Cap. 5. Rappresentazioni grafiche di modelli

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1 5.1 Schemi strutturli e schemi funzionli Cp. 5 Rppresentzioni grfiche di modelli Nello studio dei sistemi vengono usulmente impiegte rppresentzioni grfiche convenzionli, denominte schemi. Questi ultimi si distinguono in schemi strutturli e schemi funzionli. Gli schemi strutturli sono rppresentzioni grfiche di un sistem rele, nei quli lcuni blocchi rppresentno gli elementi costituenti il sistem, mentre ltri rppresentno gli orgni di collegmento fr i suddetti elementi. Tli schemi dnno, quindi, un ide dell composizione fisic del sistem rele. Per rppresentre, d esempio, il funzionmento di un centrle idroelettric, è possibile costruire lo schem strutturle di Fig , dove q è l portt d cqu che giunge ttrverso un pposit condott d un fiume, T è un turbin collegt meccnicmente un lterntore A che fornisce direttmente un sistem trifse di tensioni. q T A Fig Schem di un sistem per l produzione dell energi elettric. Uno schem funzionle è un rppresentzione grfic di un modello mtemtico di un sistem rele, in cui lcuni simboli rppresentno le grndezze che figurno nel modello, e ltri simboli rppresentno i legmi mtemtici fr tli grndezze. Lo studio degli schemi funzionli viene sviluppto ssumendo che il sistem rele si crtterizzto d k grndezze dipendenti, ( ) i y t, e p grndezze indipendenti, u ( t ), che sono le grndezze d ingresso. Delle k grndezze dipendenti, q sono le grndezze di uscit e k q sono le grndezze intermedie. Si mmette, inoltre, che il modello mtemtico del sistem nel dominio del tempo si costituito d k equzioni integro differenzili, lineri, ordinrie e coefficienti costnti che legno le k grndezze dipendenti lle p grndezze indipendenti. Al fine di ssocire uno schem funzionle l modello mtemtico del sistem, conviene esprimere quest ultimo nel dominio di s, trsformndo secondo Lplce le k equzioni integro-differenzili ssumendo nulle le condizioni inizili. Si ottiene, in tl modo, un sistem costituito d k equzioni lgebriche nel dominio di s, che legno le trsformte di Lplce delle vribili dipendenti, Yi ( s ), lle trsformte di Lplce delle grndezze indipendenti Ui ( s ). Tli equzioni costituiscono l cosiddett form cus effetto, l qule consiste nell esprimere l generic grndezz dipendente Yi ( s ) come combinzione linere di tutte le grndezze dipendenti, compres eventulmente l stess Yi ( s ), e di tutte le grndezze indipendenti Ui ( s ) : i k p ' i ( ) = ij ( ) j ( ) ij ( ) j ( ), = 1, j= 1 j= 1, (5.1.1) Y s T s Y s T s U s i k Il nome di formulzione cus effetto dipende dl ftto che l grndezz dipendente l primo membro può essere interprett come l effetto delle vribili l secondo membro che

2 cquistno così il significto di cuse. I coefficienti Tij ( s) e Tij ' ( s ) si chimno trsferenze e sono, in genere, funzioni rzionli frtte di s; le funzioni Tii ( s) prendono il nome di utotrsferenze mentre le funzioni Tij ( s) con i j, vengono denominte trsferente mutue. Esempio Si consideri il seguente modello mtemtico di un sistem rele nel dominio del tempo: Ay B y Cy Dy = Fu ( ) (1) (1) Py Hy Ky1 = Ju1 ( ) (1) (5.1.) Trsformndo secondo Lplce tle modello, ssumendo nulle le condizioni inizili, si h il seguente modello lgebrico nel dominio di s: = 1 As Y ( s) BsY ( s) CY ( s) DY ( s) FU ( s) Ps Y ( s) HsY ( s) KY1 ( s) = JsU1( s) (5.1.3) Risolvendo l prim equzione rispetto Y 1 ( s ) e l second rispetto Y ( s ), si ottiene l form cus-effetto: Y 1 ( s ) = T1 ( s ) Y ( s ) T ' 11 U1( s), (5.1.4) Y ( s ) = T1( s ) Y 1 ( s ) T ' 1( s ) U1( s) dove: D ' F T1 ( s ) =, T 11 ( s) = A s B s C A s B s C, K ' J s T1( s ) =, T 1. P s H s P s H s Bisogn osservre che, dt l rbitrrietà con cui è possibile risolvere le k equzioni che governno il sistem, si può pervenire diverse formulzioni cus effetto; quindi un modello mtemtico si possono ssocire diversi schemi funzionli. Tutti gli schemi funzionli ssocibili llo stesso modello mtemtico sono equivlenti fr loro, nel senso che hnno in comune le grndezze d ingresso, le grndezze d uscit e le relzioni che intercorrono fr esse. Allo scopo di rppresentre grficmente le equzioni dell form cus effetto (5.1.1), è necessrio scegliere dei simboli per rppresentre le grndezze e i legmi mtemtici fr esse. Gli schemi funzionli più utilizzti sono gli schemi blocchi e i grfi di flusso. 5. Schemi blocchi Le convenzioni dottte per rppresentre grficmente le equzioni (5.1.1) medinteschemi blocchi, sono:

3 ) ciscun vribile indipendente, Ui ( s ), o dipendente, Yi ( s ), si ssoci un segmento orientto (cfr. Fig )); b) l operzione di moltipliczione per un trsferenz si rppresent con un blocco, solitmente di form rettngolre, dotto di un solo ingresso e un sol uscit, ll interno del qule viene indict l trsferenz per cui v moltiplict l vribile ssocit l segmento di ingresso per ottenere quell ssocit l segmento di uscit (cfr. Fig b)); c) l operzione di somm fr più grndezze si rppresent medinte un blocco, generlmente di form circolre, dotto di un solo segmento di uscit e di più segmenti di ingresso; ciscuno di tli segmenti si ssoci il segno o second che l vribile corrispondente debb essere sommt o sottrtt (cfr. Fig c)); d) il ftto che l stess vribile figuri in più operzioni viene rppresentto con un punto di dirmzione, dl qule prtono ltri segmenti, orientti in mnier coerente, che ffluiscono d ltri blocchi. Y i (U i ) ) SEGMENTO ORIENTATO Y j T ij Y i Y i = T ij Y j b) BLOCCO MOLTIPLICATORE Y j 1 Y i = Y j 1 Y j Y j1 c) BLOCCO SOMMATORE Y j Y i Y j1 Y i d) PUNTO DI DIRAMAZIONE Y i Y i Y i Fig Convenzioni dottte per gli schemi blocchi. Può essere dt, infine, l seguente definizione di schem blocchi. Si dice schem blocchi un insieme di blocchi moltiplictori e di blocchi sommtori, collegti fr loro d segmenti orientti, sui quli possono esistere dei punti di dirmzione. I blocchi moltiplictori, i blocchi sommtori e i punti di dirmzione sono denominti elementi fondmentli dello schem blocchi. Lo schem blocchi corrispondente ll esempio è quelo riportto nell Fig

4 T 1 ( s) U 1 ( s ) Y1( s ) ' T 11 ( s ) T 1 ( s) Y ( s ) ' T 1 ( s ) Fig Schem blocchi corrispondente l modello (5.1.4) Algebr degli schemi blocchi Lo schem funzionle ssocito un modello mtemtico può risultre lqunto complicto, mentre molti metodi di studio dei sistemi di controllo si riferiscono uno schem blocchi vente un struttur ben definit. Un problem che spesso ricorre nelle ppliczioni è, dunque, quello di trsformre un dto schem blocchi in uno equivlente, vente però l struttur desidert. Tle problem può essere risolto utilizzndo un insieme di procedimenti che costituiscono l lgebr degli schemi blocchi. I procedimenti di trsformzione si distinguono in: 1) procedimenti di spostmento di un elemento fondmentle rispetto un ltro elemento fondmentle dicente; ) procedimenti di sostituzione di un unico blocco con più blocchi e vicevers. PROCEDIMENTI DI SPOSTAMENTO Nei procedimenti di spostmento si prendono in considerzione, oltre ll elemento d spostre, nche quello rispetto l qule vviene lo spostmento, detto elemento fisso, e il segmento che li unisce, chimto segmento comune. Sussistono llor le seguenti tre regole fondmentli, l cui dimostrzione è immedit sull bse dell ppliczione delle condizioni di equivlenz. ) spostmento di un blocco moltiplictore Qule che si l elemento fisso, il blocco moltiplictore scompre dl segmento in cui si trovv nello schem di prtenz e compre nello schem equivlente su tutti gli ltri segmenti orientti fcenti cpo ll elemento fisso. L trsferenz d ssocire d ogni nuovo blocco è l stess del blocco spostto o l su invers second che, considerndo un percorso ttrverso l elemento fisso, il segmento comune e quello che si consider hnno verso concorde o discorde (cfr. Fig e ) e b)).

5 b d d c d = b c c d = [ c b]g1 G 1 ) schem di prtenz b) schem equivlente Fig Spostmento di un blocco moltiplictore rispetto un blocco sommtore. b 1 b b 1 ) schem di prtenz b) schem equivlente Fig Spostmento di un blocco moltiplictore rispetto un punto di dirmzione. b) spostmento di un blocco sommtore rispetto un ltro blocco sommtore Il blocco sommtore d spostre scompre dl segmento su cui si trovv e compre su di uno solo dei segmenti che fnno cpo ll elemento fisso; i segni d ssocire i segmenti di ingresso devono rispettre le relzioni di equivlenz. Nturlmente esistono diverse soluzioni per lo spostmento dello stesso blocco sommtore (cfr. Fig ). S 1 S S S 1 d d d b c c b b S 1 b c = d ( c) b = d c (c b) = d ) schem di prtenz b) schem equivlente c) schem equivlente Fig Spostmento di un blocco sommtore rispetto un blocco sommtore. c) spostmento di un blocco sommtore rispetto un punto di dirmzione Il blocco d spostre scompre dl segmento su cui er e compre su tutti gli ltri segmenti che fnno cpo l punto di dirmzione (fig. 8). Anche in questo cso per S

6 ssegnre correttmente i segni i segmenti entrnti nei blocchi sommtori bst tener conto delle condizioni di equivlenz. b b b Fig Spostmento di un blocco sommtore rispetto un punto di dirmzione. PROCEDIMENTI DI SOSTITUZIONE I procedimenti di sostituzione più comuni sono: Sostituzione di prte dello schem costituit d soli blocchi sommtori con un unico blocco sommtore L sostituzione vviene con un blocco sommtore che h tutti i segmenti d ingresso dell prte di schem blocchi di prtenz, esclusi i segmenti comuni due blocchi sommtori (cf. Fig ). c b c b e f d f d e f = b c d e f = [(b c) ( d)] e Fig Sostituzione di prte di schem costituit dblocchi sommtori con un blocco sommtore Sostituzione di prte dello schem costituit d soli blocchi moltiplictori connessi in csct con un unico blocco moltiplictore e vicevers Due o più blocchi moltiplictori si dicono connessi in csct se il segmento di uscit di ognuno di essi è nche il segmento di ingresso del blocco successivo. L sostituzione viene effettut con un blocco moltiplictore vente trsferenz pri l prodotto delle trsferenze dei singoli blocchi moltiplictori delloschem di prtenz (cfr. Fig ). Il vicevers è illustrto nell Fig

7 b b G G b = G ( ) b = ( G ) Fig Sostituzione diprte dello schem costituit dblocchi moltiplictori in csct con un blocco moltiplictore b b /G G b = b = G ( /G ) Fig Sostituzione di un blocco moltiplictore con due blocchi moltiplictori in csct. Sostituzione di prte dello schem costituit d uno schem elementre controrezione con un unico blocco moltiplictore Lo schem elementre controrezione è illustrto nell Fig A tle schem è possibile sostituire uno schem equivlente costituito d un unico blocco moltiplictore, l cui trsferenz W(s) è dt d: G( s) W ( s) =. (5.1.5) 1 G( s) H ( s) U U d Y ± Y c Fig Schem elementre controrezione. L (5.1.5) può essere verifict ssocindo il seguente modello llo schem di Fig : G H U = U ± Y = U ± HY d c Y = GU = G( U ± HY ) d (5.1.6) Dll second delle (5.1.6), si ottiene: Y (1 GH ) = GU, e quindi: G Y = U = WU. 1 GH

8 Sostituzione di prte dello schem costituit d moltiplictori connessi in prllelo con un unico blocco moltiplictore e vicevers Si dto lo schem blocchi di Fig , costituito d tre blocchi moltiplictori in prllelo. Tle schem è equivlente un blocco moltiplictore vente trsferenz G(s) dt d: G( s) = G ( s) G ( s) G ( s). (5.1.7) 1 3 G b G 3 - Fig Schem costituito d tre blocchi in prllelo.