7,5,07,03,00 0,98 0,95 0,9 0,90 0,88 0,86 0,84 75,04,0 0,99 0,97 0,95 0,9 0,90 0,88 0,86 0,85 l compressione nel puntone digonle Fc Fc / senθ σ c = = b b e l lunghezz di ncorggio delle rmture. Le espressioni di σ c e σ c sono stte clcolte nell ipotesi che l pistr bbi un lrghezz b pri llo spessore dell elemento in c..; quest ipotesi esclude l diffusione dello sforzo di compressione nel pino ortogonle quello del modello S&T. Il rpporto tr le due tensioni di compressione σ c e σ c può essere espresso in funzione dell ngolo θ e del rpporto u/, medinte σ c ( Fc / senθ) b = = = σ b F senθ senθ c c ( ) ed essendo u = senθ + cos θ,

46 596 CAPITOLO 0 Figur 0.45 Andmento delle tensioni σ c e σ c nei due puntoni di un nodo CCT sull ppoggio di estremità l vrire dell ngolo θ. si perviene ll espressione σ σ c c = senθ L verific del nodo è soddisftt se risult mx( σ = senθ u senθ + c, σ c ) σ Rd,mx cos θ Per l lunghezz di ncorggio delle rmture nel nodo si segue qunto riportto nei prgrfi [8.4] Ancorggio dell rmtur longitudinle e [8.6] Ancorggio medinte brre sldte dell EC. Il prospetto 0. riport i vlori del rpporto (σ c / σ c ) l vrire dell ngolo θ e del rpporto (u/ ) tr l ltezz del nodo e l lrghezz dell stess pistr. Si not come per un ssegnto vlore di u/ il rpporto σ c /σ c diminuisce l crescere dell ngolo θ; lo stesso vviene per lo sforzo nel tirnte. Inoltre se si dispone l rmtur del tirnte su più strti, si h un umento si dell ltezz effettiv u del nodo si dell lrghezz del puntone digonle e l tensione σ c si riduce. L figur 0.45 mostr l ndmento del rpporto σ c /σ c l vrire dell ngolo θ per tre diversi vlori del rpporto u/ Nodi CCT con tirnti in un sol direzione e diffusione nel pino ortogonle quello del nodo Un cso prticolre di nodo CCT è rppresentto dgli ppoggi di estremità dotti di pistre di crico l cui lrghezz b è inferiore llo spessore b dell elemento strutturle.

47 θ PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 597 F c/ F c/ F t F c b/ ) b) F / c σ c F / c sez. A A B σ c F c b b u A A σ c F t B c) F c sez. B B Figur 0.46 Nodo CCT con diffusione si nel pino dell elemento strutturle (in bsso destr) si nel pino ortogonle llo spessore (in lto sinistr). d) Quest situzione si può presentre d esempio sull ppoggio di estremità di un trve prete o sotto l pistr di crico di un mensol tozz. In queste situzioni occorre considerre nche l diffusione nel pino ortogonle quello dell elemento strutturle (figur 0.46), dottndo lo stesso modello già descritto l pr L forz di trzione trsversle F t si clcol quindi con il modello S&T mostrto nell figur 0.46, dove il brccio dell coppi intern tr il tirnte ed il puntone orizzontle è ssunt pri ll metà dello spessore; risult: b b F = 4b t F c Le rmture del tirnte F t vnno distribuite su un ltezz pri llo spessore b dell elemento strutturle.

48 θ 598 CAPITOLO 0 F t, F c A θ B O θ C θ D F t, d m Figur 0.47 Nodo CTT con brr piegt Nodi compressi-tesi con tirnti disposti in più di un direzione (CTT) Nei nodi compressi tesi con tirnti disposti in più di un direzione, l tensione di compressione nel clcestruzzo non deve superre il seguente vlore σ 3Rd,mx = k 3 υ' f cd = 0,75 0,83 f cd = 0,6 f cd (per f ck 70 N/mm ) [(6.6)] Un esempio tipico di nodo CTT è quello presente negli ngoli dei portli (d esempio il nodo A nell figur 0.50e). Con riferimento l nodo dell figur 0.47, il puntone h l seguente lrghezz (FIB, 999) = d m sin θ dove d m è il dimetro del mndrino, θ min(θ ; θ ), essendo θ e θ gli ngoli che le rmture formno con il puntone e l tensione σ c nel puntone risult: dove b è lo spessore del nodo. σ c = Per nodi con tirnti ortogonli (θ + θ = 90 ) (fig. 0.48) l tensione di compressione nel clcestruzzo è dt dll seguente espressione σ mx F Fc b mx F t t c = = b d msenθ cosθ b d msenθ cos dove mx F t = mx (F t ; F t ) e senθ cosθ = senθ cosθ, essendo in questo cso θ e θ ngoli complementri. θ

49 θ PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 599 F t, F c A θ B O θ θ D C F t, d m Figur 0.48 Nodo CTT con tirnti ortogonli (θ + θ = 90 ). Quest ultim espressione si ricv immeditmente d quell generle nel seguente modo. Si θ < θ, llor F t = mx F t e Fc = Ft / cos θ = mx Ft / cos θ ; sostituendo quest ultim relzione e l espressione di ( = d m sen θ) in F σ = c c b mx F si ottiene t σ c = b( d msenθ ) cosθ In conclusione per l verific occorrerà controllre che si σ c σ 3Rd,mx, dove σ c è l tensione corrispondente lle zioni di progetto. I rggi di curvtur ed i dimetri dei mndrini devono essere conformi l p.to [8.3], come illustrto nel cp.. Per limitre gli sforzi trsversli di trzione dovuti ll diffusione nel pino ortogonle (ossi nell direzione dello spessore), è bene che l rmtur principle si distribuit uniformemente sullo spessore; in ogni cso eventuli sforzi di trzione trsversli possono essere ssorbiti d pposite rmture (vedi pr ). I nodi con tirnti posti in direzioni ortogonli sono tipici delle trvi (figur 0.49). L ncorggio delle brre longitudinli è essenzilmente grntito dl puntone digonle di clcestruzzo in combinzione con le rmture trsversli (stffe). L lunghezz l b,net del trtto di intersezione tr il puntone e l rmtur flessionle si ssume estes su ogni lto dell rmtur trsversle di non più di 6 volte il dimetro delle brre longitudinli (figur 0.49) (AASHTO, 007). Se le brre trsversli (cioè le stffe verticli che formno il tirnte F t3 nell figur 0.49) sono distribuite su un trtto sufficientemente lungo dell rmtur principle, il nodo è del tipo diffuso e non occorre eseguire l verific. Vicevers qundo le stffe sono molto rvvicinte, l necessità di ncorre grossi sforzi di trzione su un trtto molto breve produce elevti sforzi di compressione nell biell digonle di clcestruzzo.

50 600 CAPITOLO 0 F t3 F c F t φ σ c F t < 6 φ l b,net < 6 φ Figur 0.49 Nodi con tirnti posti in direzioni ortogonli. L ncorggio dell rmtur nei nodi compressi - tesi, come quello su un ppoggio di estremità, inizi sull fcci intern del nodo, figur L lunghezz di ncorggio si estende per l inter lunghezz del nodo ed in certi csi l rmtur può essere ncort dietro il nodo. Indiczioni sugli ncorggi e sulle piegture delle rmture sono contenute i p.ti [8.4] e [8.6], trttti nel cp Incremento di resistenz dei nodi e nodi confinti Le tensioni resistenti di progetto nei nodi possono essere umentte del 0 % se si verific lmeno un delle seguenti condizioni [p.to 6.5.4(5)]:. presenz di compressione trissile,. tutti gli ngoli tr tirnti e puntoni sono mggiori o uguli 55, 3. le tensioni gli ppoggi o in corrispondenz di crichi concentrti sono uniformi ed il nodo è confinto con stffe, 4. le rmture sono distribuite su più strti, 5. il nodo è confinto in modo ffidbile con prticolri dispositivi di ppoggio o per ttrito (EC non fornisce nessun indiczione sul grdo di vincolo richiesto). È il cso di sottolinere come l incremento di resistenz dei nodi nei csi ppen elencti non di nessun beneficio se l resistenz del modello S&T è governt dll resistenz dei puntoni. Per i nodi soggetti d uno stto di compressione trissile, not l distribuzione del crico in tutte e tre le direzioni, si può ssumere come resistenz di progetto quell del clcestruzzo confinto: f = cd, c f ck,c γ C

51 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 60 dove f ck,c = f ck σ, per σ 0, 05 f ck [(3.4)] f ck σ f ck,c = f ck, 5 +, 50 per σ > 0, 05 f ck [(3.5)] f ck essendo σ l tensione di compressione lterle efficce llo SLU. Il prospetto 0.3 fornisce i vlori del rpporto tr l resistenz crtteristic f ck,c del clcestruzzo confinto e quell f ck del clcestruzzo non confinto l vrire di σ /f ck. Si noti come un compressione lterle pri solo il 5% di f ck, fornisc un incremento di resistenz del 5 % rispetto llo stto di compressione monossile. Prospetto 0.3 Rpporto tr l resistenz crtteristic del clcestruzzo confinto e quell del clcestruzzo non confinto l vrire di σ /f ck. σ /f ck 0,05 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,55 f ck,c /f ck,5,375,65,875,5,375,5 In ogni cso l resistenz di progetto del nodo non dovrà superre il seguente vlore mssimo σ =, 5 f [p.to 6.5.4(6)] Rd, mx k 4 υ' f cd = 3 0, 83 f cd = cd 0. Angoli di portli Gli ngoli dei portli sono crtterizzti dll presenz di un discontinuità geometric ssocit ll brusc vrizione dell direzione dell sse: si pss dll direzione orizzontle dell trve quell verticle del pilstro. Ipotizzndo le sezioni del pilstro e dell trve di ugule ltezz ed nlizzndo inizilmente il cso teorico di sol flessione, sull sezione digonle AB del nodo si registrno tensioni normli σ di compressione sul bordo esterno e di trzione su quello interno (fig. 0.50b). Sulle giciture ortogonli d AB si hnno inoltre tensioni normli σ, che sono di compressione se il momento è positivo, ossi se tende d prire il nodo (fig. 0.50c), e di trzione se il momento è negtivo e tende chiudere il nodo. Il segno delle tensioni σ risult evidente se si nlizz lo stto di sollecitzione ttrverso i semplici modelli S&T mostrti nell figur 0.50d e nell figur 0.50f: dll equilibrio dei nodi A e B in direzione AB risult che per M > 0 l st digonle AB è tes (σ > 0), mentre per M < 0 ess risult compress (σ < 0). Per M > 0 il nodo tende rompersi con l formzione di fessure ortogonli d AB (figur 0.50e), pertnto occorre disporre un idone stfftur prllel d AB. Tuttvi quest rmtur non è in grdo di trttenere nche il clcestruzzo del copriferro sul bordo esterno del nodo, che per elevti sforzi di compressione, ossi vlori elevti del momento flettente, può stccrsi (figur 0.5). Per questo motivo, qundo si progett un nodo soggetto momento positivo, nelle verifiche è consiglibile trscurre il clcestruzzo del copriferro.

52 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE Angoli di portli soggetti momenti flettenti negtivi In presenz di momento flettente negtivo e per ltezze delle sezioni dell trve e del pilstro prgonbili (/3 < h /h < 3/), lo stto di sforzo del nodo può essere nlizzto con il modello S&T dell figur 0.5. Se tutt l rmtur tes è piegt intorno ll ngolo, non è necessrio verificre le rmture di collegmento (stffe) o le lunghezze di ncorggio ll interno del nodo. Il modello rppresent un ffinmento di quello dell figur 0.50f: il puntone digonle AB è inftti scomposto in due puntoni per seguire meglio l ndmento dell rmtur tes. Nello scrivere le equzioni di equilibrio occorre considerre nche il tglio nell trve, nonché lo sforzo normle ed il tglio nel pilstro. Il tglio nell trve e lo sforzo normle nel pilstro compiono insieme gli sforzi F t e F c nell equilibrio ll trslzione verticle, mentre il tglio nel pilstro compre insieme F t e F c nell equilibrio ll trslzione o- rizzontle. Figur 0.5 Modello ed rmtur di un nodo trve-pilstro con /3 < h /h < 3/ soggetto momento negtivo [Figur J.]. Se le ltezze delle sezioni dell trve e del pilstro sono molto diverse, il modello ppen descritto non è pplicbile, perché l ngolo tr il puntone digonle e il tirnte verticle risulterebbe eccessivmente piccolo. Il modello v pertnto modificto come indicto nell figur 0.53b e nell figur 0.54, ffinché l ngolo θ non si superiore 45. In prticolre l EC nell ppendice J [p.to J..(3)] rccomnd vlori di tn θ compresi tr 0,4 e, ossi ngoli θ compresi tr,8 e 45. Si f osservre che i trlicci S&T per il progetto di ngoli di portli soggetti momenti flettenti negtivi sono gli stessi di quelli che si utilizzno per il progetto delle mensole tozze. Inftti lo stto di sforzo può essere nlizzto considerndo il nodo ll stregu di un mensol verticle incstrt nell sezione del pilstro post filo trve e crict sull estremo libero dll forz concentrt trsmess dll rmtur tes dell trve (figur 0.55).

53 604 CAPITOLO 0 F t θ 45 F t z F t3 = F t z θ>45 F c θ F c z z ) b) F t F c F t F c Figur 0.53 Modello S&T di un nodo soggetto momento flettente negtivo con h trve >> h pil : ) modello non ccettbile per l eccessiv mpiezz dell ngolo θ e l piccol mpiezz dell ngolo tr il puntone digonle e l rmtur tes del pilstro; b) modello corretto. ) b) Figur 0.54 Modello S&T di un nodo con h trve >> h pil soggetto momento flettente negtivo () e reltiv disposizione di rmtur (b) [Figur J.b].

54 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 605 h F F t z c=f t F F t c TRAVE h M h z z F t TRAVE F c h z F t MENSOLA F t z M F c F t F c PILASTRO PILASTRO F t z F t TRAVE h M T h z F t F t MENSOLA z TRAVE h z F c=f t F c h Fc z F t F c F t F c M PILASTRO PILASTRO Figur 0.55 Modelli S&T per ngoli di portli soggetti momenti flettenti negtivi: nlogi con i modelli S&T di mensole tozze. 0.. Angoli di portli soggetti momenti flettenti positivi 0... Angoli di portli soggetti moderti momenti flettenti positivi (A s / bh %) In presenz di moderti momenti flettenti positivi, lo stto di sforzo dell ngolo di un portle può essere determinto con riferimento l trliccio dell figur 0.56, dove per sezioni dell trve e del pilstro di ugule ltezz, le rmture inclinte formno un ngolo di 45 con l orizzontle 6. In quest ipotesi lo sforzo in ciscun delle due rmture inclinte è pri llo sforzo nell rmtur tes dell trve e del pilstro (ssunte uguli) divis per : F t / 0,7 F t. 6 In reltà, nche se le sezioni dell trve e del pilstro hnno l stess ltezz, non è detto che i brcci delle coppie interne sino gli stessi, dipendendo questi ultimi nche dll profondità dell zon compress di clcestruzzo.

55 606 CAPITOLO 0 Figur 0.56 Angoli di portli soggetti moderti momenti flettenti positivi: ) modello S&T, b) e c) dettgli costruttivi dell rmtur [Figur J.3]. Le rmture possono essere disposte come mostrto nell figur 0.56b e c, ossi conformte cppio oppure come due brre U sovrpposte in combinzione con stffe inclinte Angoli di portli soggetti d elevti momenti flettenti positivi (A s / bh %) Per vlori elevti del momento flettente positivo, si può fre riferimento l trliccio dell figur 0.57, che present un tirnte digonle F t3. Questo tirnte ttrvers le stffe dell trve e del pilstro fino i correnti compressi dell trve e del pilstro, quindi le stffe grdulmente devino lo sforzo di compressione nei correnti già prim dell regione nodle; per questo motivo occorre rinforzre in modo deguto le regioni di estremità di trve e pilstro dicenti l nodo. Il trliccio si può costruire con i seguenti pssi: si sceglie l posizione dell st orizzontle -; si trcci l st -4 inclint di 45 che ssorbe le trzioni presenti sullo spigolo interno; dl nodo si mnd l bisettrice dell ngolo ˆ 4 fino d incontrre il tirnte orizzontle in 5; infine d 5 si trcci il tirnte inclinto di 45 fino d incontrre in 3 l st -3 inclint di α (scelto pri 6,5 nell figur 0.57) rispetto ll verticle. Si possono infine trccire le ltre ste del trliccio tenendo conto dell simmetri rispetto l pino bisettore del nodo. In presenz di solo momento flettente si h F c = F t e dll equilibrio del nodo risult: F t = F c tn 6,5 = F t tn 6,5 0,3 F t C 3 = F c / cos 6,5 = F t / cos 6,5,043 F t (sforzo nel puntone -3) Pssndo poi scrivere l equilibrio del nodo nell direzione -5 dell bisettrice dell ngolo 4, si ricv: F t3 = F t = 0,3 F t infine per determinre il vlore dello sforzo nel tirnte 3-5 è sufficiente scrivere l equilibrio del nodo 3 nell direzione 3-5: F t = C 3 cos 6,5 = F t cos 6,5 / cos 6,5 0,5 F t

56 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 607 6,5 F c 6,5 6,5 3 F t 5 F t 4 F t3 z F t C 3 67,5 F t 45,5 6,5 F c F t nodo F c z F t C 5 F t nodo F t3 Figur 0.57 Angolo di portle soggetto d elevto momento flettente positivo: modello S&T (in lto) e possibili disposizioni delle rmture (in bsso) [Figur J.4] Efficienz dei nodi soggetti momenti flettenti positivi L efficienz di un nodo è definit come il rpporto tr il momento resistente del nodo ed il momento resistente degli elementi trve e pilstro - che vi convergono. Sperimentlmente i nodi con le rmture del tipo mostrto nell figur 0.58 esibiscono un momento resistente pri quello dell trve senz deformrsi eccessivmente. In questi nodi le rmture tese dell trve e del pilstro sono dotte di uncini che confinno tutto il nodo e sono inoltre presenti brre digonli. Secondo lo schem visto l pr (fig. 0.57) lo sforzo nelle rmture digonli è pri ll metà di quello nelle rmture longitudinli dell trve. Le brre digonli limitno l mpiezz dell fessur digonle sullo spigolo interno e ne rllentno l propgzione ll interno del nodo. Vicevers i nodi dotti delle rmture mostrte nell figur 0.58b e c hnno un bss efficienz: per rpporti geometrici di rmtur dell trve dell ordine dell % sono in grdo di trsmettere solo il 5 35 % del momento resistente (Nilsson & l., 976).

57 608 CAPITOLO 0 ) b) c) Figur 0.58 Efficienz dell ngolo di un portle soggetto momento flettente positivo in funzione dell tipologi di rmtur: ) 00 %, b) e c): 5 35 %. 0. Esempi 0.. Esempio Trve prete su due ppoggi soggett crico uniformemente distribuito di 80 kn/m Si progetti un trve prete di dimensioni mm, soggett d un crico uniformemente distribuito di 80 kn/m, d intendersi come crico di progetto llo SLU comprensivo del peso proprio dell prete. L trve poggi su due pilstri di mm; il clcestruzzo è di clsse C5/30 e l cciio è del tipo B450C. Mterili: clcestruzzo C5/30 f ck = 5 N/mm, cciio B450C f yk = 450 N/mm Resistenz di progetto del clcestruzzo 0, 85 f ck 0, 85 5 f cd = = = 47, 5, 5, Resistenz di progetto dell cciio f yk 450 f yd = = = 393, N/mm 5, 5, N/mm Resistenz compressione nodi Dl prospetto 0.0 si hnno le seguenti resistenze per i nodi: nodi CCC: σ Rd, mx =,76 N/mm nodi CCT: σ Rd, mx = 0,00 N/mm nodi CTT: σ 3 Rd, mx = 8,8 N/mm Definizione dell geometri del modello S&T Come già nticipto l pr , il Model Code 990 (6.8..) suggerisce di dottre un brccio dell coppi intern pri 0,6 0,7 volte l luce dell trve, m non superiore l brccio di lev di un trve snell con l stess luce: (0,6 0,7) L 0,67 H. Nel presente cso si h: L = 8000 mm (lunghezz totle), L = 7500 mm (distnz tr gli ssi dei pilstri), H = 5500 mm, (0,6 0,7) L = ( ) mm, 0,67 H = 3685 mm.

58 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 609 ql/ ql/ C3 θ C nodo C3 θ T nodo 3 C R C C3 θ 750 C C C3 T 50 R 7500 R 50 ql/ ql/ 8000 Figur 0.59 Modello S&T dell trve prete. Si dott: z = 3500 mm ( 0,64 H), cui corrisponde un quot del puntone C, misurt dll intrdosso dell trve, pri : = 3600 mm. Rezioni dei pilstri Risult: R = q L / = 80 8,00 / = 0 kn Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio (cfr. prospetto 0.7) Equilibrio nodo C = q L = 0 kn Equilibrio nodo 3 R 3500 C 3 = = 5 kn dove θ = rctg = 63, 43 45, senθ 750 R T = C3 cos θ = = 560 kn tn θ Equilibrio nodo C = C3 cos θ = T = 560 kn

59 60 CAPITOLO 0 Progetto del tirnte Le rmture del tirnte inferiore vengono disposte su un ltezz pri 00 mm; è necessrio dottre un re di cciio non inferiore : T As = = 43 mm f yd 393, si dottno 6φ8 = 54 mm disposti su tre file. Verific del nodo 3 sull ppoggio sinistro L geometri del nodo è univocmente definit dll lrghezz del pilstro, dllo spessore dell prete (300 mm), dll ltezz del trtto sul qule sono distribuite le rmture inferiori e dll inclinzione del puntone C 3. Il nodo 3 è un nodo compresso-teso con rmture ncorte in un sol direzione (nodo CCT), pertnto occorre verificre che l mssim compressione nel clcestruzzo non superi il vlore σ Rd, = mx 0,00 N/mm con riferimento ll figur 0.60 risult 0000 σ c = = 7, 47 N/mm σ Rd, mx σ c = = 7, 78 N/mm 300 Rd, mx ( 00 cos θ senθ) dove 00 mm è l ltezz u del nodo, tenuto conto del numero e dell intersse verticle delle rmture longitudinli. Osservzione. Clcolt l tensione σ c, un stim pprossimt dell tensione σ c si può ottenere utilizzndo il prospetto 0.; per u/ = 00/500 = 0,4 e per θ = 6,5 si h: σ c / σ c =,05 σ c =,05 7,47 = 7,84 N/mm questo vlore è leggermente mggiore di quello clcolto sopr, perché reltivo d un vlore dell ngolo θ di poco inferiore quello effettivo di 63,43. Armtur minim sulle due fcce dell trve prete Al p.to [9.7] EC rccomnd di prevedere su ciscun fcci un rete di rmture ortogonli, con un sezione minim pri A s,dbmin = 0,00 A c, m non minore di 50 mm²/m in ogni direzione. L distnz s tr due brre dicenti dell rete deve rispettre l seguente limitzione: s min( t; 300 mm) dove t è lo spessore dell trve prete. Nel presente cso si h A s,dbmin = 0,00 A c = 0, = 300 mm /m > 50 mm²/m si dott un rete φ 8 / 50 = 333 mm / m su ciscun fcci Le rmture sulle due fcce sono inoltre collegte d legture trsversli, per il progetto delle quli si possono seguire le regole vlide per le preti (vedi pr...5.3). σ

60 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE C σ c T 00 cosθ 500 senθ 00 θ 50 ql/ σ c Figur 0.60 Nodo 3. legture Ø8/50 su entrmbe le fcce rmtur tirnte inferiore (A oppure B) rmtur tipo A 3Ø8 3Ø8 OPPURE rmtur tipo B 3Ø8 moiett 3Ø8 moiett Figur 0.6 Schem delle rmture dell trve prete. Per grntire l equilibrio del nodo, le rmture dei tirnti devono essere totlmente ncorte l di là dei nodi rilzndo le brre, utilizzndo piegture d U o dispositivi di ncorggio, meno che non si disponibile l lunghezz di ncorggio l bd tr il nodo e l estremità dell trve. Nel presente cso le brre del tirnte inferiore non possono essere ncorte in rettilineo perché non c è lo spzio necessrio; quest soluzione srebbe d esempio pplicbile se i pilstri fossero spostti verso l interno invece di essere llineti con i fili esterni dell trve. Di conseguenz occorre dottre brre conformte d esempio come in figur 0.6, ossi brre dotte di un gncio U oppure brre diritte sovrpposte moiette.

61 6 CAPITOLO Esempio Trve prete su due ppoggi soggett crico uniformemente distribuito di 380 kn/m Si ripet il progetto dell trve prete dell Esempio in presenz di un crico di progetto llo SLU di 380 kn/m. Tutte le grndezze risultno incrementte del coefficiente 380/80,36; in prticolre lo sforzo nel tirnte vle T = 560, kn e quindi il quntittivo di cciio richiesto risult pri A s = 94 mm 393, si dottno 8φ8 = 03 mm disposti su quttro file. Per qunto rigurd l verific del nodo 3, risult: , σ c = = 05, N/mm > σ Rd, mx = , σ c = 05, N/mm > Rd, mx ( 50 cos θ senθ) dove nel clcolo di σ c è stt ssunt un ltezz u del trtto di diffusione delle rmture di 50 mm e non di 00 mm, essendo presente uno strto di rmtur in più rispetto ll Esempio. Si l tensione σ c si l tensione σ c sono superiori ll resistenz di progetto σ Rd,mx. Affinché risulti σ c σ Rd,mx si potrebbero distribuire gli strti di rmtur su un ltezz mggiore, m il problem rimrrebbe per σ c, meno di non umentre l lrghezz dell sezione del pilstro. Tuttvi, essendo tutti gli ngoli tr i puntoni ed i tirnti mggiori di 55 (θ = 63,43 ), si può incrementre del 0% l resistenz dei nodi [p.to 6.5.4(5)] (vedi pr ). All luce di questo ftto, l verific si può ritenere soddisftt senz pportre nessun modific ll geometri del nodo Esempio 3 Plinto tozzo di un pilstro sezione qudrt Si progetti l rmtur di un plinto tozzo ( mm) di un pilstro sezione qudrt di mm; il pilstro si soggetto d uno sforzo normle di 400 kn (G k = 80 kn, Q k = 0 kn). Si consideri si il cso con eccentricità null si quello con eccentricità pri 0,5 m o 0,0 m. I mterili sono i seguenti: clcestruzzo di clsse C5/30 ed cciio B450C. Crichi: permnenti: G k = 80 kn (tutti i permnenti non strutturli si ipotizzno compiutmente definiti e pertnto d essi si pplic lo stesso coefficiente di sicurezz γ G =,3 dei permnenti strutturli), vribili: Q k = 0 kn σ

62 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE h =50 h = Figur 0.6 Plinto tozzo. Crico di progetto: F d =,3 G k +,5 Q k = 544 kn Mterili: clcestruzzo: f ck = 5 N/mm cciio: f yk = 450 N/mm Cso : eccentricità null (sforzo normle centrto) N = F d = 544 kn Se si mmette che il peso proprio e l rezione del terreno si compensino reciprocmente, l pressione di conttto d utilizzre per il clcolo degli sforzi interni è quell prodott solo d N p = N / A bse = 544 /,5 = 4 kn/m = 0,4 N/mm ; l distnz del bricentro dell rmtur orizzontle dl lembo inferiore è pri 50 mm 7. Geometri del trliccio L figur 0.63 mostr il trliccio S&T spzile del plinto soggetto l solo crico verticle N. Indict con l dimensione comune dei lti del pilstro, i vertici superiori dei quttro puntoni inclinti distno in pint /4 dlle fcce del pilstro e in ltezz /4 dll sezione di bse del pilstro. I vertici inferiori sono posti ll stess quot delle rmture inferiori e distno b/4 d tutti e quttro gli spigoli dell bse del plinto (b è il lto di bse del plinto). Il trliccio spzile può essere scomposto in due trlicci pini disposti secondo le digonli del plinto (fig. 0.63b), soggetti ciscuno ll metà del crico verticle. Gli sforzi nei quttro puntoni inclinti, uguli tr di loro, risultno pertnto pri : C,,3,4 = (N/4) / senθ dig dove θ dig è l ngolo di inclinzione dei quttro puntoni rispetto l pino orizzontle. 7 Il copriferro minimo per un plinto di fondzione è pri 40 mm (vedi cp. 3); dottndo per le brre inferiori un dimetro non superiore 0 mm, l distnz minim tr il bricentro delle brre e l bse del plinto non srà inferiore = 50 mm.

63 64 CAPITOLO 0 4 x (N/4) A B C C C 4 b/4 b/ b/4 z y x C 3 B b/4 b/ b/4 ) A SEZ. A A x (N/4) x (N/4) / /4 SEZ. DIAGONALE θdig N/4 /4 N/4 C C3 z b) d b / 4 b / b / 4 b 7 3 c) h x C + C proiezione di θ b/4 b/4 b/4 C + C b SEZ. B B 4 d z proiezione di C + C 4 x (N/4) x (N/4) / proiezione di d) z /4 3 proiezione di C + C 3 h h x y T y C y θ y C C x T x C 4 45 d b/4 b/4 b/4 b e) 8 4 Figur 0.63 Modello S&T di un plinto tozzo con crico centrto.

64 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 65 Lo sforzo di trzione nelle rmture si ottiene proiettndo sul pino orizzontle gli sforzi nei puntoni inclinti e scomponendo le proiezioni nelle due direzioni x e y. Per esempio con riferimento l puntone C, indict con C l su proiezione sul pino orizzontle (fig. 0.63c), si h: N/ 4 ( C cosθ ) cos 45 = cos T ' x = T ' y = C' cos 45 = dig 45 tn θdig ed essendo risult tn T ' x θ dig = T ' y = z 4z ( b ) ( b ) N = 4 4 = ( b ) N( b ) 4 z = 6 z Lo sforzo complessivo T x nelle rmture poste in direzione x (tirnti 5-8 e 6-7 in figur 0.63c) si ottiene quindi moltiplicndo per due il risultto ottenuto ( b ) N Tx = T' x = 8 z e lo stesso risultto vle per lo sforzo complessivo T y nei tirnti 5-7 e 6-8 in direzione y. Allo stesso risultto si perviene più semplicemente se si considerno i trlicci delle figure 0.63d ed e, ottenuti proiettndo le ste del trliccio spzile sulle sezioni A-A e B-B prllele i lti del plinto. Questi trlicci consentono un clcolo rpido degli sforzi nelle rmture, inftti dll equilibrio ll rotzione (fig. 0.64) si h: N ( b ) T = Tx = Ty = 4z m i puntoni che vi compiono sono fittizi, essendo solo le proiezioni dei puntoni effettivi del trliccio spzile. Tutto ciò premesso si pss l progetto delle rmture del plinto, con riferimento l modello S&T pino dell figur Geometri del trliccio pino Si divide lo sforzo N in due prti uguli, che vengono pplicte in modo simmetrico distnz /4 dll sse del pilstro, dove è il lto del pilstro. I nodi e 3 sono posti sull rett di zione delle due forze N/ e distno /4 dll estrdosso del plinto (fig. 0.64). Il brccio di lev e l inclinzione delle bielle C rispetto ll orizzontle vlgono z = d / 4 = = 55 mm = rctn z 55 θ = = 60 (b )/ 4 ( )/ 4, 5 Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio Equilibrio nodo N/ C = senθ 33 kn

65 66 CAPITOLO h =50 h =400 C 75 /4=75 N/ N/ T C 3 75 θ 60 C N/ 375 N/ b/4= b= z=55 d=600 (b/4 /4)=300 N/ ) b) C N/ 60 θ b/4=375 /4=75 Figur 0.64 Modello S&T ottenuto sezionndo indifferentemente secondo A-A o B-B il plinto; il tirnte T rppresent lo sforzo T x se si consider l sez. A-A e lo sforzo T y se si consider l sez. B-B. C T z=55 N/ T = tn θ = Equilibrio nodo 55 kn C = C cos θ = T = 55 kn Progetto del tirnte È necessrio dottre un re di cciio non inferiore T As = = 396 mm f yd 393, si dottno 4φ = 45 mm. Essendo T = (N/) / tn θ e tn θ = z / [(b-)/4], l re del tirnte può essere espress nche nell seguente form A s T N/ N = = 0, 5 f tn θ f z f yd Cso b: eccentricità e = 50 mm N = F d = 544 kn yd ( b-) yd M = N e = 544 0,5 = 36 knm Essendo e = b/6, l pressione di conttto sul terreno h un ndmento tringolre con vlore mssimo pri p mx = N / A bse + M / W bse = 544 /, / (,50 3 / 6) = 484 kn/m = = 0,484 N/mm come sopr l distnz del bricentro dell rmtur orizzontle dl lembo inferiore è pri 50 mm.

66 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 67 M N 650 h =50 h =400 e=50 c+φ +φ / st l dn d N N N N C x θ' T C θ b=500 x θ C π θ y p mx R R (/3)b=000 Figur 0.65 Modello S&T per plinto con crico eccentrico (e = b/6). Geometri del trliccio L risultnte N delle compressioni nell sezione di bse del pilstro è post distnz 0,4 x dl lembo compresso dell stess sezione, dove x è l profondità dell sse neutro rottur. L posizione dell risultnte delle trzioni N è invece quell del bricentro delle rmture tese nel pilstro: queste rmture distno c + φ st + φ l / dl lembo teso dell sezione, dove c è il copriferro, φ st il dimetro delle stffe e φ l il dimetro dei ferri longitudinli. L rett di zione del crico eccentrico N divide il digrmm delle pressioni di conttto sul terreno in due prti di risultnti R e R. Il nodo e il nodo 3 sono individuti dll intersezione delle rette di zione di R e R con l sse del tirnte inferiore T ; il nodo del trliccio si colloc sull rett di zione di N (risultnte delle compressioni nell sezione di incstro del pilstro) profondità /4 dll sezione di bse del pilstro; infine il nodo 4 è dto dll intersezione dell rett di zione di N (risultnte delle trzioni nelle rmture tese del pilstro) con il tirnte inferiore T. Come per il cso di sforzo normle centrto, vendo posto il nodo distnz /4 dll estrdosso del plinto, il brccio di lev risult z = 55 mm. Clcolo dell posizione di N Per il pilstro si ipotizz un copriferro di 5 mm, che sommto l dimetro delle stffe e dei ferri verticli, fornisce un distnz del bricentro dei ferri verticli dll fcci più vicin di 4 mm ( /). L ltezz utile dell sezione del pilstro è pertnto pri

67 68 CAPITOLO 0 59 mm e l forz N si colloc ll distnz d N = (50 4) = 09 mm dll sse del pilstro. Clcolo dell posizione di N Si suppone che il pilstro si dotto di rmtur verticle simmetric costituit d 4φ6 (un brr per ogni spigolo) e di stffe φ8/00. Si clcol l posizione dell sse neutro rottur imponendo l equilibrio ll trslzione lungo l sse del pilstro; si utilizz il digrmm rettngolre ( stress-block ) per l distribuzione delle tensioni di compressione nel clcestruzzo e si ipotizz che entrmbi gli ccii sino snervti (0,8 x) f cd + A' s f yd A s f yd = N x = N / (0,8 f cd ) = / (0, ,85 5 /,5) = 60 mm x/d = 60 / 59 = 0,6 < 0,64 cciio teso snervto 8 si può verificre fcilmente che nche l cciio compresso è snervto, come ipotizzto nell equzione di equilibrio. L risultnte delle compressioni nel clcestruzzo vle: N,cls = 0,8 x f cd = 0, ,7 = 5448 N 9 mentre l risultnte delle trzioni nelle rmture vle N = A s f yd = ,3 = 5650 N che coincide nche con l risultnte N,cc delle compressioni nell cciio compresso. Si h infine: N = N,cls + N,cc = = N Il momento resistente vle 0 M Rd = (0,8 x) f cd (h/ 0,4x) + A' s f yd (h/ d') + A s f yd (d h/) = = 0, ,7 (50 0,4 60) ,3 (50 4) ,3 (59 50) = Nmm 80,9 knm L risultnte delle compressioni nel clcestruzzo N,cls dist 0,4x = 64 mm dl bordo compresso, mentre quell nell cciio compresso N,cc dist 4 mm; pertnto l risultnte delle compressioni N dist dl lembo compresso ( ) / ( ) 59 mm e l su distnz dll sse del pilstro è pri d N = (50 59) = 9 mm. 8 Il rpporto x/d è pri 0,64 qundo il clcestruzzo ttinge l su deformzione ultim del 3,5 e l cciio l su deformzione l limite di elsticità (ε el =,96, per f yd = 39,3 N/mm ed E s = N/mm per il modulo di elsticità dell cciio è stto dottto il vlore suggerito dll EN99-- l p.to 3..7(4); le NTC 008 l pr indicno invece un vlore di E s pri 0000 N/mm, cui corrisponde un deformzione l limite di elsticità ε el =,86 ). 9 N,cls dovrebbe essere coincidente con N = 544 kn (essendo A s = A' s ed entrmbi gli ccii snervti); l piccol differenz è dovut lle pprossimzioni di clcolo. 0 Si ricord che in presenz di sforzo normle il momento resistente v vlutto con riferimento l bricentro geometrico dell sezione di clcestruzzo.

68 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 69 Clcolo dell posizione di R e R R è l risultnte del blocco tringolre di pressioni di conttto posto destr dell rett di zione del crico N R = [(/3 b) (/3 p mx ) b] / = [000 (/3 0,484) 500] / = 4000 N = 4 kn L rett di zione di R è post (4/9 b) dllo spigolo destro y = 4/9 b = 667 mm e ll distnz x dll rett di zione di N x = (/3 b) y = = 333 mm L risultnte R vle R = N R = = 30 kn e l su rett di zione può essere determint dll equilibrio ll rotzione intorno d un punto posto sull rett di zione del crico N (fig. 0.65) R x = R x d cui: x = (R / R ) x = (4 / 30) 333 = 67 mm Le distnze di R e R dll sse del pilstro vlgono, rispettivmente d R = (x + e) = = 57 mm d R = (x e) = = 83 mm Clcolo dell inclinzione delle bielle L inclinzione dell biell C rispetto ll orizzontle vle = z 55 θ' rctn = rctn = 50,94 > d R d N mentre per le bielle C e C 3 si h: = z 55 θ'' rctn = rctn = 7,66 > d R d N = z 55 θ''' rctn = rctn = 69,4 > d N d N Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio Equilibrio nodo R C = = 389 kn senθ' R T = = 45kN (sforzo nel tirnte nel trtto -) ( ) tnθ' Equilibrio nodo 4 N C 3 = = 67 kn senθ''' N T 3 4 = = 60kN (sforzo nel tirnte nel trtto 3-4) ( ) tnθ'''

69 60 CAPITOLO 0 Progetto del tirnte Per il tirnte T è necessrio dottre un re di cciio non inferiore : A T = ( - ) = 66 mm si dottno 6φ = 678 mm. s f yd 393, Per il progetto delle rmture nel pino ortogonle quello di flessione, si dott lo stesso modello S&T simmetrico utilizzto per il cso di eccentricità null. L figur 0.66 mostr l disposizione schemtic delle brre di rmtur nel plinto. rmture superiori di chiusur pos. C (l centro) rmture di ripres pilstro rmture inferiori pos. A rmture inferiori pos. B pos. C pos. B rmture inferiori pos. A (l centro) rmture inferiori pos. B (i lti) Figur 0.66 Disposizione schemtic delle rmture nel plinto di fondzione. Cso c: eccentricità e = 00 mm Questo cso è simile l precedente; l unic differenz significtiv è rppresentt dll form del digrmm delle pressioni di conttto sul terreno che invece di essere tringolre è trpezi. Ci si limit pertnto riportre nell figur 0.67 lo schem del trliccio resistente, essendo il procedimento di clcolo ugule quello del cso e=50 mm. M N 650 h =50 h =400 e=00 c+φ +φ / st l d d N N N N N C x T C 3 C b=500 x 4 3 y R R Figur 0.67 Modello S&T di plinto con crico eccentrico (e < b/6).

70 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE Esempio 4 Plinto di fondzione su quttro pli Identificre il modello S&T per il plinto di fondzione su pli mostrto nell figur 0.68, soggetto d un crico verticle N Ed e d un momento M Ed ; determinre inoltre gli sforzi nelle ste del trliccio. Si suppone che il trsferimento delle zioni del pilstro vveng secondo il seguente schem: le zioni trsmesse dl pilstro sono trsferite nel pino π (figur 0.68) fino i pini π e π 3 d esso ortogonli e pssnti per i pli. Il trsferimento delle forze prosegue quindi ll interno di ciscuno dei pini π e π 3 fino i pli; il trliccio tirnti-puntoni indicto nell figur 0.69 è reltivo l trsferimento nel pino π, mentre quelli nell figur 0.70 i pini π e π 3. Con riferimento l trliccio nel pino π e nell ipotesi che si M Ed / L > N Ed /, si h: compressione: A' = (M Ed / L + N Ed /), trzione: B' = (M Ed / L N Ed /), d cui: su ogni plo compresso: A = A'/; su ogni plo teso: B = B'/ Di seguito si riportno le espressioni degli ngoli indicti nelle figure 0.69 e 0.70: θ = rctg (h / e) nel pino π, θ = rctg (h / f) nel pino π, θ 3 = rctg (h / l) nel pino π 3. Il prospetto 0.4 riport le espressioni degli sforzi nei tirnti, in funzione degli ngoli θ, θ e θ 3 e delle forze A, A', B e B' nei pli. L figur 0.7 mostr l disposizione schemtic delle rmture. Prospetto 0.4 Forze nei tirnti dei modelli S&T del plinto su quttro pli. Tirnte Forz T 0 F s () T T T 3 T 4 T 5 T 6 A' / tn θ = A' e / h B' / tn θ = B' f / h A A / tn θ 3 = A l / h B / tn θ 3 = B l / h B () F s = forz di trzione nelle rmture del pilstro M Ed e N Ed indicno i moduli (senz segno) del momento flettente e del crico verticle.

71 6 CAPITOLO 0 π φ L φ π A =A+A π 3 L φ φ c c p B =B+B π p Figur 0.68 Plinto di fondzione su pli. MEd N Ed π F c b F c s π 3 d e θ T T 0 T f θ i h g A B π L π 3 Figur 0.69 Modello S&T nel pino π.

72 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 63 pino π pino π 3 l m g l T 5 θ 3 T 3 T 4 T 3 h T 6 θ 3 T T 0 0 T6 i A A B B Figur 0.70 Modelli S&T nel pino π e nel pino π 3. rmture plo (T 6 ) rmture plo (T 6 ) rmture pilstro (T ) 0 (T 3) SEZIONE SUL PIANO Π 3 SEZIONE SUL PIANO Π (T ) (T ) (T ) 5 (T ) 4 (T ) 5 (T ) 4 ARMATURE SUPERIORI ARMATURE INFERIORI Figur 0.7 Disposizione schemtic delle rmture nel plinto su quttro pli.

73 64 CAPITOLO Esempio 5 Sell Gerber Definire il modello S&T di un sell Gerber ed indicre l disposizione delle rmture. Per il progetto di un sell Gerber si possono considerre due diversi modelli S&T, che eventulmente possono essere combinti tr loro [p.to ()]: un modello ) con rmtur di sospensione verticle (fig. 0.7) ed un modello b) con rmtur inclint (fig. 0.7b). Sebbene l EC lsci l possibilità di utilizzre nche solo uno dei due trlicci e quindi un sol delle due disposizioni di rmtur, il progetto con uno solo dei due modelli non risult soddisfcente. Inftti se si utilizz solo il trliccio ) occorre prevedere un rmtur longitudinle superiore ll qule ncorre il tirnte verticle 3-4 dell figur 0.7, nonché ggiungere le rmture di confinmento del puntone inclinto C. Se vicevers si utilizz il modello b) si lsci completmente privo di rmture il bordo inferiore dell sell, il cui comportmento risult pertnto crente in esercizio. Il progetto delle rmture può essere eseguito più correttmente combinndo tr loro i due trlicci, ffidndo per esempio ciscuno il 50 % dell rezione dell sell. h z R 3 C θ 4 T θ C3 T 45 C C5 45 T3 A C4 A ) z h C 4 h z C T C 3 z h Rb b) T Figur 0.7 Modelli S&T di un sell Gerber.

74 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 65 Trliccio ) Si indic con R l liquot dell rezione dell sell che viene ssegnt l trliccio ); si ribdisce che R può coincidere con tutt l rezione R dell sell, se si f riferimento solo l trliccio ), oppure d un liquot (normlmente il 50%) se si us un combinzione del trliccio ) con il trliccio b). Definizione dell posizione delle ste del trliccio L posizione del corrente compresso è not un volt determinto il momento resistente dell sezione dell trve; ess si ricv inftti considerndo il bricentro dell risultnte delle compressioni nel clcestruzzo e nell rmtur superiore compress. Gli ltri dti geometrici del problem si ricvno con semplici clcoli trigonometrici. Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio ) Equilibrio nodo C = R / sen θ T = R / tn θ Equilibrio nodo C + = T cos θ C3 cos 45 C senθ = C3sen45 d cui: R C = T / ( senθ + cos θ ) = tn θ( senθ + cos θ ) Rsenθ / sen45 R C3 = Csenθ / sen45 = = tn θ Equilibrio nodo 3 Rsenθ T = Csenθ + Csenθ = R + tn θ = R + Equilibrio nodo 4 C 4sen45 + C3sen45 = T d cui C4 = T /sen45 C3 e sostituendo i vlori di C 3 e T R R C4 = R + = tnθ( + cotgθ ) tnθ( + cotgθ ) R ( senθ + cosθ ) tn θ ( + cotgθ ) ( senθ + cosθ ) tn θ ( + cotgθ ) R L espressione di C 4 può essere ricvt direttmente nche dll equilibrio ll trslzione verticle sull sezione di Ritter A-A: C 4 sen 45 = R d cui: C 4 = R.

75 66 CAPITOLO 0 infine T 3 = C3 cos 45 + C4 cos 45 = tnθ = tn θ R + R ( + cotgθ ) R ( + cotgθ ) + R Il prospetto 0.5 riepilog le espressioni degli sforzi nelle ste del trliccio ). = 3 Prospetto 0.5 Sforzi nelle ste del trliccio ) dell sell Gerber C R / sen θ C R / [tn θ (sen θ + cos θ )] C 3 R / [tn θ ( + cotg θ )] C 4 R T R / tn θ T R + R / [tn θ ( + cotg θ )] T 3 R + R / [tn θ ( + cotg θ )] Trliccio b) Si indic con R b l liquot dell rezione dell sell che viene ssegnt l trliccio b). Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio b) Equilibrio nodo ' C' = R b Equilibrio nodo ' T' sen45 = C' d cui T' = C' = C' = T' cos 45 = R b Equilibrio nodo 3' T' sen45 = C' 3sen45, C' 3 = T' = Rb R b T' = T' cos 45 + C' 3 cos 45 = R b = R b. Il prospetto 0.6 riepilog le espressioni degli sforzi nelle ste del trliccio b). 3 T 3 = T per l equilibrio nell direzione degli ssi dei puntoni C 3 e C 4.

76 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 67 Prospetto 0.6 Sforzi (in modulo) e dimensioni delle ste del trliccio b) dell sell Gerber. C ' C ' C ' 3 T ' T ' R b R b R b R b R b rmture superiori pos. D rmture confez. pos. A moiette pos. E stffe pos. G stffe pos. F rmture U pos. A pos. E pos. G pos. A pos. A pos. B (eventule) pos. F pos. C pos. B rmture inferiori pos. C Figur 0.73 Disposizione schemtic delle rmture nell sell Gerber. Se il progetto è eseguito con riferimento l solo trliccio ), l rmtur inclint (pos. B) non è necessri Esempio 6 Brusc vrizione dell intrdosso di un trve infless Identificre il modello tirnti tirnte-puntone in corrispondenz di un brusc vrizione dell intrdosso di un trve infless. Il modello S&T per l nlisi dell regione D corrispondente d un brusc vrizione dell intrdosso di un trve infless, con umento di sezione e soggett momento flettente positivo e tglio positivo, coincide con il primo dei due modelli utilizzti nel progetto dell sell Gerber dell Esempio 5. L unic differenz è rppresentt dl ftto che l ngolo θ nell figur 0.74 è ssunto pri 45, mentre nell sell Gerber il suo vlore vri con l snellezz dell sell stess.

77 68 CAPITOLO 0 ) Tglio positivo (V > 0) A 3 B 6 M V h z z z θ=45 C T C T T A θ C 3 T C 4 T 4 z h V M 45 T 3 4 B 5 b) Tglio negtivo (V < 0) A 3 6 B M V h z C T C z z T A T T θ C C 3 T C4 4 z h V M T 3 5 B Figur 0.74 Modello S&T per un brusc vrizione dell intrdosso di un trve infless con h > h : ) con tglio positivo, b) con tglio negtivo (i vlori di V e M sono clcolti in corrispondenz dell vrizione di sezione; il tirnte verticle T tr i nodi 3 e 4 è posto distnz dl cmbio di sezione, perché le stffe verticli che lo costituiscono sono distribuite su un trtto lungo, fig. 0.75). Nell figur 0.74 sono illustrti i modelli S&T si per il cso di tglio positivo si per quello di tglio negtivo, ssumendo in entrmbi i csi che le bielle di clcestruzzo sino inclinte di 45. Di seguito si riportno inoltre i clcoli per l determinzione degli sforzi nelle ste di entrmbi i trlicci.

78 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 69 Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio in presenz di tglio positivo (fig. 0.74) Sez. di Ritter (A-A) C = V T = M/z Equilibrio nodo C + = T cos θ C3 cos 45 C senθ = C3sen45 d cui C = T / ( senθ + cos θ ) = z M ( senθ + cos θ ) M senθ M C3 = Csenθ / sen45 = = z sen45 ( senθ + cosθ ) z( + cotg θ ) Equilibrio nodo 3 T = Csen45 + Csenθ = V M senθ M + = V + z( senθ + cosθ ) z( + cotg θ ) Equilibrio nodo 4 C 4sen45 + C3sen45 = T d cui C4 = T /sen45 C3 e sostituendo le espressioni di C 3 e T M M 4 C4 = V + = V z( + cotgθ ) z( + cotgθ ) infine M M T 3 = C3 cos 45 + C4 cos 45 = + V = + V z( + cotgθ ) z( + cotgθ ) che coincide con l espressione di T. 5 Equilibrio nodo 6 T 4 = C4sen45 = V = V. 4 L espressione di C 4 può essere ricvt direttmente dll equilibrio ll trslzione verticle sull sezione di Ritter B-B: V = C 4 sen 45 d cui: C 4 = V. 5 L uguglinz T 3 = T si può nche ricvre dll equilibrio ll trslzione del nodo 4 nell direzione degli ssi dei puntoni C 3 e C 4 (inclinti di 45 rispetto ll orizzontle).

79 630 CAPITOLO 0 Clcolo degli sforzi nelle ste del trliccio in presenz di tglio negtivo (fig. 0.74b) Sez. di Ritter (A-A) C = V ; T = M/z Equilibrio nodo C = T cos θ + C3 cos 45 C senθ = C3sen45 d cui C C 3 = T / = C senθ Equilibrio nodo 3 T ( senθ + cos θ ) / sen45 = M = M z M z ( senθ + cos θ ) ( + cotgθ ) = Csenθ = z ( + cotgθ ) 6 Equilibrio nodo 4 M M T 3 = C3 cos 45 = = = T z Equilibrio nodo 5 T 4 = Csen45 = V Equilibrio nodo 6 C 4sen45 = T4 d cui C = T V 4 4 = ( + cotg θ ) z ( + cotg θ ) Il prospetto 0.7 riepilog le espressioni degli sforzi nelle ste dei due trlicci (con tglio positivo o negtivo). Nel cso prticolre in cui risulti z = 0,5 z e quindi θ =45 le espressioni degli sforzi nei tirnti si semplificno nelle seguenti se V > 0 (trliccio ) T = M / z T = T 3 = V + 0,5 M / z = V + M / z ; T 4 = V se V < 0 (trliccio b) T = M / z T = T 3 = 0,5 M / z = M / z ; T 4 = V 6 In lterntiv lo sforzo nel tirnte T si può ricvre dll equilibrio ll trslzione verticle del nodo 4: M T = C3sen45 = z ( + cot gθ ) z ( + cotgθ ) M =

80 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 63 Prospetto 0.7 Sforzi nelle ste dei trlicci dell figur Ast Trliccio ) con tglio V positivo Trliccio b) con tglio V negtivo C V V C (M / z ) / (sen θ + cos θ ) (M / z ) / (sen θ + cos θ ) C 3 (M / z ) / ( + cotg θ ) (M / z ) / ( + cotg θ ) C 4 V V T M/z M/z T V + (M / z ) / ( + cotg θ ) (M / z ) / ( + cotg θ ) T 3 V + (M / z ) / ( + cotg θ ) (M / z ) / ( + cotg θ ) T 4 V V Si noti come nel trliccio ) il tirnte T si chimto d equilibrre si il tglio si l componente verticle delle bielle inclinte C e C 3 per l ncorggio del tirnte T, mentre nel trliccio b) T equilibr solo quest ultim. L figur 0.75 mostr l possibile disposizione delle rmture in corrispondenz dell brusc vrizione di sezione. stffe pos. E stffe pos. C (D) + (h h ) + l h h l h h h pos. E pos. A pos. C 45 pos. B pos. D h rmture inferiori pos. B Figur 0.75 Disposizione schemtic delle rmture in corrispondenz di un brusc vrizione dell intrdosso di un trve infless con h > h (l rmtur in pos. A v prolungt di un trtto pri d ( + h -h + l ), dove è pri ll metà del trtto su cui sono distribuite le stffe C e l è l lunghezz di ncorggio) Esempio 7 Mensol tozz Si progetti l mensol tozz vente le dimensioni mostrte nell figur I mterili sono i seguenti: clcestruzzo C35/45 - f ck = 35 N/mm, cciio B450C - f yk = 450 N/mm. L mensol è soggett i seguenti crichi: crico verticle V Ed = N = 700 kn e crico orizzontle: H Ed = N = 70 kn.

81 63 CAPITOLO 0 c=00 V Ed H Ed h c =400 Ft c s V Ed Fc F c =F Ed H Ed z d=350 h c = c= Fc4 5 Fc3 ψ F c5 = V Ed ) b) Figur 0.76 Mensol tozz di mm: ) geometri e modello S&T di mensol e pilstro (il modello S&T indicto per il pilstro ipotizz l presenz di momenti ntiorri nelle sezioni inferiore e superiore), b) modello S&T dell mensol; per comodità di notzione lo sforzo nel puntone inclinto è indicto con F c nel nodo e con F c3 (= F c ) nel nodo. L risultnte dei crichi verticle e orizzontle è pri F Ed = (V Ed + H Ed ) 0,5 = N e l inclinzione α dell risultnte rispetto ll direzione verticle vle α = rctn (H Ed /V Ed ) = 5,7 L rmtur principle è dispost su due strti di ltezz u pri 00 mm (fig. 0.77), cosicché il bricentro dell rmtur dist d'=50 mm dll estrdosso dell mensol e l ltezz utile vle d = h c 50 = 350 mm, dove h c = 400 mm è l ltezz dell mensol. Resistenz di progetto del clcestruzzo f 0, 85 f = 5, 0, = 5, ck cd = 9, 83 N/mm

82 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 633 F t ψ d =50 F c σ c F = c σ c α F Ed u=00 4 F c4 σ c4 F = c5 F c3 =F c σ c3 V Ed 5 σ c5 ψ 3 nodo nodo ) b) Figur 0.77 Nodi e del trliccio. Resistenz di progetto dell cciio f yk 450 f yd = = = 393, N/mm 5, 5, Resistenz compressione nodi Dl prospetto 0.0 per f ck = 35 N/mm risult Nodi compressi σ Rd,mx = 6,46 N/mm Nodi compressi-tesi con tirnti ncorti disposti in un direzione σ Rd,mx = 4,00 N/mm Nodi compressi-tesi con tirnti ncorti disposti in più di un direzione σ 3Rd,mx =,35 N/mm (vedi nche i vlori riportti nel prospetto 0.0 per f ck = 35 N/mm ) Clcolo degli sforzi F t e F c4 Si determin l lrghezz 5 dell porzione di puntone verticle del pilstro in equilibrio con V Ed, imponendo che l tensione di compressione si pri σ Rd,mx, poiché il nodo è un nodo tutto compresso VEd = = 06 mm σrd, mxb 6, il nodo è situto ll distnz 5 / 53 mm dll fcci estern del pilstro, pertnto l distnz orizzontle del punto di ppliczione dei crichi esterni dl nodo vle (figur 0.76b) = c + 5 / = = 53 mm

83 634 CAPITOLO 0 trovndosi il bricentro dell rmtur superiore ll distnz d' = 50 mm dll estrdosso dell mensol ed ipotizzndo uno spessore s dell pistr di crico pri 0 mm, l distnz orizzontle del nodo dl punto di ppliczione dei crichi sull pistr è ugule (figur 0.78b) e = (d' + s) tn α = 70 (H Ed /V Ed ) = 7 mm dove α è l ngolo clcolto sopr che l risultnte F Ed dei crichi esterni form con l direzione verticle, mentre l distnz orizzontle del nodo dl nodo vle ' = + e = = 60 mm Assunto il brccio dell coppi intern z pri 0,8 d (z = 0,8 350 = 80 mm) ed indict con 4 l ltezz del nodo (fig. 0.77b), si h che l distnz dello stesso nodo dl lembo inferiore dell mensol è pri 4 / = d z = 0,d = 0, 350 = 70 mm d cui si ricv: 4 = 40 mm. Con riferimento ll figur 0.78 si h: equilibrio ll rotzione intorno l nodo V Ed ' = ( F H ) z t Ed = F t F t = = N 470 kn 80 equilibrio ll trslzione orizzontle Fc 4 = Ft H Ed = = N = 400 kn Clcolo dell forz di compressione nel puntone inclinto (F c = F c3 ) L ngolo ψ che il puntone form con l direzione orizzontle è pri : z 80 ψ = rctn = rctn = 60, 6 ' 60 dll equilibrio ll trslzione verticle del nodo si h F c sen ψ = V Ed VEd Fc = = = N sen ψ sen 60, 6 Verific del nodo Risult (fig. 0.77b) 3 = = mm σ σ F F kn c3 c c3 = = = = 5, 87 N/mm 3b 3b F c4 c4 = = = 74, N/mm 4b σ σ Rd, mx Rd, mx

84 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 635 =60 =53 e=7 4 Ft Fc4 s=0 =60 Fc3 ψ Fc F Ed H Ed z=80 d F Ed V Ed α=5,7 70 s=0 d =50 F Ed 50 e=7 F c F c Fc5 5 ) b) Figur 0.78 Schem di clcolo dell forz di trzione nell rmtur principle. Progetto dell rmtur principle superiore F = t As = = 0 f yd 393, si dottno 8φ4 (A s = 3 mm ) mm Verific del nodo (sotto l pistr di crico) Le dimensioni e u vlgono = 50 cosα = 49 mm (fig. 0.79) ; u = 00 mm inoltre con riferimento ll figur 0.80, si h cos α = cos β senα + senβ = u d cui u senα β = rctn = 9, 83 cos α u sen α = = 7mm senβ L verific delle tensioni nel nodo v eseguit con riferimento ll lrghezz dell pistr c = 300 mm: σ F Ed c = = = 5, 74 N/mm > σ Rd, mx = 4, 08 N/mm c

85 α 636 CAPITOLO 0 F Ed α 50 Figur 0.79 Lrghezz del puntone F c. α α β β ψ u=00 β ψ β u>00 ) b) (β+ψ) ψ β Figur 0.80 Geometri del nodo (nodo sotto l pistr di crico): ) u = 00 mm, b) u > 00 mm. L verific sull fcci non è soddisftt; si dott llor un lrghezz c dell pistr di 350 mm FEd σ c = = = 3, 49 c N/mm σ Rd, mx Si complet l verific del nodo, considerndo l tensione di compressione sull fcci. Con riferimento ll figur 0.80, risult β + ψ = 9, ,6 = 90,09 90, pertnto l sse del puntone si può considerre ortogonle ll fcci del nodo. Fc σ c = = = 3, 47 N/mm σ Rd, mx c Se fosse (β + ψ) > 90, come si verific per vlori di u > 00 mm, l tensione di compressione sull fcci del nodo ndrebbe vlutt sull sezione trsversle * del puntone inclinto, ossi ortogonlmente ll sse del puntone (fig. 0.80b). Disposizione delle rmture Per l disposizione delle rmture si rimnd ll Esempio 8.

86 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE Esempio 8 Progetto dell rmtur secondri di un mensol tozz Si progetti l rmtur secondri dell mensol dell Esempio 7. Per tenere conto dell diffusione dello sforzo di compressione ll interno del puntone inclinto compreso tr i nodi e, il trliccio dell Esempio 7 v completto in modo d ssumere un delle due configurzioni mostrte nell figur 0.8. Questi trlicci consentono di progettre un idone rmtur trsversle, orizzontle oppure verticle, in grdo di ssorbire le tensioni di trzione ssocite ll diffusione del crico. Senz perdere di generlità si f riferimento l cso di solo crico verticle, poiché le considerzioni riportte di seguito non cmbino in presenz di un crico orizzontle, ftto slvo che l posizione del nodo sotto l pistr di crico risulterà spostto verso destr o sinistr, come visto nell Esempio 7, e che lo sforzo nell rmtur principle risulterà mggiorto o diminuito dell forz orizzontle sollecitnte. L rmtur secondri può essere progettt con riferimento uno dei due trlicci mostrti nell figur 0.8: si dotterà il trliccio per mensole con c h c / ed il trliccio b per mensole con c > h c /. I due trlicci si differenzino per il diverso rpporto luce ltezz c /h c : EC suggerisce l uso di stffe orizzontli o inclinte per c h c / (fig. 0.85) e l uso di stffe chiuse verticli per c > h c / (fig. 0.86). Le rgioni di queste diverse disposizioni sono legte ll differente inclinzione del puntone compresso che trsferisce il crico dll fcci superiore dell mensol fino l pilstro. c c F t Fc F c V Ed 3 v z d h z d h c y F c3 / / c F t V Ed F wd F c F c 4 / / V Ed x ) b) Figur 0.8 Mensol tozz: ) c h c /, b) c > h c /.

87 638 CAPITOLO 0 cso ) c< h c/ c c F t ψ V Ed z d h c F t + δ V Ed 4 F wd 3 4 z d h c F t = 3 V Ed F c F c F c ( γ h) F dig θ V Ed TRALICCIO ) F dig γ h θ V Ed TRALICCIO V Ed b) c) cso b) c> h c/ ( γ h) F dig F t F c θ V Ed ψ c TRALICCIO b V Ed z d hc γ h F dig F t θ V Ed 3 4 / / TRALICCIO V Ed + = F c F wd d) e) z dh c b F t F c V Ed 3 4 f) V Ed Figur 0.8 Modello S&T di un mensol tozz come somm di due trlicci elementri: cso ) (in lto) per un mensol con c h c / ; cso b) (in bsso) per un mensol con c > h c /. Nel primo cso il puntone è poco inclinto rispetto ll direzione verticle (quindi le tensioni di diffusione sono pressppoco orizzontli), mentre nel secondo cso l sse del puntone tende ll direzione orizzontle e pertnto le stffe verticli sono più idonee d ssorbire le trzioni legte ll diffusione dello sforzo di compressione nel puntone. Inoltre per c > h c / l dozione dell rmtur secondri è suggerit dll EC solo se il tglio sollecitnte super il tglio resistente V Rd,ct in ssenz di rmture trsversli; tuttvi, per limitre l fessurzione, è opportuno ricorrere sempre ll dozione di stffe verticli. Il trliccio, sovrpposto l trliccio (già utilizzto nell Esempio 7 per il progetto dell rmtur principle superiore), dà origine in entrmbi i csi d un trliccio ipersttico, dove gli sforzi normli nelle singole ste non possono essere determinti con sole considerzioni di equilibrio.

88 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 639 Figur 0.83 Mensol tozz con c h c /: ndmento dei rpporti V' Ed / V Ed (line continu) e V'' Ed / V Ed (line trtteggit) l vrire di /z (V' Ed è l liquot di crico verticle sul trliccio e V'' Ed quello sul trliccio mostrti in fig. 0.8). Per ciscuno dei due csi occorre llor individure un criterio per riprtire il crico tr i due trlicci. Di seguito si forniscono le indiczioni per effetture l riprtizione. Cso : c h c / Sull bse dell ndmento degli sforzi principli di compressione ricvto d nlisi elstiche lineri gli elementi finiti, il crico V Ed si può riprtire nelle due seguenti liquote (fig. 0.83): z 4 V' Ed = V z Ed per il trliccio + 3 z V'' Ed = V z Ed per il trliccio + 3 Lo sforzo nell rmtur secondri si clcol considerndo il trliccio soggetto l crico V'' Ed ; dll equilibrio ll rotzione intorno l nodo si h (figur 0.8b): F'' t = V'' Ed z e dll equilibrio ll trslzione orizzontle dei nodi e 4 si ricv che il tirnte superiore ed il tirnte 3-4 devono sopportre lo stesso sforzo di trzione, pri ll componente orizzontle dello sforzo di compressione nel puntone -4: Fwd = F'' t = V'' Ed z

89 640 CAPITOLO 0 dll qule, sostituendo V'' Ed l espressione scritt sopr, si ottiene F wd z = V z 3 + Ed z L espressione fornit dl Model Code 990 per F wd è l seguente z Ft Fwd = 3 + VEd /Ft dove F t è l forz complessiv nel tirnte; esplicitndo l forz F t (F t = V Ed / z), si constt fcilmente che l espressione di F wd fornit dl Model Code 990 si riduce quell ricvt sopr F wd = z VEd V 3 + V z Ed Ed z z = V z 3 + L figur 0.84 mostr l ndmento del rpporto F wd /V Ed l vrire di /z: il mssimo vlore si registr per /z = 0,5 ed è pri 0,3. EC suggerisce un quntittivo minimo di rmtur secondri orizzontle non inferiore l 5 % dell rmtur principle [p.to J.3()]. Indict con F t l resistenz dell rmtur principle, quell dell rmtur secondri deve quindi soddisfre l condizione F wd,min 0,5 F t poiché F t = V Ed / z (dll equilibrio ll rotzione intorno l nodo, fig. 0.8c), l diseguglinz può essere riscritt come F wd,min / V Ed 0,5 / z Per /z nell intervllo [0,5; 0,5] il rpporto F wd,min / V Ed ssume vlori compresi tr 0,065 e 0,5 ossi vlori inferiori quelli che si ottengono con l formul di progetto riportt sopr ed i cui risultti sono digrmmti nell figur Pertnto, l formul di progetto fornisce un quntittivo di rmtur secondri che è sempre mggiore di quello minimo rccomndto dll EC. L rmtur minim può invece risultre superiore quell di clcolo in presenz di un crico orizzontle significtivo; l forz nell rmtur principle ssume in questo cso l espressione F t = V Ed (/z) + H Ed e quindi F wd,min /V Ed 0,5 ( / z + H Ed / V Ed ) Ed z

90 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 64 Figur 0.84 Mensol tozz con c h c /: ndmento del rpporto F wd / V Ed l vrire di /z. A s A Σ A sw _< A s Figur 0.85 Mensol dott di rmtur secondri orizzontle: A = dispositivi di ncorggio o cppi (vedi figur 0.87), A s,min = rmtur principle, ΣA s,lnk = rmtur secondri orizzontle. Cso b: c > h c / L forz F wd nel tirnte verticle viene clcolt ipotizzndo che ess vri linermente l vrire di e che si bbi F wd = 0 per = z/ F wd = V Ed per = z

91 64 CAPITOLO 0 In ltre prole si ipotizz che per z/ (mensol molto tozz), il trliccio resistente si riduc l solo trliccio b (fig. 0.8d) e per z l trliccio b (fig. 0.8e); l equzione di F wd è quell di un rett di coefficiente ngolre F w ed intercett F w F wd = F w + F w imponendo che si F wd = 0 per = z/ F wd = V Ed per = z si ottiene VEd VEd Fw = e Fw = 3 z 3 infine l espressione dell rett che descrive l vrizione di F w l vrire di è l seguente VEd VEd /z Fwd = = VEd 3 z 3 3 L equilibrio ll trslzione verticle dei nodi e 4 del trliccio b fornisce F wd = V '' Ed il rpporto [( /z ) / 3] che compre nell espressione di F wd rppresent quindi l liquot di crico verticle V '' Ed ssorbit dl trliccio b; in prticolre per /z = questo rpporto vle /3. Il vlore di F wd è limitto inferiormente dl minimo quntittivo di stffe verticli suggerito d EC (A s,lnk 0,5 V Ed / f yd ) [p.to J.3(3)], che corrisponde considerre un forz minim nelle stffe F wd,min = 0,5 V Ed. Il vlore mssimo di F wd è pri V Ed /3 per /z = ; questo vlore è inferiore quello corrispondente ll rmtur secondri minim verticle rccomndt d EC, pertnto si può concludere che per c > h c / l rmtur secondri coincide sempre con quell minim. Si pss or l clcolo dell rmtur secondri dell mensol dell Esempio 7. Innnzitutto si verific in qule cso ricde l mensol in oggetto, confrontndo c con h c / ; risult c = 00 mm, h c / = 00 mm pertnto essendo c = h c /, l rmtur secondri potrebbe essere dispost in direzione orizzontle e clcolt con riferimento l trliccio oppure in direzione verticle e clcolt con riferimento l trliccio b. A rigore l scelt tr i due tipi di rmtur secondri dovrebbe bsrsi sul vlore del rpporto /z (come indicto per esempio nel Model Code 990) e non sul rpporto c /h c (rpporto suggerito d EC perché di più immedit vlutzione), in qunto l effettiv inclinzione dell biell compress è definit proprio dl rpporto /z e dipende quindi nche dl copriferro dell rmtur principle, nonché dlle dimensioni del nodo inferiore. Con riferimento ll Esempio 7, m considerndo l posto di poiché il crico orizzontle spost il nodo del modello S&T verso l esterno, si h:

92 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 643 ' = 60 mm z = 80 mm tn ψ = 80/60 =,75,5 7 essendo ' > z/ il clcolo dell rmtur secondri v eseguito con riferimento l trliccio b dell figur 0.8. Tuttvi, per completezz e per consentire un confronto tr i risultti ottenuti, il clcolo è eseguito si con il trliccio si con il trliccio b. Progetto dell rmtur secondri orizzontle (trliccio ) per l mensol dell Esempio 7 L forz nell rmtur secondri orizzontle può essere clcolt con l formul ricvt sopr z F wd = V z Ed z 3 + oppure con quell equivlente del Model Code 990 z Ft Fwd = VEd 3 + F t condizione di sostituire in quest ultim F t l differenz (F t H Ed ). Inoltre, cus dell presenz del crico orizzontle, in entrmbe le espressioni occorre utilizzre l posto dell distnz = 53 mm, il brccio ' = 60 mm (fig. 0.78); si ottiene pertnto = = 056 N F 8 wd L rmtur secondri vrà un re complessiv non inferiore A F 056 wd = = 538 mm k A = 0, 5 3 = 308 mm 9 sw s f yd 393, si dottno 4 stffe φ 0 due brcci (A sw = 68 mm ) (figur 0.85). 7 L Appendice J dell EC l p.to J.3() limit il cmpo di ppliczione del modello tirnte-puntone per il progetto delle mensole vlori di tn ψ compresi tr e,5 (N.B. nell EC viene utilizzto il simbolo θ l posto di ψ per indicre l ngolo del puntone inclinto con l orizzontle). 8 Utilizzndo l formul del Model Code 990, con (F t H Ed ) l posto di F t, si ottiene lo stesso risultto: F wd z Ft H Ed = = = 056 N VEd F H t Ed 9 L limitzione inferiore Asw 0, 5 As è indict nell Appendice J l p.to [J.3()], come già richimto sopr nel testo.

93 644 CAPITOLO 0 Progetto dell rmtur secondri verticle (trliccio b) per l mensol dell Esempio 7 Riprendendo l espressione riportt sopr per il trliccio b, nell rmtur secondri verticle si h /z Fwd = VEd 3 Come per il cso precedente, essendo presente nche un crico orizzontle H Ed, nell espressione di F wd occorre utilizzre l posto di =53 mm il brccio ' = 60 mm, ottenendo pertnto 60 / 80 F wd = = N 3 l rmtur secondri orizzontle vrà un re complessiv pri F = wd = Asw 85 mm f yd 393, che è inferiore quell minim [p.to J.3(3)] 0 Asw, min = k As = 0, 5 3 = 308 mm Asw si dottno pertnto 4 stffe φ 8 due brcci (A sw = 400 mm A sw,min ). Nell disposizione delle rmture bisogn prestre ttenzione ffinché l rmtur principle si efficcemente ncort in corrispondenz dell pistr di crico. L ncorggio può essere grntito dottndo (figur 0.87): ) brre form di cppio, b) brre rettilinee sldte d un brr trsversle, ll qule sono inoltre sldte le brre poste sul contorno dell mensol, c) brre piegte nel pino verticle che costituiscono si l rmtur principle superiore si l rmtur post sul contorno, d) brre ncorte medinte dispositivi meccnici o dotte di un test d ognun delle due estremità. A B Figur 0.86 Mensol dott di rmtur secondri verticle: A = dispositivi di ncorggio o cppi (vedi figur 0.87), B = rmtur secondri costituit d stffe chiuse verticli. 0 Per c > h c /, risult sempre A sw < A sw,min, come già evidenzito sopr.

94 PROGETTO CON MODELLI TIRANTE-PUNTONE 645 l c x b c l c x b c A s A s A's l c Filo esterno dell'pprecchio di ppoggio A s A s b c b w l c ) b) c) d) Figur 0.87 Possibili configurzioni di rmtur per un mensol tozz: ) conformzione cppio delle rmture superiori, b) brre rettilinee sldte d un brr trsversle, c) pistr di ncorggio, c) brre ncorte con dispositivi meccnici Esempio 9 Mensol tozz con trliccio, secondo l Circolre lle NTC 008 Si riprogetti l mensol dell Esempio 7 dottndo i trlicci S&T mostrti nell figur 0.88, ripresi dll Circolre lle NTC 008. Si consider lo stesso meccnismo resistente dell Esempio 7 costituito d un tirnte orizzontle superiore, corrispondente ll rmtur tes, e d un puntone di clcestruzzo inclinto di ψ. Nel modello A dell Circolre lle NTC 008 l lrghezz del puntone compresso del pilstro è fisst priori e pri 0,4 d, cosicché risult: = c + 0,d in ssenz di crico orizzontle, ' = + e = ( c + 0, d) + e in presenz di un crico orizzontle, come vviene in questo cso (fig e fig. 0.89b).

95 646 CAPITOLO 0 Modello A c Modello B VEd HEd V Ed ψ d hc α z ~ c+0,d Figur 0.88 Modelli indicti dll Circolre lle NTC 008 per l mensol tozz: il progetto può essere eseguito con riferimento l solo modello A, oppure considerndo nche il modello B funzionnte in prllelo con il primo (sono stti dottti gli stessi simboli degli esempi precedenti, diversi d quelli che compiono nelle figure C4..7 e C4..8 dell Circolre). Si esprime l forz F t nell rmtur principle come somm di due contributi F t = F t,v + F t,h dove F t,v è l forz di trzione nell rmtur principle prodott dl crico verticle e F t,h quell prodott dl crico orizzontle. Con riferimento ll figur 0.89b, dll equilibrio del nodo sotto l pistr di crico si ricv F t,v = V Ed cotg ψ e F t,h = H Ed quindi lo sforzo di trzione complessivo è pri F t = VEdcotg ψ + H Ed Per un prefissto vlore H Ed del crico orizzontle, l cpcità portnte V Rd,s dell mensol lto cciio si ottiene ponendo F t = F t,mx = A s f yd nell espressione di F t As f yd H Ed VRd,s = cotg ψ dove A s è l re dell rmtur e cotg ψ = ' / (0,9d). Progetto dell rmtur ' = ( c + 0, d) + e = , = 77 mm L Circolre lle NTC 008 consider un vlore del brccio dell coppi intern pri 0,9d e non di 0,8d, come ssunto nell Esempio 8.

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