Area di una superficie piana o gobba 1. Area di una superficie piana. f x dx 0 e quindi :

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Ida Arena
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1 Are di un superficie pin o go Are di un superficie pin L're dell superficie del trpezoide si B ottiene pplicndo l seguente formul: f d [] A T e risult 0 [, ] è f f d 0 e quindi : [] f d f d f d f d c Nel cso dell figur imo: c [] f d f d f d f d f e g con c c c f g [, ] llor : f d g d [ f g ] d [] P f() C = f() Q g() P = g() A Q

2 Are di un superficie pin o go A volte l curv può essere ssegnt medinte un'equzione del tipo F, 0 l qule definisce implicitmente le funzioni f ed P = f() g corrispondenti i due rchi di curv e. Anche in questo cso Q = g() continu sussistere l formul []. e c ], [, se f g c [, ], se f g [ c, ], l're dell regione finit di pino individut dlle curve e, dll'sse delle scisse e dlle rette, vle: c [ g f ] d [ f g ] d c = f() c = g() Clcolo dell're di un superficie vente come contorno i grfici di due o più funzioni: metodo dell circuitzione i l're dell regione finit di pino individut di grfici,,, delle funzioni f, f, f, f. Fissto sul contorno di come verso di percorrenz quello orrio, clcolimo le coordinte dei punti d'intersezione fr i vri grfici. e trovimo: P,, P,, P, imo: f d f d f d f d, P, f P P f f P f P P f P f f P f P

3 Are di un superficie pin o go e qulcuno dei grfici,,, è un segmento verticle, llor il corrispondente integrle definito è nullo si per vere uguli gli estremi di integrzione si per vere d 0. Pertnto tle integrle può essere trscurto. Nel cso dell figur imo : f d f d f d f d f d f d f d Are di un dominio pino medinte un integrle doppio L re di un dominio pino ci viene fornit dl seguente integrle doppio: dd dove è l frontier del dominio. Medinte le relzioni cos sin rctg si pss dlle coordinte crtesine quelle polri e vicevers. Così fcendo l integrle doppio coordinte polri. i ottiene: d d d d C d d può essere clcolto utilizzndo le Utilizzndo le formule di Green Guss nel pino possimo clcolre l re di un dominio pino vente come frontier l curv pin percors in senso ntiorrio (verso positivo) medinte uno dei tre seguenti integrli curvilinei: d d d d i solito l curv è ssegnt medinte le seguenti equzioni prmetriche: t t con t t t In tl cso, se un suo generico punto, l vrire del prmetro t dl vlore t l vlore t, l descrive in senso ntiorrio, imo: t t t t td t t t d t t t t t d t t t t Qundo è ssegnt medinte un equzione crtesin, il clcolo dell re del dominio pino vente come frontier l curv pin non è sempre semplice.

Are di un superficie pin o go Are di un dominio pino in coordinte polri In un pino riferito d un sistem di coordinte polri, considerimo un curv di equzione, f essendo.

definit, continu e non negtiv in un intervllo () L curv è semplice, chius e non contiene il polo l suo interno In questo cso il dominio pino individuto dll curv è polrmente

L re del dominio è espress d: Avendo indicto con f g d f e g luogo dei punti di ingresso e di uscit.

4 Are di un superficie pin o go Are di un dominio pino in coordinte polri In un pino riferito d un sistem di coordinte polri, considerimo un curv di equzione, f essendo. Esminimo i tre seguenti csi: () L curv un rco In questo cso l re del dominio delimitto d e di segmenti A ed, rispettivmente di nomlie e, è espress d: f d f un funzione definit, continu e non negtiv in un intervllo () L curv è semplice, chius e non contiene il polo l suo interno In questo cso il dominio pino individuto dll curv è polrmente normle in qunto ogni rggio polre di nomli, incontr l frontier in due soli punti detti, rispettivmente, punto di ingresso e punto di uscit. L re del dominio è espress d: Avendo indicto con f g d f e g luogo dei punti di ingresso e di uscit. () L curv è semplice, chius, contiene il polo l suo interno ed il dominio delimitto d è descritto d un rggio vettore che compie un solo giro intero intorno l polo. e f è l equzione polre dell curv pin, l re rispettivmente le equzioni polri delle curve pine del dominio è espress d: f d 0

5 Are di un superficie pin o go 5 Clcolo dell re di un superficie curv (go) Nel cso in cui (,, z) l integrle z z f, esprime superficile (,, z) d d Q l re dell superficie. e l funzione (,, z ) è identicmente ugule ll unità, llor l [] ci fornisce l re dell superficie P di equzione z f, : f f d d dove è l proiezione ortogonle dell superficie sul pino. Utilizzndo le notzioni di Monge, p f f f q f imo: L stess re, in coordinte polri, è dt d: p q d d f f g g d d d d C C dove le formule 5 cos, sin consentono il cmio delle vriili. z f (, ) f ( cos, sin ) g(, ) ove C è il dominio del pino corrispondente l dominio del pino. Quindi le equzioni prmetriche dell superficie sono: e F,, z 0 è l equzione dell superficie imo cos sins z f (, ) f ( cos, sin ) g(, ) e quindi: z 5 d F F F d d e l superficie è dt in form prmetric: ( u,v) ( u,v) z z( u,v) imo: d J J J du dv EG F du dv C C ove C è il dominio del pino u v corrispondente l dominio del pino.

6 6 Are di un superficie pin o go EG F J J J J, J, J sono i minori del secondo ordine dell mtrice Jcoin: J( u, v) u v u v z u z v spendo che: u ( u), u u z u ( u),... zv z(v) v (,v) u u J u J ( u, v ) v v z u u J z ( u, v ) v v z u u con: z v v J J J EG F se: z z z E F u u u u v u v u v z G v v v z Clcolre l re dell prte di superficie di proloide rotondo z ( ) contenut nel I ottnte ed intercettt di pini 0 ed. o = Posto f (, ) ( ) ottenimo: f, f f f d d d d essendo il settore circolre indicto in figur. Pssndo d coordinte crtesine coordinte 8 polri ottenimo: d d d d 0 0

7 Are di un superficie pin o go 7 uperficie di rotzione L superficie è genert dll rotzione complet ttorno ll sse di un rco di curv pin. : f t : t t f f d t t t d t e l rco di curv pin compie un rotzione di mpiezz (misurto in rdinti) imo: f f d t t t d t

8 Are di un superficie pin o go Primo teorem di Pppo Guldino L re dell superficie genert dll rotzione complet di un line pin limitt intorno d un rett che non l ttrversi, è ugule l prodotto dell misur

8 8 Are di un superficie pin o go Primo teorem di Pppo Guldino L re dell superficie genert dll rotzione complet di un line pin limitt intorno d un rett che non l ttrversi, è ugule l prodotto dell misur di tle line per l misur C dell circonferenz descritt dl ricentro G dell line stess. C d dove d è l distnz del ricentro G dll sse di rotzione, cioè d è il rggio dell circonferenz descritt dl punto G nell su rotzione. Nel cso di un rotzione di un ngolo 0, imo: C d dove C d rppresent l lunghezz dell rco di circonferenz descritto dl ricentro nell rotzione dell ngolo. econdo teorem di Pppo Guldino Il volume del solido di rotzione generto dll rotzione di un regione finit di pino intorno d un sse che non l ttrversi è dto dl prodotto dell re dell regione per l lunghezz dell circonferenz descritt dl ricentro.

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