Vettori e scalari. Grandezze scalari. Grandezze vettoriali

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1 Vettori e sclri Vengono definite dl loro lore numerico. Esempi: l lunghezz di un segmento, l re di un figur pin; l tempertur di un stnz Grndezze sclri Grndezze ettorili Vengono definite dl loro lore numerico (intensità o modulo) d un direzione, d un erso: Esempi: l elocità, l forz

2 Vettori e sclri Domenic ho ftto enti chilometri in iciclett L informzione sullo spostmento è complet? No, ne conosco solo l entità. Domenic ho ftto enti chilometri in iciclett lungo l strd per Potenz Ho ggiunto informzione sull mi direzione. Domenic ho ftto enti chilometri in iciclett lungo l strd per Potenz erso Mter Questo dto complet l informzione sul erso del mio spostmento.

3 I ettori Un grndezz fisic è un ettore qundo per definirl completmente è necessrio fornire un modulo o intensità (= l entità), un direzione e un erso.

4 Modulo, direzione, erso 0 Scelt un'unità di misur, d ogni segmento [AB] si può ssocire un numero rele non negtio AB, l misur dell lunghezz di [AB], che rppresent il modulo o intensità del ettore. 0 Il psso successio consiste nel definire un segmento orientto come quel segmento di estremi A e B nel qule si si ssegnto un ordine e quindi si poss distinguere un punto inizile ed uno finle. A tl fine si sceglie il simolo conenendo di considerre A come il punto inizile e B come quello finle. Grficmente ciò si esprime trmite un frecci che prte d A e giunge in B

5 Vettori prlleli e perpendicolri 0 A questi nuoi enti si possono in modo del tutto nturle estendere i concetti di prllelismo e perpendicolrità. In prticolre risult prllelo d un rett r se lo sono le rette r e l rett AB cioè r // AB. Così i segmenti orientti e si dicono collineri (o prlleli, // ) se esiste un line rett r ll qule entrmi risultno prlleli.

6 Vettori equipollenti 0 Un segmento orientto può quindi essere posto in corrispondenz con un ltro segmento orientto per mezzo dell su 1. lunghezz, 2. collinerità, 3. erso. 0 Pertnto sull'insieme dei segmenti orientti del pino è possiile definire un relzione che ssoci con se e solo se 1. AB CD 2. AB CD 3. AB = CD Tle relzione prende il nome di relzione di equipollenz

7 Nuo definizione di ettore 0 Definizione: Un ettore nel pino (o nello spzio) è definito come l'insieme di tutti i segmenti orientti equipollenti, ossi di tutti i segmenti orientti enti l medesim direzione, erso e lunghezz.

8 Operzioni con i ettori: metodo grfico Definizione L somm di due ettori e è un ettore c = + l cui direzione e erso si ottengono nel modo seguente: si fiss il ettore e, prtire dl suo punto estremo, si trcci il ettore. Il ettore che unisce l'origine di con l'estremo di fornisce l somm c = +. L somm ettorile corrisponde mettere i ettori uno dietro l ltro (metodo punt cod)

9 Proprietà dell somm 0 Prop. commutti: + = + 0 Prop. ssociti: ( + ) + c = + ( + c) 0 Elemento neutro: + 0 = In prticolre dll proprietà commutti discende un definizione lternti dell somm (o risultnte) di due ettori ossi l regol del prllelogrmm.

10 Regol dell poligonle

11 Differenz tr due ettori 0 Definizione L differenz - di due ettori è l somm del ettore con l'opposto del ettore ossi - = + (- )

12 I ettori nel pino B A B φ A O B modulo di = lunghezz del segmento AB l direzione di è definit dll ngolo φ ( HELP MATEMATICA, 2 ) rctn 2 componente = lunghezz di A B componente = lunghezz di A B

13 Teoremi sui tringoli rettngoli In un tringolo rettngolo il cteto è ugule ll ipotenus per sino dell ngolo opposto, ll ipotenus per il coseno dell ngolo dicente, ll ltro cteto per l tngente dell ngolo opposto oppure ll cotngente dell ngolo dicente. csin ccos ccos csin tn tn

14 Versori 0 Il ersore è un ettore che h modulo unitrio ed h l direzione e il erso dei semissi positii del pino crtesino. Per conenzione il ettore unitrio che h l direzione e il erso dell sse X positio si indic con i, mentre il ettore unitrio che h l stess direzione e erso dell sse Y lo si indicherà con j. Nello spzio doendo introdurre l sse delle quote, l ettore unitrio che h l stess direzione e erso dell sse positio delle Z dremo il simolo k.

15 Rppresentzione crtesin Se A = A + A E tenimo presente l definizione di ersore: i = A A Si rà che e j = A A A = A i A = A j Allor il ettore A si potrà scriere A=A i + A j

16 Somm di ettori Le componenti di R sono l somm ritmetic delle componenti dei ettori A e B R = A + B R = A + B Per cui R = (A +B )i + (A +B )j Pertnto l risultnte di due o più ettori h per componenti l somm delle componenti omologhe dei singoli ettori

17 Vettori nello spzio k ĵ î z 2 z 2 2 L direzione di risult definit dgli ngoli θ e φ z rctn rccos θ

18 Prodotto sclre Dti due ettori e, il prodotto sclre tr e è un grndezz sclre definit nel modo seguente: cosα Il prodotto sclre tr e è un numero che è pri l prodotto del modulo di per l componente di lungo l direzione di.. α cosα Oimente il prodotto sclre è nche pri l prodotto del modulo di per l componente di lungo l direzione di

19 Prodotto sclre in componenti crtesine Tenendo conto del ftto che i ersori degli ssi crtesini sono due due perpendicolri fr loro, si h che: 1 k k 0 j k 0 i k 0 k j 1 j j 0 i j 0 k i 0 j i 1 i i Di conseguenz, esprimendo i ettori in termini delle loro componenti crtesine, si h: k ĵ î k ĵ î z z z z

20 Prodotto ettorile Dti due ettori e, il prodotto ettorile c = è un ettore che gode delle proprietà seguenti: il modulo di c è dto d sinθ, doe θ è l ngolo minore di 180 compreso tr e l direzione di c c è perpendicolre l pino indiiduto d e il erso di c c è clcolto pplicndo l c regol dell mno destr regol dell mno destr θ

21 L regol dell mno destr Prim formulzione Si dispone il pollice lungo il primo ettore Si dispone l indice lungo il secondo ettore Il erso del medio indiidu il erso del prodotto ettorile

22 Regol dell mno destr Second formulzione Si chiude pugno l mno destr mntenendo solleto il pollice Le dit chiuse pugno deono indicre il erso in cui il primo ettore dee ruotre per sorpporsi l secondo in modo che l ngolo θ di rotzione si minore di 180 Il erso del pollice indiidu il erso del prodotto ettori

23 Proprietà del prodotto ettorile Il modulo del prodotto ettorile è pri ll re del prllelogrmm indiiduto di due ettori Il prodotto ettorile è nullo se i due ettori sono prlleli (θ=0) Il prodotto ettorile gode dell proprietà nticommutti:

24 Prodotto ettorile in componenti crtesine 0 Tenendo conto che i ersori degli ssi crtesini sono due due perpendicolri fr loro, ed pplicndo l regol dell mno destr, si hnno le seguenti relzioni: 0 k k i j k j i k i k j 0 j j k i j j k i k j i 0 i i

25 Prodotto ettorile 0 Pertnto, esprimendo i ettori in termini delle loro componenti crtesine, si h che: ) k( ) ĵ( ) î( z z z z z z k ĵ î HELP MATEMATICA

26 Determinnte di un mtrice Il determinnte di un mtrice 2 2 è pri Regol di Srrus Regol di Lplce Il determinnte di un mtrice 3 3 è pri

27 Esempi e ppliczioni: = 0 Possimo dimostrrlo seguendo due strde. L più sintetic f uso dell proprietà nticommutti per cui, commutndo i fttori, dee essere = -. Ne segue che il ettore prodotto c è ugule l proprio opposto - c e ciò può essere ero solo per il ettore nullo 0. L ltr si s sullo siluppo del determinnte c = = i j k z z c = = z z i + z z j + k= = 0i + 0j + 0k = 0 come si ede un determinnte con due righe uguli si nnull. 0 In modo nlogo qunto solto nel precedente esempio, possimo dedurre che se = ossi se i due fttori sono collineri, il loro prodotto ettorile si nnull. Poiché, inoltre, le pure l'impliczione oppost, imo l possiilità di riscriere l condizione di col linerità in modo lterntio; llor: = 0

28 Appliczione 0 Il modulo del prodotto ettorile è numericmente ugule ll re del prllelogrmm indiiduto di due ettori e le prllele che pssno per gli estremi. Considerimo l seguente figur che mostr due ettori che hnno l stess origine e le prllele per essi. 0 L re di questo prllelogrmmo si clcol moltiplicndo l se (B) per l ltezz (Asenθ): Are=BAsenθ