Curve parametriche. April 26, Esercizi sulle curve scritte in forma parametrica. x(t) = a cos t. y(t) = a sin t t [0, T ], a > 0, b R

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Lia Carraro
5 anni fa
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1 Curve prmetriche April 6, 01 Esercizi sulle curve scritte in form prmetric. 1. Elic cilindric Dt l curv di equzioni prmetriche r(t) x(t) = cos t y(t) = sin t t [0, T ], > 0, b R z(t) = bt (0.1) clcolre i versori tngente, normle e binormle, pino oscultore, cerchio oscultore, vettore curvtur. Le derivte di funzioni vettorili di un vribile rele si clcolno semplicemente derivndo componente per componente. Ricordimo che, dt un curv r(t) = (x(t), y(t), z(t)) prmetrizzt secondo un prmetro t qulunque, si h: versore tngente T(t) = N(t) = dt(t) B(t) = T N dt(t) Osservimo che il versore N è ortogonle l versore T perché è sempre vero che l derivt di un vettore v di modulo 1 è normle v, inftti: 1

2 v(t) = 1 = v(t) v(t) quindi derivndo quest identità si h: (v(t) v(t)) = v(t) v(t) + v(t) v(t) = v(t) v(t) = 0 quindi i vettori v(t) e v(t) sono ortogonli perché il loro prodotto sclre è nullo. Inoltre si può nche clcolre il vettore curvtur K(t) = dt(t) il cui modulo, K è detto, ppunto curvtur, e l quntità ρ = 1 K è detto rggio di curvtur. In ogni punto P 0 (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) è definito il pino oscultore, pssnte per P 0 e vente come normle il versore B. Su questo pino è nche possibile individure un cerchio,detto cerchio oscultore (dl ltino osculri = bcire), che meglio pprossim l curv in un intorno del punto dto. In prticolre si trtt di un pprossimzione del secondo ordine, visto che per ogni curv l pprossimzione del primo ordine in ogni punto è dt dll rett tngente. Il rggio del cerchio oscultore è proprio il rggio ρ di curvtur, il centro C 0 di questo cerchio si trov prtendo dl punto P 0 sull curv, procedendo in direzione dell normle: C 0 = P 0 + ρn (N.B. l somm è un somm di vettori!). Più è grnde l curvtur, in ogni punto, più srà piccolo il rggio di curvtur, ovvero srà piccolo il cerchio oscultore, quindi l curv srà gomito, molto strett. Per scrivere l equzione crtesin di un circonferenz nello spzio R dovremo intersecre il pino in cui gice quest circonferenz (il pino oscultore) e l sfer di centro C 0 e rggio ρ, dett sfer oscultrice. Tornndo ll curv dt, un elic cilindric, trovimo i versori del triedro mobile: versore tngente:, = ( sin t, cos t, b); = + b,

3 quindi T = ( sin t + b, cos t + b, ) b. + b Versore normle: dt(t) = ( ) cos t + b, sin t + b, 0 ; dt(t) = + b quindi N(t) = ( cos t, sin t, 0). Versore binormle: B(t) = T(t) N(t) = ( ) b sin t + b, b cos t + b,. + b Vettore curvtur: K(t) = dt(t) ( ) = 1 cos t + b + b, sin t + b, 0 = ( ) cos t sin t, + b + b, 0. Rggio di curvtur, ovvero reciproco del modulo del vettore ppen trovto: ρ = 1 K = +b. Nel cso di quest prticolre curv il rggio di curvtur è costnte lungo tutti i punti dell curv, inftti non dipende d t. Per trovre il cerchio oscultore, trovimo innnzitutto il pino oscultore, ovvero il pino ortogonle l versore binormle e pssnte per il punto generico P 0 (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) = (x 0, y 0, z 0 ) pprtenente ll curv. Il pino ortogonle B h equzione crtesin (x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 dove i coefficienti, b, c sono le tre componenti di B. Sceglimo un vlore del prmetro t e fccimo dei conti espliciti: d esempio si t 0 = π, quindi P 0(0,, b π ), l equzione del pino

4 oscultore divent b (x 0) + 0(y ) + + b + b (z bπ ) = 0 ovvero b x + (z b π +b +b ) = 0, e semplificndo ulteriormente: bx + x b π = 0. Trovimo il centro del cerchio oscultore: C 0 = P 0 + N( π )ρ = (0,, bπ ) + (0, 1, + b 0) = (0, + b, b π ) = (0, b, bπ ). = L equzione del cerchio oscultore è: ( ) ( ) x + y + b + z bπ = +b (0.) bx + x b π = 0. L cicloide Per descrivere l Cicloide si immgini un biciclett in movimento e si fissi un punto picere sul bordo di un delle due ruote: l curv descritt dll triettori di tle punto è dett Cicloide. L circonferenz dell ruot è dett circonferenz genertrice. Se si osserv l ruot di un biciclett in movimento l buio, l triettori descritt d un ctrifrngente fissto sull ruot è un Cicloide. Il motivo per cui ci si interess ll Cicloide è che present sorprendenti proprietà fisiche. Inftti, è brchistocron e tutocron: brchistocron perché rppresent il percorso compiuto nel tempo più breve tr due punti. Ovvero: dti due punti A e B su un pino verticle sottoposti unicmente ll forz di grvità, trovre l curv tr essi sull qule un punto mterile, vincolto scorrervi senz ttrito, vd d quello più in lto quello più in bsso nel minor tempo possibile. E noto che l distnz più breve tr due punti è 4

5 il segmento di rett che li congiunge per cui si srebbe tentti di rispondere che quest è l triettori che ssicur il minor tempo. M non è così perché, in prole povere, conviene prtire puntndo il più possibile verso il bsso per cquisire l mssim velocità inizile. Glileo vev già ffrontto questo problem molti nni prim ed vev creduto di risolverlo indicndo come triettori ottimle l rco di cerchio. M l rispost corrett è l cicloide che per questo è dett ppunto nche brchistocron cioè dl tempo più breve. L Cicloide è tutocron perché un grve posto in oscillzione lungo un cicloide (con l concvità rivolt verso l lto!) l percorre sempre nello stesso tempo, qulunque si l mpiezz dell oscillzione. Le equzioni prmetriche di un cicloide sono: x(t) = R(t cos t) C y(t) = R(1 cos t) t [0, π], > 0, R > 0 (0.) come si vede dl disegno qui in bsso, il prmetro t è l ngolo tr l verticle e il segmento che unisce il punto (che si trov sul bordo dell circonferenz) e il centro dell circonferenz. Figure 1: schizzo di un cicloide Possimo osservre bnlmente che è un curv pin, visto che bstno due ( equzioni per descriverl. Clcolrne il versore tngente per t = π [Rispost:. T = 1, 1 )] 5

6 . Altri esercizi (i) Clcolre i versori tngente, normle e binormle lle seguenti curve nei punti indicti C 1 C x(t) = t y(t) = t per t = 1 z(t) = t x(t) = t t y(t) = t per t = 1 z(t) = t + t (0.4) (0.5) (ii) Determinre i tre versori del triedro mobile in un generico punto delle curve seguenti C x(t) = 1 cos t y(t) = cos t z(t) = 1 + sin t (0.6) [ ( T = 1 sin t, ) ( sin t, cos t ; N = 1 cos t, ) ( cos t, sin t ; B = )], 1, 0 ; C 4 x(t) = 1 y(t) = 1 + t z(t) [ ] 1 T = (1, t, 1) ; N = 1 ( t, 1, t) ; B = 1 (1+t ) (1+t ) ( 1, 0, 1) ; C 5 x(t) y(t) z(t) = t = e t = e t = t (0.7) (0.8) [ T = 1 1+e t ( e t, 1, e t) ; N = 1 1+e t ( e t, e t, 1 e t) ; B = 1 1+e t ( 1, e t, e t)] ; 4. Esercizio Tr le curve descritte nell esercizio precedente ve ne sono di pine? Sugger- 6

7 imento: ndte vedere il versore binormle... 7

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