] + [ ] [ ] def. ] e [ ], si ha subito:

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1 OPE OPERAZIONI BINARIE Definizione di operzione inri Dto un insieme A non vuoto, si him operzione (inri) su A ogni pplizione di A in A In generle, un'operzione su A viene indit on il simolo Se (x, y) è un oppi qulsisi di A, l'im mgine di (x, y) in si die risultto e si indi on x y Pertnto: : (x, y) x y L'ddizione (+) e l moltiplizione ( ) di numeri nturli sono operzioni su : + : (x, y) x + y : (x, y) x y Ad ogni oppi (x, y), l'ddizione f orrispondere l somm x + y, l moltiplizione f orrispondere il prodotto x y Considerzioni del tutto nloghe vlgono per l'ddizione e l moltiplizione su Considerimo l'insieme delle lssi resto mod n, n = { [0], [],, [n ] } Su n, introduimo due operzioni: l'ddizione mod n, indit on e definit d: x y = resto dell divisione di x + y per n def l moltiplizione mod n, indit on e definit d: per ogni x, y n x y = resto dell divisione di x y per n def ESEMPI Nell'insieme delle lssi resto mod 5, 5 = { [0], [], [], [], [] }, si h: =, perhé + diviso per 5 h resto ; =, perhé diviso per 5 h resto Considerimo l'insieme dei numeri rzionli Su, introduimo due operzioni: l'ddizione, indit on + e definit d: [ ] + [ d ] = [ def d + ] d l moltiplizione, indit on e definit d: per ogni [ ], [ d ] [ ] [ d ] = [ def ] d ESEMPI Dti i numeri rzionli [ ] e [ ], si h suito: [ ] + [ ] = [ + ] = [ ], [ ] [ ] = [ ] = [ ] = [ 6 ]

2 L'intersezione ( ) e l'unione ( ) di sottoinsiemi di un universo Ω ssegnto, sono operzioni su (Ω): : (X, Y) X Y : (X, Y) X Y Ad ogni oppi (X, Y) (Ω), l'operzione di intersezione f orrispondere l'insieme X Y (Ω), l'operzione di unione f orrispondere l'insieme X Y (Ω) 5 Dto un insieme finito A, si him sostituzione di A ogni pplizione ijettiv di A in sé Un sostituzione si rppresent elenndo gli elementi di A su un stess rig e srivendo sotto isuno l propri immgine Così, se A = {,, }, le possiili sostituzioni di A sono: I =, α =, β =, γ =, µ =, ν = Si him elemento unito di un sostituzione ogni elemento di A oinidente on l propri immgine L sostituzione I in ui tutti gli elementi sono uniti è l sostituzione identi in A Osservimo he, omunque si prendno due sostituzioni p e q di un insieme A, l'p plizione ompost q p è su volt un sostituzione di A Risult osì definit sull'insieme delle sostituzioni di A, indito on S(A), l'operzione: : (p, q) q p himt omposizione di sostituzioni Ad ogni oppi (p, q) S(A), l omposizione di sostituzioni f orrispondere l sosti tuzione q p S(A) ESEMPI Nell'insieme S(A) = { I, α, β, γ, µ, ν }, si h: β α = = = ν, µ β = = = α 6 Dti due insiemi A e B non vuoti (finiti o infiniti), l'insieme di tutte le pplizioni di do minio A e odominio B viene indito on il simolo B A Nell'insieme A A delle pplizioni di A in sé, l'ordinri omposizione: : (f, g) g f he d ogni oppi (f, g) (A A ) f orrispondere l'pplizione g f A A, è un operzione su A A α (lf), β (et), γ (gmm), µ (mi), ν (ni) sono lettere dell'lfeto greo

3 Telle di Cyley Qundo A è un insieme finito, è possiile desrivere un'operzione su A medinte un tell doppi en trt, himt tell di Cyley dell'operzione ESEMPI (t) (t) (t) L t rppresent un'operzione sull'insieme A = {,, } Osservimo he gli elementi di A sono disposti sull prim rig in lto e, nel medesimo ordine, sull pri m olonn sinistr Pres un oppi (x, y) A, il risultto x y si trov ll'inroio dell rig inte stt ll'elemento x on l olonn intestt ll'elemento y Così, =, =, =, =, e Le t e rppresentno, rispettivmente, le operzioni e su ( per omodità, imo omes so le prentesi qudre he designno gli elementi di ) L t rppresent l'operzione su (Ω), on Ω = {,, } {} {} {} {, } {, } {, } Ω {} {} {} {, } {, } {, } Ω {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {, } {} {} {, } {} {} {} {, } {} {, } {} {} {} {} {, } {, } {} {} {} {, } {, } {, } Ω (t) EP OPE /, Clol il vlore delle seguenti espressioni fr elementi di () () () () (5) (6) (7) (8) (9) ( ) (0) ( ) () ( ) () ( ) Clol il vlore delle seguenti espressioni fr elementi di 5 () () () () (5) (6) (7) (8) (9) ( ) (0) ( ) ( ) Clol il vlore delle seguenti espressioni fr elementi di 6 () 5 5 () ( ) () ( ) ( 5) () ( ) ( 5)

4 Esegui le seguenti omposizioni nell'insieme S{,,, } (insieme delle sostituzioni su {,,, } ) (), (), () 5 Esegui le seguenti omposizioni nell'insieme S{,,,, 5 } () () 5 5, L'operzione su A = {,,, d} è definit dll tell di Cyley lto Determin: (), (), () d, () d, (5), (6), (7) d, (8) d, (9) Si noti he le espressioni () e () sono ostituite dlle mede sime sostituzioni, sritte nel medesimo ordine d d d d d d d 7 Desrivi le telle di Cyley delle seguenti operzioni () e su ; () e su ; () e su 5 ; () e su 6 ; (5) e su (Ω), on Ω = {,, }; (6) su S{,, } 8 Desrivi le telle di Cyley delle seguenti operzioni () su A = { 0,, }, dove è l'ordinri moltiplizione di numeri interi; () su A = { {}, {, }, {,, } }, dove è l'ordinri intersezione d'insiemi;,se x è divisiile per y ; () su A = {0,,,,, 5} definit d x y = 0, in so ontrrio () su A = {,, } definit d x y = x; (5) su A = {,, 7, 9} 0, dove è l'ordinri moltiplizione mod 0; (6) su A = {, 5, 7, }, dove è l'ordinri moltiplizione mod ; (7) su A = {,,,, 5} definit d x y = mx(x, y) (ioè x y è il più grnde dei numeri x, y qundo questi sono diversi è il loro vlore omune qundo oinidono); (8) su A = {,,,, 6, } definit d x y = M C D(x, y); (9) T su A = {,,, 8} definit d x T y = m m(x, y) 9 Spieg perhé l'espressione x y = y x + non definise un'operzione sull'insieme A = {,, 6} 0 Spieg perhé l differenz d'insiemi ( ) non definise un'operzione sull'insieme A = { {}, {, }, {,, } } Spieg perhé l differenz di numeri nturli ( ) non definise un'operzione su SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI () 0, (), (), (), (), (), (), () 5 () e () 5 6 () d, (), (), (), (5) d, (6), (7) d, (8), (9) 5

5 5 Proprietà delle operzioni Si A un insieme qulsisi non vuoto e si un'operzione (inri) su A L'operzione si die ssoitiv se: x, y, z A (x y) z = x (y z) L'ssoitività dell'operzione onsente di srivere l'espressione (x y) z nell form x y z, l'espressione [(x y) z] t nell form x y z t, e osì vi Le ordinrie operzioni di ddizione (+) e di moltiplizione ( ) su,, sono ssoitive: (x + y) + z = x + (y + z) (x y) z = x (y z) Dll'ssoitività dell'ddizione e dell moltiplizione su si può dedurre he l'ddizione ( ) e l moltiplizione ( ) su n sono, loro volt, ssoitive Le operzioni di intersezione ( ) e di unione ( ) su (Ω) sono ssoitive L'operzione di omposizione () sull'insieme A A è ssoitiv Per provrlo, onsiderimo le figure 5 e 6 A A A A x (h g) f t x h (g f) t f h g h (fig5) (fig6) f g f h y z y z g g A A A A Dll fig 5 si dedue: Dll fig 6 si dedue: (h g) f : x t h (g f) : x t Le funzioni (h g) f e h (g f) hnno llor lo stesso dominio A, lo stesso odominio A e risult ((h g) f)(x) = (h (g f))(x) per ogni x A f, g, h A A (h g) f = h (g f) E' ppen il so di osservre he l omposizione di sostituzioni è un so prtiolre di omposizione su A A Quindi l'operzione su S(A) è ssoitiv Un elemento u A si die elemento neutro per l'operzione, se x A x u = u x = x In e, 0 è elemento neutro per l'ddizione; è elemento neutro per l moltiplizione: x + 0 = 0 + x = x x = x = x In n, [0] e [] sono rispettivmente elementi neutri per l'ddizione e l moltiplizione Nell'insieme (Ω), l'insieme Ω è elemento neutro per l'intersezione; è elemento neutro per l'unione

6 6 Nell'insieme A A, l'pplizione identi in A, i A, è elemento neutro per l'operzione di om posizione: f A A i A f = f i A = f Qundo A è finito e l'operzione mmette un elemento neutro u, l tell di Cyley di dett operzione ontiene un rig e un olonn i ui elementi ompiono nello stesso ordine on ui sono inditi nelle intestzioni L rig e l olonn suddette risultno en trme intestte u (vedi fig, e ) Si u elemento neutro per l'operzione Un elemento x A si die simmetrizzile, se esiste un x' A tle he: x x' = x' x = u x' si die elemento simmetrio di x per l'operzione In e tutti gli elementi sono simmetrizzili per l'ddizione; il simmetrio ddittivo di x o x si indi on x e prende il nome di opposto di x: x + ( x) = ( x) + x = 0 Ad esempio, se x = 5, è x = 5; se x =, è x = ( ) = ; e In ogni elemento diverso d zero è simmetrizzile per l moltiplizione; il simmetrio moltiplitivo di x si indi on x e prende il nome di inverso di x: x x = x x = Ad esempio, se x =, è x = ; se x =, è x 5 = ; se x =, è x = ; e 5 In n tutti gli elementi sono simmetrizzili per l'ddizione e, se n è un numero primo, tutti sono simmetrizzile per l moltiplizione In S(A) tutti gli elementi sono simmetrizzili per l omposizione ( ); il simmetrio di un sostituzione oinide on l'invers dell sostituzione stess Ad esempio, on riferimento lle sotituzioni su A = {,, } (esempio 5 pg), risult: µ =, µ' = µ = Inftti, ome suito si rionose, è µ' µ = µ µ' = I Qundo l'operzione è desritt d un tell di Cyley, due elementi x, x' sono sim metrii solo se ll'inroio dell rig intestt x on l olonn intestt x' e ll'inroio dell rig intestt x' on l olonn intestt x, ompre u (vedi fig, e ) L'operzione si die ommuttiv se: x, y A x y = y x Le operzioni di ddizione ( + ) e di moltiplizione ( ) su,, sono ommuttive: x + y = y + x x y = y x Dll ommuttività dell'ddizione e dell moltiplizione su si può dedurre he l'ddizione ( ) e l moltiplizione ( ) su n sono, loro volt, ommuttive

7 7 Le operzioni di intersezione ( ) e di unione ( ) su (Ω) sono ommuttive L'operzione su S(A) o su A A, se A è ostituito d n > elementi, non è ommuttiv L tell di Cyley di un'operzione ommuttiv è simmetri rispetto ll digonle priniple (osì viene himt l digonle he unise l'ngolo in lto sinistr on l'n golo in sso destr dell tell) Può dere he vi sino due elementi x, y A per ui risulti x y = y x senz he iò vlg neessri mente per ogni x, y A; tli elementi si diono permutili per l'operzione Osservimo he l'elemento neutro di A per l'operzione, se esiste, è permutile on tutti gli elementi di A Un elemento simmetrizzi le x A è permutile on il suo simmetrio x' Sino e due operzioni (inrie) entrme definite su uno stesso insieme A non vuoto L'operzione si die distriutiv rispetto, se: x, y, z A x (y z) = (x y) (x z) (y z) x = (y x) (z x) Diimo suito he l vlidità di un delle due uguglinze ssiur l vlidità dell'ltr se è ommuttiv L moltiplizione ( ) è distriutiv rispetto ll'ddizione ( + ) su,, : x (y + z) = x y + x z Osservimo he l seondo memro di quest'ultim uguglinz imo omesso le prentesi; ssumimo inftti, onvenzionlmente, he le moltiplizioni hnno l preedenz sull'ddizione Dll distriutività dell moltiplizione rispetto ll'ddizione su si dedue l distriutività dell moltiplizione ( ) rispetto ll'ddizione ( ) su n Sull'insieme (Ω), l'intersezione ( ) è distriutiv rispetto ll'unione ( ) e vievers: X (Y Z) = (X Y) (X Z), X (Y Z) = (X Y) (X Z), X, Y, Z (Ω) EP OPE / Indi le proprietà delle seguenti operzioni: () definit nell'eserizio 6 pg (),,, definite negli eserizi 7(5) e 7(6) pg (),, T, definite negli eserizi 8(),, 8(9) pg ESERCIZIO SVOLTO Voglimo stilire se l'operzione su definit d: è ssoitiv o ommuttiv x y = xy, x, y Come si vede, l'operzione viene definit himndo in us l moltiplizione su : lolre x y signifi moltiplire fr loro i numeri rzionli x, y e rddoppire il prodotto ottenuto

8 8 Ad esempio, per x = 5 e y = 5 6, risult = = Le proprietà dell'operzione vengono llor determinte supponendo note le proprietà dell molti- plizione di numeri rzionli (vedi prgrfo ) In ltre prole, le proprietà di si deduono dlle proprietà dell moltiplizione su Ciò premesso, si h suito: Proprietà ssoitiv Proprietà ommuttiv (x y) z = (xy) z = (xy) z = xyz; x y = xy; x (y z) = x (yz) = x (yz) = xyz y x = yx = xy x, y, z (x y) z = x (y z) x, y x y = y x ESERCIZIO SVOLTO Voglimo stilire se l'operzione su definit d: è ssoitiv o ommuttiv x y = x + y, x, y L'operzione è definit riorrendo ll'ddizione e ll moltiplizione su : lolre x y signifi ddizionre il doppio di x on il doppio di y Ad esempio, per x = e y =, risult = + = 5 Deduimo llor le proprietà di dlle proprietà dell'ddizione e dell moltiplizione su Proprietà ssoitiv Proprietà ommuttiv (x y) z = (x + y) z = (x + y) + z = x + y + z; x y = x + y; x (y z) = x (y + z) = x + (y + z) = x + y + z y x = y + x = x + y x, y, z (x y) z = x (y z) x, y x y = y x Determin quli delle seguenti operzioni sono ssoitive o ommuttive () x y = y +, x, y () x y = x + y, x, y () x y = x y +, x, y () x y = x y + x, x, y (5) x y = xy, x, y SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI () L'operzione non è ssoitiv Inftti, è ( ) ( ) L'operzione non mmette l'elemento neutro e non è ommuttiv () L'operzione è ssoitiv e mmette elemento neutro {,, } L'elemento neutro è il solo elemento simmetrizzile L'operzione è ommuttiv () Le nove operzioni desritte sono tutte ssoitive trnne un: l definit in 8() Elemento neutro: 8() ; 8() {,, }; 8() non esiste; ; 8(8) ; Elementi simmetrizzili: 8() ' =, ( )' = ; ; 8(5) ' =, 7' =, ' = 7, 9' = 9; 8(6) ogni elemento è il simmetrio di sé stesso; Le operzioni non ommuttive sono soltnto due Quli? () Non ssoitiv, non ommuttiv () Non ssoitiv, non ommuttiv () Non ssoi tiv, ommuttiv () Non ssoitiv, non ommuttiv (5) Non ssoitiv, ommuttiv