Funzioni integrabili

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1 Funzioni integrbili 1. Si f : [, b] IR un funzione limitt tle che f(x) risulti integrbile in [, b]. A. f(x) è continu in [, b]. B. f(x) è integrbile in [, b]. 2. Si f : [, b] IR un funzione continu e crescente e si = A. è crescente in [, b]. B. è convess in (, b). 3. Si f(x) un funzione limitt in [, 1]. Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. f(x) è integrbile in [, 1] B. f(x) mmette minimo in [, 1] 4. Si f : [, b] IR un funzione continu tle che ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. f(x) dx =. Provre di A. f(x) = per ogni x [, b]. B. Esiste x [, b] tle che f(x ) =. C. Se G(x) è un primitiv di f(x) in [, b] llor G(b) = G(). 5. Si f(x) funzione integrbile in [, 1] e si = ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. f(x) è continu in [, 1]. x =. C. è derivbile in (, 1). Provre di 6. Si f(x) funzione continu e limitt in [1, + ) e si = A. lim x =. =. x 2 1

2 7. Sino f(x) e g(x) funzioni continue in [, b] tli che f(x) dx = A. Per ogni x [, b] risult f(x) = g(x). B. Esistono x, x 1 [, b] tli che f(x ) = g(x 1 ). C. Esiste x [, b] tle che f(x ) = g(x ). g(x) dx. 8. Si f(x) funzione continu e pri in IR e si = ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. Provre di A. è dispri. = +. C. Per ogni b >, b f(t)dt = 2 9. Si f(x) funzione monoton in [, b]. Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. f(x) è limitt in [, b]. B. = C. = f(t) dt è continu in [, b]. f(t) dt è derivbile in (, b). 1. Si f(x) funzione continu in [, b] e si è un su primitiv in [, b]. A. Esiste x [, b] tle che f(x ) = B. Esiste x [, b] tle che f(x ) = C. Esiste c IR tle che = c + f(x) dx. F (b) F (). b f(t) dt per ogni x [, b]. 11. Si f(x) un funzione continu, positiv e strettmente decrescente in [1, + ) e si = 1 f(t) dt per ogni x 1. Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. mmette minimo in [1, + ). B. Esiste finito lim f(x). C. Esiste finito lim.

3 12. Si f(x) un funzione continu, limitt e positiv in [, + ) e si = x f(t) dt per ogni x. Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. è limitt in [, + ). B. Esiste lim. C. è convess in (, + ). 13. Si f(x) un funzione continu e decrescente in [, + ) tle che lim f(x) =. Posto = ffermzioni se è ver o fls. A. è non negtiv in [, + ). B. è crescente in [, + ). C. è concv (, + ). f(t) dt per ogni x, provre di ciscun delle seguenti 14. Si f(x) funzione continu e dispri in IR e si = f(t)dt per ogni x IR. A. è pri. IR. C. Per ogni b >, b f(t)dt =. 15. Si f(x) funzione continu e strettmente crescente in [, + ) con f() =. A. lim f(x) = +. f(t) dt = Si f(x) funzione continu in [, b] e si un su primitiv in [, b]. A. = f(t) dt. B. Esiste x (, b) tle che f(x ) = F (b) F () b. 17. Si f(x) funzione continu in [ 1, 1] con f() =. Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. Esiste un unic primitiv di f(x) in [ 1, 1] tle che F () =.

4 B. Esiste un unic primitiv di f(x) in [ 1, 1] tle che F () =. 18. Si f(x) funzione continu e limitt in [, + ) e si = f(t) dt per ogni x [, + ). Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. esiste lim x C. lim = x 2 = 19. Si f(x) funzione continu e positiv in [1, + ) tle che lim Posto = ffermzioni se è ver o fls. 1 A. è limitt in [1, + ). B. è positiv in (1, + ). f(x) =. f(t) dt per ogni x, provre di ciscun delle seguenti C. Esiste lim IR {+ }. 2. Si f(x) funzione continu in [, b] e si x (, b). Provre di ciscun delle seguenti ffermzioni se è ver o fls. A. Per ogni y IR esiste un unic funzione y(x) derivbile in (, b) tle che y (x) = f(x) per ogni x (, b) e y(x ) = y. B. Se y (x) = f(x) per ogni x (, b) llor y(x) = y(x ) + ogni x [, b]. x f(t) dt per

5 Risposte 1. A. fls, B. fls 2. A. fls, B. ver 3. A. fls, B. fls 4. A. fls, B. ver, C. ver 5. A. fls, B. ver, C. fls 6. A. fls, B. ver 7. A. fls, B. ver, C. ver 8. A. ver, B. fls, C. ver 9. A. ver, B. ver, C. fls 1. A. fls, B. ver, C. ver 11. A. ver, B. ver, C. fls 12. A. fls, B. ver, C. fls 13. A. ver, B. ver, C. ver 14. A. ver, B. fls, C. ver 15. A. fls, B. ver 16. A. fls, B. ver 17. A. ver, B. fls 18. A. fls, B. fls, C. ver 19. A. fls, B. ver, C. ver 2. A. ver, B. ver