CALCOLO DI AREE AREA REGIONE FINITA DI PIANO COMPRESA: - FRA FUNZIONE E ASSE X - FRA DUE FUNZIONI
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- Eugenia Pisani
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1 INTEGRALE DEFINITO CALCOLO DI AREE AREA REGIONE FINITA DI PIANO COMPRESA: - FRA FUNZIONE E ASSE X - FRA DUE FUNZIONI
2 Clcolo di AREE : regole fx positiv fx negtiv Are =! fxdx - Are =! fxdx fx con segno vriile c - c Are =! fxdx fxdx c c - Are = Are compres fr due funzioni fx e gx c! fxdx fxdx! c y=fx y=gx AreCompres =! fxdx! gxdx =![ fx gx]dx y=fx y=gx
3 Are regione finit di pino compres fr funzione y=fx e sse x Clcolo le coordinte dei punti di intersezioni di fx con sse x! y = Risolvo equzione: trovo c I x f x = estremi integrzione # y = f x Rppresento l funzione che può essere: Prol y = x x c Cuic con segno vriile >:concv vlto Segno negtivo come in figur <:conc vsso Segno positivo Clcolo IDEF fr e ID =! - f xdx Are = IntD u y = x x cx d >: form come figur <: form contrri c Clcolo IDEF fr e il suo vlore positivo =Are Clcolo IDEF fr e c il suo vlore positivo =Are AREA=AreAre
4 Clcolo intersezioni dell prol con l sse x rett y= # y= I x y=! x 5x! =!x 5 x! x! 5x = x = 5 ± Rppresento l prol dopo ver trovto il Vertice V = Are regione finit di pino compres fr prol e sse x #! ;! '! V = 5 ; 9 # y=! x 5 x! x = x = Clcolo l integrle definito dell funzione fr gli estremi = e = I Def = #!x 5 x! dx=! x 5 x! x '! 6! 6! 5 =! 6! 5 8 =!6! A=; B=; * =! 6 8! 6 - /! *! 5! - / = 7 6 = 9 Are =IDef=9/ u
5 Are regione finit di pino compres fr y=fx prol e sse x Clcolo intersezioni dell prol con l sse x rett y= # y= I x y= x! 6x x! 6 x = xx! 6 = x = x = Rppresento l prol dopo ver trovto il Vertice Clcolo l Integrle Definito dell funzione fr gli estremi = e =6 ID = = 6 # x! 6 x dx= x! 6 x ' 6! 6 =! 8 =!6 # V =! ;! ' V = ;!9 6 A=; B=6; y= x! 6x - * = 6! 8 - /!! = Rispost: Are = - IntegrleDefinito = - -6 = 6 u
6 Are regione finit di pino compres fr y=fx prol e sse x Clcolo intersezioni dell prol con l sse x rett y= # y= I x y= x! x! = x = x = ± = ± Rppresento l prol dopo ver trovto il Vertice V = #! ;! ' A=-; B=; V = ;! y= x! - Clcolo l Integrle Definito dell funzione fr gli estremi =- e = ID = # x! dx= x!! x ' = 8! 8 8! 8 = 6!! 6 = 6! 8 * = 8! 8 - /! *! / = =! Rispost: Are = - IntegrleDefinito = - -/ = / u
7 Are compres fr y=fx cuic e sse x Clcolo intersezioni dell cuic con l sse x rett y= # y= I x y= x! 9 x x! 9x = xx! 9 = x =! x = x = A=-; B=; C=; Rppresento pprossimtivmente l cuic Clcolo i due Integrli DEFINITI NB: Gli estremi di integrzione sono le scisse dei punti! y= x! 9x - ID = # x! 9x dx = x!! 9 x '! [ ]! 8 =! 8 ' =!8 6 ID = f x! dx = x # 9 x ' = 8 # 8 ' # [ 8# 6 ] = Clcolo le AREE positive! riferite i due Integrli e le sommo AREA TOT= AA= 8/8/=8/u = 8 = # 8 A=8/u A=8/u Rispost : Are compres fr cuic e sse x = 8/ u 7
8 5 Are compres fr y=fx cuic e sse x Clcolo intersezioni dell cuic con l sse x rett y= # y = I x y =!x 5x! x x! 5x x = xx! 5x = x = x = x = A=; B=; C=; Rppresento pprossimtivmente l cuic Clcolo i due Integrli DEFINITI NB: Gli estremi di integrzione sono le scisse dei punti! ID = f x! dx = # x 5 x # x ' = # 5 # ' # # # [ ] = = # 7 ID = f x! dx = # x 5 x # x ' = # 56 # ' # # 5 # ' = #768 8 # 8 # # # = 8 # #7 = 8 7 = 5 Clcolo_ AREA _TOTALE = A A = 7 5 = = 7 6 u y =!x 5x! x - A=7/u A=5/u ATOT=7/6u 8
9 6 Are compres fr y=fx cuic e sse x y =!x x x Clcolo intersezioni dell cuic con l sse x rett y= # y = I x y =!x x! x x! x x = xx! x = x =! x = x = A=-; B=; Rppresento pprossimtivmente l cuic Clcolo i due Integrli DEFINITI NB: Gli estremi di integrzione sono le scisse dei punti! ID = # f x! dx = x x x ' = [ ] ' == = = 5 C=; ID = f x! dx = # x x x ' Clcolo le AREE positive! riferite i due Integrli e le sommo AREA TOT= AA= 5/8/=7/u = # 8 - ' # [ ] == 8 A=5/u A=8/u Rispost : Are compres fr cuic e sse x = 7/ u 9
10 AREA COMPRESA FRA DUE FUNZIONI! # A y=fx y=gx y = f x y = gx AreCompres = B Risolvo il sistem trovndo le coordinte dei punti di intersezione A=; B=;: Le scisse e sono estremi di integrzione [ f x! gx]dx Csi con RETTA e PARABOLA Si y=fx > gx nell intervllo [;] y=fx funzione sopr y=gx funzione sotto Rppresento grficmente le due funzioni nche in modo pprossimto Clcolo AREA COMPRESA fr fx e gx di estremi e Integrle Definito fr e dell f-funzionesopr meno g-funzionesotto
11 D ricordre Equzione prol y = x x c Equzione rett y = mx q Se > l concvità è verso l lto: Se < l concvità è verso il sso: q= intercett con sse y m=coefficiente ngolre Se m> rett crescente Formule vertice # x v =! V y v =! oppure sostituisco_ x v Se m< rett decrescente Se m= rett orizzontle -->y=q funzione costnte
12 Are compres fr prol e rett Clcolo intersezioni fr prol e rett y=! x svolgi tutti i pssggi! I ' y=! x! x =! x x! x! = x =!# x = x =! I # # x = y=!! = y=! = Rppresento l prol pssnte per A e B e con concvità verso il sso Vertice V= ; Rppresento l rett spendo che pss per A e B A=-; B= ; Clcolo l re compres di estremi =- e = y =!x ; y =!x Are = #!x!!x dx = #!x x! dx =! f sopr -g sotto #!x x dx = clcolo int egrle! x! x x ' *! 8 - /! *! - / =! 8!! =! 9 8! =! 8! = 5! =!! A g B - conviene prim sommre = 9 Are = 9/ u! f =
13 Are compres fr prol e rett Clcolo intersezioni fr prol e rett y= x! 6x svolgi tu tutti i pssggi I ' y=!x x! 6x =!x x! x = x = # x = x = I # x = A=; # y=!x = y=!x =!8 B= ; -8 Rppresento l prol di Vertice V= ; -9 e pssnte per A e B concvità verso lto! Rppresento l rett spendo che pss per A e B y= x! 6x ; y=!x A=; f Clcolo l re compres di estremi = e = f_sopr - g_sotto prim sommre A = #!x! x '! 6x dx = ' #!x! x 6x dx = = ' #!x x dx = clcolo int egrle! x x # =! 6 6 #! [ ] =! 6 = =!6 96 = = g B= ; -8 Are = / u
14 Are compres fr prol e rett Clcolo intersezioni fr prol e rett # y= x! I y= x! x! = x! x! x = xx! = x = x = I # # x = x = y=! =! y=! =! A=;- B=;- Rppresento l prol di Vertice=;- [ricord che l prol pur h sempre V= ; c ] che pss per A e B e concvità verso l lto Rppresento l rett che pss per A e B Clcolo l re compres di estremi = e = y= x! ; y= x! Are = x!! x prim sommre #! dx = x!! x # dx = f sopr - g-sotto x # x! x dx = clcolo int egrle =! x ' = *! - /!! =! 6 = 6 A Are = /6 u B
15 Are compres fr prole f : y =!x Clcolo intersezioni fr le prole y =!x I ' y = x! x!x = x! x x! x = x =!# x = x =! I # # x = A=-;5 y =!! = 5 y =! = B= ; Grfico: Rppresento le prole nche in modo pprossimto fcendole pssre per A e B L funzione sopr è quell con concvità verso il sso!!! NB:per grfo preciso i vertici sono Vf=; Vg=;- Clcolo l re compres di estremi =- e = Are =!x! x prim sommre #! x dx =!x! x x! # dx =! f sopr - g sotto #!x x dx = clcolo int egrle =! x! x x ' *! /! *! - / =! 6 8!! =! 8 A - g : y = x! x! g f = B 5 =!6 5 = 9 Are = 9 u 5
16 5 Are compres fr prole Clcolo intersezioni fr le prole y =!x x I ' y = x! x!x x = x! x x 6x = x = # x = x = A=; # # x = y =! = y =! = B= ; Grfico: rppresento le prole nche in modo pprossimto fcendole pssre per A e B L funzione sopr è quell con concvità verso il sso!!! NB: i vertici sono Vf=;5 Vg=; Clcolo l re compres fr = e = y =!x x y = x! x Are = #!x x! x! x dx =!x x! x x! # dx = f sopr - g sotto #!x 6x dx = clcolo int egrle =! x 6x ' = *! /! =!8 7 = 9 A g f Are = 9 u B 6
17 6 Are compres fr prole Clcolo intersezioni fr le prole y =!x I ' y = x! x!x = x! x x! x = x = # x = x = A=; I # # x = y =! = B= ; y =! = Grfico: rppresento le prole nche in modo pprossimto fcendole pssre per A e B L funzione sopr è quell con concvità verso il sso!!! NB: i vertici sono Vf=;5 Vg=; Clcolo l re compres di estremi = e = y =!x y = x! x Are =!x! x prim sommre #! x dx =!x! x x! # dx = f sopr - g sotto #!x x dx = clcolo int egrle =! x x ' = *! /! =! 6 =!6 A = 8 Are = 8/ u g f B 7
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