operazioni con vettori

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1 omposizione e somposizione + = operzioni on vettori = + = + Se un vettore può essere dto dll omposizione di due o più vettori, questi vettori omponenti possono essere selti lungo direzioni ortogonli fr loro formre un sistem di ssi rtesini ortogonli = x + y L somm o l differenz fr due o più vettori può essere vlutt in termini di queste omponenti = + = x + y + x + y = x + x d = - = x + y - x + y ( ) + ( y + y ) = x + y ( ) = ( x - x ) + ( y - y ) = d x + d y lungo un sse l direzione è stilit e l relzione fr le omponenti è l relzione fr i moduli x = x + x y = y + y d x = x - x d y = y + y versore Mentre l somm fr un numero e un vettore è priv di senso, il prodotto fr un numero e un vettore è un operzione propri. Il risultto è un nuovo vettore on l stess direzione e on il modulo dto dl prodotto del numero per y n x il modulo del vehio vettore. Bsndosi su questo risultto, ogni vettore può essere onsiderto ome il prodotto fr un numero, il suo modulo, e un vettore di modulo unitrio. Così, un vettore di modulo 3 he è inlinto di 30 rispetto ll sse x, on verso il verso positivo delle x, può essere onsiderto ome il prodotto fr un vettore di modulo 1 inlinto di 30 rispetto ll sse x, on verso il verso positivo delle x per il numero 3. I vettori di modulo unitrio si himno versori e ogni vettore è quindi formto dl proprio versore per il proprio modulo. Gli ssi rtesini sono direzioni orientte, quindi possono essere desritte d versori e i versori degli ssi rtesini sono inditi, universlmente, on le lettere i per l sse x, j per l sse y e k per l sse z. Si può srivere he = x + y + z = x î + y ĵ + z ẑ Un vettore di omponenti 3i e 2j è un vettore on omponenti lungo gli ssi x e y di modulo rispettivmente 3 e 2. Sull sse z non h omponenti. Il vettore somm h modulo

2 = di e form un ngolo = rtg 2/3 on l sse x. Con l sse z form un ngolo prodotto slre Un punto P in pino rtesino ortogonle (x,y) h due oordinte dte dlle istnze del punto rispetto gli ssi. In un rppresentzione vettorile in ui l posizione di un punto P viene rppresentt dl vettore r he unise l origine degli ssi on il punto P, le oordinte possono essere desritte ttrverso i vettori omponenti di r lungo gli ssi x e y. Il modulo di r x è dto dll y r y β trigonometri ome r x = r os e ltrettnto il modulo di r y, r y = r os β. Anor r x = r x ˆx on ˆx il versore, di modulo 1, dell sse x. Srivendo l omponente r x = r os 1, ess ppre dt dl prodotto dei moduli dei vettori he lo definisono, per il oseno dell ngolo ompreso. Lo stesso disorso vle per l omponente y, r y = r y ŷ, r x x r y = r os β 1. Questo introdue il prodotto slre fr vettori dove, in generle, il risultto dell operzione fornise un grndezz slre, non vettorile, dt dl prodotto del modulo di un vettore per il modulo dell proiezione del seondo vettore sul primo. = os l ngolo fr i due vettori. Un rtteristi del prodotto slre è l su ommuttività; inftti = = os prodotto vettorile Il prodotto slre non ostituise l unio modo di onsiderre il prodotto fr vettori; un ltro è il prodotto vettorile di ui vedimo desso il signifito. L somm di due vettori fornise un terzo vettore he rppresent l digonle priniple di un prllelogrmm i ui lti sono i vettori in questione. Dll geometri si s he per lolre l re di un prllelogrmm si deve moltiplire il segmento di se per il segmento di ltezz. re = h = sen ; e questo è il vlore h r P dell re del prllelogrmm di ui i vettori e ne ostituisono i lti.

3 Di solito l misur dell ngolo non rihiedere prtiolri preuzioni. Inftti per vlutre l ngolo si onsider un vettore, per esempio, e si ruot fino d inontrre. Lo stesso ngolo può essere desritto prtire dl vettore e ruotre verso. Il risultto prim vist semr lo stesso; tuttvi è l mnier di ruotre he è differente. Nel primo so si ruot sinistr, nel verso positivo, e nel seondo verso destr, nel verso negtivo. Per mntenere quest speifiità, volte non neessri, m volte essenzile, l verso dell rotzione si ssoi un verso lungo l sse ttorno ui quest vviene: se l rotzione è positiv l lto è il verso positivo. Il sso è quello negtivo. Un vite vvitt vnz nel verso positivo, e svitt in quello negtivo. A prtire d queste onsiderzioni, il prodotto sen può essere onsiderto ome il modulo di un vettore,, dto dl prodotto fr i h vettori e, on un direzione perpendiolre l pino su ui giiono e, ed un verso dto dl verso di misur dell ngolo. Possimo vedere l questione dell rotzione in un ltro modo. Il prllelogrmm dei due vettori e può essere desritto ostruendo dpprim il vettore e suessivmente. In questo modo si origin utomtimente un verso di perorrenz sui lti del prllelogrmm l ui superfiie viene desritt in senso ntiorrio, positivo. Cmindo l ordine dei vettori, prim e poi, si inverte il senso dell rotzione e il verso del vettore. Il vettore è llor = il ui modulo è = sen Il prodotto vettorile è ntiommuttivo, ioè mi segno rispetto ll ommutzione dei suoi elementi = = - Il verso può effiemente essere desritto ttrverso l regol mnemoni dett dell mno destr, seondo l qule le dit seguono l suessione dei vettori e e il pollie indi il verso del vettore risultnte. Quest desrizione del prodotto vettorile permette di introdurre il vettore superfiie, un vettore on modulo il vlore dell superfiie e direzione normle ll superfiie stess.

4 Desrivendo il perimetro dell superfiie in verso positivo o in verso negtivo si definise nhe il verso di tle vettore. doppio prodotto vettorile Un prodotto he volte si inontr è il prodotto vettorile fr tre vettori In questo prodotto, us delle rtteristihe del prodotto vettorile, deve essere speifit l mnier on ui si oper. Inftti, se si onsider ( ), in riferimento ll figur, drà un vettore perpendiolre l pino e il prodotto vettorile sree un vettore perpendiolre he d ( ), ossi nel pino. Se onsiderimo invee ( ) il prodotto srà perpendiolre l pino e il prodotto vettorile sree perpendiolre d he, ossi nel pino. Due risultti del tutto differenti. Il doppio prodotto vettorile si può srivere ome somm di due elementi rendendo volte più semplie l su interpretzione e il suo uso. Così ( ) = ( ) - ( ) prodotto misto Il prodotto misto è un prodotto fr vettori in ui si oper si il prodotto slre he quello vettorile. Il risultto è uno slre Così rppresent il prodotto fr il vettore risultnte dl prodotto on il vettore. Nel prodotto misto non è neessrio l uso delle prentesi per indire ome devono essere eseguiti i vri prodotti in qunto, d esempio, ( ) è privo di senso poihé esprime il prodotto vettorile fr un vettore ed uno slre. Un rtteristi del prodotto misto è l su invrinz rispetto ll permutzione ili dei vettori he lo ompongono, ossi = = A prte l dimostrzione di tle risultto, quest proprietà l si può pire onsiderndo he il prodotto misto rppresent il volume di un prllelepipedo i ui lti sono i tre vettori del prodotto misto. In questo modo, in qulunque mnier si onsideri l ordine on ui i vettori sono onsiderti il risultto srà sempre lo stesso.

5 Nell figur è rppresentto un prllelepipedo formto di vettori,, e. Il volume è dto dl prodotto dell se, di lti e, per l ltezz h. L superfiie di se è sen e l ltezz è h = os ϑ. E osì il volume in definitiv è V = sen os ϑ. Esprimendo questo risultto in termini dei vettori, notimo he l re di se è il modulo del vettore, mentre l ltezz è il prodotto slre del vettore on l direzione del vettore ; d ui V = Risult file omprendere llor he se si onsiderno i vettori e ome vettori dell se e ome il vettore dell ltezz, il volume srà espresso dl prodotto, m dl punto di vist numerio, il risultto srà sempre lo stesso. ϑ h ϑ