Nozioni di Goniometria

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1 Misur degli ngoli Nozioni di Goniometri Per misurre un ngolo occorre fissrne l unità di misur. Gli ngoli possono essere misurti in: grdi sessgesimli; grdi centesimli; grdi millesimli; rdinti; ore. Misur degli ngoli in grdi sessgesimli Come unità prtic di misur per gli ngoli si ssume il grdo sessgesimle, che si definisce come l 360ª prte di un ngolo giro. Il grdo viene indicto con il simolo [ ]. Qundo si usno i grdi, vengono utilizzti nche dei sottomultipli: il minuto primo o semplicemente primo, pri ll 60ª prte del grdo; i primi vengono indicti con il simolo [ ]; il minuto secondo o semplicemente secondo, pri ll 60ª prte del primo e ll 3600ª prte del grdo; i secondi vengono indicti con il simolo [ ]. Il sistem di misurzione degli ngoli in grdi sessgesimli risle ll ntic civiltà ilonese. L notzione in grdi, primi e secondi è nche dett in sigl DMS (Degree, Minute, Second ovvero Grdi - Minuti - Secondi). Form decimle dei grdi I sottomultipli del grdo, oltre che in primi e secondi, possono essere espressi in un ltro modo, l cosiddett modlità decimle DD (Deciml Degree). Le clcoltrici scientifiche lvorno normlmente fornendo le misure ngolri in modlità decimle. Per convertire il vlore di un ngolo d grdi, minuti e secondi in grdi decimli si us l seguente formul: minuti secondi DMS DD: grdi decimli grdi Ad esempio diventno 14 14, Per convertire il vlore di un ngolo espresso in grdi decimli in uno in grdi, minuti e secondi si us l seguente procedur: 1) l prte inter in grdi è l stess; ) l prte decimle viene moltiplict per 60; di tle prodotto l prte inter dà il vlore dei minuti; 3) si moltiplic l prte decimle del prodotto ncor per 60: il risultto è il vlore dei secondi. Ad esempio volendo convertire 5,475 in grdi DMS si h: 1) D = 5 ) 0, = 8,35 M = 8; 3) 0,35 60 = 1 S = 1. e quindi 5,475 (DD)

2 Misur degli ngoli in rdinti In un contesto mtemtico, gli ngoli vengono normlmente misurti in rdinti oltre che in grdi. Assegnt un generic circonferenz di rggio OA, indichimo con l ngolo AO ˆ P : AOP ˆ L misur dell ngolo in rdinti è dt dl rpporto tr l lunghezz L dell rco AP sotteso dll ngolo e l lunghezz R del rggio OA: RAD L R AP OA Tle rpporto non dipende dl rggio dell circonferenz. Osservimo che l misur in rdinti di un ngolo è un numero puro, ossi è dimensionle, dto che esprime il rpporto tr due lunghezze. Vlori in rdinti dell ngolo giro e dell ngolo pitto. Il vlore dell'ngolo giro in rdinti è presto ricvto dt l definizione precedente. L'rco sotteso d un ngolo giro corrisponde tutt l circonferenz e dunque h lunghezz pri L R dove R è il rggio dell circonferenz. Dll definizione si h così: giro L R R R giro 6,8 Il vlore dell ngolo pitto in rdinti è poi ricvto ricordndo che l ngolo pitto è l metà dell ngolo giro e pertnto: pitto giro pitto 3,14 Conversione tr grdi e rdinti. È possiile convertire l misur di un ngolo d grdi sessgesimli (DD) in rdinti e vicevers. Per operre tle trsformzione si us l seguente proporzione, st sul ftto che conoscimo l espressione dell ngolo pitto si in grdi si in rdinti: 180 : : RAD Si fcci ttenzione l ftto che nell proporzione l ngolo è espresso in form decimle. Risolvendo l proporzione si h: 180 per pssre d grdi rdinti: RAD ; RAD per pssre d rdinti grdi: 180. Utilizzndo l prim relzione di conversione ricvimo l seguente tell, che esprime i vlori in rdinti dei principli ngoli: R L - -

3 ngolo ngolo rd Esempio 1. Convertire l ngolo = in rdinti. In primo luogo esprimimo l misur dell ngolo in form decimle: , Applichimo l formul di conversione per ricvre il vlore in rdinti: RAD 47, , Esempio. Convertire l ngolo = 1,35 in grdi. In primo luogo ricvimo l misur dell ngolo in grdi nell form decimle: 1, , 984 RAD Esprimimo poi il vlore dell ngolo in form DMS (grdi, minuti e secondi): 75, ' 4,1" Lunghezz dell'rco di circonferenz L lunghezz di un rco di circonferenz è immeditmente ricvile qundo si lvor con gli ngoli misurti in rdinti; inftti, invertendo l definizione di rdinti, si ottiene: L RAD R Dunque dto l'ngolo sotteso dll'rco e il rggio dell circonferenz un semplice prodotto ci port d vere l lunghezz d'rco corrispondente. Un relzione così semplice ed immedit è impossiile con l'uso dei grdi. Esempio 1. Si vogli clcolre l misur in grdi (DMS) dell ngolo sotteso d un rco di circonferenz l cui lunghezz L è 17 m e il cui rggio R è 8,5 m. Clcolimo il vlore dell ngolo in rdinti: RAD L 17 R 8,5,00 Successivmente convertimo tle vlore in grdi decimli: RAD, , 5916 e in grdi DMS: ' 9,6" - 3 -

4 Esempio. Si vogli clcolre l lunghezz L di un rco di circonferenz sotteso d un ngolo l cui misur in grdi (DMS) è e il cui rggio R è 16 m. Come primo psso esprimimo il vlore dell ngolo in grdi decimli (DD): , Clcolimo poi il vlore dell ngolo in rdinti: RAD 5,5967 0, Infine clcolimo l lunghezz dell rco L: L R160,4467 7,15. RAD - 4 -

5 Circonferenz goniometric L Circonferenz Goniometric è l circonferenz di centro O(0;0) e rggio 1. Ricordimo che in se ll Geometri Anlitic un circonferenz di centro C x 0 ; y 0 e rggio r h come equzione: x x y y 0 0 r Sostituendo x ; y 0; r 1 si h: x 0 y 0 1 ottenendo così: x y 1 OA 1 Coincidenz tr rchi ed ngoli sull circonferenz goniometric. Poiché sull circonferenz goniometric il rggio OA è unitrio, l misur in rdinti di un ngolo ssume un vlore prticolre: RAD AP OA AP 1 AP Si ottiene così che sull circonferenz goniometric l misur dell ngolo in rdinti coincide con l lunghezz dell rco corrispondente. Per questo motivo in seguito si prlerà indifferentemente di ngoli o rchi. Archi o ngoli orientti. Si ssume che il punto A si l origine degli rchi, e che il lto OA si l origine degli ngoli. Si consider positivo il verso di percorrenz ntiorrio e negtivo il verso orrio. Avremo llor ngoli o rchi positivi e ngoli o rchi negtivi second dell posizione del punto e del verso di percorrenz. Nell figur finco l rco (o l ngolo AP AO ˆ P ) è positivo, mentre l rco A P ' A O ˆP (o l ngolo ' ) è negtivo

6 Inoltre si può vedere che d uno stesso punto P sull circonferenz goniometric può corrispondere un ngolo positivo o un ngolo negtivo, second di se, prtire d A, si giunge quel punto percorrendo l circonferenz in senso ntiorrio od orrio. Nell tell seguente trovimo per lcuni ngoli i vlori positivi e i corrispondenti negtivi. ngolo positivo ngolo negtivo Angoli propri e ngoli impropri. Immginimo di percorrere l circonferenz goniometric in senso ntiorrio prtire dl punto A: il vlore dell lunghezz dell rco percorso (che coincide con l mpiezz dell ngolo espress in rdinti) umenterà vi vi prtire dl vlore 0. Dopo un qurto di giro sremo / o (90 ), dopo mezzo giro sremo, dopo un giro completo sremo. E se continuimo? L misur dell lunghezz dell rco percorso (e dell ngolo descritto) umenterà ulteriormente, oltre o 360. È dunque possiile definire rchi di lunghezz superiore o ngoli di mpiezz mggiore di 360. Per chirezz gli rchi l cui mpiezz è non mggiore di un circonferenz sono detti rchi propri, mentre quelli l cui mpiezz super un circonferenz sono detti rchi (o ngoli) impropri. L misur dell mpiezz di un rco o ngolo improprio si può sempre ricondurre quell di un rco proprio più un numero intero di giri, medinte il metodo delle sottrzioni successive. Ad esempio un ngolo improprio di 1000 si riconduce d un ngolo proprio di 80 + giri: 1000 = Anlogmente un ngolo negtivo di si riconduce d un ngolo proprio di giri: =

7 Definizione di Coseno e Seno Considerimo un generico punto P pprtenente ll circonferenz goniometric. Il segmento OP form con l metà positiv dell sse x un ngolo, indicto con. L posizione del punto P può essere fcilmente individut conoscendo il vlore di tle ngolo. Essendo inoltre il punto P un punto del pino crtesino, esso può nche essere individuto dlle sue due coordinte crtesine, l sciss e l ordint. Si definisce llor coseno di (cos ) l sciss del punto P, mentre si definisce seno di (sen l ordint del punto P. Per chirezz si precis che il coseno (e il seno) di un ngolo non è un segmento m l misur di un segmento orientto, cioè un numero rele con segno. In ltre prole, il coseno dell ngolo è l misur del segmento OH, pres con segno positivo se H è destr di O, con segno negtivo se H è sinistr di O. Anlogmente il seno dell ngolo è l misur del segmento OK, pres con segno positivo se K è l di sopr di O, con segno negtivo se K è l di sotto di O. 1ª identità fondmentle dell goniometri Poiché il tringolo OPH è rettngolo, vle il teorem di Pitgor: OH + HP = OP m OH = cos ; HP = OK = sen ; OP è il rggio dell circonferenz goniometric e vle 1; sostituendo vremo dunque cos sin 1 Tle relzione prende il nome di 1ª i- dentità fondmentle dell goniometri. Definizione di tngente Trccimo l rett verticle, tngente ll circonferenz goniometric e pssnte per il punto A (1;0). Il prolungmento del segmento OP incontr tle rett nel punto Q. Si definisce llor tngente goniometric dell ngolo - 7 -

8 (tg ) l ordint AQ del punto Q o in ltre prole, l misur del segmento AQ, pres con segno positivo se Q è l di sopr di A, con segno negtivo se Q è l di sotto di A. Anche in questo cso, come per il coseno e il seno, l tngente di un ngolo non è un segmento m l misur di un segmento orientto, cioè un numero rele con segno. ª identità fondmentle dell goniometri Considerimo i tringoli rettngoli OPH e OQA: essi hnno in comune l ngolo e sono simili, ovvero i loro lti sono in proporzione. AQ : OA = HP : OH risult AQ = tg ; OA = rggio = 1 HP = OK = sen ; OH = cos ; sostituendo ottenimo: tg : 1 = sen : cos e cioè: sin tg. cos Tle relzione prende il nome di ª identità fondmentle dell goniometri. Definizione di cotngente L cotngente è un qurt funzione goniometric, dell qule si può dre un definizione geometric, come segue: trccimo l rett orizzontle, tngente ll circonferenz goniometric e pssnte per il punto B (0;1). Il prolungmento del segmento OP incontr tle rett nel punto R. Si definisce llor cotngente goniometric dell ngolo cotg l sciss del punto R, o in ltre prole, l misur del segmento BR, pres con segno positivo se R è destr di B, con segno negtivo se R è sinistr di B. Medinte considerzioni di crttere geometrico si può vedere che l cotngente può essere nche definit più semplicemente come il reciproco dell tngente: 1 cos cotg tg sin - 8 -

9 Coseno, Seno, Tngente e Cotngente come funzioni goniometriche Nelle pgine precedenti imo definito sull circonferenz goniometric coseno, seno, tngente e cotngente e le identità fondmentli che le legno. Coseno, seno, tngente e cotngente vengono comunemente chimte funzioni goniometriche o funzioni circolri. Vedimo perché. Ricordimo che in mtemtic un funzione y = f(x) è un corrispondenz che d ogni vlore (mmissiile) dell vriile indipendente x ssoci un unico vlore dell vriile indipendente y secondo un legge ssegnt. Aimo poi denominto dominio dell funzione l insieme dei vlori dell vriile indipendente x in cui l funzione f è definit o clcolile e codominio dell funzione l insieme dei vlori ssunti dll vriile dipendente y. Nel nostro cso ssumimo come vriile indipendente l ngolo positivo o negtivo misurto sull circonferenz goniometric; il coseno di un ngolo è dunque quell funzione mtemtic che d ogni ngolo ssoci il coseno di quest ngolo, come definito precedentemente sull circonferenz goniometric. Anlogmente per seno, tngente e cotngente: y cos y sen y tg y cotg Dominio delle funzioni goniometriche Per qunto rigurd il coseno e il seno, dto un qulsisi ngolo, individuto corrispondentemente il punto P sull circonferenz goniometric, è sempre possiile costruire le proiezioni ortogonli HO e KO sugli ssi x e y e determinre coseno e seno dell ngolo. Pertnto il dominio si del coseno che del seno è dunque tutto l'sse rele e si può scrivere: Dominio(coseno) = R oppure R Dominio(seno) = R oppure R Considerimo or l funzione tngente: mno mno che l ngolo si vvicin l vlore di 90 (o di / in rdinti), il punto P si vvicin l punto B(0;1) e le semirette OP tendono diventre sempre più vicine ll verticle, determinndo un umento vertiginoso del vlore dell ordint del punto Q e cioè dell tngente; qundo l ngolo vle proprio 90 il punto P sull circonferenz coinciderà con il punto B, l semirett OP srà verticle e prllel ll rett verticle per A: le due rette srnno prllele e pertnto non vrnno punto di intersezione o nche, vrnno intersezione ll infinito. Per questo motivo non è definito il vlore dell tngente per l ngolo di 90 ; si può nche dire che l tngente 90 è infinit. Un discorso nlogo si può ripetere per l ngolo di 70 e per tutti gli ngoli impropri definiti nei giri successivi. Con riferimento l dominio possimo llor concludere: - 9 -

10 90 o in rdinti R k, con k Z Dominio(tngente) = R k180, con k Z A quest conclusione si potev giungere nche per un ltr strd e cioè considerndo che, grzie ll sin II identità fondmentle, l tngente è definit come tg. cos Poiché il denomintore di un frzione non può essere mi nullo, occorre escludere dl dominio i vlori per i quli il coseno vle zero, che risultno essere proprio 90 e 70. Per l funzione cotngente si può ripetere un discorso del tutto nlogo; sinteticmente possimo dire che l cotngente non è definit qundo l ngolo vle 0 oppure 180 : Dominio(cotngente) = R k 180, con k Z o in rdinti R k, con k Z Segni delle funzioni goniometriche nei 4 qudrnti Le funzioni goniometriche coseno, seno, tngente, cotngente possono essere positive, negtive o nnullrsi. Nell tell seguente è riportto il segno che ognun di esse ssume nei 4 qudrnti: Qudrnte cos ( ) sin ( ) tg ( ) cotg ( ) I II III IV Periodicità delle funzioni goniometriche Supponimo di fr vrire l ngolo su tutt l circonferenz e di clcolre le funzioni goniometriche coseno e seno. Nel momento in cui l ngolo super il vlore di 360 ritorneremo sulle stesse posizioni i- nizili e ovvimente, le funzioni goniometriche ri-ssumernno gli stessi vlori del giro precedente. Possimo esprimere questo concetto dicendo che le funzioni goniometriche coseno e seno sono funzioni periodiche, e il periodo, definito come l intervllo dell vriile indipendente dopo cui l funzione ssume gli stessi vlori, vle 360 : cos sen 360 cos 360 sen Per qunto rigurd le funzioni tngente e cotngente non è necessrio spettre un giro completo perché esse ssumno gli stessi vlori, m, come si vede nell figur finco, è sufficiente mezzo giro: Possimo esprimere questo concetto dicendo che le funzioni goniometriche tngente e cotngente sono funzioni periodiche di periodo pri 180 :

11 tg 180 tg cotg 180 cotg Codominio delle funzioni goniometriche Coseno e seno. Coseno e seno sono stte definite come l sciss e l ordint di un punto P vriile sull circonferenz goniometric, di rggio unitrio. Il mssimo vlore dell sciss si h qundo P è sul punto A, il minimo vlore qundo P è sul punto A ; nlogmente il mssimo vlore del seno si h qundo il punto P coincide con B, il minimo vlore qundo P coincide con B. Possimo quindi concludere dicendo che 1 cos 1 e 1 sen 1 Pertnto le funzioni goniometriche coseno e seno hnno per codominio l intervllo -1; 1. Codominio(coseno) = -1; 1 Codominio(seno) = -1; 1 Tngente. Per qunto rigurd l tngente, essendo definit come l ordint di un punto l di fuori dell circonferenz goniometric, ess può ssumere qulsisi vlore rele; ciò si esprime dicendo che: Codominio(tngente) = R. Per l cotngente vle un discorso nlogo e dunque: Codominio(cotngente) = R. Vlori delle funzioni goniometriche nei principli ngoli Nell tell seguente vengono riportti i vlori che le funzioni goniometriche ssumono nei principli ngoli: ngolo ngolo rd cos 1 sin 0 tg cotg

12 - 1 -

13 Grfici delle funzioni goniometriche Il grfico dell funzione coseno y cos x i chim cosinusoide; il grfico dell funzione seno y senx si chim sinusoide; infine il grfico dell funzione y tgx si chim tngentoide. cosinusoide sinusoide tngentoide

14 Ricvre tre funzioni goniometriche qundo ne è not un qurt 1) Qundo si conosce solo il coseno di un ngolo, è possiile determinre, utilizzndo lcune formule che si ricvno delle identità fondmentli, il vlore del seno, dell tngente e dell cotngente dello stesso ngolo : sin 1 cos tg sin cos 1 cotg tg Il segno v scelto in se l qudrnte cui pprtiene l ngolo. cos sen ) Anlogmente, qundo si conosce solo il seno di un ngolo, è possiile determinre, utilizzndo ltre formule, il vlore del coseno, dell tngente e dell cotngente dello stesso ngolo : cos 1sin sen tg cos 1 cotg tg cos sen Anche qui il segno v scelto in se l qudrnte cui pprtiene l ngolo (vedi l tell dei segni delle funzioni goniometriche). 3) Qundo si conosce solo l tngente di un ngolo, è possiile determinre il vlore dell cotngente, del coseno e del seno dello stesso ngolo : 1 cotg tg cos 1 1 tg sen tg 1 tn 4) Qundo si conosce solo l cotngente di un ngolo, è possiile determinre il vlore dell tngente, del coseno e del seno dello stesso ngolo : 1 tg cotg cos 1 1 tg sen tg 1 tn

15 Angoli Associti ngoli opposti: - ngoli esplementri: cos(-α) = cos(α) sin(-α) = - sin α tg(-α) = - tg α cotg(-α) = - cotg α cos(360 - α) = cos α sin(360 - α) = - sin α tg(360 - α) = - tg α cotg(360 -α) = - cotg α cos( - α) = cos α sin( - α) = - sin α tg(- α) = - tg α cotg(-α) = - cotg α ngoli supplementri: ngoli complementri: 90 - cos(180 - α) = - cos α sin(180 - α) = sin α tg(180 - α) = - tg α cotg( - α) = - cotg α cos( - α) = - cos α sin( - α) = sin α tg( - α) = - tg α cotg( - α) = - cotg α sin(90 - α) = cos α cos(90 - α) = sin α tg(90 - α) = cotg α cotg(90 - α) = tg α sin(/ - α) = cos α cos(/ - α) = sin α tg(/ - α) = cotg α cotg(/ - α) = tg α ngoli che differiscono di 90 : 90 + ngoli che differiscono di 180 : cos(90 + α) = - sin α sin(90 + α) = cos α tg(90 + α) = - cotg α cotg(90 + α) = - tg α cos(/ + α) = - sin α sin(/ + α) = cos α tg(/ + α) = - cotg α cotg(/ + α) = - tg α cos( + α) = - cos α sin( + α) = - sin α tg( + α) = tg α cotg( + α) = cotg α cos( + α) = - cos α sin( + α) = - sin α tg( + α) = tg α cotg( + α) = cotg α

16 Principli Formule Goniometriche cos sin Formule di ddizione cos cos sin sin sin cos cos sin tn tn tn 1 tn tn cos sin Formule di sottrzione cos cos sin sin sin cos cos sin tn tn tn 1 tn tn Formule di dupliczione cos cos cos cos cos 1 sin sin 1 sin sin cos tn tn 1 tn Formule di isezione 1 cos cos 1 cos sin 1 cos tn 1 cos Formule prmetriche 1 t cos t 1 t sin t,con t tg

17 1 t tg 1 t

18 Equzioni goniometriche elementri Un equzione si dice goniometric se ess contiene lmeno un funzione goniometric. Si dicono e- quzioni goniometriche elementri equzioni del tipo: cos x sin x tn x c cos x Equzioni in coseno Indicto con l ngolo fondmentle che risolve l equzione (ricvto dlle tvole o con l clcoltrice, usndo l funzione invers), si vrà un doppi infinità di soluzioni: x k 360 x k 360 k Z k Z Equzioni in seno sin x Indicto con l ngolo fondmentle che risolve l equzione (ricvto dlle tvole o con l clcoltrice, usndo l funzione invers), si vrà un doppi infinità di soluzioni: x k 360 x 180 k 360 k Z k Z Equzioni in tngente tn x c Indicto con l ngolo fondmentle che risolve l equzione (ricvto dlle tvole o con l clcoltrice, usndo l funzione invers), si vrà un semplice infinità di soluzioni: x k 180 k Z

19 Risoluzione dei tringoli rettngoli Nozioni di Trigonometri Risolvere un tringolo rettngolo signific trovre tutti i suoi elementi. Esistono tre importnti relzioni tr gli elementi di un tringolo rettngolo utili tle scopo: 1) in ogni tringolo rettngolo un cteto è ugule ll ipotenus per il coseno dell ngolo dicente; ) in ogni tringolo rettngolo un cteto è ugule ll ipotenus per il seno dell ngolo opposto; 3) in ogni tringolo rettngolo un cteto è ugule ll ltro cteto per l tngente dell ngolo opposto. i Schemticmente si h: formule dirette formule inverse - 1 formule inverse - i cos i sen tg cos i i cos sen i i sen tg tg Ricordimo che, essendo il tringolo rettngolo, vle per esso il teorem di Pitgor, che leg tr loro le lunghezze dei cteti e dell ipotenus: i i i

20 Schem opertivo per l risoluzione dei tringoli rettngoli dti noti i ipotenus i ngolo cteto ngolo opposto cteto ngolo dicente i sen i cos i 90 tg tg cteto ipotenus i i i cteto ipotenus i i i cteto cteto i i sen 90 i cos 90 rcsen i 90 rcsen i 90 rctg

21 Risoluzione dei tringoli generici Risolvere un tringolo generico signific trovre tutti i suoi elementi. Per questo, esistono due utili teoremi: il teorem di Crnot o del Coseno ed il teorem dei Seni. Teorem dei Seni C Il teorem dei seni fferm che in un tringolo generico il rpporto tr lto e seno dell ngolo opposto è costnte. In formul: sin sin sin c Il teorem dei seni può essere utilizzto per l risoluzione dei tringoli generici qundo sono noti: ) 1 lto e ngoli; ) lti e l ngolo non compreso fr essi. A c B Teorem di Crnot o del Coseno C Il teorem di Crnot è un generlizzzione di quello di Pitgor: esso fferm che in un tringolo generico il qudrto di ogni lto è dto dll somm dei qudrti degli ltri due lti, diminuit del doppio prodotto delle misure dei due lti per il coseno dell ngolo fr essi compreso: c c cos Anlogmente per gli ltri due lti, in mnier ciclic: A c B c c c cos e cos Il teorem di Crnot può essere utilizzto per l risoluzione dei tringoli generici qundo sono noti: c) lti e l ngolo compreso fr essi. d) 3 lti

22 Schem opertivo per l risoluzione dei tringoli generici C A c B dti noti c 1 lto c e sin c ngoli dicenti e sin sin c sin c 180 lti e e l ngolo non compreso sin c rcsin sin sin 180 lti e e l ngolo compreso c cos 180 rcsin sin c 3 lti, e c c rccos c c rccos c c