Lezione 31 - Il problema ai limiti assiale

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1 ezione 31 - Il problem i limiti ssile [Ultim revisione: febbrio 009] In quest lezione si pplicno i risultti dell lezione precedente, clcolndo spostmenti e crtteristiche di lcune trvi d un sol cmpt soggette crichi di tipo ssile. Si impost quindi e si risolve il problem i limiti del secondo ordine, illustrndo lcuni semplici condizioni di crico. Nel seguito si intender' con il termine "st" un trve soggett soli crichi ssili, mentre il termine "trve" sr' riservto i csi di forze trsversli. 'st soggett crico uniformemente distribuito Il cso di crico piu' semplice e' quello per cui t t 0 = costnte. In questo cso l'equzione differenzile che regge il problem i limiti si scrive: '' = t 0 EA ed e' immedito consttre, per integrzioni successive, che l'integrle dell (1) e'pri : (1) A 0 + A 1 x 3 t 0 x 3 EA Per ottenere le due costnti di integrzione A 0 ed A 1 occorre specificre le condizioni di vincolo. Si hnno due csi di interesse prtico. () à Ast fiss gli estemi Per un'st i cui due estremi sono impediti muoversi, occorrer' che si: H0 = H = 0 (3) ossi, dll (): A 0 = 0 A 0 + A 1 t 0 EA = 0 e quindi l line elstic e' dt d: (4) t 0 x 3 EA H x 3 mentre lo sforzo normle e' dto d: (5)

2 51 ezione 31 - Il problem i limiti ssile.nb N EA ' t 0 J x 3N In Figur 1 e' riportto l'ndmento dei grfici degli spostmenti e degli sforzi normli. Come puo' osservrsi, e come deducibile dlle formule, lo sforzo normle e' distribuito con legge linere, mentre lo spostmento ssile vri con legge qudrtic lungo l'sse, rggiungendo il suo mssimo in mezzeri. (6) Spostmenti ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 EA u NHx 3 Sforzi ssili ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Figur 1 - Ast fiss gli estremi soggett crico distribuito uniforme: digrmm degli spostmenti e degli sforzi ssili e rezioni dei due vincoli gli estremi sono fcilmente clcolbili con considerzioni di equilibrio. A sinistr si vr', come deducibile dll Figur : t 0 X H 0 NH0 NH H Figur - e rezioni ssili per l'st soggett crico uniformemente distribuit ed destr: H 0 + N H0 = 0 H 0 = N H0 = t 0 H N H = 0 H = N H = t 0 (7) (8)

3 ezione 31 - Il problem i limiti ssile.nb 5 à Ast fiss sinistr e liber destr In questo cso dovr' essere: ossi, dll (): H0 = ' H = 0 A 0 = 0 A 1 EA = 0 e quindi l line elstic e' dt d: (9) (10) t 0 x 3 EA I x 3 M mentre lo sforzo normle e' dto d: (11) ' N EA t 0 H x 3 (1) In Figur 3 sono riportti i grfici degli spostmenti e degli sforzi normli. Clcolre le rezioni vincolri. Spostmenti ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ EA u NHx 3 Sforzi ssili Figur 3 - Ast fiss sinistr e liber destr : digrmm degli spostmenti e degli sforzi ssili 'st soggett forz concentrt ll'estremo Si consideri or un'st fiss sinistr, liber destr, e soggett d un forz concentrt F ll'estremo libero. Utilizzndo il principio di stzionriet' dell'energi potenzile totle, l fine di stbilire le condizioni l contorno ll'estremo libero, si scrive l'energi potenzile totle come:

4 53 ezione 31 - Il problem i limiti ssile.nb E t = 1 ' EAu 3 Hx 3 dx 3 F H 0 (13) e quindi l vrizione prim di E t e' fornit d : '' δ 1 E t = EA δu ' 3 dx 3 F δu 3 H = 0 0 Integrndo per prti si giunge ll solit equzione differenzile, con t 0 = 0, ed lle condizioni i limiti: (14) EA ' H0 δ H0 = 0 HEA ' H F δ H = 0 Nell' estremo di sinistr, fisso, dovr' essere H0 = 0, mentre destr, nell' estremo libero, sr' : (15) (16) EA ' H = F (17) Not - (17) esprime l'equilibrio tr sforzo normle e forz pplict, come puo' fcilmente evincersi enuclendo il concio elementre ll'sciss x 3 =, ed esprimendo l condizione di equilibrio nei rigurdi delle possibili trslzioni orizzontli (cfr.figur 4) F X H 0 NH0 NH F Figur 4 - 'st soggett crico concentrto nell'estremo libero Gli spostmenti srnno llor dti d: EA x 3 (18) mentre lo sforzo normle e' costnte, e pri d F. Si noti che non e' necessrio, in queso cso, risolvere il problem i limiti per ottenere l (18). Ed inftti, in ssenz di crichi distribuiti, l condizione (47) dell lezione precedente: dn Hx 3 dx 3 +t 0 (19) implic che lo sforzo normle si costnte lungo l'sse x 3. Di conseguenz, per l (17), esso sr' pri ovunque d F, e per l (8) dell lezione precedente: sr' subito: N EA ' Hx 3 (0)

5 ezione 31 - Il problem i limiti ssile.nb 54 ' EA EA x 3 + C Infine, l costnte di integrzione C si nnull, in bse ll condizione sinistr, dove (0) = 0. (1) Grfici