MECCANICA DELLA FRATTURA

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1 MECCANICA DELLA FRATTURA Costruzione di Mcchine 3 Prof.C.Brutti 1

2 Progetto trdizionle Il psso fondmentle dell progettzione strutturle è costituito dll esecuzione del confronto tr il livello di rischio che il cedimento vveng e l cpcità di resistenz del mterile. Supponendo che il livello di rischio si rppresentto dl vlore dello sforzo, o mssimo o equivlente, second del cso, è evidente che il cedimento non si verific se σ σ L Prof.C.Brutti

3 Progetto trdizionle L diseguglinz è ineccepibile se l oggetto del confronto è lo stto tensionle misurto nell elemento e l resistenz del mterile costituente l elemento. Quest eventulità è prticmente impossibile nell prtic progettule corrente. Inftti nell mggior prte dei csi lo stto tensionle è quello clcolto sull bse di un serie di ipotesi semplifictive e l resistenz del mterile inoltre è quell rilevbile con prove di lbortorio su un mterile definito, per composizione e lvorzioni, equivlente quello utilizzto. E evidente quindi che le grndezze presenti nei due membri dell (5.1) non sono più omogenee in qunto si riferiscono solo in modo indiretto ll elemento meccnico in studio. L relzioen scritt diviene per su ntur debole e inffidbile. Considerndo però che ess interess in qunto disuguglinz, si può umentre l su forz supponendo di umentre il vlore del membro di destr e di diminuire il vlore del membro di sinistr. Ciò si può fre introducendo due coefficienti, entrmbi mggiori dell unità, X1 e X Prof.C.Brutti 3

4 Coefficiente di sicurezz X 1σ σ L X I due coefficienti introdotti hnno il seguente significto X1 esprime l mggiorzione che è necessrio introdurre nel vlore dello sforzo mssimo clcolto per essere certi che esso si sicurmente ugule o mggiore del vlore rele dello sforzo mssimo; X esprime l diminuzione che è necessrio introdurre nel vlore dello sforzo limite ttribuito l mterile per essere certi che esso si sicurmente minore o ugule del vlore rele di resistenz. Introducendo per semplicità un unico coefficiente σ σ L X Prof.C.Brutti 4

5 Coefficiente di sicurezz Il vlore di X deve essere stimto sull bse delle incertezze connesse con il procedimento di progetto. Inftti tnto mggiore è il grdo di incertezz del processo di determinzione dello sforzo o il grdo di indeterminzione dell resistenz del mterile tnto più grnde deve essere il vlore di X che per tle motivo è, in generle, proporzionle l mrgine di incertezz del procedimento. D ltr prte, poiché ll umentre di X ument l forz e l ffidbilità dell relzione di progetto, in generle X viene denominto con il più rssicurnte termine di coefficiente di sicurezz. Prof.C.Brutti 5

6 Coefficiente di sicurezz In generle il vlore del coefficiente di sicurezz viene prescritto dll normtiv. Un vlore tipico è quello di 1.5, reltivo lle costruzioni metlliche in generle sotto l zione di sollecitzioni sttiche e condizioni di crico opertive Nel cso di sollecitzioni di ftic γ k 1 / = 3. c Prof.C.Brutti 6

7 Coefficiente di sicurezz Quell presentt è comunque un semplificzione, perché il problem è più complesso come emerge dll esme del digrmm di Soderberg Prof.C.Brutti 7

8 Coefficiente di sicurezz Il coefficiente di sicurezz, fin qui brevemente descritto, si è rivelto uno strumento progettule molto potente ed efficce dgli lbori dell progettzione meccnic fino d oggi. Esso present però lcune limitzioni che hnno indotto, negli ultimi decenni, i progettisti percorrere nuove strde. L prim rilevnte limitzione è che ogni umento del mrgine di sicurezz comport un umento delle dimensioni dell elemento e quindi del suo peso, prità di ltre condizioni. Prof.C.Brutti 8

9 Coefficiente di sicurezz Si suppong, titolo di esempio, di voler rddoppire il mrgine di sicurezz in un lbero sollecitto torsione τ mx 16 = π d M t 3 τ = τ L mx X X τ Lπ d = 16M t 3 Il rddoppio del coefficiente di sicurezz comport un umento del 59% del peso 3 d 1 = d 3 Prof.C.Brutti 9

10 Coefficiente di sicurezz Quest crtteristic è penlizznte dl punto di vist economico per tutti i tipi di ppliczione, e specilmente, per i veicoli, terrestri e non, per i quli un umento del peso delle strutture, diminuisce prità di ltre crtteristiche, il crico pgnte e quindi l economicità di esercizio. L ltr limitzione fondmentle rigurd l mbiguità dell definizione; inftti, il coefficiente introdotto, come già detto, può essere interpretto come mrgine di sicurezz m nche come misur dell incertezz e dl livello di ignornz del processo di progettzione. Per tle motivo si presume, m non si è certi, che un umento del coefficiente di sicurezz corrisponde d un diminuit possibilità che il cedimento bbi luogo. Prof.C.Brutti 10

11 Coefficiente di sicurezz Si suppong di eseguire il progetto e l costruzione di un numero notevole di elementi identici, utilizzti in condizioni equivlenti. Se il loro numero è sufficientemente elevto per pplicre i principi dell sttistic si può dimostrre come l distribuzione dei vlori degli sforzi, gente e limite, ssum un form che può essere ben rppresentt d un gussin Prof.C.Brutti 11

12 Π(σ) Coefficiente di sicurezz σ 0 Configurzione originle σ m x Π(σ) σ σ 0 σ m x Aumento del coefficiente di sicurezz / umento dell sezione resistente σ Prof.C.Brutti 1

13 Coefficiente di sicurezz Oltre quelle già sviluppte, ltre considerzioni però possono essere svolte sull bse dell esme delle figure precedenti. Inftti emerge che se l zon cmpit, che costituisce l intersezione tr le ree sottostnti le due curve, definisce degli esemplri per i quli può vvenire il cedimento, per tutte le coppie dei punti esterni tle intersezione, il progetto è intrinsecmente sicuro. Tle sicurezz non viene ottenut ttrverso un sovrdimensionmento, m solo ttrverso un fvorevole ccoppimento. In ltri termini se fosse disponibile un criterio per discernere se ci si trov nelle condizioni per cui l resistenz è sufficiente o vicevers, srebbe possibile scrtre tutti gli elementi con resistenz inccettbile ed utilizzre solo quelli per i quli il progetto è sicuro. In tl modo, senz vrire le dimensioni, i pesi ed i costi, si otterrebbe un rele umento dell sicurezz. Prof.C.Brutti 13

14 Lo sforzo presso un cricc In un pistr infinit sottopost trzione e dott di un foro ellittico, il vlore mssimo dell tensione risult essere Ricordndo che Si h σ σ mx = σ 1 + b = σ 1 + mx ρ 1 ρ = b ρ Rggio minimo di curvtur dell ellisse Prof.C.Brutti 14

15 Meccnic dell frttur In un cricc di ftic il vlore di ρ può essere compreso tr 10 - e 10-6 mm, il che comport che l tensione è prticmene pri d infinito e comunque è diversi ordine di grndezz più grnde dell resistenz di qulsisi mterile. Vicevers, sppimo sperimentlmente che lcune cricche presenti in un elemento sollecitto, si propgno mentre ltre si rrestto. E evidente llor che il fenomeno dell propgzione di un fessur e, quindi, dell rottur di un elemento strutturle non può essere correttmente descritto dl vlore dello sforzo mssimo ll pice dell cricc. Prof.C.Brutti 15

16 Meccnic dell frttur In ltri termini, vist l divergenz del vlore dello sforzo, è necessrio sostituire ll grndezz di punto (lo sforzo) un grndezz di cmpo. Se si clcol il limite del prodotto σ mx ρ ½ 1 1 si ottiene limσ mx ρ = σ ρ 0 Esiste quindi un grndezz, σ mx ρ ½, che rimne finit, nonostnte lo sforzo diverg ll infinito Prof.C.Brutti 16

17 Meccnic dell frttur Griffith postul l esistenz di fessure microscopiche che, durnte il processo di deformzione, umentno di dimensione fino l collsso finle. L rottur si verific qundo le dimensioni dell fessur possono umentre senz pporto di energi dll esterno Dett W l energi e l dimensione di mezz fessur, deve essere: dw/d = 0 Poiché l energi totle è l somm dell energi potenzile Π, dovut llo stto di sforzo e deformzione, e del lvoro L, necessrio per crere un nuov superficie liber si h -dπ/d = dl/d Prof.C.Brutti 17

18 Meccnic dell frttur Si può scrivere πσ b Π = Π 0 ; L = 4bγ f E Derivndo e uguglindo in condizioni di rottur σ R σ R Eγ f = π 1/ = cost cioè si ritrov, per ltr vi, che il prodotto dello sforzo mssimo per l dimensione dell cricc è un grndezz fondmentle per vlutre l criticità dell propgzione dell cricc. Inftti si può scrivere 1 K = cσ K è detto FATTORE DI INTENSITA DEGLI SFORZI 1/ Prof.C.Brutti 18

19 Meccnic dell frttur Risolvendo il problem elstico intorno d un discontinuità per un mezzo pino indefinito posto in trzione si h: K ϑ = ϑ 3ϑ σ I cos 1 x sen sen π r σ y = K I π r K I ϑ ϑ cos 1 + sen sen 3ϑ ϑ ϑ 3ϑ τ xy = sen cos cos π r 1 K I r ϑ ϑ u = cos 4ν + sen G π 1 K I r ϑ ϑ v = sen 4 1 ν cos G π ( ) Nelle espressioni scritte K I è il fttore di intensità degli sforzi in cui il pedice I ricord il tipo di sollecitzione che provoc un modlità di pertur che tende seprre i lembi dell cricc. Prof.C.Brutti 19

20 Prof.C.Brutti 0 Meccnic dell frttur = 3 cos cos ϑ ϑ ϑ π σ sin r K II x Modo II 3 cos cos ϑ ϑ ϑ π σ sin r K II y = = 3 sen sen 1 cos ϑ ϑ ϑ π τ r K I xy + = cos 4 4 sen 1 ϑ ν ϑ π r G K u II = sen 4 cos 1 ϑ ν ϑ π r G K v II Modo III cos ϑ π τ r K III xz = sen 1 ϑ π = r G K III

21 Meccnic dell frttur Nel cso di modo di pertur I, detto per lcerzione, si può dimostrre che l costnte C è pri π Quindi K I In generle = σ π K Dove Y è un fttore che dipende dll form e dimensioni dell cricc e dll condizione di sollecitzione. I = Y σ π I Prof.C.Brutti 1

22 Prof.C.Brutti Esempi di cricche 1 tn = Y I π π Y I = Y II Y III = π = Y I ( + + = Y I

23 Meccnic dell frttur Compct Tension L sperimentzione mette in evidenz che esiste un vlore critico di K che costituisce il vlore di confine tr le ricche che si propgno, cioè umentno in modo instbile le loro dimensioni, e quelle che non si propgno. B Riferendosi l modo I di pertur, che è il più frequente, tle vlore è denominto K IC ed è un funzione delle crtteristiche del mterile. Esso svolge, nel processo di deformzione e crisi del mterile, lo stesso ruolo dell tensione limite nel criterio clssico di resistenz dei mterili. Prof.C.Brutti 3

24 Condizione di propgzione K I K IC Yσ π K IC L relzione scritt fferm che l tensione che provoc l crisi del mterile non è solo funzione delle crtteristiche del mterile stesso m dipende dlle crtteristiche di un eventule difetto presente nel pezzo. Mnipolndo si può scrivere invece che c 1 K IC = π Yσ Ciò signific che dto un certo vlore dell tensione pplict σ, si h crisi del mterile solo se c In ltri termini si è trovt un spiegzione, seppur ncor semplifict e limitt, qunto esposto in form probbilistic. Prof.C.Brutti 4

25 Crtterizzzione dei mterili Le prove per l determinzione di KIC vengono svolte in condizioni unificte e, dto che l interpretzione dei risultti non è immedit, l esposizione di esse merit un pprofondimento. Possono essere usti due tipi di provino: l provett CT (Compct Tension) e l provett di flessione su tre punti (Three Point Bending). Entrmbi i provini sono dotti di un vrizione di form, res più sever dll presenz di un cricc ottenut medinte un sollecitzione di ftic precedentemente pplict. Sui bordi dell intglio vengono pplicti due coltelli che consentono di misurre, medinte un pposito dispositivo estensimetro, l pertur dell intglio durnte l prov. Prof.C.Brutti 5

26 Prof.C.Brutti 6 Crtterizzzione dei mterili B Compct Tension B P y K C IC = = y Durnte l prov vengono registrti i vlori del crico pplicto P e dell pertur dell intglio. Dopo l rottur medinte i vlori del crico P C e quell lunghezz di cricc è possibile vlutre K IC

27 Crtterizzzione dei mterili S 4 P/ Three Point Bending B P/ B Durnte l prov vengono registrti i vlori del crico pplicto P e dell pertur dell intglio. Dopo l rottur medinte i vlori del crico P C e quell lunghezz di cricc è possibile vlutre K IC y P 1 K IC = 3 y = B P C Prof.C.Brutti 7

28 Crtterizzzione dei mterili Dispositivo per l misur dell ngolo I risultti dell prov sono vlidi se lo stto di tensione è di deformzione pin condizione che si verific qundo.5 K σ IC S B Prof.C.Brutti 8

29 Crtterizzzione dei mterili Prof.C.Brutti 9

30 Crtterizzzione dei mterili Esiste un correlzione tr i vlori di K IC e le ltre crtteristiche del mterile e specilmente KV (resilienz su provino con intglio). Ad esempio per mterili metllici con 760<σ S <1700 (Mp) K IC KV = E σ S K IC Per ccii con 50 < σ S < 345 (Mp) = 0.64 KV E In generle per mterili metllici con 70 < σ S < 1700 (Mp) K IC = E 0.KV 1.5 Prof.C.Brutti 30

31 Crtterizzzione dei mterili Vlori di K IC per lcuni mterili Mterile R(MP) KIC (Mp m ) Acciio l C (temprto) Accii legti l Ni Leghe di Al Leghe di Titnio ABS PVC Prof.C.Brutti 31

32 Limiti di pplicbilità Tutte le considerzioni fin qui svolte si riferiscono l cso, perltro purmente idele, di mterile elstico. In reltà per qulsisi mterile, nche quello qulificto come frgile, si generno delle deformzioni plstiche ll pice dell cricc. Se tli deformzioni si limitno d un zon di piccole dimensioni intorno ll cricc, è possibile correggere in modo pprossimto l teori fin qui svolt per tenere conto dell deformzione. Considerndo un comportmento del mterile di tipo elstico perfettmente plstico e dett σ S l solito, l tensione di snervmento del mterile, utilizzndo le relzioni di definizione del cmpo tensionle per θ=0 è possibile determinre l distnz per l qule si h σ = σ S Prof.C.Brutti 3

33 Piccole plsticizzzioni Si ottiene r p = 1 K I π σ S In ltri termini si può ritenere vlid l nlisi elstic fin qui svolt purché l posto del vlore, dimensione dell cricc, si utilizzi il vlore (+ r p ). Deve cioè essere verifict l condizione che y σ S x Yσ π ( + r p ) K IC r p Prof.C.Brutti 33

34 Piccole plsticizzzioni Quest pprossimzione è vlid se rp è piccolo rispetto lle dimensioni del problem. In prticolre dett l min = min(,-,b) deve essere Emerge chirmente che qundo si h un difetto, qulunque si il crico esterno pplicto, si form un zon plsticizzt l cui estensione è proporzionle l qudrto del cmpo tensionle pplicto. l r p min 1 5π Prof.C.Brutti 34

35 Limiti di pplicbilità dell LEFM Un ltr considerzione fondmentle è che, contrrimente qunto stbilito per le prove sttiche clssiche, dove le dimensioni hnno un influenz scrs o null sui risultti, le dimensioni dei provini influenzno profondmente i risultti. Inftti il rpporto deve essere minore di 1/5π per poter utilizzre le conclusioni dell teori elstic. Il prmetro r p /l min può essere utilizzto come indictivo dello stto di tensione intorno ll pice dell cricc. Prof.C.Brutti 35

36 Limiti di pplicbilità dell LEFM r p /l min <1/5πsi hnno condizioni di tensione di deformzione pin per le quli è utilizzbile l meccnic dell frttur linere elstic (l frttur si propg secondo un pino normle ll direzione di sollecitzione). 1/5π <r p /l min <1 si hnno condizioni miste deformzione pin e tensione pin. r p /l min >1 si hnno condizioni di tensione pin (l frttur si propg secondo pini 45 rispetto ll direzione di sollecitzione). E d notre che per le due ultime condizioni non è possibile usre l meccnic dell frttur linere elstic. Prof.C.Brutti 36

37 Limiti di pplicbilità dell LEFM G c G G Vrizione di Gc con lo spessore del provino Propgzione per un mterile frgile G C B c G σ 1 σ G C G C1-0 r p σ Propgzione subcritic per un mterile rele 01 r p1-0 propgzione subcritic 0 r p Prof.C.Brutti 37

38 MECCANICA DELLA FRATTURA ELASTOPLASTICA Come già detto e vrimente dimostrto, non esiste lcun soluzio-ne nlitic soddisfcente per il cso di mterile elstoplstico. Esistono vri tipi di soluzioni pprossimte di cui si trovno diverse ppliczioni in lettertur. Un soluzione opertivmente ccettbile è quell fornit dl modello pprossimto di Dudgle. In tle modello si ssume: Il mterile esibisce un comportmento elstico perfettmente plstico; Agli effetti tensionli si consider equivlente ll situzione rele quell di un cricc di dimensione dove l porzione ( -) è sollecitt d un crico costnte pri σ S. Le deformzioni plstiche decrescono linermente con l distnz dell pice dell cricc; in tl modo l zon deformt plsticmente h l form di un cuneo Prof.C.Brutti 38

39 Prof.C.Brutti 39 MECCANICA DELLA FRATTURA ELASTOPLASTICA L pertur dell cricc l suo pice deno-mint Crck Opening Displcement o COD ed è indict con il simbolo δ è espresso dll relzione qui riportt = E S ' ln 8 π σ δ = S σ σ π cos ' Zon plsticizzt σ S σ S r p δ x y = S S S S E σ σ π σ σ π σ σ π π σ δ Trscurndo i termini superiori S E σ σ π δ = Cioè: S E K σ δ =

40 MECCANICA DELLA FRATTURA ELASTOPLASTICA L relzione scritt evidenzi che se σ/σ S è piccolo (per es. inferiore 0.6 ) esiste un relzione semplice tr δ e K. L differenz più importnte è che mentre nel cso dell teori elstic un solo prmetro del mterile è sufficiente per stbilire l relzione tr σ e, nel cso del mterile elstoplstico i prmetri propri del mterile in condizioni critiche diventno due Prof.C.Brutti 40

41 MECCANICA DELLA FRATTURA L determinzione del vlore critico del COD f uso delle stese prove utilizzte per l determinzione di KIC. Misurndo l pertur V si ricv il vlore di δ C con l relzione δ C = 1 + r p ELASTOPLASTICA V ( ) V δ r p L ssetto più limitnte di tli prove è che esse devono essere eseguite su provini di spessore, identico quello dei pezzi su cui si devono utilizzre i risultti. Prof.C.Brutti 41

42 MECCANICA DELLA FRATTURA ELASTOPLASTICA Nell nlizzre l teori purmente elstic dell meccnic dell frttur si è detto che un umento dell condizione di sicurezz si h eliminndo gli elementi che hnno un difetto critico di dimensioni superiori c 1 K IC = π σ Prof.C.Brutti 4

43 MECCANICA DELLA FRATTURA in generle ELASTOPLASTICA c 1 K IC = π σ Volendo estendere, in prim pprossimzione, l stess conclusione ottenut nel cso di mterile elstico, l cso di mterile elstoplstico, qundo σ<σ S si può impiegre il COD, come llor si è impiegto il K IC. Utilizzndo l definizione di δ c tronct l 1 termine si ottiene per il difetto critico c = Eσ S δ π σ C Q 1 Q = Y Quest relzione è vlid per σ<0.6σ S, come testimonito d numerosi risultti sperimentli. Molti sforzi sono stti dedicti d estendere il cmpo di ppliczione dell Meccnic dell Frttur csi più generli per i mterili duttili. Si trtt, llo stto ttule, di strumenti più rffinti e complessi che vengono riportti in testi specilizzti Prof.C.Brutti 43

44 LEFM e ftic Fin qui si è supposto che l sollecitzione estern pplict ll elemento dotto di un difetto si costnte. In reltà negli elementi di mcchine riveste un importnz mggiore il cso di sollecitzione estern di mpiezz vribile. Questo ftto implic che durnte l ppliczione dei cicli di ftic si può vere un propgzione dell cricc nche per piccole escursioni dello sforzo ttorno l suo vlor medio. Tle propgzione prosegue finché l cricc non presenti un lunghezz c ; in tle condizione si h l propgzione instbile dell cricc ed il cedimento di schinto. Prof.C.Brutti 44

45 LEFM e ftic Log d/dn I II Legge di Pris III K th è il vlore di sogli per l propgzione K th K - l zon I in cui prticmente non si hnno cricche che si propgno; - l zon II in cui si h un ndmento linere nel pino doppio logritmico; - l zon III in cui l propgzione è instbile e si giunge rpidmente ll rottur. Prof.C.Brutti 45

46 LEFM e ftic N = C0 ( E, R, σ ) n K I L relzione è comunemente not come legge di Pris-Erdogn e i termini C 0 e n dipendono dlle crtteristiche del mterile sotto esme. D queste ultime dipende nche il vlore di sogli K th l di sotto del qule non c è propgzione. Questo ftto sperimentle consente di mettere in relzione K th con σ LA che è il vlore di sforzo per il qule non si h rottur per ftic (vlore sintotico del digrmm di Wohler). Prof.C.Brutti 46

47 LEFM e ftic Inftti ricordndo l definizione di fttore di intensità degli sforzi si può scrivere K th = Yσ L π 0 Cioè, essendo K th e σ LA costnti del mterile, si può definire un lunghezz di difetto per cui per < 0 non si h propgzione e per > 0 si h propgzione, essendo K th 1 0 = σ Y L π Prof.C.Brutti 47

48 LEFM e ftic M le relzioni scritte consentono nche un ltro tipo di considerzione; per l teori clssic dell ftic non si h rottur per qulsisi pezzo che si sollecitto con σ <σ LA. Per l meccnic dell frttur, essendo K th un vlore costnte, per ciscun vlore σ esisterà un vlore di riferimento 0 dell lunghezz del difetto che rppresent l sogli di propgzione e che è espresso dll relzione or scritt; difetti con lunghezz inferiore non si propgno mentre quelli con lunghezz superiore si propgno. Prof.C.Brutti 48

49 LEFM e ftic I vlori delle costnti necessrie per l ppliczione dell legge di Pris, per lcuni mterili di interesse pplictivo possono essere trovti nei testi specilizzti riportti in bibliogrfi Accii perlitici Accii mrtensitici Accii ustenitici C 0 = m/ciclo (Mp m) -n n = 3 C 0 = m/ciclo (Mp m) -n n =.5 C 0 = m/ciclo (Mp m) -n n = 3.5 Prof.C.Brutti 49

50 LEFM e ftic Per qunto rigurd il vlore di sogli esso h vlori dipendenti dl rpporto R = K min /K mx. Per R 0.1 si h Mterile K th (Mp m) Accii l crbonio 7 8 Accii inossidbili 6 Titnio 6.6 Rme.3 Nickel 7.4 Prof.C.Brutti 50