APPUNTI DI TOPOGRAFIA MODULO 1

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1 APPUNTI DI TOPOGRAFIA MODULO 1 ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E USO DI MACCHINE CALCOLATRICI PROF. SPADARO EMANUELE

2 UNITA DIDATTICA N 1 UNITA DI MISURA DEGLI ANGOLI E USO DELLE MACCHINE CALCOLATRICI

3 Alfbeto Greco minuscol Letter Grec Corrispondente letter itlin Nome delle lettere miuscol A lf B b bet g gmm d delt E e épsilon Z z zet H e ét th thet I i iot K c cpp l lmbd M m mu N n nu cs csi O o òmicron p pi (greco) P r rho s sigm T t tu Y u (frncese) upsilon f fi X ch chi ps psi o omég Segni Mtemtici Segno significto Segno significto perpendicolre, 90 circ non perpendicolre mggiore prllelo mggiore o ugule ugule e prllelo minore ugule (identico) minore o ugule coincidente sommtori non ugule (diverso) pprtiene congruenete non pprtiene simile d, 3

4 DEFINIZIONE DI ANGOLO Si definisce ngolo l prte di pino compres fr due semirette che hnno origine nello stesso punto fig. 1 DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO Per evitre l incertezz se si intend o l ngolo fr i due segmenti OA e OB è opportuno dre un orientmento l senso di rotzione che deve vere un segmento per sovrpporsi ll ltro con il qule form l ngolo in questione. In topogrfi si us il senso orrio e si dirà che l ngolo è rppresentto dll rotzione che deve compiere il segmento OA per sovrpporsi d OB. Si scriverà quindi: = AOB; = BOA. Esercizio proposto Rppresentre in scl opportun l spezzt (poligonle pert) dell qule sono noti i seguenti elementi: AB = 16,8m; BC = 19,3m; CD = 15,1m; DE = 10,9m; EF = 13,1m; ABC = = 140 ; BCD = = 130 ; CDE = = 100 ; DEF = = 80. Suggerimento: utilizzndo un goniometro destrorso (che vnz con l grduzione in senso orrio), posizionre lo zero nell direzione dell prim letter dell tern che individu il generico ngolo e il numero che rppresent l su mpiezz nell direzione dell terz letter. UNITA DI MISURA DEGLI ANGOLI Le unità di misur ngolri utilizzti in topogrfi sono : i sessgesimli (sg); i sessdecimli (sd); i centesimli o gon (g); i rdinti (rd) per l verità questi sono qusi mi utilizzti in topogrfi. I Sessgesimli L unità di misur è il grdo che si definisce come l novntesim prte dell ngolo retto. L ngolo sessgesimle si indic con i grdi ( ), i primi ( ) e i secondi ( ). primi e secondi sono sottomultipli del grdo. 4

5 In prticolre: 1 (un grdo) = 60 (sessnt primi) 1 (un primo) = 60 (sessnt secondi) perciò: 1 = 3600 In genere un ngolo in sessgesimli si indic: sg = g p s. Ad esempio = I Sessdecimli L unità di misur è l stess del sistem sessgesimle. Il sistem sessdecimle è stto introdotto per semplificre le operzioni di clcolo un tempo onerose. L ngolo sessdecimle è composto d grdi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimi di grdo. Un esempio di ngolo sessdecimle è il seguente: = 11,6359. Si per i sessgesimli che per i sessdecimli le clcoltrici scientifiche vnno impostte in DEG (D). PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A SESSADECIMALI Per effetture l conversione d sessgesimle sessdecimle, tenendo conto dell relzione esistente fr il grdo e i suoi sottomultipli, si può utilizzre l seguente relzione: sd p' s" g. 60' 3600" Esercizio risolto Trsformre in sessdecimle il seguente ngolo: = = /60 + /3600 = 113,561 Si ripete l esercizio usndo l clcoltrice scientific (le procedure si riferiscono ll clcoltrice SHARP EL-506R) sull qule, dopo verl impostt in DEG si pigino i seguenti tsti: DMS 1 5 DMS DMS ndf DEG Esercizio proposto Trsformre con e senz clcoltrice scientific d sessgesimle sessdecimle i seguenti ngoli: = ; =

6 PASSAGGIO DA SESSADECIMALE A SESSAGESIMALE Qundo si vuole trsformre un ngolo d sessdecimle sessgesimle si procede nel seguente modo: si dto: = 73,1347 = 73 (0,1347 x 60) = 73 08,08 = (0,08 x 60) = ,9. Utilizzndo l clcoltrice scientific, dopo verl impstt in DEG, il procedimento è il seguente: 7 3, ndf DMS Esercizio proposto Trsformre con e senz clcoltrice scientific d sessdecimle sessgesimle i seguenti ngoli: = 39,134; = 15,9999. I Centesimli (o Gon) Sono strutturti in modo nlogo i sessdecimli, perciò hnno un prte inter rppresentt di grdi centesimli (o gon) e quttro decimli che rppresentno i decimi, centesimi, millesimi e decimillesimi di grdo. L ngolo giro in centesimli cont 400 gon, l ngolo pitto 00 gon e l ngolo retto 100 gon. Perciò il grdo centesimle corrisponde ll centesim prte dell ngolo retto. Vi sono modi diversi per scrivere un ngolo centesimle. 1 modo: = 75 c, c = grdi centesimli 4 = primi centesimli 73 = secondi centesimli essendo: ed 1 (un primo centesimle) = 1 c /100 (un centesimo di grdo) 1 (un secondo centesimle) = 1 c /10000 (un decimillesimo di grdo) modo: = 75 g, 4 c 73 cc 75 g = grdi centesimli 4 c = primi centesimli 73 cc = secondi centesimli 6

7 nlogmente prim si vrà: 1 c = 1 g /100 ed 1 cc = 1 g / modo: è molto utilizzto perché più prtico e veloce = 75 c, modo: è il modo più utilizzto perché più prtico, veloce e moderno = 75 g, 473 oppure = 75,473 gon. Per operre con i centesimli le clcoltrici scientifiche vnno impostte in GRAD (G). PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A GON L operzione è compost di due seguenti pssggi: pssggio d sessgesimli sessdecimli; pssggio d sessdecimli gon. Poiché il primo pssggio è già noto foclizzeremo l nostr ttenzione sul secondo pssggio. Per l su effettuzione è sufficiente considerre che lo stesso ngolo misurto nelle due unità di misur diverse h vlori numericmente diversi. In prticolre esso srà tnto più grnde qunto più tcche contiene l ngolo pitto di quel determinto sistem cui viene riferito. Esiste quindi un proporzione dirett fr il vlore dell ngolo in un determinto sistem e l ngolo pitto di quel sistem di riferimento. Queste considerzioni ci consentono di scrivere: ed effettundo le dovute semplificzioni: g /00 g = sd /180 d cui: g = sd x 00 g /180 Esercizio risolto Trsformre in gon il seguente ngolo: g = sd 10 g / 9 (1). = pssggio: = / /3600 = 83,8967. pssggio: = 83,8967 x 10 g /9 = 93,185 gon. Si risolve il problem utilizzndo l clcoltrice scientific che inizilmente deve essere impostt in DEG e ll fine risulterà impostt in GRAD: 8 3 DMS 5 3 DMS 4 8 DMS ndf DRG ndf DRG 7

8 Esercizio proposto Trsformre con e senz l uso dell clcoltrice scientific d sessgesimle centesimle i seguenti ngoli: = ; = ; = PASSAGGIO DA CENTESIMALI A SESSAGESIMALI L'operzione è compost di due seguenti pssggi: pssggio d centesimli sessdecimli; pssggio d sessdecimli sessgesimli. Poiché il secondo pssggio è già noto foclizzeremo l nostr ttenzione sul primo pssggio. Per l su effettuzione è sufficiente invertire l (1) dll qule si ricv: sd = g 9 /10 g. Esercizio risolto Trsformre in sessgesimle il seguente ngolo: = 16,4467 gon 1 pssggio: = 16,44679 /10 g = 113,800. pssggio: = 113 (0,80060) = ,1 = (0,160) = ,. Si risolve il problem utilizzndo l clcoltrice scientific che inizilmente deve essere impostt in GRAD e ll fine risulterà impostt in DEG: 1 6, ndf DRG ndf DMS Esercizio proposto Trsformre con e senz l uso dell clcoltrice scientific d sessgesimle centesimle i seguenti ngoli: = ; = ; = Esercizio proposto Trsformre con e senz l uso dell clcoltrice scientific d centesimle sessgesimle i seguenti ngoli: = 1,5681 gon; = 34,1190 gon; = 143,6751 gon. 8

9 SISTEMA ASSOLUTO O ANALITICO L unità di misur è il rdinte che è l ngolo che sottende un rco lungo come il rggio dell circonferenz cui l rco pprtiene. = 1 rd se AB = R fig. Tr rco, ngolo e rggio del settore circolre OAB esiste l seguente relzione: rd = AB / R L ngolo giro nel sistem ssoluto vle retto vle / rdinti. rdinti, l ngolo pitto vle rdinti, l ngolo Per operre con i rdinti le clcoltrici scientifiche vnno impostte in RAD (R). PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI Per effetture questi pssggi, tenendo conto dell proporzionlità fr l ngolo in un determint unità di misur e il corrispondente ngolo pitto, è sufficiente pplicre le seguenti uguglinze: sd gon rd g rd

10 UNITA DIDATTICA N FONDAMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI 10

11 FUNZIONI Si dice funzione l opertore mtemtico che d ogni vlore dell vribile indipendente x ssoci un solo vlore dell vribile dipendente y. In generle si scrive: y = f(x) Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti: y = x + 3; y = x - 1; y x. FUNZIONI GONIOMETRICHE Nelle funzioni goniometriche l vribile indipendente è un ngolo mentre l vribile dipendente è un numero dimensionto. Le funzioni goniometriche più importnti per l topogrfi sono: 1. l funzione seno (sin);. l funzione coseno (cos); 3. l funzione tngente (tg); 4. l funzione cotngente (cotg). DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tle cerchio è crtterizzto dl ftto che il suo rggio è sempre unitrio. Ciò non vuol dire che deve necessrimente vlere un centimetro o un decimetro o un metro o un... m vuol dire che qulunque si l su lunghezz ess v pres come unità di misur del disegno. fig. 4 Si definisce seno dell ngolo l proiezione del rggio BC sull sse orizzontle (per questo detto sse dei seni) perciò: CD = AB = sin 11

12 Anlogmente si definisce coseno dell ngolo l proiezione del rggio BC sull sse verticle (per questo detto sse dei coseni) perciò: AC = BD = cos. In bse ll definizione dt si il seno che il coseno vrnno vlori compresi fr -1 e 1. Si definisce tngente dell ngolo il segmento EF dell rett tngente l cerchio goniometrico e prllel ll sse dei seni. Essendo E il punto di tngenz col cerchio ed F il punto di intersezione fr l rett tngente e il prolungmento del rggio del cerchio goniometrico. Perciò: EF = tg. Si definisce cotngente dell ngolo il segmento GH dell rett tngente l cerchio goniometrico e prllel ll sse dei coseni. Essendo G il punto di tngenz col cerchio e H il punto di intersezione fr l rett tngente e il prolungmento del rggio del cerchio goniometrico. Perciò: GH = cotg. In bse ll definizione dt si l tg che l cotg hnno vlori compresi fr meno infinito (- ) e più infinito (+ ). Esercizio risolto Clcolre grficmente, in bse lle definizioni, e con l uso dell clcoltrice scientific il seno, il coseno, l tngente e l cotngente del seguente ngolo: = 56. Rccogliere i risultti in un tbell scrivendoli con decimli per l risoluzione grfic e con 5 per l risoluzione con clcoltrice scientific. Risoluzione grfic: Si costruisce l figur in modo preciso ssumendo come unità di misur il rggio BC. Quindi si misurno con ccurtezz i segmenti CD, AC, EF ed GH dividendo l lunghezz di ogni segmento per l lunghezz del rggio BC si determinno i vlori delle funzioni goniometriche. Dll figur si legge: BC = 7 mm; CD = 3 mm; AC = 15 mm; EF = 38 mm; GH = 19 mm. sin = 3 : 7 = 0,85; cos = 15 : 7 = 0,56; tg = 38 : 7 = 1,41; cotg = 19 : 7 = 0,

13 Risoluzione con clcoltrice scientific: Dopo vere impostto l clcoltrice in DEG si procede nel seguente modo: sin 5 6 = 0,8904; cos 5 6 = 0,55919; tg 5 6 = 1,4856. sin56 cos56 tg56 cotg56 risoluzione grfic 0,85 0,56 1,41 0,70 risoluzione con clcoltrice scientific 0,8904 0, ,4856 non simo ncor in grdo di clcolrlo Si not un sufficiente rispondenz fr le due serie di risultti. Nturlmente i risultti grfici sono ffetti d inevitbili errori di grficismo. Esercizio proposto Clcolre grficmente, in bse lle definizioni, e con l uso dell clcoltrice scientific il seno, il coseno, l tngente e l cotngente dei seguenti ngoli: = 0 ; = 40 ; = 70. Rccogliere i risultti in un tbell scrivendoli con decimli per l risoluzione grfic e con 5 per l risoluzione con clcoltrice scientific. RELAZIONI FONDAMENTALI Fr le funzioni goniometriche esistono lcune importnti proprietà. Relzione fr seno e coseno Fr seno e coseno esiste l seguente importnte relzione fondmentle: sin + cos = 1 Per dimostrre qunto sserito è sufficiente pplicre il teorem di Pitgor l tringolo rettngolo ABC dell fig. 4 percio: AB + AC = BC () quindi essendo: sostituendo nell () si ottiene: AB = sin; AC = cos; BC = 1 sin + cos = 1 come volevmo dimostrre. Relzione fr seno coseno e tngente Fr seno, coseno e tngente esiste l seguente importnte relzione fondmentle: 13

14 tg = sin / cos (3) Per dimostrre qunto sserito è sufficiente notre che i tringoli ABC e CFE dell fig. 4 sono simili (in qunto hnno gli ngoli uguli) quindi si può scrivere l seguente proporzione: EF : AB = CE : AC (4) quindi essendo: EF = tg; AB = sin; CE = 1; AC = cos sostituendo nell (4) si ottiene: tg = sin / cos come volevmo dimostrre. Relzione fr seno coseno e cotngente Fr seno, coseno e cotngente esiste l seguente importnte relzione fondmentle: cotg = cos / sin (5) Per dimostrre qunto sserito è sufficiente notre che i tringoli CHG e CBD dell fig. 4 sono simili (in qunto hnno gli ngoli uguli) quindi si può scrivere l seguente proporzione: GH : BD = CG : CD (6) quindi essendo: GH = cotg; BD = cos; CG = 1; CD = sin sostituendo nell (6) si ottiene: cotg = cos / sin come volevmo dimostrre. Relzione fr tngente e cotngente Fr tngente e cotngente esiste l seguente importnte relzione fondmentle: cotg = 1 / tg Per dimostrre qunto sserito mettimo sistem l (3) con l (5) cioè: tg = sin / cos cotg = cos / sin moltiplicndo membro membro le due equzioni del sistem ottenimo: tg cot g sin cos cos sin ed effettundo le semplificzioni del cso ottenimo: tg cotg =

15 d cui: cotg = 1 / tg come volevmo dimostrre. D quest relzione risult evidente che pur non essendoci il tsto cotg sulle clcoltrici scientifiche l cotngente di un ngolo può essere clcolt come reciproco dell tngente dello stesso ngolo. Esercizio risolto Clcolre l cotngente di 58. Dopo ver impostto l clcoltrice in DEG si procede nel seguente modo: 1 : tg 5 8 = 0,6487 Esercizio risollto Dto sin = 3 / 5 determinre: cos, tg e cotg. spendo che: sin + cos = 1 si ricv: cos = 1 - sin = 4 / 5 per l tngente utilizzndo l (3) si ricv: tg = sin / cos = 3/4 per l cotngente utilizzndo l (5) si ricv: cotg = cos / sin = 4 / 3. Esercizio risolto Dt tg = 5 determinre: sin; cos e cotg. per l cotngente si utilizz l su relzione con l tngente: cotg = 1 / tg = 1 / 5 per determinre seno e coseno si scrive il seguente sistem: sin / cos = 5 sin + cos = 1 risolvimo per sostituzione: 5 cos + cos = 1 sin = 5 cos (5 cos) + cos = 1 6 cos = 1 cos = 1 / 6 e rzionlizzndo: cos = 6 / 6 infine: sin = 5 6 / 6. Esercizio proposto Spendo che cotg = 3 determinre sin, cos, e tg. Esercizio proposto Spendo che: sintg = determinre sin, cos, tg e cotg. 15

16 SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI In bse lle definizioni dte per le funzioni goniometriche, rgionndo sul cerchio goniometrico determinimo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se l proiezione del rggio è un segmento destr dell origine (sull sse dei seni) o verso l lto (sull sse dei coseni) il segno è più vicevers è meno. Per i segni delle funzioni tngente e cotngente si utilizzno le relzioni (3) e (5). 1 qudrnte 0 90 qudrnte qudrnte qudrnte sin cos tg cotg fig. 5 VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI Trttimo l rgomento utilizzndo il seguente esercizio che risolvimo solo przilmente. Esercizio Degli rchi notevoli 0, 30, 45, 60, 90, 180, 70, 360 determinre i vlori del seno, coseno, tngente e cotngente rggruppndoli in ppositi specchietti. Nei seguenti modi: 1. grfico (scrivere i risultti con due decimli);. nlitico (utilizzndo rgionmenti sui tringoli ove è necessrio); 3. con l uso dell clcoltrice scientific (scrivere i risultti con cinque decimli). Svolgimento: 1. Omettimo l risoluzione grfic per l qule si procede come visto nell esercizio di pgin 1.. Nell risoluzione nlitic si procede in due diversi modi second degli ngoli che si prendono in considerzione. In prticolre per gli ngoli: 0, 90, 180, 70 e 360 il vlore delle funzioni goniometriche si ricv fcendo delle considerzioni sul cerchio goniometrico in bse lle definizioni dte per le funzioni stesse. Per gli ltri ngoli è necessrio rgionre su ppositi tringoli costruiti d hoc sul cerchio goniometrico. come esempio prendimo in considerzione l ngolo di

17 Per determinre il sin30 e cos30 si riblt il tringolo ABC rispetto ll sse dei coseni e si costruisce quindi il tringolo equiltero B BC (equiltero in qunto h i tre ngoli di 60 ). Perciò essendo: si vrà: cioè: B B = BC = 1 AB = B B / = 1 / sin30 = 1 /. fig. 6 Per determinre cos30 si utilizz l relzione fondmentle fr seno e coseno: cos30 = 1 - sin 30 sostituendo il vlore del seno trovto: cos30 = 1 - (1 / ) cos30 = 1-1 / 4 cos30 = 3 /. Per determinre tg30 si utilizz l relzione fondmentle (3). tg30 = sin30 / cos30 = 1 / : 3 / = 1 / 3 e rzionlizzndo: tg30 = 3 / 3. Per determinre cotg30 è sufficiente ricordre che l cotngente è il reciproco dell tngente. Quindi: cotg30 = 1 / tg30 = 1 : 1 / 3 quindi: cotg30 = 3. Procedendo in modo nlogo per 45 e 60 si ottengono i risultti del seguente specchietto: sin 0 ½ cos ½ tg imp. 0 imp. 0 cotg imp imp. 0 imp. 17

18 3. Omettimo l risoluzione con l uso dell clcoltrice scientific per l qule si procede come per l esercizio di pgin 11. FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE Nelle funzioni inverse le vribili cmbino di significto cioè l x divent vribile dipendente e l y vribile indipendente. Se d esempio l funzione dirett o semplicemente funzione è l seguente: y = x l funzione invers è: x y. Le funzioni inverse goniometriche ssocino un ngolo (rco) d un numero. Per questo sono dette funzioni rco. Le funzioni goniometriche inverse che ssumono importnz per l topogrfi sono: rcoseno (rcsin) che è l funzione invers del seno; rcocoseno (rccos) che è l funzione invers del coseno; rcotngente (rctg) che è l funzione invers dell tngente. Arcoseno L rcoseno di un numero è l ngolo il cui seno è ugule l numero di prtenz. L funzione rcoseno si scrive nel seguente modo: dove: = ngolo (rco) rcsin = funzione invers y = numero dimensionto. = rcsin y Poichè come già detto (vedi pg. 11) il seno può ssumere solo vlori compresi fr -1 e 1 l vribile indipendente y potrà vere solo vlori compresi in questo intervllo (estremi inclusi). Esercizio risolto Clcolre l rcoseno di 0,38. Si impost l clcoltrice nell unità di misur in cui si intende ottenere l ngolo, (DEG per i sessgesimli e i sessdecimli, GRAD per i centesimli) supponimo DEG quindi: NDF sin 0, 3 8 =,33368 NDF DMS 0'01",5 Arcocoseno L rcocoseno di un numero è l ngolo il cui coseno è ugule l numero di prtenz. L funzione rcocoseno si scrive nel seguente modo: = rccos y 18

19 dove: = ngolo (rco) rccos = funzione invers y = numero dimensionto. Poiché come già detto (vedi pg. 11) il coseno può ssumere solo vlo ri compresi fr -1 e 1 l vribile indipendente y potrà vere solo vlori compresi in questo intervllo (estremi inclusi). Esercizio risolto Clcolre l rcocoseno di 0,38. Si impost l clcoltrice nell unità di misur in cui si intende ottenere l ngolo, (DEG per i sessgesimli e i sessdecimli, GRAD per i centesimli) supponimo DEG quindi: NDF COS 0, 3 8 = 67,6663 NDF DMS 67 39'58",75 Arcotngente L rcotngente di un numero è l ngolo l cui tngente è ugule l numero di prtenz. L funzione rcotngente si scrive nel seguente modo: dove: = ngolo (rco) rctg = funzione invers y = numero dimensionto. = rctg y Poichè come già detto (vedi pg. 10) l tngente può ssumere solo vlori compresi fr - e + l vribile indipendente y potrà vere tutti i vlori compresi in questo intervllo. Esercizio risolto Clcolre l rcotngente di 43. Si impost l clcoltrice nell unità di misur in cui si intende ottenere l ngolo, (DEG per i sessgesimli e i sessdecimli, GRAD per i centesimli) supponimo DEG quindi: NDF tg 4 3 = 88,66778 NDF DMS 88 40'04",01 Esercizio proposto Clcolre l rcoseno, l rcocoseno e l rcotngente dei seguenti numeri: 0,3499; 0,563;,

20 TRIGONOMETRIA L trigonometri (dl greco misur dei tringoli) studi le relzioni tr i lti e gli ngoli dei tringoli. Ess utilizz le funzioni goniometriche per l risoluzione dei tringoli. Risolvere un tringolo vuol dire determinre tutti i suoi elementi (tre lti, tre ngoli e l superficie). Un cos not priori per qulsisi tringolo è che l somm dei suoi ngoli interni corrisponde ll ngolo pitto. Quest ffermzione può essere dimostrt nel modo seguente: si trcci AD prolungmento di AB, si trcci AE prllel BC quindi si not che: CAE = e EAD = (ngoli lterni interni) (ngoli corrispondenti) fig. 7 Perciò: + + = 180. TRIANGOLI RETTANGOLI Sono quei tringoli che hnno sempre un ngolo retto (90 ). In esso i lti che definiscono l ngolo retto sono detti cteti mentre il lto opposto ll ngolo retto è detto ipotenus. Per risolvere questo tipo di tringoli si possono utilizzre lcuni teoremi già noti quli d esempio Pitgor ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici. PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Enuncito: in un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto fr l ipotenus e il seno dell ngolo d esso opposto. In bse ll enuncito si possono scrivere le seguenti formule: c = sin b = sin (7) fig. 8 le (7) possono nche essere scritte nel modo seguente: AB = BC sin AC = BC sin 0

21 Dimostrzione: per l dimostrzione utilizzimo il cerchio goniometrico sul qule riportimo, nche se ribltto, il tringolo ABC. fig. 9 I tringoli ABC ed A B C sono simili perciò fr i loro lti si può scrivere l seguente proporzione: ed essendo: A B = sin B C = 1 si h: quindi: AB : A B = BC : B C AB : sin = BC : 1 AB = BC sin come volevmo dimostrre. SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Enuncito: in un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto fr l ipotenus e il coseno dell ngolo d esso dicente. In bse ll enuncito si possono scrivere le seguenti formule: b = cos c = cos (8) fig. 10 le (8) possono nche essere scritte nel modo seguente: AC = BC cos AB = BC cos 1

22 Dimostrzione: per l dimostrzione utilizzimo l fig. 9. Sull qule, come per l dimostrzione precedente si not che i tringoli ABC ed A B C sono simili perciò fr i loro lti si può scrivere l seguente proporzione: AC : A C = BC : B C ed essendo: A C = cos B C = 1 si h: AC : cos = BC : 1 quindi: AC = BC cos come volevmo dimostrre. TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Enuncito: in un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto fr l ltro cteto e l tngente dell ngolo d esso opposto. In bse ll enuncito si possono scrivere le seguenti formule: c = b tg b = c tg (9) fig. 11 le (9) possono nche essere scritte nel modo seguente: AB = AC tg AC = AB tg Dimostrzione: per l dimostrzione utilizzimo l prim relzione delle (7) e l prim relzione delle (8) mettendole sistem: dividendo membro membro ottenimo: semplificndo: cioè: c = sin b = cos c : b = sin : cos c : b = sin : cos c = b tg come volevmo dimostrre. QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Enuncito: in un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto fr l ltro cteto e l cotngente dell ngolo d esso dicente. In bse ll enuncito, con riferimento ll fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule:

23 b = c cotg c = b cotg le precedenti possono nche essere scritte nel modo seguente: AC = AB cotg AB = AC cotg Dimostrzione: per l dimostrzione è sufficiente invertire le (9). Esercizio risolto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 31,08 m; = 51,98 m. Risolvere il tringolo. Nell risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnre il tringolo, in scl per verificre i risultti, mettendo i vertici in senso orrio qulor non veng specificto, esplicitmente o implicitmente, il contrrio. b c in questo cso che fr i dti non vi sono ngoli si è liberi di scegliere per essi l unità di misur che si desider. Sceglimo i centesimli perciò impostimo l clcoltrice in GRAD. Essendo: c = sin si ricv: = rcsin (c /) = 40,8014 gon = 100 g - = 59,1986 gon S = ½ b c = 647,40 m. Esercizio risolto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 7,45 m; CBA = = 3,865 gon. Risolvere il tringolo. L clcoltrice v impostt in GRAD = 100 g - = 67,135 gon essendo: si ricv: b = sin = b / sin = 55,61 m c = b tg = 48,36 m S = ½ b c = 663, 74 m 3

24 Esercizio proposto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 5,88 m. Risolvere il tringolo. (R. = 44,0 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m.) Esercizio proposto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: = 68,51 m; CBA = = 1,5133 gon. Risolvere il tringolo. (R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m.) FORMULE PER IL CALCOLO DELL AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO Per clcolre l re di un tringolo rettngolo possono essere utilizzte formule diverse second degli elementi noti. In prticolre se sono noti i cteti l formul d utilizzre è: S = ½ b c. (10) Qundo invece è noto un cteto e un ngolo si utilizz l seguente formul: S = ½ b tg opuure: S = ½ c tg. Le precedenti si ottengono dll (10) dove, utilizzndo il terzo teorem sui tringoli rettngoli, ll c prim e ll b poi si sostituiscono le seguenti espressioni: fig.1 c = b tg e b = c tg. Qundo è not l ipotenus e un ngolo si può utilizzre l seguente espressione: S = 1/4 sin(). A quest formul si giunge rgionndo sull figur 13 che si ottiene ribltndo intorno l lto AC il tringolo dell figur 1. ed essendo: S ABC = ½ S BCB = ½ ( ½ B CBH) B C = e BH = sin() dl tringolo rettngolo BCH si h: S ABC = 1/4 sin(). fig

25 Esercizio risolto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA = = 75,018 gon, S = 864,30 m. Risolvere il tringolo. L clcoltrice v impostt in GRAD. Essendo: S = ½ c tg si ricv: quindi: S c = 6,64 m tg b = c tg = 64,89 m b c = 70,15 m; = 100 g - = 4,798 gon. Esercizio risolto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = = 58,35 m, S = 615,00 m. Risolvere il tringolo. L clcoltrice v impostt in GRAD. Essendo: S = 1/4 sin() si ricv: = ½ rcsin (4 S : ) = 5,7019gon quindi: = 100 g - = 74,981 gon c = sin =,58 m b = cos = 53,66 m. Esercizio proposto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 648,00 m ; = Risolvere il tringolo. (R. = 164,68 m; b = 97,89 m; c= 13,43 m; = ) Esercizio proposto Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: = 54,36 m; S = m. Risolvere il tringolo. (R. = ; = ; b 40,37 m; c = 83,1 m.) CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Come sin qui visto per risolvere un tringolo rettngolo è necessrio conoscere lmeno due elementi dei quli lmeno uno deve essere linere (lti, perimetro, superficie,...). 5

26 RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI Sono qulsisi quei tringoli per i quli l unic cos not priori è l somm degli ngoli interni (180 o 00 gon o rd). Per l risoluzione di questi tringoli, second dei dti e dopo verli scomposti in due tringoli rettngoli, si possono utilizzre i teoremi sui tringoli rettngoli. M l risoluzione risult molto più spedit se vengono pplicti i teoremi per essi specifici. Esistono diversi teoremi per l risoluzione dei tringoli rettngoli, fr questi ssumono prticolre importnz: 1. il teorem dei seni;. il teorem di Crnot. TEOREMA DEI SENI Enuncito: in un tringolo qulsisi il rpporto fr il lto e il seno dell ngolo opposto è costnte ed è ugule l doppio del rggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto pss per i tre vertici del tringolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli ssi dei tre lti. Ciscun sse di ciscun lto pss per il punto medio del lto ed è perpendicolre l lto). HO, MO ed NO sono gli ssi rispettivmente dei lti AB, BC ed AC. In bse ll enuncito possimo scrivere l seguente formul: sin b sin c sin R (11) fig.14 Dll (11) si possono scrivere le seguenti sei relzioni: b ; sin sin sin c sin ; b sin c sin b c ; R ; R ; R. sin sin sin Dimostrzione: effettueremo l dimostrzione verificndo che sono vere le tre uguglinze dell (11). Per fre ciò ci serviremo dei tringoli rettngoli DBC ed ADC prim e AEC ed ABE poi ed infine del tringolo sempre rettngolo HBO. B 6 Dimostrimo che: : sin = b : sin. Applicndo il primo teorem sui tringoli rettngoli i tringoli rettngoli DBC e ADC possimo scrivere: D c DBC: CD = sin fig. 15 E ADC: CD = b sin A b C

27 nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistr sono uguli possimo scrivere: d cui si ricv: sin = b sin : sin = b : sin (1). Applicndo il primo teorem sui tringoli rettngoli i tringoli AEC e ABE possimo scrivere: AEC: AE = b sin ABE: AE = c sin nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistr sono uguli possimo scrivere: d cui si ricv: b sin = c sin b : sin = c : sin (13). Per dimostrre l ultim uguglinz del teorem ritornimo sull figur 14, nell qule si not che l ngolo AOB è ugule due volte per l not proprietà dell geometri l qule fferm che l ngolo l centro che insiste su un certo rco è il doppio dell ngolo ll circonferenz che insiste sullo stesso rco. Perciò pplicndo il primo teorem sui tringoli rettngoli l tringolo HBO possimo scrivere: d cui si ricv: HB = c/ = R sin c : sin = R (14). L (1), (13) e teorem dei seni. (14) insieme dimostrno il Esercizio risolto Del tringolo ABC sono noti i seguenti elementi: = 8,3 m; = 53,100 gon; = 71,1600 gon. Risolvere il tringolo. B = 00 g - ( + ) = 75,700 gon c b : sin = : sin b = sin : sin = 34,6 m h A C c : sin = : sin c = sin : sin = 35,36 m b 7

28 S = ½ b h essendo: h = sin sostituendo nell precedente si h: S = ½ b sin = 448,83 m. L formul utilizzt per il clcolo dell superficie è dett di cmminmento. Si può esprimere nel modo seguente: l re di un tringolo qulsisi è dt dl semi prodotto fr due lti e il seno dell ngolo compreso. Perciò: S = ½ b sin S = ½ c sin S = ½ b c sin Esercizio risolto Del tringolo ABC sono noti: = 71,43 gon; = 49,58 gon. ed il rggio del cerchio d esso circoscritto: R = 33,1 m. Risolvere il tringolo. = 00 g - ( + ) = 78,99 gon : sin = R = R sin = 59,68 m b : sin = R b = R sin = 46,53 m c : sin = R c = R sin = 6,67 m S = ½ c sin = 1313,59 m. Esercizio proposto Del tringolo ABC sono noti i seguenti elementi: b = 403,8 m; = ; = Risolvere il tringolo. (R. = ; c = 370,11 m; = 349,38 m; S = 60037,36 m.) Esercizio proposto Del tringolo ABC sono noti il rggio del cerchio circoscritto R = 191,4 m e gli ngoli = 65,0500 gon; = 56,8889 gon. Risolvere il tringolo. (R. = 78,0611 gon; = 36,7 m; b = 359,99 m; c = 98,08 m; S = 45768,16 m.) 8

29 RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTI DUE LATI E UN ANGOLO NON COMPRESO Qundo i dti del problem sono due lti e un ngolo non compreso fr essi d esempio: = 10 m; b = 11 m; = 30 si procede come segue: B b : sin = : sin cioè: c sin : b = sin : d cui: A C = rcsin(b sin : ) b sostituendo i numeri: = rcsin 0,55 ricordndo l definizione di rcoseno e di seno risult che esistono due ngoli il cui seno vle 0,55 e questi sono: Il problem è qule dei due è quello giusto? = 33 01,5 e = ,75. Per evitre l errore è necessrio effetture l risoluzione grfic cioè bisogn costruire il tringolo in scl utilizzndo i soli dti. Supponendo che gli elementi noti sino di nuovo, b ed si possono presentre i tre seguenti csi: 1 cso: A C b fig. 15 Si costruisce l figur mettendo in orizzontle e nell scl decis il lto noto dicente ll ngolo noto (in questo cso b). Quindi col goniometro si trcci un segmento lungo indefinitmente che form l ngolo noto col lto b. Con il compsso si trcci un cerhio vente pertur puntndo in C In questo cso non si form il tringolo perciò non esiste soluzione. cso: Si costruisce l figur mettendo in orizzontle e nell scl decis il lto noto dicente ll ngolo noto (in questo cso b). Quindi col goniometro si trcci un segmento lungo indefinitmente che form l ngolo noto col lto b. Con il compsso vente pertur puntndo in C si trcci un cerchio In questo cso si form il tringolo perciò esiste un soluzione. Per determinre l soluzione si procede nel modo seguente: 9

30 c B = csin (b sin : ) = ( + ) c = sin : sin; S = ½ b sin. A b C fig.16 3 cso: Si costruisce l figur mettendo in orizzontle e nell scl decis il lto noto dicente ll ngolo noto (in questo cso b). Quindi col goniometro si trcci un segmento lungo indefinitmente che form l ngolo noto col lto b. Con il compsso vente pertur puntndo in C si trcci un cerhio. In questo cso si formno due tringoli che hnno gli stessi dti (AB 1 C e AB C) perciò esistono due soluzioni. fig. 17 Tringolo AB 1 C: 1 = csin (b sin : ) Per determinre le soluzioni si procede come segue: ACB 1 = 1 = ( + ) AB 1 = c 1 = sin 1 : sin; S 1 = ½ b sin 1. Tringolo AB C: essendo il tringolo CB 1 B isoscele sih che: B 1 B C = 1 quindi: = d cui: = ( + ); AB = c = sin : sin; S = ½ b sin. 30

31 Esercizio risolto Del tringolo ABC sono noti: = ; = 40,16m; b = 45,1m. Risolvere il tringolo. Si costruisce l figur mettendo in orizzontle e nell scl decis il lto noto dicente ll ngolo noto (in questo cso b). Quindi col goniometro si trcci un segmento lungo indefinitmente che form l ngolo noto col lto b. Con il compsso vente pertur puntndo in C si trcci un cerchio. In questo cso si formno due tringoli che hnno gli stessi dti (AB 1 C e AB C) perciò: esistono due soluzioni. Tringolo AB 1 C: Per determinre le soluzioni si procede come segue: 1 = rcsin (b sin : ) = ACB 1 = 1 = ( + ) = AB 1 = c 1 = sin 1 : sin = 6,1m; S 1 = ½ b sin 1 = 904,49m. Tringolo AB C: essendo il tringolo CB 1 B isoscele sih che: B 1 B C = 1 quindi: = = d cui: = ( + ) = ; AB = c = sin : sin = 6,81m; S = ½ b sin = 99,16m. Esercizio proposto Risolvere il tringolo ABC del qule sono noti i seguenti elementi: = 0,1m; b = 40,31m; = (R. Il problem non è risolvibile.) Esercizio proposto Risolvere il tringolo ABC del qule sono noti i seguenti elementi: b = 81,1m; c = 107,84m; = 84,68gon. (R. = 9,98 m; = 63,18 gon; = 5,14 gon; S = 366,0m.) 31

32 TEOREMA DI CARNOT Se gli elementi noti sono due lti e l ngolo compreso, oppure i tre lti il problem non può essere risolto con il teorem dei seni. In questo cso entr in gioco il Teorem di Crnot il cui enuncito si esprime nel seguente modo: In un tringolo qulunque il qudrto di un lto è ugule ll somm del qudrto degli ltri due diminuiti del doppio prodotto fr questi ultimi e il coseno dell ngolo che essi comprendono. B c A b C (15) b c bc cos b c bc cos b c c cos b c c cos c b b cos c b b cos Per trovre gli ngoli qundo sono noti i tre lti si pplicno le seguenti formule che si ottengono invertendo le (15) Dimostrzione del Teorem di Crnot b r cos r cos rcos c bc c b c b c b Per dimostrre il teorem utilizzimo dei tringoli rettngoli B c H A b C tringolo BCH: = BH + HC (16) 3

33 tringolo ABH: tringolo ABC: e sostituendo l (18) divent: BH = c sin (17) AH = c cos (18) HC = b AH HC = b - c cos (19) Sostituendo l (17) e l (19) nell (16) ottenimo: ( c sin) ( b c cos) c sin b c cos bc cos e infine: b c (sin cos ) bc 1 cos b c bc cos c.v.d. Esercizio risolto Risolvere il tringolo ABC del qule sono noti i seguenti elementi: AB = c = 5,40 m; BC = = 4,65 m; CA = b = 65,40 m. B c A b C b c bccos bc cos b c b c 65,40 5,40 4,65 g r cos r cos 45, 114 bc 65,405,40 b c ccos c b c cos c b bcos b c cos b c b 4,65 5,40 65,40 g r cos r cos 95, 9006 c 4,655,40 b c 4,65 65,40 5,40 g r cos r cos 58, 9871 b 4,65 65, g S b c sen 65,40 5,40 sen45, ,11m 33

34 Esercizio risolto Risolvere il tringolo ABC del qule sono noti i seguenti elementi: BC = = 4,05m; CA = b =,8m; ACB = = 41,7705gon. B c A b C g c b b cos 4,05,8 (4,05,8) cos 41, ,15m b c bccos bc cos b c b c,8 15,15 4,05 g r cos r cos 84, 0079 bc,8 15,15 b c ccos c b cos c c b 4,05 15,15,8 g r cos r cos 74, 160 c 4,0515,15 Per l clcoltrice us Grd ndf cos ((...) : (...)) = Ricordti di impostrl in 1 1 g S b c sen,8 15,15 sen84, ,44m Esercizio risolto Risolvere il tringolo ABC del qule sono noti i seguenti elementi: BC = = 30,15m; CA = b = 68,4m; ACB = = 3,418gon. B c A b C c b b cos 30,15 68,4 30,15 68,4 cos 44,59m b c bccos 34

35 bc cos b c b c 68,4 44,59 30,15 g r cos r cos 1, 3889 bc 68,4 44,59 b c ccos c b cos c c b 30,15 44,59 68,4 g r cos r cos 146, 1860 c 30,15 44,59 Per l clcoltrice us Grd. ndf cos ((...) : (...)) = Ricordti di impostrl in 1 1 g S b c sen 68,4 44,59 sen81, ,9m Formule per il clcolo dell re di un tingolo qulsisi B c h H A b C S = ½ bh 1 S b c sin 1 S c sin 1 S b sin Formul di CAMMINAMENTO per un Tringolo S S S cot g cot g b cot g cot g c cot g cot g Formul delle COTANGENTI Si us qundo sono noti: un Lto + i due Angoli dicenti Anche L're + Angoli 35

36 S P(P )(P b)(p c) Formul di ERONE dove: b c P Esercizio risolto Risolvere il tringolo ABC del qule sono noti i seguenti elementi: CBA = = 60,18gon; ACB = = 88,031gon; S = 10,8830m. B c 00 S 1 g ( ) 51 cot g cot g g,8410 A b C g g S (cot g cot g ) = 1088,30(cot g60 18 cot g88,031) = 44,60 m 44,60 b sin sin 60 g sin sin 51, ,60 c sin sin 88 g sin sin 51,8410 g g,18 49,69 m,031 60,4 m Esercizio proposto: Risolvere il tringolo ABC che h l ngolo BAC = ottuso (si dice ottuso un ngolo mggiore di 90 e minore di 180 ) e del qule sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b = 6,40m; S = 1815,00m² (R. = 139,m; = ; = ; = ) CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI Per risolvere un tringolo qulsisi è necessrio conoscere tre elementi dei quli lmeno uno deve essere linere (ltezz, superficie, lto ecc. ecc.). Con i teoremi sviluppti si sono ricvte delle formule che consentono di clcolre lti o ngoli. Bisogn però prestre molt ttenzione qundo si f l rcoseno per ricvre gli ngoli (perché l clcoltrice ci d sempre un ngolo del 1 qudrte e questo, volte non è sufficiente) e precedere il clcolo dll risoluzione grfic del problem (fre l figur in scl prtendo di dti). E consiglibile, tutte le volte che è possibile, pplicre Crnet nell ricerc degli ngoli. 36

37 CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI Un cerchio si dice notevole qundo bst il nome per individurlo in tutte le sue crtteristiche. Oltre l cerchio circoscritto del qule bbimo già prlto nel teorem dei seni esistono ltri due cerchi notevoli dei quli trtteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto. IL CERCHIO INSCRITTO E' il cerchio interno l tringolo che contempornemente tnge i tre lti. Il suo centro si chim incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli ngoli del tringolo (si ricord che l bisettrice è un line intern l tringolo che prtendo d un vertice divide in due prti uguli l'ngolo di quel vertice). Per determinre il rggio è sufficiente prendere in considerzione i tre tringoli in figur ABO BCO CAO e rgionre sulle superfici: ed infine: S ABC S ABC S 1 S ABC ABO c r 1 S 1 BCO S CAO 1 r b r r ( c b) S ABC r b c IL CERCHIO EX-INSCRITTO E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contempornemente tngente d un lto ed l prolungmento degli ltri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tngente i tre lti m st fuori dl tringolo. D qunto detto si evince che ogni tringolo h tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lto. Il centro del cerchio ex-inscritto, si chim ex-incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli ngoli esterni l tringolo dicenti l lto di tngenz e dell bisettrice dell'ngolo interno opposto l lto detto. 37

38 Per determinre il rggio è sufficiente prendere in considerzione i tre tringoli in figur ABO CBO CAO e rgionre sulle superfici: S ABC S ABO S CAO S CBO S ABC 1 c r 1 b r 1 r e infine: S ABC r 1 r ( c b ) S ABC b c formule nloghe si hnno per determinre i rggi dei cerchi ex-inscritti i lti b e c: r r b c S ABC c b S ABC b c RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI Per risolvere un qudriltero è necessrio spere che l somm degli ngoli interni vle 360. Inoltre è necessrio conoscere lmeno 5 elementi dei quli lmeno devono essere lineri. Per l risoluzione dei qudrilteri ci si serve dei tringoli utilizzndo uno dei seguenti metodi: si consider il qudriltero come somm di due tringoli qulsisi; 38

39 si consider il qudriltero come differenz di due tringoli qulsisi; si consider il qudriltero come somm di tre tringoli rettngoli e di un rettngolo. Primo metodo Si utilizz questo metodo qundo: si conoscono due lti consecutivi e tre ngoli; si conoscono tre lti e due ngoli opposti, in questo cso però si corrono i rischi visti nel teorem dei seni per l risoluzione di un tringolo del qule sono noti due lti e un ngolo non compreso; si conoscono tre lti e i due ngoli fr essi compresi; si conoscono tutti i lti e un ngolo; si conoscono tutti i lti e un digonle. B b C c A D d Le formule d utilizzre sono quelle dei tringoli qulsisi. Secondo metodo Si utilizz questo metodo qundo: non è possibile utilizzre il primo metodo; si conoscono due lti opposi e tre ngoli. B b C ' c ' E A d D Per l risoluzione: si prolungno i due lti incogniti fino frli intersecre nel punto E; quindi dopo ver clcolto: = e = si clcolno con le formule dei tringoli qulsisi gli elementi dei due tringoli ABE ed CED; ed infine per differenz fr gli elementi dei due tringoli sopr detti si clcolno gli elementi del qudriltero. 39

40 Terzo metodo Si utilizz questo metodo qundo: non è possibile utilizzre il primo e il secondo metodo; si conoscono due lti opposi e tre ngoli e quindi in lterntiv l secondo metodo; si conoscono tre lti e i due ngoli non compresi. B b T C A K H D d Per l risoluzione: si trccino le perpendicolri (BK e CH) d uno dei lti incogniti (in questo cso AD); prtendo d un vertice (in questo cso C) si trcci l perpendicolre (CT) i segmenti trcciti prim; si clcolno con le formule dei tringoli rettngoli gli elementi incogniti. c RISOLUZIONI GRAFICHE Si riportno di seguito lcuni csi importnti di problemi sull risoluzione dei qudrilteri,con l risoluzione grfic e con indiczioni sul metodo più idoneo per l risoluzione nlitic. Per l risoluzione nlitic si us il primo metodo dopo ver trccito l digonle AC. Per l risoluzione nlitic si 40

41 us il terzo metodo dopo ver prolungto i lti incogniti AD e BC. Per l risoluzione nlitic si us il primo metodo dopo ver trccito l digonle AC o l digonle BD, Per l risoluzione nlitic si us il terzo metodo dopo ver trccito d B e C le perpendicolri l lto AD. 41

42 Per l risoluzione nlitic si us il primo metodo dopo ver trccito l digonle AC. Per l risoluzione nlitic si us il primo metodo dopo ver trccito l digonle BD. Per l risoluzione nlitic si us il primo metodo dopo ver trccito l digonle AC. 4

43 RISOLUZIONE DEI POLIGONI Per risolvere un poligono di n lti è necessrio conoscere lmeno n 3 elementi dei quli lmeno n devono essere lineri Per l risoluzione dei poligoni ci si serve dei tringoli considerndo, in genere, il poligono come somm di tringoli. L somm degli ngoli interni di un poligono si ottiene con l seguente formul: = (n ) 180. All qule si giunge fcendo il seguente rgionmento: l'esgono dell figur è stto scomposto in 6 tringoli, spendo che l somm degli ngoli interni di un tringolo è 180 e togliendo l'ngolo giro (360 = 180 ) si ottiene: = quindi sostituendo 6 l letter n, che indic il numero dei vertici di un generico poligono, e rccogliendo il 180 si ottiene: = (n )180. FORMULA DI CAMMINAMENTO Si pplic per determinre l're di un poligono (per cui nche di un tringolo e di un qudriltero), del qule sono noti tutti i lti meno uno e tutti gli ngoli meno i due dicenti l lto incognito c D d E e C F b B A Applichimo l regol l poligono dell figur nel qule bbimo supposto di conoscere i lti, b, c, d, e e gli ngoli,,, 43

44 S = ½ b sin + b c sin + c d sin + d e sin - c sin(+) - b d sin(+) c e sin(+) + d sin(++) + b e sin(++) e sin(+++). L formul sopr scritt si legge nel seguente modo: l superficie è ugule d un mezzo dell somm dei prodotti dei lti consecutivi (presi due due) per il seno dell'ngolo fr essi compreso, diminuit dll somm dei prodotti fr i lti lterni (presi due due) per il seno dell somm degli ngoli fr essi compresi, umentt dll somm dei prodotti fr i lti bi-lterni (presi due due) per il seno dell somm degli ngoli fr essi compresi, diminuit dll somm dei prodotti fr i lti tri-lterni (presi due due) per il seno dell somm degli ngoli fr essi compresi, e così vi. Ogni tornt inizi d uno dei lti dicenti quello incognito e finisce qundo si rriv ll'ltro lto dicente l lto incognito. L formul si blocc qundo si moltiplicno insieme i due lti dicenti l lto incognito. Il segno dvnti d ogni termine dipende dl numero di ngoli che sono ll'rgomento del seno ed è + se tle numero è dispri, - in cso contrrio. Dimostrzione dell formul di cmminmento Per l dimostrzione utilizzimo il qudriltero in figur C b D d B F E A nel qule supponimo noti i lti, b, d e gli ngoli, e dopo verlo diviso in due tringoli rettngoli e in un trpezio rettngolo trmite i segmenti DE ed CF. S = S BCF + S CDEF + S AED S = ½ BF CF + ½ (CF + DE) FE + ½ AE DE (0) utilizzndo i teoremi sui tringoli rettngoli ricvimo le quntità che compiono nell (0): BF = b cos; CF = b sin; DE = d sin; EA = d cos; FE = BF EA = - b cos - d cos; sostituendo nell (0) e rccogliendo ottenimo: S = ½ b cos b sin + (b sin + d sin) ( - b cos - d cos) + d cos d sin 44

45 quindi: S = ½ b sin cos + b sin - b sin cos - b d sin cos + d sin - b d sin cos + - d sin cos + d sin cos semplificndo: rccogliendo: S = ½ b sin - b d sin cos + d sin - b d sin cos S = ½ d sin + b sin - b d (sin cos + sin cos) (1) ricordndo che per l formul di ddizione del seno (vedi goniometri di Mtemtic): l (1) divent: sin( + ) = sin cos + sin cos S = ½ d sin + b sin - b d sin( + ) che è ciò che si otterrebbe pplicndo l formul di cmminmento, e quindi l formul stess è dimostrt. 45

46 Esercizi 1) Rppresentre in scl opportun l spezzt (poligonle pert) dell qule sono noti i seguenti elementi: AB = 6,8m; BC = 9,44m; CD = 5,1m; DE = 16,95m; EF = 3,1m; ABC = = 130 ; DCB = = 100 ; CDE = = 130 ; FED = = 150. ) Trsformre, con e senz clcoltrice scientific, in sessdecimle i seguenti ngoli: = = ; = (R. = 13,644; = 17,159; = 93,9836) 3) Trsformre, con e senz clcoltrice scientific, d sessdecimle sessgesimle i seguenti ngoli: = 9,534; = 115,619. (R. = ; = ) 4) Trsformre, con e senz l uso dell clcoltrice scientific, d sessgesimle centesimle i seguenti ngoli: = 9 13 ; = ; = (R. = 10 g,475; = 18 g,806; = 88 g,5673) 5) Trsformre, con e senz l uso dell clcoltrice scientific, d sessgesimle centesimle i seguenti ngoli: = ; = ; = (R. = 15 g,4941; = 35 g,760; = 16 g,5898) 6) Trsformre, con e senz l uso dell clcoltrice scientific, d centesimle sessgesimle i seguenti ngoli: =,5681gon; = 34,90gon; = 43,6331gon. (R. = ; = ; = ) 7) Dti: = 3,5451; = 9,98gon; = ; = 0,164rd. Effetture, con e senz l uso dell clcoltrice scientific, le seguenti operzioni e dre il risultto in sessgesimli: ;. (R. = ; = ) 8) Clcolre grficmente, in bse lle definizioni, e con l uso dell clcoltrice scientific il seno, il coseno, l tngente e l cotngente del seguenti ngoli: = 40 ; = 140 ; = 50. Rccogliere i risultti in un tbell scrivendoli con decimli per l risoluzione grfic e con 5 per l risoluzione con clcoltrice scientific. 9) Spendo che: sin = 1/3, senz utilizzre l clcoltrice scientific, determinre cos, e tg, cotg. (R. cos ; tg ;cot g )

47 10) Spendo che: cotg = ½ e che l terzo qudrnte, senz utilizzre l clcoltrice scientific, determinre sin, cos, e tg. 5 5 (R. sin ;cos ; tg ) ) Spendo che: sin tg = 3 e che l primo qudrnte, determinre sin, cos, tg e cotg. (R. sin = 0,95307; cos = 0,3078; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769) 1) Clcolre l rcoseno, l rcocoseno e l rcotngente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,5883; 1, ) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: b = 37,35m; CBA = = 4,845gon. Risolvere il tringolo. (R. = 57 g,155; c = 46,85m; = 59,9m; S = 874,9m ) 14) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 5,61m; b = 37,88m. Risolvere il tringolo. (R. = 45,7m; = ; = ; S = 485,05m ) 15) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: = 118,m; CBA = = 3,5143gon. Risolvere il tringolo. (R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 979,94m ) 16) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: ABC = = 65,018gon, S = 564,58m. Risolvere il tringolo. (R. = 50,43m; b = 43,08m; c = 6,1m; = 34,798gon;) 17) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = = 58,35m, S = 515,00 m. Risolvere il tringolo. (R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 0,6844gon;) 18) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 548,39m ; = Risolvere il tringolo. (R. = 155,61m; b = 83,51m; c = 131,30m; = ) 19) Del tringolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: AD = ltezz reltiv ll ipotenus = 84,63 m; S = 7645,56 m. Risolvere il tringolo. (R. = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,0m; = ; = ) 0) Del tringolo ABC sono noti i seguenti elementi: = 38,3 m; = 63,105gon; = 71,1666gon. Risolvere il tringolo. (R. = 65,719gon; b = 41,08m; c = 39,m S = 674,08m ) 1) Del tringolo ABC sono noti: = 69,43gon; = 5,58gon ed il rggio del cerchio d esso circoscritto R = 43,14m. Risolvere il tringolo. (R. = 77,99gon; = 76,5m; b = 63,43m; c = 81,17m S = 83,3m ) 47