AREA DELLA PARTE DI PIANO COMPRESA FRA DUE FUNZIONI

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1 INTEGRLE DEFINITO: calcolo aree RE DELL PRTE DI PINO COMPRES FR DUE FUNZIONI Tratteremo due casi Prof.ssa Paola arberis - agg 17 a y=fx) y=gx) Parabola e retta Parabola e parabola b

2 Procedimento a y=fx) y=gx) 1) Calcolo le coordinate e dei punti di intersezione fra le due funzioni fx) e gx) risolvendo il sistema N: le ascisse a e b sono estremi di integrazione! ) Rappresento graficamente le due funzioni anche in modo approssimato) ) Calcolo RE COMPRES FR fx) e gx) di estremi a e b b Sia y=fx) funzione sopra Con ordinate superiori fra e Sia y=gx) funzione sotto Con ordinate inferiori fra e! y= fx) I # y= gx) reacompresa = INT.DEFINITO fra a e b b a [ f x)! gx)]dx Funzione f_sopra - Funzione g_sotto

3 Caso RE DELL PRTE DI PINO COMPRES FR PROL E RETT y = ax + bx + c y = mx + q RICORD: Se a> la concavità è verso l alto: Se a< la concavità è verso il basso: Formule vertice # x v =! b % a V % y v =! 4a oppure sostituisco_ x v % RICORD: q= intercetta con asse y m=coefficiente angolare Se m> retta crescente Se m< retta decrescente Se m= retta orizzontale y=q funzione costante

4 1)rea compresa fra parabola e retta 1) Calcolo intersezioni fra parabola e retta y=! x + 4 svolgi tutti i passaggi! I % ' y=! x +! x + 4 =! x+ x! x! =... x = # x = x = I # % # x = y=!) + = + y=! + = ) Rappresento la parabola passante per e e con concavità verso il basso. Vertice V= ; 4 ) Rappresento la retta sapendo che passa per e =-1;+) = +; ) ) Calcolo l area compresa di estremi a=-1 e b= y =!x + 4 ; y =!x + rea = #!x + 4)!!x + )) dx = #!x x! ) dx = f sopra )-g sotto) #!x + x + ) dx = calcolo int egrale! x + x % + x ' ) *! /! * ! -. / =! ! 1! 1 + =! 9 + 8! 1 =! + 8! 1 = 5! 1 = 1! 1 g -1 conviene prima sommare = 9 rea = 9/ u + f = 4

5 )rea compresa fra parabola e retta 1) Calcolo intersezioni fra parabola e retta y= x! 6x svolgi tu tutti i passaggi I % ' y=!x x! 6x =!x x! 4 x =... x = # x = 4 x = I # % x = 4 =;) # y=!x = y=!x =!8 = +4; -8) ) Rappresento la parabola di Vertice V= ; -9 ) e passante per e concavità verso alto!) Rappresento la retta sapendo che passa per e y= x! 6x ; y=!x =;) f 4 ) Calcolo l area compresa di estremi a= e b=4 f_sopra) - g_sotto) prima sommare 4 = #!x)! x 4 '! 6x) % dx = ' #!x! x + 6x % dx = 4 = ' #!x + 4x % dx = calcolo int egrale! x + 4 x # ) % =! # % )! [ ] =! 64 + = + =! = 4 = g = +4; -8) rea = / u 5

6 )rea compresa fra parabola e retta 1) Calcolo intersezioni fra parabola e retta # y= x! % I % y= x! x! = x! x! x = xx! 1) = x = x = I # % # x = 1 x = 1 y=! =! y= 1! =! =;-) =1;-) ) Rappresento la parabola di Vertice=;-) [ricorda che la parabola pura ha sempre V= ; c) ] che passa per e e concavità verso l alto Rappresento la retta che passa per e ) Calcolo l area compresa di estremi a= e b=1 y= x! ; y= x! 1 rea = x! )! x 1 prima sommare #! )) dx = x!! x + ) # dx = f sopra) - g-sotto) 1 x # 1 x! x ) dx = calcolo int egrale =! x ' % ) = * + 1! 1 -. /!! ) =! 6 = 1 6 rea = 1/6 u 1 6

7 Caso RE DELL PRTE DI PINO COMPRES FR PROLE y = ax + bx + c RICORD: Se a> la concavità è verso l alto: Se a< la concavità è verso il basso: Per trovare il vertice: V = #! b a ;sostituisco _ x v % ' oppure V =! b # a ;! b! 4ac) % 4a '

8 1) rea compresa fra parabole f : y =!x + 4 1) Calcolo intersezioni fra le parabole y =!x + 4 I % ' y = x! x!x + 4 = x! x x! x + 4 =... x = # x = x = I # % # x = =-1;+5) y =!) + 4 = +5 y =!) + 4 = = +; ) ) Grafico: Rappresento le parabole anche in modo approssimato facendole passare per e. La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!! N:per grafo preciso i vertici sono Vf=;4) Vg=1;-1) ) Calcolo l area compresa di estremi a=-1 e b= rea =!x + 4)! x prima sommare #! x)) dx =!x + 4! x + x) # dx = f sopra) - g sotto) #!x + x + 4) dx = calcolo int egrale =! x + x % + 4x ' ) *! /! * ! 4 -. / =! !! 1+ 4 =! 18-1 g : y = x! x + g f = + 15 =! = +9 rea = 9 u 8

9 ) rea compresa fra parabole 1) Calcolo intersezioni fra le parabole y =!x + x + 4 I % ' y = x! 4x + 4!x + x + 4 = x! 4x + 4 x + 6x =... x = # x = x = =;4) # % # x = y =!) + ) + 4 = +4 y =!) + ) + 4 = 1 = ; 1) ) Grafico: rappresento le parabole anche in modo approssimato facendole passare per e. La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!! N: i vertici sono Vf=1;5) Vg=;) y =!x + x + 4 y = x! 4x + 4 g f ) Calcolo l area compresa fra a= e b= rea = #!x + x + 4)! x! 4x + 4)) dx =!x + x + 4! x + 4x! 4) # dx = f sopra) - g sotto) + #!x + 6x) dx = calcolo int egrale =! x + 6x ' % ) = * +! /! ) = = +9 rea = 9 u 9

10 ) rea compresa fra parabole 1) Calcolo intersezioni fra le parabole y =!x + 4 I % ' y = x! 4x + 4!x + 4 = x! 4x + 4 x! 4x =... x = # x = x = =;+4) I # % # x = y =!) + 4 = +4 = +; ) y =!) + 4 = ) Grafico: rappresento le parabole anche in modo approssimato facendole passare per e. La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!! N: i vertici sono Vf=1;5) Vg=;) ) Calcolo l area compresa di estremi a= e b= y =!x + 4 y = x! 4x + 4 rea =!x + 4)! x prima sommare #! 4x + 4)) dx =!x + 4! x + 4x! 4) # dx = f sopra) - g sotto) + #!x + 4x) dx = calcolo int egrale =! x + 4x ' % ) = *! /! ) =! = = 8 rea = 8/ u g f 1