Ad esempio: Casi particolari di riduzione per integrali tripli

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Orsola Rota
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1 Csi prticolri di riduzione per integrli tripli 1 Se f ècontinusu = [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ] [ 3,b 3 ], tutte le formule di riduzione funzionno. llor l ordine di integrzione può essere qulsisi e perciò si us scrivere f (x, y, z) dxdydz = b1 b2 b f (x, y, z) dzdydx. 2 Se inoltre f (x, y, z) = 1 (x) 2 (y) 3 (z) con i :[ i,b i ] R continue, llor risult f (x, y, z) dxdydz = b1 1 b2 b3 1 (x) dx 2 (y) dy 3 (z) dz. 2 3 d esempio:

2 Integrzione per cmbio di coordinte in R 3 L situzione è del tutto simile quell vist in R 2. Definizione. Si chim cmbio di coordinte su un insieme R 3 ogni funzione : definitsuunltro R 3 tle che è biiettiv, C 1 ( ), det J (u, v, w) = 0per ogni (u, v, w). Essendo un cmpo vettorile, si rppresent medinte 3 equzioni x = 1 (u, v, w) (equzioni del cmbimento : y = 2 (u, v, w) di coordinte) z = 3 (u, v, w) che legno le coordinte (u, v, w) ed (x, y, z) di uno stesso punto P. Teorem (di integrzione per cmbio di coordinte). Supponimo che : si un cmbio di coordinte con, R 3 misurbili e det J limitto; f : R si limitt e continu. llor f (x, y, z) dx dy dz = f ( (u, v, w)) det J (u, v, w) du dv dw. Formlmente: l integrndo secondo membro si ottiene operndo le sostituzioni x = 1 (u, v, w) y = 2 (u, v, w) e dx dy dz = det J (u, v, w) du dv dw. z = 3 (u, v, w) volte l integrle secondo membro risult più semplice, per espressione dell integrndo o per form del dominio di integrzione.

3 Coordinte cilindriche di centro O e sse verticle x = r cos : y = r sin z = h (x, y, z) crtesine (r,,h) cilindriche (x, y, z) R 3 \{sse z}, (r,,h) (0, +) [ 0, 0 +2) R; cmbio di coordinte su R 3 \{sse z} e su ogni sottoinsieme. Un volt per tutte, si h det J (r,,h)= cos r sin 0 sin r cos = r>0, (r,,h). Il pssggio coordinte cilindriche trsform cilindri, gusci cilindrici e loro spicchi in prllelepipedi.

4 Coordinte sferiche di centro O e sse verticle : x = sin cos y = sin sin z = cos (x, y, z) crtesine (,, ) sferiche: rggio, longitudine, coltitudine (x, y, z) R 3 \{sse z}, (r,,h) (0, +) [ 0, 0 +2) (0, ); cmbio di coordinte su R 3 \{sse z} e su ogni sottoinsieme. Un volt per tutte, si h det J (,, ) = 2 sin > 0, (,, ). Il pssggio coordinte coordinte sferiche trsform in prllelepipedi le sfere, i gusci sferici e certe loro porzioni opportunmente disposte rispetto gli ssi coordinti (come semisfere, settori sferici e spicchi sferici).

5 Bricentro e momenti d inerzi Sono un esempio di grndezze fisiche definite trmite integrli. Supponimo R n misurbile e µ : R un densità di mss integrbile. Definizione. Si chim bricentro di il punto G =(x 1,..., x n ) di coordinte x i := x i µ (x 1,...,x n ) d µ (x 1,..., x n ) d, i =1,...,n. Il denomintore è l mss totle di. Le coordinte di G R n (non necessrimente ) sonolmediintegrlepestd µ delle coordinte dei punti di. Se µ ècostnte( omogeneo), llor si h x i = µ x i d µ d = 1 x i d, i =1,..., n. e G si chim centroide: è un punto con significto solo geometrico, che dipende solo dll form di. Se è simmetrico rispetto d un rett o un pino, llor il centroide di pprtiene quell rett o quel pino.

6 Definizione. Si chim momento di inerzi di rispetto ll origine O il numero I O := [d (P, O)] 2 µ (P ) d = x x 2 n µ (x1,..., x n ) d. Se è un rett, si chim momento di inerzi di rispetto ll sse il numero I := [d (P, )] 2 µ (P ) d. Se è un sse coordinto, I h espressioni semplici: d esempio I x = y 2 µ (x, y) d se n =2, I x = y 2 + z 2 µ (x, y, z) d se n =3. Primo teorem di Guldino È un risultto per il clcolo del volume di un solido di rotzione. Teorem. Sino: R 3 un insieme x-semplice del semipino x 0 del pino xz; E il solido ottenuto ruotndo ttorno ll sse z di un ngolo (rdinti). llor vol (E) = x re () dove x è l sciss del centroide G =(x, z) di. N.B. x = lunghezz dell rco di circonferenz descritto d G nell rotzione. nlogmente se è z-semplice e ruot ttorno ll sse x, oppure st in ltri semipini.

7 Dimostrzione. Clcolimo seprtemente i due membri. Dunlto,sih = (x, z) R 2 : z [, b],g 1 (z) x g 2 (z) (x-semplice per ipotesi) equindi x re () = = 2 b b g2 (z) b xd= xdx dz = g 1 (z) [g2 (z)] 2 [g 1 (z)] 2 dz. x 2 2 x=g2 (z) x=g 1 (z) dz Dll ltro, integrndo per strti, si h vol (E) = E de = b dxdy dz = D z b re (D z ) dz dove re (D z )= 2 (R2 r 2 )= 2 [g2 (z)] 2 [g 1 (z)] 2 (formul clssic per l re del segmento di coron circolre di mpiezz e rggi r, R). Dunque vol (E) = 2 b [g2 (z)] 2 [g 1 (z)] 2 dz.

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