ESERCIZIO 1. Fig. 1. Si ricava a = m = 14.6 mm. Ricalcolando per a/w= 14.6/50= 0.29, si ottiene Procedendo, si ricava:

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1 ESERCIZIO 1 Un pistr di lrghezz totle 100 mm e spessore 5 mm, con cricc centrle pssnte (ig. 1), è soggett d un orz di trzione P=50 kn. 1) Determinre le condizioni di cedimento dell pistr. ) Determinre l lunghezz mssim mmess per l cricc, nel cso che si vogli grntire un coeiciente di sicurezz pri sul crico. Mterile: Alluminio 014- T651 (K = 4 MPm; = 40 MP). P W P K I Fig. 1 Non conoscendo l dimensione dell cricc (e quindi non conoscendo ) dobbimo risolvere il problem in mnier itertiv. Assumimo che il rpporto /W vlg 0.. In tl cso 1.1, d cui, imponendo che K I si ugule K si può scrivere: Si ricv = m = 14.6 mm Riclcolndo per /W= 14.6/50= 0.9, si ottiene Procedendo, si ricv: 1

2 d cui = 16.6 mm. Per il nuovo vlore /W=0., dl digrmm di ig. 1 si ottiene un vlore di di circ 1.07, e quindi, nei limiti dell'pprossimzione consentit dl grico, molto vicino l vlore precedente di Possimo quindi scegliere un vlore intermedio =1.06 e procedere con l'ultim iterzione di clcolo , 1005 ottenendo un lunghezz = 16. mm Veriichimo le condizioni di pplicbilità dell meccnic dell rttur linere elstic (MFLE). B.5 K 5 mm 7.8 mm NON VERIFATO L condizione non è rispettt, in qunto lo spessore è minore di 7.8 mm. Veriichimo llor le diseguglinze W 4 K 4 K 16. mm 4 mm.7 mm 4 mm che risultno tutte veriicte. E pertnto possibile utilizzre l MFLE. Veriichimo nche l condizioni di plsticizzzione globle dell pistr. Il crico di collsso plstico dell pistr è pri P coll pl A nett kn 40 poichè risult P P coll pl 50 kn kn il collsso dell pistr vviene eettivmente per propgzione instbile dell cricc, qundo l su lunghezz totle rggiunge = 16. =.6 mm.

3 Per determinre l lunghezz mssim di cricc per un coeiciente di sicurezz pri = sul crico, scrivimo l equzione che ci ornisce l lunghezz critic dell cricc per un crico di 50 kn: L equzione può essere risolt in mnier itertiv, nlogmente qunto visto in precedenz. Un clcolo più veloce può essere condotto ssumendo che il vlore di = 1 si suicientemene ccurto (l dimensione di cricc, e quindi nche il vlore di, srno sicurmente più piccoli di quelli ottenuti per l condizione critic per un crico P = 50 kn, per l qule er pri circ 1.06). In tl cso, si ottiene: d cui.5 mm (lunghezz totle dell cricc = 7 mm) (poiché /W= 0.007, si può veriicre sul digrmm di ig. 1 l ccettbilità dell ssunzione di =1 per questo clcolo)

4 ESERCIZIO Un pistr di lrghezz W = 40 mm e con un cricc pssnte di bordo di lunghezz = 6 mm (ig. 1) è soggett d un orz di trzione P=55 kn. 1) Determinre lo spessore minimo dell pistr nel cso che si richied un coeiciente si sicurezz pri sul crico Mterile: Acciio 00-M (K = 65 MPm; = 1740 MP). P W P K I Fig. 1 Poiché conoscimo l dimensione dell cricc e l lrghezz W dell pistr, possimo ricvre immeditmente il vlore del prmetro dl digrmm di ig. 1. Per /W = 6/40 = 0.15, si ricv 1. L condizione di propgzione dell cricc, per un coeiciente di sicurezz sul crico pri, si scrive quindi come: K I B D quest equzione si può ricvre lo spessore B (incognit del problem): B = 11. mm 4

5 Veriichimo le condizioni di pplicbilità dell MFLE. K B.5 W 4 K 4 K 11. mm.5 mm 6 mm 0.6 mm 4 mm 0.6 mm Le condizioni sono tutte veriicte ed è pertnto possibile utilizzre l MFLE. Veriichimo nche le condizioni di plsticizzzione globle dell pistr. Il crico di collsso plstico dell pistr, per l lunghezz di cricc pri 6 mm, è pri P coll pl A nett kn 1740 poichè risult P P coll pl 150 kn 55 kn lo spessore B di 11. mm è eettivmente lo spessore che grntisce il coeiciente di sicurezz richiesto ed il collsso dell pistr vviene per propgzione instbile dell cricc, qundo il crico rggiunge il vlore di 150 kn. 5

6 ESERCIZIO Un pistr d cciio di lrghezz 150 mm, spessore 5 mm e con un cricc pssnte centrle di lunghezz totle = 5 mm, è soggett d uno sorzo lternto tr un vlore mssimo pri mx = 8 MP d un vlore minimo pri mx = 0. Noti i vlori di K e dei coeicienti dell curv di Pris del mterile, clcolre il numero di cicli che port l pistr l cedimento. W oppure, in orm nlitic K I sec W N.B: l ormul è vlid per ngoli espressi in rdinti I dti di prtenz sono quindi: Geometri Lunghezz cricc = 5mm (i =.5 mm) Lrghezz W = 150 mm; (W = 75 mm) Spessore B = 5 mm Proprietà del mterile KIc = 10 MPm = 1600 MP Coeicienti dell legge di Pris C=7.5E-8; n=.5 (d/dn in mm/ciclo e KI in MPm) Crico min= 0 MP mx= 8 MP 6

7 L lunghezz critic dell cricc si ottiene imponendo che K I ossi, esprimendo sec W sec in metri 10 K L equzione nell incognit, che si può risolvere per tenttivi o per vi numeric, ornisce il vlore dell dimensione dell cricc che corrisponde ll propgzione instbile: = 0.07 m = 70 mm Veriichimo l pplicbilità dell meccnic dell rttur linere elstic. L diseguglinz B. 5 K è veriict in qunto.5 K m Le diseguglinze qunto 4 K 4.4 mm K e e W W 5 mm. 4 K risultno nche esse veriicte, in Veriichimo inoltre l condizione di collsso per plsticizzzione, controllndo che il rpporto tr il crico mssimo pplicto (Pmx) non porti ll plsticizzzione totle dell sezione (P coll pl ). Nel cso in esme: Pmx=8 (150 5)=11.5 kn Pcoll pl=1600 (W-) B = 1600 ( ) 5= 400 kn EssendoP mx / P coll pl = 0.78, il cedimento dell pistr vviene per propgzione dell cricc qundo quest rggiunge l dimensione critic = 70 mm Possimo quindi procedere l clcolo del numero di cicli che produce l propgzione dell cricc dl vlore inizile i =.5 mm quello inle = 70 mm (che corrisponde ll propgzione instbile dell cricc con cedimento inle del pnnello). Per eetture un stim pprossimt del numero di cicli rottur, dividimo l intervllo tr l lunghezz inizile di cricc i =.5 mm e quell inle = 70 mm in cinque pssi di clcolo. 7

8 Suddivisione in 5 incrementi di cricc Psso min - mx 1.5mm 1.5mm 10 mm 1.5 mm 5 mm 1.5 mm 5 mm 7.5 mm 1.5mm mm 50mm 1.5 mm 5 50 mm 70 mm 0 mm Possimo pertnto costruire l tbell 1, nell qule riportimo l sequenz dei clcoli. Il ttore è clcolto utilizzndo l ormul nlitic sopr riportt. Tbell 1 min mx medio sec medio W medio d K CK n 1000 dn N d dn mm mm mm - MPm mm/ciclo cicli cicli E E E E E N Not: l unità di misur d utilizzre per K nell ormul di Pris è MPm. E pertnto necessrio introdurre il vlore di medio in m (e non in mm) per clcolre K (ciò spieg l divisione di medio per 1000 nell ormul in colonn 5). L crescit dell cricc in unzione del numero di cicli è riportt in Fig. 1. 8

9 Fig. 1 Dl grico si può notre come il numero di cicli più elevto si speso per le lunghezze di cricc più piccole. Ad esempio, per re vnzre l cricc d.5 mm 1.5 mm (incremento dell lunghezz pri 10 mm) sono necessri 1769 cicli, mentre per re vnzre l cricc d 50 mm 70 mm (incremento dell lunghezz pri 0 mm) sono richiesti solo 11 cicli. Questo indic che per migliorre l stim del numero di cicli totle è conveniente ridurre l incremento dell cricc utilizzto nei clcoli soprttutto nel cmpo inizile (lunghezze di cricc piccole). Supponimo d esempio di scegliere di dividere l intervllo tr l lunghezz inizile di cricc i =.5 mm e quell inle = 70 mm in otto sotto-intervlli. Poiché conviene utilizzre sottointervlli ridotti soprttutto per vlori di cricc vicini quell inizile, possimo scegliere l seguente suddivisione per i pssi di clcolo: Suddivisione in 8 incrementi di cricc Psso min - mx 1. mm 5.5 mm mm 5.5 mm 8.5 mm mm 8.5 mm 1.5 mm 4 mm mm mm 5 mm mm 5 mm 7.5 mm 6 5 mm 7.5 mm 1.5 mm mm 50 mm 1.5 mm 8 50 mm 70 mm 0 mm L tbell riport l sequenz dei clcoli ssocit ll suddivisione per gli otto intervlli di clcolo sopr deiniti. 9

10 Tbell min medio d sec medio W medio n N C K d K dn N mx 1000 dn mm mm mm - MPm mm/ciclo cicli cicli E E E E E E E E L ig. riport il conronto tr l stim del numero di cicli necessri per r crescere l lunghezz di cricc d.5 mm 70 mm utilizzndo le suddivisione 5 ed 8 pssi di integrzione. Il grico riport nche l curv di crescit dell cricc ottenut eettundo un integrzione ciclo per ciclo, che ornisce un vit rottur di 4840 cicli. L errore reltivo è pertnto di circ il 0% per l integrzione 5 pssi e di circ l 8% per l integrzione d 8 pssi. Fig. 10

11 ESERCIZIO 4 Un brr d cciio di dimetro 40 mm present un cricc circonerenzile ssil-simmetric di lunghezz rdile = 4 mm; l brr è soggett d un crico di tic di trzione con vlore mssimo pri Pmx = 10 kn e rpporto di tic pri R = 0.. Noti i vlori dei coeicienti dell curv di Wlker del mterile, clcolre l lunghezz dell cricc dopo cicli di crico. Geometri Proprietà del mterile (Al 04 T) Lunghezz cricc = 4 mm Rggio dell sezione b = 0 mm KIc = 4 MPm = 5 MP Coeicienti dell legge di Wlker C=1.4E-11; m = 0.68; n =.59 (d/dn in m/ciclo e KI in MPm) P mx = 10 kn mx Pmx MP Per eetture un stim pprossimt dell lunghezz rggiunt dll cricc dopo cicli di crico, sceglimo di dividere l durt in 6 intervlli; poiché l cricc vnz più 11

12 velocemente ll umentre del numero di cicli, è conveniente scegliere mpiezze degli intervlli N che si riducono progressivmente l crescere di N. Suddivisione in 6 intervlli di cicli Psso Cicli N Possimo pertnto costruire l tbell 1, nell qule riportimo l sequenz dei clcoli. Il ttore F è clcolto utilizzndo l ormul nlitic sopr riportt. Si noti che l lunghezz di cricc utilizzt per i clcoli ll interno di ogni psso di crico (di mpiezz N) è necessrimente quell inizile i, poiché l lunghezz inle non è not (srà not solo ll ine del clcolo del psso in esme). Tbell 1 K F min N i F d m C K1 R 1 dn n d N N dn (cicli) (m) - (MPm) (m/ciclo) (m) (m) (cicli) E E E- 4.44E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- 6.58E Si ottiene dunque un lunghezz di cricc pri circ 6. mm dopo cicli di crico. 1

13 Svolgendo i clcoli in mnier più ccurt utilizzndo un integrzione ciclo per ciclo si ottiene invece un vlore di cricc inle pri 6.9 mm. Il grico di ig. 1 riport le curve di crescit dell cricc ottenute con l integrzione in sei pssi sopr illustrt e con l integrzione ciclo per ciclo dell equzione di Wlker. Fig. 1 Possimo or veriicre le condizioni dell brr dopo cicli. Utilizzimo l lunghezz di cricc previst medinte integrzione ciclo per ciclo ( = 6.9 mm). K I F MP m < K 4 MP m mx 4 Il coeiciente di sicurezz sul crico è pertnto pri secondo l MFLE. 0.1 Veriichimo le condizioni di pplicbilità dell MFLE e l condizione di collsso plstico. Poichè si trtt di un cricc di supericie (non pssnte), si può ritenere che il mterile in prossimit dell pice dell cricc si trovi in stto di deormzione pin. Ic 4 K Ic VERIFATO b 4 K Ic VERIFATO Crico di collsso plstico P b kn coll pl P mx P coll pl L MFLE è dunque pplicbile e l brr può essere sottopost cicli di crico senz che l cricc si propghi. 1