PNI 2012 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 QUESITO 2

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Francesca Micheli
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1 PNI SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO Alcuni ingegneri si propongono di costruire un glleri rettiline che colleghi il pese A, situto su un versnte di un collin, col pese B, che si trov sul versnte opposto. D un terz loclità C i progettisti misurno le distnze CA=837 metri, CB=64 metri e l'ngolo ACB l cui mpiezz è 44,5. Si clcoli qule srà l lunghezz dell glleri. Bst pplicre il teorem del coseno: AB = AC + BC AC BC cos(44.5 ) = [ cos(44.5 )] m AB = m, AB 86 m. QUESITO Si clcoli il limite dell funzione cosx x qundo x tende. Il limite si present nell form indetermint [+ ]. cosx x = + cosx sen x x = x + x cosx sen x x sen x Si potrebbe pplicre (più volte) l regol di de L Ho pitl m preferimo proporre un soluzione che utilizzi gli sviluppi di Tylor, ricordndo che, se x tende, risult: Liceo Scientifico PNI / 6

2 cosx = x + x4 Quindi: 4! +, senx = x x3 3! + x + x ( x + x4 x3 4! + ) (x 3! + ) x (x x3 = 3! + ) = x x4 + o(x 4 ) (x 3 x4 + o(x 4 ) x 4 + o(x 4 ) Il limite richiesto è quindi 6. = x4 + 3 x4 + o(x 4 ) x 4 + o(x 4 ) ~ 6 x4 x 4 = 6 QUESITO 3 Un finestr h l form di un rettngolo sormontto d un semicerchio vente per dimetro un lto del rettngolo; il contorno dell finestr misur L. Si determinino le dimensioni del rettngolo ffinché l re totle dell finestr si mssim. Indicto con x il lto del rettngolo che coincide con il dimetro dell semicirconferenz e con y l misur dell ltro lto del rettngolo, osservndo che il contorno dell finestr è formto di lti AD, AB e BC del rettngolo e dll semicirconferenz di dimetro CD (senz dimetro), si h: x + y + x = L D cui: y = L L re dell finestr è dt d: x x Are(finestr) = xy + x = x ( L Are = xl x x + x = ( ) x + xl = z x x ) + x L funzione d ottimizzre è un prbol con l concvità rivolt verso il bsso, quindi il mssimo si h nel vertice (se inclusso nelle limitzioni dell x): x V = b = L 4+ < L quindi ccettbile. L re mssim risult: Liceo Scientifico PNI / 6

3 Are(mssim) = ( ) ( L 4 + ) + L 4 + = (4 + ) L (4 + ) + L 4 + = L (4 + ) QUESITO 4 Si scriv l'equzione dell tngente l grfico dell funzione: f(x) = log x (x + 4) nel punto P di sciss x=. Osservimo che l funzione è definit per x> e x diverso d. Trsformimo il logritmo in logritmo nturle: f(x) = log x (x + 4) = ln (x + 4), f() = ln8 ln (x) ln Clcolimo l derivt dell funzione: f (x) = = = 3ln () ln () = 3 x x + 4 ln(x) x ln(x + 4) ln, f (x) () = ln() ln(8) ln = ln() 3 ln() () ln = () ln () ln () = ln() = m Quindi l tngente h equzione: y 3 = (x ), y = ln() ln() x + ln() + 3 QUESITO 5 L superficie pin S, delimitt dll curv γ di equzione y = x x + e dll sse x nell'intervllo x, è l bse di un solido Σ, le cui sezioni, ottenute con pini perpendicolri ll'sse x, sono tutte qudrti. Si clcoli il volume di Σ. Osservimo che l funzione nell intervllo indicto non è mi negtiv, in prticolre si nnull gli estremi dell intervllo. Il volume richiesto si ottiene medinte il seguente integrle ( e b sono gli estremi dell intervllo, A(x) è l re dell sezione, che nel nostro cso è un qudrto di lto y: b A(x)dx = (x x + ) dx = (x 5 + x 4 )dx = [ x6 6 + x5 5 ] = ( 6 5 ) = 3 u3 Liceo Scientifico PNI 3/ 6

4 QUESITO 6 Si dimostri che x x dx = +. + x dx = lim x x dx = lim x x + dx = lim + x ( + + x ) dx = = lim [x + ln x ] + = lim [ ( + ln ( ))] = lim + +[ ln ( )] = + (se + ln( ) ). Tenuto conto che: log = 3 tg x dx QUESITO 7 si clcoli un'pprossimzione di log, utilizzndo uno dei metodi di integrzione numeric studiti. Utilizzimo il metodo dei trpezi dividendo l intervllo in n=5 prti: 3 tg x dx h [ f(x ) + f(x 5 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 )] Dove: h = 3 5 = 5 x =, x = + h = 5, x = 5, x 3 = 3 5, x 4 = 4 5, x 5 = 5 5 = 3 Liceo Scientifico PNI 4/ 6

5 3 tg x dx 5 [f() + f( 3 ) + f ( ) + f () + f ( ) + f(4 5 )] = = 5 [ ] Le prime cifre estte di ln() sono:.693. QUESITO 8 Si determini per qule vlore di x si h e x = ex. Pssndo i logritmi bbimo: ln(e x ) = ln( ex ), x = e x ln, ( e ) x = ln, xln ( e ) = ln(ln), x = ln(ln) ln(ln) ln ( = e ) ln = x QUESITO 9 Si determini l probbilità che in otto lnci di un monet si presenti croce un numero dispri di volte. L probbilità che esc croce in lncio e p =. Dobbi clcolre l probbilità che esc croce volt oppure 3 volte oppure 5 volte oppure 7 volte in otto lnci. Applichimo l formul dell distribuzione binomile con n=8 ed x (i successi) ugule d, 3, 5, 7. p(n, x) = ( n x )px q n x, con p=q=/ p(8,) = ( 8 ) ( ) ( 7 ) = 8 ( 8 ), p(8,3) = ( ) ( ) ( 5 ) = 56 ( 8 ) p(8,5) = ( ) ( ) ( ) = 56 ( ) 8, p(8,7) = ( 8 7 ) ( ) 7 ( ) = 8 ( ) 8 Liceo Scientifico PNI 5/ 6

6 L probbilità richiest è quindi: [8 ( 8 ) + 56 ( 8] ) = = QUESITO In un figlit di quttro gttini, è più probbile che due sino mschi e due sino femmine, oppure che tre sino di un sesso e uno dell'ltro? I csi possibili con quttro gttini sono 4 = 6 che sono le disposizioni con ripetizione di due oggetti (M ed F) 4 4. I csi con due mschi e due femmine sono: MM, MM3, MM4, MM3, MM4,M3M4: 6 csi possibili. L probbilità di vere due mschi e due femmine è quindi: p(mf) = 6 6 = 3 8 Contimo i csi in cui si hnno tre gttini di un sesso e uno dell ltro. I csi in cui si hnno 3 mschi sono 4, inftti può essere femmin il primo, il secondo, il terzo o il qurto gttino e gli ltri tre in ogni cso mschi. Anlogmente si hnno 4 csi con 3 femmine. In totle bbimo 8 csi. Pertnto: p(3 di un sesso e uno dell ltro) = 8 6 = Con l collborzione di Angel Sntmri Liceo Scientifico PNI 6/ 6

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