11 Altoparlante magnetico

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1 Altoprlnte mgnetico Un ltoprlnte mgnetico h un cono di mss m mntenuto in posizione d un sospensione elstic di costnte k. Il cono, nel suo spostmento, è soggetto d un ttrito viscoso, dovuto ll ccoppimento custico con l mbiente, crtterizzto dl coefficiente f. L bobin mobile h resistenz R ed induttnz L; il coefficiente di ccoppimento elettrocustico dovuto l cmpo mgnetico presente l trferro è. N S N z R =Ω L =mh k = N=m f =Ns=m m =g =N=A Fig.. Per tle sistem ) Si determini un modello nello spzio degli stti ssumendo come ingresso l tensione pplict e come uscit l corrente nell bobin mobile e l velocità del cono; ) Si determini l ndmento del modulo e dell rgomento dell impedenz dell ltoprlnte in funzione dell frequenz; 3) Si determini l potenz elettric ssorbit, in regime sinusoidle, in funzione dell frequenz; ) Si determini l potenz custic cedut ll mbiente, in regime sinusoidle, l vrire dell frequenz. SOLUZIONE Il sistem è composto d un prte elettric e d un meccnic tr loro intergenti. Indicndo con i(t) l corrente che ttrvers l bobin mobile, con u(t) l tensione pplict i suoi cpi e con z(t) il suo spostmento rispetto ll posizione di equilibrio, si può scrivere, per l prte elettric, un prim equzione

2 ALTOPARLANTE MAGNETICO. d L di dz + Ri+ = u L equilibrio delle forze genti sul cono port poi d un second equzione d m d z + f dz + kz = i Le due equzioni differenzili precedenti descrivono completmente l dinmic del sistem. L scelt più opportun per le vribili di stto del sistem in esme è costituit dll corrente nell bobin mobile e d posizione e velocità del cono. Si sceglierà pertnto x(t) = i(t), x(t) = z(t) ex3(t) = ż(t). Con tle scelt le equzioni precedenti possono essere scritte nell form dx dx dx3 = R L x L x 3 + L u = x3 = m x k m x f m x 3 Le mtrici A, B e C che descrivono il modello cercto sono quindi le seguenti A = C = R=L =L =m k=m f=m 3 B = =L 3 Per studire l ndmento dell impedenz in funzione dell frequenz si determinerà l funzione di trsferimento tr l tensione di pilotggio (ingresso del sistem) e l prim uscit (corrente di ingresso). Tle funzione di trsferimento è d 3 G(s) = = s +(f=m) s + k=m L det (si A) (s + R=L) =L s =m k=m (s + f=m) 3 =L 3

3 TEORIA.3 DEI SISTEMI ESERCIZI ED APPLICAZIONI Clcolndo il determinnte di (si A) ed effettundo opportune semplificzioni, si ottiene l seguente espressione dell impedenz in funzione di! Z(j!)= G(j!) = R + j!l+ j ( =m)! (k=m! )+j(f=m)! Sviluppndo l espressione precedente si ottiene il modulo dell impedenz che, indicndo con d(!) l espressione è o d s R + ( f=m )! d(!) d(!) = k=m! + f=m! ; + L!+ (k=m! )( =m)! d(!) L ndmento di kz(j!)k in funzione dell frequenz è riportto in Figur.. Ω Fig.. Per qunto rigurd l rgomento dell impedenz, dll espressione di Z(j!) si ottiene L!d(!)+ k=m!! =m! rg Z(j!) = rctg Rd(!)+ f=m! il cui ndmento in funzione dell frequenz è riportto nell Figur.3. Fig

4 ALTOPARLANTE MAGNETICO. 3 Applicndo come ingresso un tensione sinusoidle di pulszione! u(t) =E cos!t l corrente regime nell bobin mobile srà d E y(t) = cos!t+ (j!) kz(j!)k ove (j!)=rg Z(j!) L potenz elettric istntne ssorbit è quindi d P (t) =u(t)i(t) = E kz(j!)k cos!t cos!t + (j!) L integrle su un periodo fornisce, infine, l espressione E P = cos (j!) kz(j!)k che, per E =V, h l ndmento riportto in Figur.. Fig.. mw 3 L forz esercitt dl cono sull ri è d f (dz=); l potenz custic istntne è quindi pri P c (t) =f dz Per determinre tle potenz in funzione dell frequenz è necessrio clcolre l funzione di trsferimento tr l velocità del cono (second uscit del sistem) e l ingresso. Procedendo in mnier nlog l clcolo dell impedenz si ottiene 3 3 (s + R=L) =L =L 3 G(s) = s = mldet (si A) s =m k=m (s + f=m)

5 TEORIA. DEI SISTEMI ESERCIZI ED APPLICAZIONI Sostituendo j! d s si ottiene, per il modulo di G(j!), l espressione kg(j!)k = s R L k m! f! m (=ml)! +! ml + Rf ml + k m! L rgomento è o d rg G(j!) = rctg (R=L)(k=m! ) (f=m)!! ( =ml + Rf=mL + k=m! ) Applicndo come ingresso un tensione sinusoidle di pulszione! u(t) =E cos!t si ottiene, regime, un velocità istntne del cono d y(t) =kg(j!)k E cos!t + (j!) ove (j!) = rg G(j!) L potenz custic istntne risult quindi pri P c (t) =f kg(j!)k E cos!t + (j!) Integrndo su di un periodo l funzione precedente si ottiene infine l espressione P c = f kg (j!)k E che h, per E =V, l ndmento riportto in Figur.. mw Fig..

6 ALTOPARLANTE MAGNETICO. OSSERVAZIONI Si noti che l prte meccnic e quell elettric intergiscono cus del movimento dell bobin mobile in un cmpo mgnetico. Annullndo tle cmpo ( = ) l corrente nell bobin non vrebbe più lcun effetto sul movimento del cono e vicevers. Tle interzione è chirmente osservbile nell mtrice A che, per =, divent digonle blocchi con un blocco reltivo l circuito elettrico ed uno reltivo ll prte meccnic. Si può ncor osservre come tle interzione influenzi l dinmic del sistem. Inftti il polinomio crtteristico di A è o d det (I A) = 3 f + m + R + L ml + Rf ml + k + Rk m ml che, con i vlori ssegnti, divent I poli sono = 33 = 89 3 = 33 ed i moti ssociti sono tutti sintoticmente stbili; l dinmic del cono è essenzilmente determint d. Annullndo il cmpo mgnetico od interrompendo il circuito elettrico l dinmic del cono è descritt dll equzione d z + f m dz + k m z = I poli dell prte meccnic sono or le rdici dell equzione i d =; = 3 = 988 L dinmic di tle sistem è essenzilmente determint d (polo dominnte) che h or un vlore circ doppio rispetto l cso precedente. Tutte le considerzioni precedenti sono vlide per un pilotggio in tensione del dispositivo, che è pprossimto molto bene dgli ttuli mplifictori d lt fedeltà; nturlmente

7 TEORIA. DEI SISTEMI ESERCIZI ED APPLICAZIONI l resistenz e l induttnz dei cvi di collegmento vnno sommrsi quelle del dispositivo peggiorndone il comportmento. b L ndmento del modulo dell impedenz mostr come quest ssum un vlore più elevto in corrispondenz dell frequenz di risonnz del sistem (circ per il dispositivo in esme). A frequenze bsse l impedenz è ssimilbile ll resistenz dell bobin mobile; frequenze lte ll su rettnz induttiv. Il corrispondente ndmento dell rgomento evidenzi che l ltoprlnte in esme si comport come un crico induttivo gli estremi dell bnd e come un crico cpcitivo in un intervllo compreso tr l frequenz di risonnz e circ. c Confrontndo l ndmento dell potenz ssorbit con quello del modulo dell impedenz si può notre come il minimo ssorbimento si bbi in corrispondenz dell frequenz di risonnz e come l ssorbimento tend zero l crescere dell frequenz. d Confrontndo il grfico reltivo ll potenz cedut ll mbiente con quello reltivo ll potenz ssorbit si può vlutre il rendimento del dispositivo, che è mssimo ll frequenz di risonnz. Si noti che l potenz cedut ll mbiente tende zero con l frequenz come in tutti i trsduttori di questo tipo. Si osservi infine che nel progetto dei trsduttori elettrocustici ssume notevole importnz l rispost prticolri segnli di ingresso (es. impulso) periodici o meno. Il clcolo di tli risposte può essere effettuto nel dominio dei tempi determinndo l esponenzile dell mtrice dinmic come si ègià visto in ltri esercizi. Qulor l ingresso si periodico è possibile clcolre l rispost regime nche nel dominio delle frequenze sviluppndo in serie di Fourier il segnle di ingresso u(t) = E k cos(k!t + k ) k= ed pplicndo il principio dell sovrpposizione degli effetti. spostmento del cono, d esempio, risult d X v(t) = k= X kg(jk!)k E k cos k!t + k + (j k!) L velocità di Nell prtic ppliczione di tle metodo si limiterà lo sviluppo in serie dell ingresso i soli termini più significtivi.