Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 1

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1 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 1 5 Curve pine Ricordimo che un curv si dice pin se è contenut in un pino; meno di scegliere coordinte ffini su tle pino, potremo sempre supporre che un curv pin si l immgine di un prmetrizzzione α : I R 2, cioè α(t) = (x(t), y(t)) e pensre il vettore binormle (ove definito) ugule ±e 3. Esercizio 5.1 (Direzione di N ed α ) Si α : I R 2 un curv pin biregolre in s (dunque N(s ) è definito), e si t s l rett tngente d α in s. Mostrre che: i) esiste un ɛ > tle che α(s ɛ, s + ɛ) è contenut in uno dei due semipini determinti d t s, denotto π s + ; ii) α (s ) e N(s ) puntno entrmbi dll prte del semipino π s +. (Formulre in modo preciso quest ultim sserzione.) Quest è l dimostrzione mtemtic dell proprietà (fisicmente evidente): N ed α puntno sempre verso l concvità dell curv. Esercizio 5.2 Si α : I R 2 è un curv pin regolre. Mostrre che se ess è contenut nel cerchio di centro l origine e rggio r, e α(s ) = r, llor: (i) α è biregolre in s ; (ii) k(s ) 1/r. Definizione 5.3 (Flessi e vertici) Si α : I R 2 un curv pin regolre, si s I, e si n = R π (T (s 2 )). Un punto s è un punto di flesso se α ttrvers l rett tngente t s in s. L formulzione mtemtic precis di quest condizione è: ( ) ( ) ɛ > s < s < s + in [s ɛ, s +ɛ] : α(s )α(s ) n α(s )α(s + ) n < Un punto s si dice un vertice se k (s ) = (i.e. k h un mssimo locle, un minimo locle o comunque un punto critico in s ). Esercizio 5.4 Si trcci un curv pin chius picere, e si determinino occhio i flessi e i vertici. Provre disegnre un curv pin chius con meno di quttro vertici. Esercizio 5.5 (Criteri per punti di flesso) Si α : I R 2 un curv pin regolre, s I. Mostrre che: (il vecchio punto (i) è flso) (i) condizione necessri perché s si un punto di flesso è che k(s ) = ; (ii) condizione sufficiente perché s si un punto di flesso è che sino verificte () α (s ), α (s ) prlleli; (b) α (s ) linermente indipendente d α (s ). Un punto in cui si verificno ()&(b) si dice punto di inflessione di 1 specie. Anlogmente si definiscono i punti di inflessione di specie k > 1 (come?), che risultno nche essi prticolri punti di flesso. (iii) esistono flessi che non sono punti di inflessione di specie k, per nessun k.

2 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 2 Si ricordi che, per definizione, k sempre. Per curve in R 2, però, è possibile ggiungere un segno ll curvtur k che indichi in qule direzione, orri o ntiorri su R 2, l curv st ruotndo (loclmente); si definisce curvtur lgebric di α l funzione se k(t) = k lg (t) = k(t) se N(t) = R π 2 (T (s)) i.e. se B(t) = e 3 k(t) se N(t) = R π (T (s)) i.e. se B(t) = e 2 3 Dll formul per k = α α α, e notndo che α α è prllelo e concorde 3 T N = B, segue immeditmente: k lg = (α α ) e 3 α 3 = x y y x α 3 Il clcolo di k lg ci iut nel disegno di un curv prmetrizzt: Esercizio 5.6 (Studio di un curv pin) Disegnre le seguenti curve pine, prmetrizzte per t R rispettivmente d: (i) α 1 (t) = (sin t(1 + cos t), 1 + cos t); (ii) α 2 (t) = (sin t, sin 2t). (iii) α 3 (t) = (2t + t 2, 2t 1/t 2 ); (iv) α 4 (t) = (t 2 + t 3, t t 2 ). In prticolre, per l ndmento di α tenere conto delle seguenti informzioni: 1) periodicità delle componenti e simmetrie evidenti di C i = Im(α i ), e possibile riduzione dello studio di α d un intervllo più piccolo di R; 2) i punti non regolri per le prmetrizzzioni, il limite del versore tngente nei punti non regolri, i punti tngente orizzontle o verticle; 3) l curvtur lgebric e gli eventuli punti di flesso per i cmbi di concvità; 4) l tbell delle vrizioni di x(t), y(t); 5) eventuli sintoti dell curv. Riprmetrizzre quindi (ove possibile) α trmite l.., e clcolre l(α;, 2π). Quli sono i punti singolri per C i = Im(α i )? In quli csi C i è un curv differenzibile? Not 5.7 Un rett r si dice un sintoto di α per t t (risp. per t t+ ) se : (i) lim t t α(t) = + (risp. lim t t + α(t) = + ); (ii) lim t t d(r, α(t)) = (risp. lim t t + d(r, α(t)) = ). Verificre che condizione necessri e sufficiente perché α mmett un sintoto r per t t ± è che α vd ll infinito per t t ± e che ci sino due numeri reli non entrmbi nulli, b tli che lim t t ± x(t) + by(t) esist finito, ugule un costnte c; in tl cso, l rett r : x + by = c è l sintoto di α per t t ±. (Concretmente, si controll se y(t)/x(t) oppure x(t)/y(t) m per t t ±, mmesso che x(t) o y(t) tendno ll infinito per t t ± ).

3 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 3 Esercizio 5.8 (Curve in form polre) Le curve pine sono spesso espresse in form polre rispetto un punto P fissto, in un delle due seguenti forme: (r(t), ϑ(t)) oppure r = r(ϑ) Queste sono espressioni che significno rispettivmente: α(t) = P + r(t)(cos ϑ(t), sin ϑ(t)) (1) α(ϑ) = P + r(ϑ)(cos ϑ, sin ϑ) (2) Si α : I R 2 un curv prmetrizzt regolre C k che non pss per P. (i) Si mostri che α mmette sempre un prmetrizzzione C k del tipo (1); esiste cioè un funzione ϑ : I R di clsse C k (unic meno di costnte 2kπ), tle che se α(t) = (x(t), y(t)) llor x(t) = r(t) cos ϑ(t) e y(t) = r(t) sin ϑ(t). Esiste, in genere, ϑ : I [, 2π] di clsse C k con quest proprietà? (ii) Si mostri che condizione sufficiente ffinché α mmett (loclmente) un riprmetrizzzione C k del tipo (2) è che r (t) r(t), i.e. l velocità non si purmente rdile; questo è equivlente chiedere ϑ (t). Precisre: cos signific loclmente? Si us il Teorem del Dini o il Teorem inverso? (iii) L velocità ngolre 1 di α rispetto P è definit come v (t) = ϑ (t), mentre A(t,t+ɛ) l velocità reolre di α rispetto P è definit come v A (t) = lim ɛ ɛ dove A(t, t + ɛ) è l re dell regione di pino delimitt dll curv C k trtti γ ɛ = P α(t) α(t, t + ɛ) α(t + ɛ)p. Usre l formul di Green per mostrre: v A (t) = 1 2 (xy x y) = 1 2 r2 (t)v (t) (3) (iv) Trovre formule per T, N, l(α), α, k lg per un curv α espress nell form (1) e nell form (2) (cioè formule in funzione di r(t), ϑ(t) o di r(ϑ)). Per l ccelerzione ritroverete le formule già viste in fisic: α = (r rϑ 2 ) r + (rϑ + 2r ϑ ) r dove r(ϑ) è il versore d P d α(ϑ), mentre r è il vettore r(ϑ) ruotto di π 2 in senso. Le due componenti di α su r, r si dicono ccelerzione rdile e trsvers rispetto P (non confondere con ccelerzione normle e tngenzile). (v) Mostrre infine che l ccelerzione di α è purmente rdile rispetto P se e solo se l velocità reolre di α rispetto P è costnte. Ritrovimo cioè il ben noto risultto di fisic: un moto pino è centrle (cioè α(t) h ccelerzione purmente rdile rispetto un punto P ) se e solo se l velocità reolre è costnte. (vi) Si α l curv 2 dt in form polre rispetto P d r(ϑ)= 1+e cos ϑ, e<1. Il versore N(ϑ) è sempre diretto verso P? Ed α (ϑ)? (Giustificre le risposte!) Si invece α(t) = ( cos φ(t), b sin φ(t)): qunto vle l velocità reolre rispetto d O? Per quli funzioni φ(t) l velocità reolre rispetto d O è costnte? 1 Velocità ngolre e velocità reolre rispetto un punto dovrebbero esservi stti definiti per un moto qulsisi nel corso di fisic. Notimo che l velocità reolre risult ben definit se γ ɛ è semplice per ɛ bbstnz piccolo, cos che supporremo implicitmente nel seguito. 2 Dovrebbe essere ben noto, dl corso di Geometri 1, che quest curv è un ellisse (o un iperbole se e > 1), cf. Esercizi 7.4 & 7.5 del foglio 4 dell nno scorso. p

4 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 4 Esercizio 5.9 (Studio di un curv in form polre) Si studi l curv in form polre r(ϑ) = 1 + cos ϑ. In prticolre, si determinino: periodicità, simmetrie e intervllo di definizione minimo necessrio per disegnre l curv; limite del versore tngente nei punti non regolri, punti tngente orizzontle o verticle; curvtur ed eventuli flessi; tbell delle vrizioni di r(ϑ). Clcolre l lunghezz dell curv nell intervllo in considerzione e, se possibile, riprmetrizzre trmite lunghezz d rco. L indice di vvolgimento di un curv prmetrizzt α :], b[ R 2 ttorno un punto P Im(α) è definito come I(α; P ) = 1 [ϑ(b) ϑ()] 2π dove ϑ(t) è l funzione introdott nell Esercizio 5.8. Questo indice cont il numero di giri (eventulmente non intero) che l curv compie l vrire di t nell intervllo di definizione; notre che I(α; P ) è sempre un intero per curve chiuse (cioé se α() = α(b)). Teorem 5.1 (Un formul di nlisi compless) Si α : [, b] C = R 2 un curv prmetrizzt C k 3 chius, e supponimo z Im(α). L indice di vvolgimento di α ttorno z è dto d: I(α; z ) = 1 dz 2πi α z z Inoltre, per curve chiuse (i.e. α() = α(b)): (i) è un funzione di z costnte su ogni componente conness di C \ Im(α); (ii) curve α, β omotope in C \ {z } hnno ugul indice I(α; z ) = I(β; z ). Esercizio 5.11 (Un formul equivlente senz i) Si α:[, b] R 2 regolre, P Im(α) ed r(t) = P α(t). Mostrre che: I(α, P ) = 1 b ( r r ) e 3 2π r 2 dt L indice di rotzione di un curv α :], b[ R 2 regolre è invece il numero I(α) = I(T ; O) dove T è il versore tngente dell curv. Esso misur qunto il vettore tngente ruot l vrire di t nell intervllo di definizione; notre che I(α; P ) è sempre un intero per curve periodiche. 3 L indice di vvolgimento è definito nche solo per curve C, poiché ϑ lo è; idem per le proprietà (i) e (ii). Di contro, l formul integrle vle se α è lmeno C 1, perché esist α (t).

5 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 5 Esercizio 5.12 (L vostr prim formul integrle di topologi) Si α:[, b] R 2 un curv regolre prmetrizzt d l... Mostrre che: I(α) = 1 b k lg (s)ds 2π (Se α non è prmetrizzt d l.., llor nell formul c è un fttore correttivo dto dll formul integrle del cmbio di vribile: I(α) = 1 b 2π k lg(t) α (t) dt). Notre che, mentre il termine destro dell formul è un quntità geometric (l curvtur lgebric è estremmente sensibile deformzioni di α, cioè ll su form) il lto sinistro è un quntità topologic (come nel Teorem 5.1 è fcile mostrre che è un invrinte per omotopi di curve regolri periodiche). Mircolo! Esercizio 5.13 Clcolre I(α; P ) ed I(α) per l curv: α(t) = (2 cos(t) + cos(4t), 2 sin(t) + sin(4t)) t [, 2π] e P = (1, ). Ripetere per le curve (i) e (ii) dell Esercizio 5.6, con P = ( 1 2, ). Dimostrzione del Teorem 5.1. Sppimo già dll Esercizio 5.8 che esiste un funzione ngolo ϑ : [, b] C, che loclmente coincide con un delle determinzioni di rg(α(t) z ), tle che α(t) = z + r(t)e iϑ(t). Per definizione di integrle lungo α si h quindi 1 2πi α dz = 1 z z 2πi b [r (t) + ir(t)ϑ (t)]e iϑ(t) dt = 1 ï Å ã ò r(b) ln + ϑ(b) ϑ() r(t)e iϑ(t) 2π r() cioè I(α; z ), dto che r(b) = r() poiché l curv è chius. Per mostrre (i), notimo che l funzione I(α, z ) : C \ Im(α) Z è continu ed vlori discreti: quindi è costnte in ogni componente conness. Per (ii), utilizzimo un rgionmento nlogo: per z fissto, I(α, z ) è un ppliczione continu 4 sullo spzio delle funzioni X = C chiuse ([, b], C \ {z }) (spzio munito dell topologi, per es., dell convergenz uniforme). Inoltre, poiché l clcolo su curve chiuse, è sempre vlori discreti. È dunque costnte su ogni componente conness di X; m due curve α, β omotope in C\{z } pprtengono ll stess componente conness di X (usre un rgomento di compttezz!) dunque I(α; z ) = I(β; z ). 4 Per questo è necessrio mostrre che, dette ϑ α e ϑ β le funzioni ngolo di α e β, llor sup t ϑ α(t) ϑ β (t) < ɛ rbitrrio, purché β si sufficientemente vicin d α nell norm, e si si scelt l stess determinzione inizile per ϑ α() e ϑ β (). Verificrlo.