Foglio N.3. PRIMITIVE. Pn (x) Q m (x) dx

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1 Integrli di Funzioni Rzionli: Foglio N3 PRIMITIVE Pn (x) Q m (x) dx dove P n (x) e Q m (x) sonopolinomidigrdon ed m rispettivmente Un funzione rzionle il cui denomintore P n (x) è un polinomio di grdo inferiore del polinomio del numertore Q m (x) prende il nome di funzione rzionle propri Se n m possimo eseguire l clssic divisione tr polinomi, in questo modo ottenimo l seguente scomposizione P n (x) =Q m (x) D (x)+r (x) con D (x) e R (x) polinomi di grdo più piccolo di m, P n (x) R (x) = D (x)+ Q m (x) Q m (x) il nostro integrle or ssume l form Pn (x) Q m (x) dx = D (x) dx + R (x) Q m (x) dx dove l l funzione rzionle R (x) Q m (x) èpropri Esempio: Determinre l integrle x 3 +2x 2 +2 x 2 dx L divisione tr i due polinomi d luogo ll seguente scomposizione: segue che x 3 +2x 2 +2= x 2 (x +2)+(x +4) x 3 +2x 2 +2 x 2 x 3 +2x 2 +2 x 2 dx = =(x +2)+ x +4 x 2, x +4 (x +2)dx + x 2 dx Il problem è determinre le primitive di funzioni rzionli proprie e per fre questo introducimo l scomposizione per frtti semplici:

2 IA] Ad ogni fttore linere x + b che figuri l denomintore di un funzione rzionle propri corrisponde un sol frzione przile dell form A x + b dove A è un costnte d determinre IB] Fttori Lineri Ripetuti Ad ogni fttore (x + b) k che figuri l denomintore di un funzione rzionle propri corrisponde un somm di k frzioni del tipo A k A x + b + A 2 (x + b) (x + b) k dove A,A 2, A k sono le costnti d determinre Esempio: Cso IA]: ottenimo che 2x + x 3 +2x 2 x 2 x 3 +2x 2 x 2=(x ) (x +) (x +2) 2x + x 3 +2x 2 x 2 = A (x ) + B (x +) + C (x +2) Dunque eseguendo le moltipliczioni ricvimo segue 2x +=A (x +)(x +2)+B (x ) (x +2)+C (x +)(x ) in ltre prole Cso IB]: 2x +=(A + B + C) x 2 +(3A + B) x +2A +2B C A + B + C = 3A + B =2 2A 2B C = = A = 2 B = 2 C = 2x + x 3 +2x 2 x 2 = 2(x ) + 2(x +) (x +2) ottenimo che 3x +5 x 3 x 2 x + 2

3 x 3 x 2 x +=(x +) (x ) 2 3x +5 x 3 x 2 x + = A (x +) + B (x ) + C (x ) 2, eseguendo le vrie operzioni ricvimo: 3x +5=(A + B) x 2 +(C 2A) x + A B + C dunque i vlori di A, B e C si ottengono risolvendo il sistem linere: A + B = 2A + C =3 A B + C =5 IIA] Fttori Qudrtici Distinti: Ad ogni fttore qudrtico irriducibile x 2 + bx + c che figuri l denomintore di un funzione rzionle propri corrisponde un sol frzione przile propri dell form Ax + B x 2 + bx + c dove A e B sono le costnti d determinre IIB] Fttori Qudrtici Ripetuti: Ad ogni fttore x 2 + bx + c k,conx 2 + bx + c fttore qudrtico irriducibile, che figuri l denomintore di un funzione rzionle propri corrisponde un somm di k frzioni przili proprie dell form A x + B x 2 + bx + c + A 2 x + B 2 (x 2 + bx + c) A kx + B k (x 2 + bx + c) k dove A,A 2, A k e B,B 2, B k sono le costnti d determinre Esempio: Cso IIA] ottenimo che qui irriducibile signific che x 3 + x 3 + x +2 x 4 +3x 2 +2 x 4 +3x 2 +2= x 2 + x 2 +2 x 3 + x 3 + x +2 x 4 +3x 2 +2 = Ax + B x 2 + Cx + D x 2 +2, 4 = b 2 4c < 3

4 eseguendo le vrie operzioni ottenimo x 3 + x 3 + x +2=(A + C) x 3 +(B + D) x 2 +(2A C) x +2B D dunque i vlori di A, B, C e D si ottengono risolvendo il sistem linere: A + B = B + D = 2A C = 2B d =2 Cso IIB] ottenimo che x 3 + (x 2 + x +2) 2 x 3 + (x 2 + x +2) 2 = Ax + B (x 2 + x +2) + Cx + D (x 2 + x +2) 2, x 3 +=(Ax + B) x 2 + x +2 + Cx + D, come nei csi precedenti ottenimo un sistem linere di quttro incognite e quttro equzioni F Integrli immediti di funzioni rzionli con prmetri, b, c, R, 6= x + b dx = µ x + b log + Cost : 2 x dx = ³ x rctn + Cost; 3 x 2 2 dx = 2 log x x + 4 x x + b dx = [(x + b) b log (x + b)] + Cost; 2 Ex] Determinre i seguenti integrli l vrire dei prmetri, b, c, A, B R,, A 6= : 2 x 2 + bx + c dx; Ax + B x 2 + bx + c dx 4

5 Dimo or le primitive di lcuni integrli tipici: Integrli tipo: [ sin (αx)+b cos (αx)] e βx dx, con, b, α, β R Un primitiv è dt dll funzione con A e B costnti d determinre Inftti derivndo ottenimo F (x) =e βx [A sin (αx)+b cos (αx)] F (x) =e βx [βasin (αx)+βb cos (αx)] + e βx [A sin (αx)+b cos (αx)] dto che ottenimo F (x) =e βx [(βa αb)sin(αx)+(βb + αa)cos(αx)], F (x) =[ sin (αx)+b cos (αx)] e βx [(βa αb)sin(αx)+(βb + αa)cos(αx)] = [ sin (αx)+b cos (αx)] segue βa αb = βb + αa = b Integrli tipo: P n (x) e βx dx, con P n (x) polinomio di grdo n Un primitiv è dt dll funzione F (x) =Q n (x) e βx con Q n (x) polinomio di grdo n d determinre Derivndo ottenimo F (x) =βq n (x) e βx + Q n (x) e βx = e βx [βq n (x)+q n (x)] posto ottenimo Integrli tipo: con n N F (x) =P n (x) e βx P n (x) =βq n (x)+q n (x) x n log (x) dx = xn+ log (x) xn+ n + (n +) 2 5

6 Exb] Determinre i seguenti integrli definiti: π [2 sin (3x)+cos(3x)] e x dx; 2 x 2 +2x + e 2x dx; T] Sino α (t) e β (t) funzioni qulsisi verificre che: β(t) d f (s) ds = β (t) f (β (t)) α (t) f (α (t)) dt α(t) Exc] Utilizzndo l esercizio precedente determinre i seguenti limiti: 2 3 lim x + x 2 sin(x) x e t2 dt; sin(x2 ) rcsin (t) lim dt; x + sin (x) sin(x) t n n lim n T2] Si dt un qulsisi funzione continu x n log (x) dx f : D R con D intervllo di R, verificre che per ogni funzione di clsse C risult G(β) G(α) G :[α, β] D f (x) dx = β α f (G (t)) G (t) dt Se l ppliczione G è iniettiv per ogni, b pprtenenti Im(G) D 2 possimo scrivere: b f (x) dx = G (b) G () f (G (t)) G (t) dt 2 Ovvimente con Im(G) bbimo denotto l immgine (codominio) dell funzione G 6

7 Exd] Verificre che per ogni funzione continu f :[, ] R risult Exf] L scrittur è un errore? π f (sin (t)) cos (t) dt = dx = rctn(tn(x)) + Cost Exg] Verificre i seguenti risultti: 2 3 π 2 /4 2 tn(x/2) + x 2 3x 2 27 dx = log (2) ; cos 2 ( x) dx = h π i 2 2 log (2), R; tn(x) cos ³π 2 (tn (x)) cos 2 dx =; (x) π/4 7

8 INTEGRALI IMPROPRI T3] Si f :[, b[ R un funzione continu, verificre che se l funzione è limitt l integrle risult convergente Se esiste il limite b possimo ffermre che l integrle f (x) dx lim f (x) =l R x b converge? b f (x) dx T3b] Si f :], + [ R un funzione continu, verificre cheseesisteillimite esiste un numero rele tle che lim f (x) =l> x + + f (x) dx =+ T4] Si f :], + [ R un funzione continu, dre un senso ll scrittur + f (x) dx L funzione è integrbile? x ], + [ sin (x) R T5] Utilizzndo il principio del confronto dimostrre il teorem del confronto sintotico: Sino f,g :], b[ R 8

9 funzioni continue tle che f (x), g(x) >, con se f (x) lim = L [, + ] x b g (x) L = L =+ L ], + [ b b b g (x) dx < + = g (x) dx =+ = g (x) dx b b b f (x) dx; Sino F, G :], b[ R due funzioni continue 3, considerimo l integrle improprio se esistono b x o F (x) G (x) dx, L, l ], + [ tle che f (x) =F (x)(l + o ()) ; g (x) =G (x)(l + o ()) verificre che b F (x) b G (x) dx f (x) g (x) dx x o x o f (x) dx < + ; f (x) dx =+ ; 3 Anche qui vlgono le considerzioni dell not precedente 9

10 Exh Clcolre i seguenti integrli: log (x) x β dx, β > log (x) x β dx, β > 3 [log (x)] n dx, n N 4 π 6 cos (x) q dx, sin (x)+sin 2 (x) Exi] Studire l convergenz dei seguenti integrli impropri: dx, β > β log (x) 2 2 e (x )2 dx, β > β [log (x)] 3 sin (x α )+sin(x) x α log (x) 2 dx, α > 4 π/2 e xα x β +sin(x α dx, α, β > ) 5 + log x 7 + x 3 + log x 7 + x α log (x 2 + x + e x ) β dx, α, β > 6 + sin x 4 x 5 cos dx, x 7 + rctn x α dx, α > e x

11 8 π/4 sin ( x α ) e x3 dx, α > Exl] Studire l integrbilità delle seguenti funzioni: nell intervllo (, ) f (x) =e x sin (x); 2 nell intervllo (, + ) l vrire del prmetro α in R : f (x) = e +x 4 2 x log x α ; 3 nell intervllo (, 7π) l vrire del prmetro α in R : x 7 (x ) 2 2 α f (x) = log ³+(x 2 ; 3 ) 4 nell intervllo ( π, + ) l vrire del prmetro α in ], + [ : f (x) = e x x α p log ( + x ) ;