COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI

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1 Diprtimento di eccnic Politecnico di Torino COPORTETO ECCICO DEI TERILI esercizi di sttic ferio 00

2 degli esercizi proposti Esercizio - Dto lo stto di tensione in un punto di un componente in Fe40 xx 0 P, yy 0 P, τ xy 00 P, τ xz τ yz 0 P e zz 0 P:. trccire i cerchi di ohr e determinre le tensioni principli;. clcolre l tensione idele secondo le tre ipotesi indicte;. clcolre il coefficiente di sicurezz in quel punto dottndo un opportun ipotesi di cedimento 4. clcolre le deformzioni nel sistem di riferimento originrio e le deformzioni principli. Rispost l quesito. Lo stto di tensione ssegnto, scritto sotto form di tensore delle tensioni è: xx τ xy τ xz τ xy yy τ yz P τ τ xz yz zz Dto che τ xz τ yz 0, l direzione z è principle e l tensione zz è principle ( Z 0P). Uno dei tre cerchi di ohr pss per i punti ( yy 0, τ xy 00) e ( xx 0, τ xy 00); τ [P] τ xy τ yx 00 (0,00) (0,00) r Y Z zz c yy 0 xx 0 X [P] le intersezioni tr questo cerchio e l sse delle scisse sono le tensioni principli. Y X c r c + r xx xx + + yy yy P Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0 + xx xx yy yy + τ + τ xy xy 70 4 P

3 degli esercizi proposti ote le tre tensioni principli è possiile trccire i tre cerchi di ohr τ [P] τ xy τ yx 00 (0,00) (0,00) r Y c yy 0 xx 0 Z zz In definitiv le tre tensioni principli ordinte sono: X [P] X 8 P Z 0 P Y -4 P Rispost l quesito ipotesi dell mssim: id 8 P ipotesi dell τ mssim id 8 ( 4) P 4 P ipotesi di von ises: id P ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( 0 + 4) P Rispost l quesito n Il mterile è duttile (R m 40 P, R eh 75 P, %) quindi non è opportuno utilizzre l ipotesi di rottur dell tensione normle mssim. Con le ltre due ipotesi si ottengono i seguenti vlori snervmento rottur (convenzionle) Ipotesi Tresc R eh 75 R m 40 CS. CS Ipotesi von ises id R eh 75 R m 40 CS.9 CS id id id Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

4 degli esercizi proposti Rispost l quesito 4 Si utilizzno le relzioni che legno tensioni e deformzioni: dti E P, v0.. E il modulo di elsticità tngenzile risult: G ( + ν) nel sistem di riferimento originle imo dunque: ε ε ε γ xx yy zz xy E E E τ G ( xx ν( yy + zz ) ( yy ν( xx + zz )) ( ν( + )) xy zz. 0 xx el sistem di riferimento principle imo: ε ε ε γ ij E E E 0 rd yy ( ν( + )) ( ν( + )) ( ν( + )) P Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

5 degli esercizi proposti Esercizio - Dt un sezione rettngolre 60x00 mm soggett d uno sforzo normle clcolre l tensione normle sull sezione L formul d utilizzre è zz /S, dove l re S dell sezione risult essere S 60 x mm. Si ricv quindi: zz P S 6000.B. m 000 mm; P; P m mm Esercizio - Clcolre l tensione normle in un sezione circolre di dimetro Ø 60 mm soggett d uno sforzo normle πd π L re dell sezione circolre vle: S mm D cui risult un tensione normle: zz 8 P S 87 Si noti che i vlori delle tensioni espressi in P vengono usulmente rrotondti ll unità, in qunto non h senso fisico un precisione mggiore. Esercizio - y 00 x 60 Dt l sezione rettngolre in figur soggett d un momento flettente x 000 m: ) Clcolre le tensioni minim e mssim. ) Clcolre l tensione nel punto di coordinte (0,0). c) Trccire l ndmento delle sollecitzioni lungo l sezione. d) Clcolre le deformzioni mssime e minime in direzione z. e) Clcolre l lunghezz finle dei lti dell sezione prlleli ll sse x Si ssum un modulo elstico E P e un coefficiente di Poisson ν 0. Politecnico di Torino Pgin di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

6 degli esercizi proposti domnd ) Si utilizzno le formule: x zz mx x zz min Wf Wf Il modulo di resistenz flessione W f vle: W h f 0 mm 6 6 d cui 6 6 x 0 zz P x 0 mx 0 zzmin W 5 f 0 W 5 f 0 0 P domnd ) Si utilizz l formul x zz y. Il momento d inerzi rispetto ll sse x vle: Jxx h Jxx 5 0 mm d cui, per il punto p(0,0) si ottiene: 6 x 0 zz y 0 7 P J 6 xx 5 0 Si noti che in tutti i punti che distno 0 mm dll sse x vi è un tensione normle che vle 7 P. domnd c) y zz x z x L ndmento nell sezione è tringolre lungo l sse y e l tensione e costnte per vlori di y costnti. domnd d) Ricordimo l legge di Hooke: ( ) ( ) ( ) Eεxx xx ν yy + zz Eεyy yy ν xx + zz Eεzz zz ν xx + yy Gγ xy τxy Gγ xz τxz Gγ yz τyz nel nostro cso xx, yy e τ ij sono nulle, quindi: Politecnico di Torino Pgin di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

7 degli esercizi proposti εzz zz mx 0 4 mx 6 0 E Eεzz zz 5 ε zz zz 0 min 0 4 min 6 0 E 5 0 domnd e) L lunghezz finle dei lti viene clcolt con l formul l f l i (+ε xx ). I lti di nostro interesse sono posti y 50 mm e y -50 mm. In entrmi i csi l lunghezz inizile è di 60 mm. Clcolimo le deformzioni ε xx per i vlori di y estremi. Dll legge di Hooke trovimo: D cui: ε ν zz ν xx( y 50) mx ε zz E 5 xx 0 E ε zz xx( y 50) min E ( ) 4 ( ) lf ( y 50) mm lf ( y 50) mm Si vede che le vrizioni di dimensione dell sezione sono del tutto trscurili!!!! Esercizio -4 Si ripet l esercizio (domnde e ) considerndo l sol presenz di un momento flettente y 000 m domnd ) y Si utilizzno le formule: zz mx W y zz min f W f Il modulo di resistenz flessione W f in questo cso vle: W h f 6 0 mm 6 6 dove con h si intende l ltezz dell sezione e con l su lrghezz rispetto l momento pplicto. Politecnico di Torino Pgin di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

8 degli esercizi proposti mx y min 00 x 60 Le tensioni mssim e minim vlgono quindi: 6 x 0 zz mx 00 P W 4 f x 0 zz min 00 P W 4 f 6 0 In questo cso l tensione mssim è nel lto delle x negtive, mentre l tensione minim è nel lto delle x positive ( cus del verso positivo preso per il momento y ) domnd ) y Si utilizz l formul zz x. Il momento d inerzi rispetto ll sse y vle: Jyy h Jyy 8. 0 mm dove con h si intende l ltezz dell sezione e con l su lrghezz rispetto l momento pplicto. Per il punto p(0,0) si ottiene: 6 y 0 zz x 0 P Jyy In tutti i punti che distno 0 mm dll sse y vi è un tensione normle che vle - P. Esercizio -5 Un sezione circolre di dimetro Ø 60 mm è soggett d un momento flettente 0000 m. Clcolre le tensioni minim e mssim. Il modulo di resistenz flessione dell sezione vle: πd π Wf mm e le tensioni mssime e minime: 7 7 x 0 zz P x 0 mx 47 zz min 47 P Wf 06 Wf 06 Politecnico di Torino Pgin 4 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

9 degli esercizi proposti Queste tensioni si riscontrno gli estremi del dimetro ortogonle quello ttorno l qule gisce il momento flettente. Esercizio -6 Dt l sezione rettngolre in figur clcolre le tensioni normli nei quttro spigoli dovute ll presenz contemporne dei momenti flettenti x 0000 m, y m e di uno sforzo normle 64 k. y B 80 x D 40 C ei quttro punti di interesse, (-0,40), B(0,40), C(0,-40), D(-0,-40) si pplic l formul x y zz + y x Jxx Jyy dove 80 x mm è l re dell sezione, J xx e J yy sono i momenti d inerzi dell sezione e vlgono: risult quindi: h Jxx 4 h mm Jyy mm 7 + ( ) ( ) ( + ) P B C D 7 + ( ) ( ) ( ) 44 P 7 + ( ) ( 0) ( ) 7 P 7 + ( ) ( 0) ( ) 40 P Politecnico di Torino Pgin 5 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

10 degli esercizi proposti Esercizio -7 Dt un sezione circolre di dimetro 50 mm soggett i momenti flettenti x m e y 000 m. Clcolre l tensione mssim e minim nell sezione. Poiché simo in presenz di un sezione circolre, per l qule tutti i dimetri sono ssi principli d inerzi, conviene clcolre il momento flettente complessivo gente sull sezione: ( ) x + y m Per ottenere le tensioni mssim e minim il momento complessivo deve essere diviso per il modulo di resistenz flessione: mx 475 P; min mx 475 P W f π D πd Esercizio -8 Dt l sezione in figur clcolre l posizione del ricentro, l inclinzione del sistem di riferimento principle rispetto i lti dell figur e i vlori dei momenti d inerzi principli. L prim operzione è quell di definire un sistem di riferimento generico (,) e suddividere l sezione in figure elementri individundone le dimensioni e l posizione del ricentro (figur ) G 60 G Figur Figur I risultti ottenuti con un foglio di clcolo exell dll ppliczione delle formule prim descritte sono i seguenti: Politecnico di Torino Pgin 6 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

11 degli esercizi proposti Dimensioni (mm) h 0 d 60 0 f 0 h 0 d 0 80 f 60 ree (mm ) omenti inerzi ricentrici (mm 4 ) S() 400 J xx () J yy () J xy 0 S() 600 J xx () 5 J yy () 85 J xy 0 S 4000 omenti Sttici Totli (mm ) Posizione ricentro (mm) S 0000 G 0 S 0000 G 80 Distnze ricentri locli d ricentro tot. (mm) d G -0 f G -0 d G 0 f G 0 omenti rispetto gli ssi B (ricentrici) (mm 4 ) J () J BB () J B () J () 49 J BB () 9 J B () J 5 J BB J B Inclinzione ssi principli tnα.4 α (rd) α ( ).7 omenti d'inerzi principli (mm 4 ) J XX 69 J YY 7 Esercizio -9 Dt un sezione circolre pien di dimetro 70 mm soggett un momento torcente z 5000 m clcolre: ) il vlore dell tensione tngenzile mssim; ) il vlore dell tensione tngenzile sull circonferenz di dimetro 55 mm; c) le componenti dell tensione tngenzile τ zx e τ zy in un punto di coordinte (-4,8) nel sistem di riferimento ricentrico. domnd ) Il modulo di resistenz torsione per l sezione è: πd π Wt mm 6 6 L tensione tngenzile mssim srà dunque pri : Politecnico di Torino Pgin 7 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

12 degli esercizi proposti τ mx z P Wt 6748 Quest tensione gisce su tutti i punti esterni dell sezione in direzione tngenzile ll circonferenz. domnd ) Il momento d inerzi dell sezione vle: πd 4 π J p mm L tensione tngenzile sull circonferenz di dimetro 55 mm (r.5 mm) vle: τ z r r P J p nche quest tensione gisce in tutti i punti che distno dl centro.5 mm (il rggio dell circonferenz considert) in direzione tngenzile ll circonferenz stess (cioè ortogonlmente l rggio). domnd c) τ p P π/ τ zy τ zx r α Il punto P (-4,8) si trov d un distnz dl centro r: r x + y 0 mm L tensione τ P gente in quel punto vrrà quindi: τ z r r 0 64 P J p L tensione tngenzile gisce perpendicolrmente l segmento r che form con l sse x un ngolo α: y α 8 rctn rctn. 5 rd 4. x 4 (ttenzione, simo nel secondo qudrnte...) Le componenti dell tensione tngenzile τ zx e τ zy lungo gli ssi x e y sono le proiezioni di τ P sugli ssi: π π τzx τp cos + α 8 P τ zy τ P sen + α 5 P Politecnico di Torino Pgin 8 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

13 degli esercizi proposti Esercizio -0 Dt un sezione circolre cv con dimetro esterno D 70 mm e dimetro interno d50 mm soggett un momento torcente z 5000 m clcolre: ) il vlore dell tensione tngenzile mssim; ) il vlore dell tensione tngenzile sull circonferenz di dimetro 55 mm; c) le componenti dell tensione tngenzile τ zx e τ zy in un punto di coordinte (-4,-8) nel sistem di riferimento ricentrico; domnd ) Il modulo di resistenz torsione per l sezione è: π( D 4 d 4 ) π( ) Wt 4987 mm 6D 6 70 L tensione tngenzile mssim srà dunque pri : τ mx z P Wt 4987 Quest tensione gisce su tutti i punti esterni dell sezione in direzione tngenzile ll circonferenz estern. domnd ) Il momento d inerzi dell sezione vle: π( D 4 d 4 ) π( ) 4 J p mm L tensione tngenzile sull circonferenz di dimetro 55 mm (r.5 mm) vle: τ z r r P J p nche quest tensione gisce in tutti i punti che distno dl centro.5 mm (il rggio dell circonferenz considert) in direzione tngenzile ll circonferenz stess (cioè ortogonlmente l rggio). domnd c) Il punto P (-4,-8) si trov d un distnz dl centro r: r x + y 0 mm L tensione τ r gente in quel punto vrrà quindi: τ z r r 0 86 P J p L tensione tngenzile gisce perpendicolrmente l segmento r che form con l sse x un ngolo α: y 8 α rctn rctn 8. rd 6. 9 x 4 (ttenzione, simo nel terzo qudrnte...) Politecnico di Torino Pgin 9 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

14 degli esercizi proposti Le componenti dell tensione tngenzile τ zx e τ zy lungo gli ssi x e y sono le proiezioni di τ r sugli ssi: Esercizio - π π τzx τp + α P τ zy τ P α P + cos 5 sen 69 Si dt un rr sezione circolre pien di dimetro D 40 mm, relizzt in 9iCro. Come sistem di riferimento si ssumno gli ssi x e y gicenti nel pino dell sezione rett dell rr e l sse z coincidente con l sse dell rr. L rr è sollecitt d uno sforzo normle 0 4, d un momento flettente x 500 m, d un momento flettente y 450 m e d un momento torcente z 850 m costnti lungo l sse. Trccire i cerchi di ohr e determinre le tensioni principli e l tensione idele in un punto sull superficie dell rr Trccire i cerchi di ohr e determinre le tensioni principli e l tensione idele in un punto l centro dell rr Clcolre il coefficiente di sicurezz contro lo snervmento e contro l rottur duttile. Punto sull superficie estern L rr è soggett uno sforzo normle, due momenti flettenti, che si compongono vettorilmente nel momento flettente totle: f x + y 67 m e un momento torcente z. Lo sforzo normle gisce lungo l sse z e gener, nell generic sezione trsversle, un tensione normle con distriuzione costnte pri : zz n 4 P con πd 4 il momento flettente totle f gisce intorno d un sse ngolto rispetto gli ssi x e y dell sezione trsversle e gener, nell generic sezione trsversle, un tensione normle con distriuzione frfll (cioè simmetric e vriile linermente lungo l sse dell sezione), mssim sull periferi dell rr e pri : zz f W f f 07 P con πd W f il momento torcente z gisce intorno ll sse z e gener, nell generic sezione trsversle, un tensione tngenzile con distriuzione frfll (cioè simmetric e vriile linermente lungo l sse dell sezione), mssim sull periferi dell rr : Politecnico di Torino Pgin 0 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

15 degli esercizi proposti τ zx τ zy τ W t z 68 P con πd W t. 6 τ τ n + f t f Ν Su un cuetto elementre in un punto pprtenente ll periferi dell rr si trccino le tensioni pplicte. L tensione normle in direzione z è l somm delle tensioni dovute llo sforzo normle e ll flessione: n + f 4+07 P Si noti che nel punto dimetrlmente opposto l tensione di flessione è negtiv (-07 P) e quindi l tensione risultnte vle n + f P Il punto più sollecitto è quindi quello in trzione. Sull fcci colort in grigio non gisce lcun tensione tngenzile: l direzione perpendicolre tle fcci è principle e l tensione normle ssocit è principle. In prticolre quest tensione principle è null. Lo stto di tensione è issile: c + r 60 P, 0 P, I tre cerchi di ohr sono: T [P] τ c r 9 P. r 0 c [P] dottndo l ipotesi di rottur di von ises (in questo cso può essere dottt nell form senz le tensioni principli) si ottiene: Politecnico di Torino Pgin di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

16 degli esercizi proposti id ( n + f ) + τ 76 P Utilizzndo quest formul per clcolre l tensione idele non è necessrio il clcolo delle tensioni principli, m si ridisce che questo è possiile perché nel punto di progetto giscono un sol e un sol τ. Punto l centro dell rr Su un cuetto elementre in un punto l centro dell rr (dove è divers d zero soltnto l tensione normle) si trccino le tensioni pplicte zz n 4 P.Sulle fcce colorte in grigio non giscono tensioni tngenzili: le direzioni perpendicolri tli fcce sono principli e le tensioni normli ssocite sono principli. In prticolre queste due tensioni principli sono nulle. Lo stto di tensione è monossile con l unic tensione principle divers d zero che è pri : n 4 P. n f t Ν Dei tre cerchi di ohr due sono coincidenti e uno è degenerto in un punto nell origine: T [P] 0 n [P] In questo cso l tensione idele coincide, qulunque si l ipotesi dottt, con quell pplict. Clcolo dei coefficienti di sicurezz Il punto più sollecitto dell sezione è quello sull superficie estern, dove l tensione idele vle 76 P. Politecnico di Torino Pgin di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

17 degli esercizi proposti Il mterile present un crico unitrio di rottur di 740 P, e un crico unitrio di snervmento di 540 P. Il coefficiente di sicurezz contro lo snervmento srà quindi: R CS p0 Il coefficiente di sicurezz contro l rottur srà: R CS id m id Esercizio - Si i un sezione rettngolre 00 x 80 mm soggett d un momento torcente di m. Clcolre il vlore dell tensione tngenzile mssim. Il fttore di rigidezz dell sezione è dto d: J t ( 0. 6) ( ) mm 4 Dove con si è indicto il lto mggiore dell sezione rettngolre. L tensione tngenzile mssim si h in corrispondenz del punto medio del lto più lungo d un distnz dl ricentro x/ e viene clcolt con l formul: τ z zy x P J t Esercizio - Si i un tuo formto d un lmier di spessore t mm di sezione ellittic con semissi, misurti ll esterno 00 mm e B 80 mm soggetto d un momento torcente z di 500 m Clcolre il vlore dell tensione tngenzile medi nello spessore. Si può considerre l figur come cv prete sottile. L re rcchius dll line medi è quell di un elisse con semissi (-t) 97 mm e (B-t) 77 mm: π π Ω mm L tensione tngenzile medi nello spessore srà dunque: τ z P Ωt 5866 Politecnico di Torino Pgin di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

18 degli esercizi proposti Esercizio -4 Le due sezioni illustrte in figur hnno dimensioni identiche m nell prim () i lemi convergenti in P sono solo ccostti, nell second () sono collegti per mezzo di un sldtur. Clcolre l mssim tensione tngenzile in ciscun delle due sezioni cust dll ppliczione di un momento torcente di 0 5 mm. P ) ) ) Si utilizzno le formule vlide per le sezioni in prete sottile perte. Il fttore di rigidezz torsione totle J t vle: J t J ti 4 4 i i ( ) 6400 mm dove con i sono indicte le lunghezze delle linee medie e con gli spessori. l tensione risult quindi di : τ z mx i i P J t ) Si utilizz l formul vlid per le sezioni in prete sottile chiuse: τ z P Ωt ( ) Politecnico di Torino Pgin 4 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

19 degli esercizi proposti Esercizio -5 Si consideri un sezione rettngolre x40 mm in cui l sse x è prllelo ll dimensione mggiore. L sezione è soggett d un momento flettente y mm ed un tglio T x Clcolre le tensioni normli e tngenizli nei punti G(0,0), Q(0,0) e P(0,0) y x G 5 G Q P 40 0 x punto G) el punto G, che gice sull sse ricentrico y, l tensione dovut l momento flettente è null, mentre l tensione dovut l tglio puo essere clcolt con l formul: T. τ mx 4 x 0 4P 40 punto Q) Per questo punto è necessrio utilizzre le formule generli: x y τ zx T S J yyc y zz x J yy dove: h 40 4 yy G J mm Sy x mm c mm x 0 mm si ottengono quindi i seguenti vlori: TxS 4 y τ zx 0 P J yyc y zz x 0 70 P J yy 64 0 punto P) In tle punto l tensione tngenzile dovut l tglio è null, mentre l tensione normle vle: y 6 y ( ) zz P W f h 40 (il segno meno dipende dl sistem di riferimento scelto, si ved l sched reltiv lle tensioni dovute l momento flettente). Politecnico di Torino Pgin 5 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

20 degli esercizi proposti Esercizio -6 Si i un sezione circolre di dimetro 46 mm soggett d un tglio T y 000 ed un tglio T x Clcolre l mssim tensione tngenzile dovut l tglio. Grzie ll simmetri dell sezione, nlogmente qunto visto per il momento flettente, conviene riferirsi l tglio complessivo: T T x + T y L tensione tngenzile mssim risult: 4 T τmx 4 P π 50 Esercizio -7 L figur mostr lo schem di un sezione di un profilto IPE 0 UI 598 relizzto in Fe 60 (tensione mmissiile m 60 P, tensione tngenzile mmissiile τ m 80 P ). Supponendo che ogni crtteristic di sollecitzione gisc seprtmente determinre i mssimi vlori sopportili per i momenti flettenti x e y, e per i tgli T x e T y. y x 64 D un qulunque mnule, o utilizzndo l geometri delle ree, è possiile ricvre i dti geometrici dell sezione:. 0 mm J xx mm 4 J yy mm 4 I mssimi vlori dei momenti flettenti si ricvno utilizzndo le formule gà viste; supponendo che gisc il solo momento x :. mx x ymx mx mj xx m x mm J xx ymx 60 nlogmente, supponendo che gisc il solo momento y : y m J yy mx xmx 6 m x mx mm J yy xmx Politecnico di Torino Pgin 6 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

21 degli esercizi proposti Per qunto rigurd i tgli si f riferimento lle figure viste in precedenz; per il tglio T y, per il qule l mssim tensione tngenzile si h in corrispondenz del ricentro: Ty s τ.. τmx h s + h τ mx. m T msj xx s J y xx s h s h mentre per il tglio T x, per il qule l mssim tensione tngenzile si h ll incrocio fr le li e l nim: T τmx. τmx x 8J τ mx 5 yy T 80 4 m x J yy 64 Esercizio -8 L sezione di un profilto U 00 UI 5680 schemtizzt in figur viene sollecitt d un tglio T y 0 k. Vlutre : ) l posizione del centro di tglio; ) le mssime tensioni tngenzili custe dl tglio nell nim e nelle pittnde; c) le tensioni ggiuntive che si producono nell nim e nelle pittnde se il tglio è pplicto nel ricentro dell sezione. Crtteristiche dell sezione: g y C t 6 x mm J xx mm 4 J yy mm 4 L posizione del centro di tglio g è fcilmente determinile con l formul: h s g e mm 4J xx L mssim tensione tngenzile dovut l tglio nell nim vle: Ty s... τ mx + + h sh s J 0 P 6 xx L mssim tensione tngenzile dovut l tglio nelle pittnde vle: Politecnico di Torino Pgin 7 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

22 degli esercizi proposti Ty h τ mx 0 P J xx Per clcolre le tensioni di torsione che si hnno nel cso in cui il tglio si pplicto l ricentro dell sezione si utilizzno i metodi visti per le sezioni perte in prete sottile, in cui il momento pplicto, in modulo, è dto d: z Tyg mm Per il clcolo delle tensioni si deve prim vlutre il fttore di rigidezz torsione, considerndo che gli spessori non sono trscurili: J t J ti i 0 i mi i ( ) + mm (. ) d cui le tensioni ggiuntive dovute l momento torcente rispettivmente nell nim e nell pittnd vlgono: τ z 7000 mx nim nim P J t τ z 7000 mx... pit pit P J t 4800 Politecnico di Torino Pgin 8 di 8 Dt ultim revisione 06/0/0

23 degli esercizi proposti Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0 Politecnico di Torino Esercizio - Dt l struttur schemtizzt in figur clcolre le rezioni vincolri. Dimensioni: 70 mm, 80 mm, c 00 mm; Forze F 000, F 500 Risolvere prim in modo letterle. l c F F Prim di tutto isogn sostituire i vincoli le corrispondenti rezioni vincolri: l c F F R R B Scrivimo le tre equzioni di equilirio (B: l(++c) 50 mm) 0 ) ( fi F F l R R R F F B B oppure 0 ) ( 0 ) ( fi F F l R c F c F l R B B In entrmi i csi il risultto finle (compresi i vlori numerici) è il seguente: 80 ) ( 0 ) ( l F F R l c F c F R B Conviene sempre verificre che l somm vettorile delle forze pplicte si ugule ll somm delle rezioni vincolri R R B F F I disegni degli esercizi - e - non sono in scl!

24 degli esercizi proposti Esercizio - Dt l struttur schemtizzt in figur clcolre le rezioni vincolri. Dimensioni: 70 mm, 80 mm, c 00 mm; Forze F 000, F 500 Risolvere prim in modo letterle. F F l c Sostituzione vincoli con rezioni vincolri F F R l c R B Scrittur equzioni di equilirio fi : B R R B 0 R l - F ( + c) + F c 0 R l - F + F ( + ) 0 B 0 F ( + c) + F c 0 l F + F ( + ) -60 l nche in questo l verific dell somm delle rezioni vincolri è positiv. Si noti che gli esercizi - e - sono in reltà uguli. L esercizio ) inftti può essere risolto con lo schem ) semplicemente dndo un vlore ugule ed opposto ll forz F. Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

25 degli esercizi proposti Esercizio -c Dt l struttur schemtizzt in figur clcolre le rezioni vincolri. Dimensioni: 90 mm, 5 mm, c 75 mm; Forze F 000, F 500 Risolvere prim in modo letterle. F F l c Sostituzione vincoli con rezioni vincolri F F R l c R B Scrittur equzioni di equilirio: fi : B R R R R B 0 B ( + ) - F + F c 0 ( + ) - F - F ( + + c) 0 0 F - F c 00 ( + ) F + F ( + + c) 400 ( + ) nche in questo cso l somm delle rezioni vincolri è ugule ll somm vettorile delle forze pplicte Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

26 degli esercizi proposti Esercizio -d Dt l struttur schemtizzt in figur clcolre le rezioni vincolri. Dimensioni: 90 mm, 5 mm, c 75 mm; Forze F 000, F 500 Risolvere prim in modo letterle. F F l c Sostituzione vincoli con rezioni vincolri F F R l c R B Scrittur equzioni di equilirio: fi : B R R B R R 0 B ( + ) - F - F c 0 ( + ) - F + F ( + + c) 0 0 F + F c 00 ( + ) F - F ( + + c) -600 ( + ) nche in questo cso l somm delle rezioni vincolri è ugule ll somm vettorile delle forze pplicte Si noti che gli esercizi -c e -d sono in reltà uguli. L esercizio d) inftti può essere risolto con lo schem d) semplicemente dndo un vlore ugule ed opposto ll forz F. Politecnico di Torino Pgin 4 di Dt ultim revisione 06/0/0

27 degli esercizi proposti Esercizio - Con riferimento ll esercizio - trccire i digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione (si consider l tern destrors) Tglio omento flettente F F - R R B R 9400 mm R B c 8000 mm Esercizio - Con riferimento ll esercizio - trccire i digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione. (si consider l tern destrors) Tglio omento flettente F + R c 6000 mm R F R B R 8400 mm Politecnico di Torino Pgin 5 di Dt ultim revisione 06/0/0

28 degli esercizi proposti Esercizio -c Con riferimento ll esercizio -c trccire i digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione (si consider l tern destrors) Tglio omento flettente F c 500 mm F + F R R B R 900 mm Esercizio -d Con riferimento ll esercizio -d trccire i digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione (si consider l tern destrors) Tglio omento flettente F R B F R - R mm R B c 500 mm Politecnico di Torino Pgin 6 di Dt ultim revisione 06/0/0

29 degli esercizi proposti Esercizio - Un trve di sezione rettngolre 60x40 mm lung m, ppoggit lle estremità, è soggett d un crico verticle di 6000 che gisce nell mezzeri. Clcolre le mssime tensioni normli e tngenzili. F Clcolo delle rezioni vincolri y x z R z F6000 R y R z R R y + R y F 0 y F R y 000 F R y F R y Il risultto ottenuto potev venire fcilmente intuito per l simmetri rispetto ll mezzeri dell geometri e dei crichi. - Digrmmi di tglio e di momento flettente (lo sforzo normle è nullo su tutt l trve) -000 T y R y x - xx mm - Clcolo delle tensioni L sezione più sollecitt (sezione di progetto) è quell di mezzeri, dove il momento flettente h il vlore mssimo (in modulo). Il clcolo delle tensioni verrà effettuto solo in tle sezione. Si utilizzno le formule: x zz mx x zz min Wf Wf Politecnico di Torino Pgin 7 di Dt ultim revisione 06/0/0

30 degli esercizi proposti Il modulo di resistenz flessione W f vle: W h f 4 0 mm 6 6 d cui, nei punti di progetto dell sezione, cioè quelli in cui l tensione è mssim(minim) si h x zz x mx 6 P zz min P Wf 4 0 Wf 4 0 Si noti che, poichè il momento x è negtivo nel nostro sistem di riferimento, l tensione mssim di trzione si trov nell prte inferiore dell sezione, mentre nell prte superiore le tensioni sono di compressione. rigore in quest sezione non si potreero utilizzre le formule viste perchè simo in un zon di ppliczione delle forze. E comunque consuetudine in questi csi non considerre gli effetti locli. ell sezione considert il tglio risult nullo, o meglio present un discontinuità. Se ci si spost di un ε piccolo picere dll sezione di progetto, dove le tensioni di flessione possono considerrsi uguli quelle dell sezione di progetto, si trov un tglio non nullo. Clcolimo le tensioni dovute l tglio in tle sezione. Ty 000 τ mx P L tensione tngenzile mssim gisce in corrispondenz dell sse neutro, cioè in un punto diverso d dove giscono le tensioni normli mssime. Si noti inoltre che le tensioni tngenzili sono molto piccole, il che cpit qundo si hnno trvi snelle. In questi csi il clcolo delle tensioni dovute l tglio è del tutto superfluo. Questo clcolo può invece essere importnte con i profilti prete sottile, in cui le tensioni tngenzili possono essere elevte. Esercizio -4 Un trve IPE 0 UI 598 lung m è soggett i crichi indicti in figur. Determinre le tensioni genti sull trve. F 5 K F 5 K x Crtteristiche dell sezione:. 0 mm J xx mm 4 J yy mm 4 ) Politecnico di Torino Pgin 8 di Dt ultim revisione 06/0/0

31 degli esercizi proposti - Clcolo delle rezioni vincolri H F F V V l F l + F H 0 V ( ) 5 k l Vl F ( l ) F 0 F l + F Vl F l F 0 V ( ) ( ) 5 k l Il risultto ottenuto potev venire fcilmente intuito per l simmetri rispetto ll mezzeri dell geometri e dei crichi. - Digrmmi di Tglio e di omento flettente Si noti che il momento è costnte nell zon compres fr le due forze e che di conseguenz il tglio, che è l derivt del momento, è nullo in quest zon. T y 5 k k x m Clcolo delle tensioni Tensioni dovute l momento flettente. Le sezioni dove le tensioni dovute l momento flettente sono mssime sono quelle comprese fr le diue forze. Le tensioni mssime si hnno nelle pittnde (cioè ll estremit dell sezione e sono di trzione in sso e di compressione in lto. mx x y mx 60 4 P J xx Tensioni dovute l tglio. Trttndosi di un profilto prete sottile conviene vlutre le tensioni dovute l tglio, nche se l trve risult snell. Vi sono tensioni dovute l tglio solo nelle due estremità dell trve ll esterno delle due forze pplicte. L tensione mssim si h nell nim in corrispondenz dell line d sse e vle: Politecnico di Torino Pgin 9 di Dt ultim revisione 06/0/0

32 degli esercizi proposti T y.... τ mx s + h sh s J P xx Esercizio -5 Un trve incstrt lung 500 mm, di sezione circolre 5 mm, è soggett d un momento torcente z 60 m, d un crico distriuito in direzione verticle (q) di 700 /m diretto verso il sso, d un crico F y 000 verso l lto ed un crico in direzione orizzontle F x 00, pplicti ll estremità lier dell sezione. Clcolre l tensione idele nel punto più sollecitto dell trve. y x q F y F x l 500 z z Si trtt di un prolem tridimensionle, che conviene seprre tre prolemi: uno reltivo l comportmento torsionle, uno nel pino yz e uno nel pino xz. - Comportmento torsionle L rezione vincolre l momento torcente srà un momento torcente ugule e contrrio quello pplicto. Il digrmm di momento torcente srà quindi: t 60 m Tutte le sezioni sono ugulmente sollecitte torsione. L tensione tngenzile mssim vle: τmx 6 t π π 5 4 P D Politecnico di Torino Pgin 0 di Dt ultim revisione 06/0/0

33 degli esercizi proposti - Pino xz - Rezioni vincolri i iy F x F x H i 0 V ix +F x 0 V ix -F x -00 V ix i iy +F x l0 iy -F x l -600 m - Digrmmi di tglio e di momento flettente T x 00 + ymx 600 m + - Pino yz - Rezioni vincolri i H i 0 q V iy +F y -ql 0 V iy -F x +ql -650 ix F y i ix -F x l+ql / 0 iy F y l-ql / 4.5 m H i V iy - Digrmmi di tglio e di momento flettente. Per trccire i digrmmi di tglio e momento conviene utilizzre un coordint locle ζ con origine ll estremità lier dell mensol. I digrmmi di tglio di tglio e di momento flettenete risultno: T y ζ F y T y F y qζ* T ymx 000 T ymin x x q ζ /- F y ζ xmx m - omento flettente complessivo e clcolo delle tensioni L situzione dei momenti è quell indict in figur. Poiché l sezione è circolre conviene clcolre punto per punto il momento complessivo con l formul: Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

34 degli esercizi proposti y x x + y Il vlore mssimo del momento complessivo si trov ll incstro, dove sono mssimi entrmi i momenti x e y. mx 78. m L tensione normle è clcolt sull se del momento complessivo mssimo: mx 780 mx π π 5 7 P D Ii digrmm disegnto non gice su un unico pino. Inftti il rpporto fr i momenti nei due pini non si mntiene costnte. Questo è vero in generle qundo i digrmmi sui due pini seguono leggi diverse. L direzione in cui gisce il tglio complessivo: Ty ϕ rctg rd 8. 4 Tx differenz di qunto vviene nel cso pino, non è ortogonle ll direzione in cui gisce il momento complessivo: y ϑ rctg rd 555. x T y y T ϕ y y y ndmento τ medie ndmento T x x x θ x x Questo ftto comport che dove l tensione di flessione è mssim (minim) l tensione dovut l tglio non è null. Poiché le tensioni dovute l tglio nelle trvi snelle sono comunque piccole rispetto lle tensioni di flessione, esse vengono di norm trscurte. Si noti inoltre che il vlore fornito dlle formule di Jourwski forniscono solo il vlore medio Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

35 degli esercizi proposti dell tensione lungo un cord, e non il vlore lle estremità, dove comunque le tensioni τ devono essere tngenti l profilo dell sezione. L tensione idele, secondo l ipotesi di Tresc, vle: id mx + 4 τmx» 9 P Esercizio -6 L figur illustr schemticmente un ssle ferrovirio con i crichi d esso pplicti. Si noti che, cus dell geometri del conttto fr ruot e roti, se l roti pplic un crico P in direzione verticle, srà presente nche un crico orizzontle P pri d un ventesimo di P.(nel nostro cso 5000 ). Clcolre le tensioni genti nel trtto fr le due ruote. φ 90 φ 0 00 k φ k P P/ P -Schemtizzzione e clcolo delle rezioni vincolri. Il prolem può essere schemtizzto nel modo indicto in figur. Si noti che in corrispondenz degli ppoggi giscono due crichi normli che si equilirno e due coppie C pri l crico ssile per il rggio di conttto dell ruot: C P R m. P P C C P P P P C C P P V V B Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

36 degli esercizi proposti D cui VB P ( + ) + P + C C VB P 0 V P ( + ) + P + C C V P 0 P VB 00 k P V 00 k come ovvio per rgioni di simmetri. - Digrmmi di sforzo normle, tglio e momento flettente. Equzioni per il digrmm di momento P Per z < : + 00 k T -00 k - z P C P z Per z > : 5000 m 700 m + V P z-v (z-)+c P +C - Tensioni nel trtto fr le due ruote dovute llo sforzo normle. 4 4 ( 5000) 0. 5 P π D π 60 Come si vede le tensioni dovute llo sforzo normle in questo cso sono insignificnti. - Tensioni nel trtto fr le due ruote dovute l momento flettente. mx P mx mx 68 min 68 P πd π 60 πd π 60 - Tensioni complessive In questo specifico cso le tensioni dovute llo sforzo normle sono trscurili, m in generle si deve ricordre che le tensioni dovute llo sforzo normle e quelle dovute l momento flettente si sommno lgericmente. rigore quindi il punto più sollecitto nel nostro cso è quello in compressione, mentre il punto dell sezione in trzione risult leggermente scricto. Le tensioni nei due punti estremi srnno quindi: P mx min mx min P Politecnico di Torino Pgin 4 di Dt ultim revisione 06/0/0

37 degli esercizi proposti Esercizio -7 ell figur è schemtizzto il rccio di un prnco formto d un trve orizzontle di sezione rettngolre cv incerniert in un muro e d un st che funge d tirnte. Clcolre le tensioni genti. B Sez. BB l B Sez. 00 l l P 50 Dti: l m ; l.5 m; l 0.9 m 00 mm; P 5 k - Clcolo delle rezioni vincolri. L struttur è formt d due corpi collegti con un cernier che non interrompe l continuità dell trve principle. Si possono quindi scrivere le equzioni di equilirio dei due corpi presi seprtmente V l - H V C x y H C z l V B V C H C H B l l P st elemento che sopport solo crichi normli, genti lungo l sse del corpo. Sono ste tutti i corpi incernierti lle estremità in cui i crichi sono pplicti solo in corrispondenz delle cerniere. L risultnte delle forze pplicte è dirett lungo l sse dell st. Tirnte st post in trzione. Puntone st post in compressione. Politecnico di Torino Pgin 5 di Dt ultim revisione 06/0/0

38 degli esercizi proposti V VC 0 H HC 0 HC ( l ) + VC l 0 VB + VC P 0 HB + HC 0 B HC VC l + P( l + l) 0 Risolvendo queste equzioni si ottiene: H H P l l C l H B 000 ( ) ( ) V V P l + l l C 700 l l VB P VC 00 Si noti che l risultnte delle rezioni vincolri lle estremità dell st è dirett lungo l sse dell st stess: ( l ) V V tn α 0. 6 tn β C 0. 6 l H HC - Digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione 00 T y m 4500 m -000 x + Si noti che: - sull st gisce solo uno sforzo normle di trzione; - nell prte di trve vicin l muro giscono si un momento flettente si uno sforzo normle di compressione; - il digrmm di momento flettente dell trve present un slto pri ll coppi pplict d Hc, cioè pri Hc -00 m. - Clcolo delle tensioni - st. L unic crtteristic di sollecitzione è lo sforzo normle. L tensione vle: P Politecnico di Torino Pgin 6 di Dt ultim revisione 06/0/0

39 degli esercizi proposti - Trve. Il modulo di resistenz flessione W f vle: ( )( ) W h s h s f 488 mm Le tensioni mssime e minime nell sezione in cui si h il momento mssimo vlgono: 6 x P x mx min P Wf 488 Wf 488 el trtto fr le due cerniere si h un momento flettente ed uno sforzo normle. Le tensioni dovute llo sforzo normle vlgono: P entre in questo trtto le tensioni minim e mssim nell sezione ppen precedente l cernier vlgono: 6 x 6. 0 P x. 0 mx 97 min 97 P Wf 488 Wf 488 In quest sezione il punto più sollecitto è quello in compressione dove si h un tensione complessiv pri -04 P. Esercizio -8 L figur illustr schemticmente l lero di rinvio fr due ruote dentte denti diritti con ngolo di pressione di 0. Il cuscinetto di sinistr è loccto si sull nello esterno si sull nello interno e sopport eventuli crichi ssili; il cuscinetto di destr è liero di muoversi ssilmente. Spendo che il momento torcente trsmesso è di 00 m, clcolre le tensioni genti sull lero. Dimetro primitivo φ 00 Dimetro primitivo φ 80 F t F r F t φ40 φ50 φ50 φ40 F r Politecnico di Torino Pgin 7 di Dt ultim revisione 06/0/0

40 degli esercizi proposti In primo luogo occorre clcolre le forze genti sull lero. E noto che l forz tngenzile gente sull ruot è pri l momento torcente diviso il rggio primitivo e che l forz rdile si ottiene moltiplicndo l forz tngenzile per l tngente dell ngolo di pressione. Si vrà quindi: Ft 4000 Ft 5000 Dp 00 Dp 80 Fr Ft tn Fr Ft tn 0 80 I cuscinetti possono essere schemtizzti con degli ppoggi. Tenendo conto delle dimensioni in figur l schemtizzzione dell lero è quell riportt sotto Ruot Ruot Le forze risultnti non stnno su un unico pino, quindi conviene scomporre il prolem flessionle nei due pini tngenzile e rdile. - Comportmento torsionle Il momento torcente gisce nel trtto fr le due ruote; il digrmm di momento torcente srà quindi quello riportto nell figur. L t 00 m e tensioni nominli mssime dovute l momento torcente si srnno diverse nei due trtti con dimetro 40 e 50 mm: τmx( φ40) t τmx( φ ) π π 40 6 P 50 t π π 50 8 P D D - Comportmento flessionle nel pino rdile. Le forze rdili sono concordi; si h quindi l seguente situzione: H r F r F r V r V r Politecnico di Torino Pgin 8 di Dt ultim revisione 06/0/0

41 degli esercizi proposti - rezioni vincolri Hr 0 F + F Vr 00 Fr 00 + Fr 60 V r 00 r 60 r F F Vr 00 Fr 00 Fr 60 Vr r 00 r digrmmi di tglio e momento flettente T r fr 0900 mm mm - Comportmento flessionle nel pino tngenzile. Le forze tngenzili sono discordi; si h quindi l seguente situzione: H t F t V t V t Ft - rezioni vincolri Ht 0 F F Vt 00 Ft 00 Ft 60 V t 00 t 60 t F + F Vt 00 Ft 00 + Fr 60 Vr t 00 t Politecnico di Torino Pgin 9 di Dt ultim revisione 06/0/0

42 degli esercizi proposti -digrmmi di tglio e momento flettente T t ft mm mm Si noti che, per comodità, imo utilizzto in entrmi i csi le convenzioni di segno del pino yz. -omento flettente complessivo e clcolo delle tensioni di flessione. Poiché l lero è sezione vriile conviene riportre in digrmmi distinti l ndmento del momento flettente complessivo, del modulo di resistenz e il digrmm delle tensioni dovute l momento flettente clcolndo i vlori nei punti significtivi. In corrispondenz delle ruote non vengono svolti i clcoli delle tensioni, che sreero poco significtivi. ell tell seguente sono riportti i clcoli nei vri punti (coordint dll estremo sinistro). Coord. rd. (mm) tng. (mm) tot (mm) D mm W f mm (p) sx dx sx dx sx dx sx dx sx dx Risultno quindi i seguenti digrmmi, ottenuti con un foglio elettronico, m che sono fcilmente otteniili nche mnulmente. Politecnico di Torino Pgin 0 di Dt ultim revisione 06/0/0

43 degli esercizi proposti (mm) Digrmm omento Totle (mm) (mm ) Digrmm odulo di Resistenz (mm) (P) Digrmm Tensioni di Flessione (mm) Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione 06/0/0

44 4 degli esercizi proposti Esercizio 4- Un pistr in S55 E 007/ (Fe50 UI 7070) delle dimensioni indicte in figur viene sollecitt d un crico ssile T 64 k. Con riferimento ll sezione con intglio, clcolre i coefficienti di sicurezz rottur duttile e primo snervmento. R0 Spessore 0 mm 0 80 T 00 Clcolo l tensione nominle gente nell sezione dellintglio: T n om 40 P 80 0 Il coefficiente di sicurezz per l rottur duttile risult: R 50 CS m.75 nom 40 Il fttore di concentrzione delle tensioni viene letto nell pposito digrmm tenendo conto che: H 0 r h 80 h 80 e vle K t.95 L tensione mssim ll pice dell intglio vle quindi: mx K t nom P e qindi il coefficiente di sicurezz primo snervmento vle: ReH 55 CS 4.55 mx 78 Politecnico di Torino Pgin di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

45 4 degli esercizi proposti Esercizio 4- L struttur indict in figur è costituit d un pistr in cciio S55 E 007/ (Fe50 UI 7070) incstrt in un soffitto.il crico pplicto è P 000. Con riferimento ll sezione con intglio, clcolre i coefficienti di sicurezz rottur duttile e primo snervmento. 60 R0 40 R0 R0 P Spessore pistr 5 L struttur viene schemtizzt nel seguente modo: Zon dell intglio P l80 P P l Si noti che il momento flettente è costnte lungo tutto il trtto verticle ell zon dell intglio si h quindi un sollecitzione dovut l crico P (sforzo normle) e un momento flettente P l, con l 80 mm. Politecnico di Torino Pgin di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

46 4 degli esercizi proposti Le reltive tensioni vlgono: e l tensione complessiv: n f P P P l P h 5 40 n + f P Il coefficiente di sicurezz per l rottur duttile risult: R 50 CS m Per il clcolo del coefficiente di sicurezz primo snervmento si devono considerre i due fttori di concentrzione delle tensioni seprtmente. Tenendo conto che H 60 r h 40 h 40 risult K t,n.6 e K t,f.4 L tensione mssim ll pice dell intglio vle quindi: mx K t, nn + Kt, f f e qindi il coefficiente di sicurezz primo snervmento vle: ReH 55 CS.86 mx 9 9 P Politecnico di Torino Pgin di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

47 4 degli esercizi proposti Esercizio 4- L lero schemtizzto in figur è costruito in cciio 9iCro e viene cricto dlle forze complnri F 0 k e F 7500 ; fr le due ruote viene trsmesso un momento torcente di 900 m.. Clcolre le rezioni vincolri sopportte di cuscinetti. Trccire i digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione. Trccire i digrmmi delle tensioni di flessione e di torsione mssime 4. Verificre stticmente l lero. F R.5 R4 F B Crtteristiche del terile (UI 7670/84) dimetri d mm: R m 880 P R p0 685 P - Comportmento flessionle Schem dell struttur e sostituzione dei vincoli con le rezioni vincolri F F c F F H D R B R D B C D Politecnico di Torino Pgin 4 di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

48 4 degli esercizi proposti Clcolo rezioni vincolri: H B D 0 F - F + R D D F ( + + c) + R ( + c) 0 B ( + c) F c 0 R R D B F - F.5 k ( + c) F c + F ( + + c) 6.5 ( + c) k B: risult verifict l relzione F+F R D +R B Digrmmi delle crtteristiche di sollecitzione Conviene effetture i clcoli del momento flettente nche nei punti in cui vi sono delle vrizioni di sezione (intgli) B E F C G H D F F R B R D Punti e D: B 0 Versi positivi dei momenti Punto B B F mm Punto E Punto F E F 6 - R B F F 50 - R B mm mm Punto C C R D mm Punto G G R D mm Punto H H -R D -75 mm Politecnico di Torino Pgin 5 di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

49 4 degli esercizi proposti Digrmmi di Tglio e omento flettente : T () f (mm) B E F C G H D Comportmento Torsionle Fr le due ruote (punti e C) gisce un omento Torcente costnte pri 900 m B E F C G H D T (mm) Clcolo delle tensioni e digrmmi Le tensioni vengono clcolte, punto per punto e considerndo le vrizioni delle sezioni con le formule: f 6 T τ πd πd Punto f (mm) T (mm) D (mm) (P) τ (P) B Edx Esx Fdx Fsx C Gdx Gsx Hdx Hsx D Politecnico di Torino Pgin 6 di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

50 4 degli esercizi proposti Tensioni di flessione (P) BE F C G HD Tensioni di Torsione (P) 4 7 BE F C G HD Verific per l rottur duttile: Il punto più sollecitto risult il PUTO B dove si h un tensione normle di 54 P e un tensione tngenzile di P. id 4 L tensione idele (ipotesi di Tresc) in tle punto vle: + τ e quindi il coefficiente di sicurezz rispetto ll rottur duttile: R CS m id Verific primo snervmento. Il punto d verificre è il punto E, dove vi sono sollecitzioni elevte e l intglio più grvoso Essendo: D d r d dgli ppositi digrmmi si ottiene : flessione K t,f. torsione K t,t.8 e quindi il clcolo convenzionle dell tensione idele è: id (K t,f ) + 4(K t,f τ) 46 P d cui il coefficiente di sicurezz per il primo snervmento risult: R CS p0 id Si noti che un volt trcciti i digrmmi di momento è evidente che i punti critici srnno B e E, e quindi si può effetture il clcolo con riferimento solo tli punti. 69 P Politecnico di Torino Pgin 7 di 7 Dt ultim revisione 06/0/0

51 5 degli esercizi proposti Esercizio 5- Clcolre lo spostmento dell estremo e le sollecitzioni presenti nell struttur in figur, compost d due ste in serie con sezione circolre di dimetro D 0 mm e D 8 mm, lunghe entrme 00 mm e soggette d un crico P di 0 k. Il mterile è un cciio d costruzione con modulo elstico E P φ 0 φ 8 P Lo spostmento può essere clcolto in due modi: sommndo gli llungmenti delle singole ste e sommndoli, oppure clcolndo l rigidezz complessiv e, not l forz, clcolre lo spostmento. I modo: P P L L L mm E EπD π 0 P P L L L mm E EπD π 8 L L + L 0. 6 mm II modo: E E K K K K K t L L K + K K L π P K t 0. 6mm mm K π mm K t 699 mm Il clcolo delle tensioni risult nle: 4 P 4 0 π 0 8 P 4 P 4 0 π 8 99 P Politecnico di Torino Pgin di 9 Dt ultim revisione 06/0/0

52 5 degli esercizi proposti Esercizio 5- Si considerino le due ste dell esercizio precedente disposte in prllelo, come indicto in figur, e si clcoli lo spostmento dell elemento rigido di collegmento, l forz gente su ognun delle ste e l tensione nelle ste. φ 0 φ 8 P 00 In questo cso il prolem può essere risolto considerndo che le due ste sono costrette suire lo stesso spostmento. nel cso di ste in prllelo. In questo cso l rigidezz totle non è ltro che l somm delle rigidezze; inftti, considerndo che il crico totle, per rgioni di equilirio, è l somm dei crichi genti sulle due ste (PP +P ), si h: P P P K t + K + K L L L Clcolt l rigidezz e noto il crico è fcile clcolre lo spostmento. L P K t mm 576 Ricordndo l definizione di rigidezz è possiile clcolre le forze genti sulle ste: P K L P K L questo punto è possiile clcolre le tensioni con le solite formule: P P 78 P 78 P π 0 π 8 on deve stupire il ftto che le due tensioni risultino uguli; inftti i due elementi sono soggetti gli stessi spostmenti, ed essendo di ugul lunghezz suiscono l stess deformzione; vendo l stess deformzione ed essendo costruiti con lo stesso mterile, per vi dell legge di Hooke, sono soggetti ll stess tensione. L tensione può quindi essere clcolt semplicemente come: Eε E L P L 00 mm Politecnico di Torino Pgin di 9 Dt ultim revisione 06/0/0

53 5 degli esercizi proposti Esercizio 5- Si considerino ncor le due ste dell esercizio, soggette però d un momento torcente 0 m. Si clcolino lo spostmento ngolre totle e le tensioni tngenzili presenti nelle due ste. φ 0 φ Lo schem di soluzione è formlmente identico quello dell esercizio, slvo il clcolo delle rigidezze che sono di tipo torsionle; srà considerto solo il II metodo di soluzione. Per il clcolo dell rigidezz è necessrio vlutre il modulo elstico tngenzile del mterile; supponendo un coefficiente di Poisson pri 0. si ottiene: si h quindi: E G ( + ν) 769P GJ K GJ K K K K t L L K + K π 0 K mm K 769 π 8 mm K t mm 0000 θ rd Kt 944 Il clcolo delle tensioni risult nle: τ 5 P τ 99 P W π 0 J π 8 Politecnico di Torino Pgin di 9 Dt ultim revisione 06/0/0

54 5 degli esercizi proposti Esercizio 5-4 L figur mostr l schemtizzzione di un lero costituito d due trtti: il trtto B h un lunghezz 400 mm con sezione di dimetro D 60 mm, il trtto BC h un lunghezz 00 mm con sezione di dimetro D 50 mm. Il mterile è cciio (E P), e l forz pplict è F Clcolre gli spostmenti nel punto C D, J D, J F B C Il clcolo procederà in modo letterle fino l risultto finle. In primo luogo occorre vlutre le rezioni vincolri: R R B F ( R F R F + ) B + B F ( ) 0 + B R F R F + 0 Quindi si possono scrivere le equzioni del momento e trccire il reltivo digrmm; per semplificre i clcoli conviene utilizzre un coordint locle per ognuno dei due trtti. + F z z TrttoB: R TrttoBC : F Scrivimo desso l equzione dell line elstic. z ( z ) F z Politecnico di Torino Pgin 4 di 9 Dt ultim revisione 06/0/0