ARGOMENTI DEL CORSO CALCOLO NUMERICO

Transcript

1 ARGOMENTI DEL CORSO CALCOLO NUMERICO A.A. 29/ Integrzione Numeric Giulio Csciol (novembre 23, rivist e corrett ottobre 29)

2 2

3 Indice 1 Integrzione Numeric Formule di qudrtur di Newton-Cotes Formul dei Trpezi Formul di Simpson Errore di Integrzione Formul dei Trpezi Formul di Simpson Formule Composte Formul dei Trpezi Formul di Simpson Metodi Adttivi Estrpolzione di Richrdson Cso Trpezi Cso Simpson Metodo di Simpson dttivo Appliczione: lunghezz di un curv Appliczione: re di un curv Bibliogrfi 23 3

4 4 INDICE

5 Cpitolo 1 Integrzione Numeric L integrzione numeric o qudrtur numeric consiste nel clcolre un vlore pprossimto di f(x)dx. Ovvimente il problem sorge qundo l integrzione non può essere eseguit esttmente (non si può trovre un funzione primitiv come per esempio nel cso di e x2 dx o π/2 1 + cos2 x dx) o qundo l funzione integrnd è not soltnto in un numero finito di punti. Ancor, nche se è not un funzione primitiv, il clcolo può essere così costoso che è preferibile utilizzre un metodo numerico per determinrne un pprossimzione. I metodi che vedremo consistono nell pprossimre l funzione integrnd medinte polinomi o polinomi trtti che risultno fcilmente integrbili. 1.1 Formule di qudrtur di Newton-Cotes Nell su formulzione più generle un formul di qudrtur esprime un pprossimzione di un integrle come un combinzione linere di vlori dell funzione integrnd, cioè: n W i f(x i ). i= Le formule di qudrtur di Newton-Cotes si ottengono considerndo n+1 punti equidistnti nell intervllo chiuso [,b] dti d: x i = + ih i =,...,n con 1 h = b n per n >,

6 2 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA e pprossimndo l funzione integrnd f(x) medinte il polinomio interpolnte p P n, cioè di l più grdo n, dei punti (x i,f(x i )) i =,...,n. Srà: f(x)dx = p(x)dx + R T p(x)dx. Dl teorem che dà l errore dell interpolzione polinomile si h che l errore di troncmento R T è dto d: R T = (x x )(x x 1 ) (x x n ) f(n+1) (ξ x ) (n + 1)! dx. Se l integrle richiesto viene pprossimto dll integrle di un polinomio di interpolzione di grdo n, si ottiene un formul che è estt per tutti i polinomi di grdo minore od ugule d n. È fcile mostrre che tle pprosimzione è un formul di qudrtur, cioè è esprimibile come un combinzione linere dei vlori f(x i ) i =,...,n dell funzione. Per vedere questo, pensimo p(x) nell form di Lgrnge n p(x) = f(x i )L i,n (x) i= dove gli L i,n (x) sono i polinomi di Lgrnge di grdo n sui punti x i. Si ottiene n n p(x)dx = f(x i ) L i,n (x)dx = W i f(x i ). (1.1) i= Cioè i coefficienti W i possono essere clcolti per integrzione dei polinomi L i,n (x). Un modo lterntivo per determinre i coefficienti W i è quello dei coefficienti incogniti. Qui i coefficienti sono determinti richiedendo che R T si ugule zero per le funzioni i= f(x) = x k k =,...,n. Queste richieste portno d un sistem linere di n + 1 equzioni nelle n + 1 incognite W i. Procedimo ll integrzione dei polinomi L i,n (x) i =,...,n. Effettuimo un cmbio di vribile di integrzione d x [,b] t [,n] medinte l x = + ht con h = b n. L i,n (x)dx = n j=,i j x x j x i x j dx

7 1.1. FORMULE DI QUADRATURA DI NEWTON-COTES 3 Allor: vendo posto n = h n j=,i j n = h + ht hj + hi hj dt n j=,i j t j i j dt n p(x)dx = h f(x i )w i i= w i = n n j=,i j t j dt; (1.2) i j e i W i dell 1.1 sono dti dgli h w i per i =,...,n. Si osservi che i coefficienti o pesi w i dipendono solmente d n ed in prticolre non dipendono dll funzione f(x) che deve essere integrt, e nemmeno dgli estremi e b di integrzione. Le formule di Newton-Cotes più comunemente uste sono quelle per n = 1 (formul dei Trpezi) ed n = 2 (formul di Simpson); nelle prossime sezioni deriveremo queste formule Formul dei Trpezi Si procede l clcolo dei w i per i =, 1 (cso n = 1) dll 1.2. Allor e quindi w = 1 w 1 = [ ] t dt = (1 t)dt = t2 2 + t = 1 2 ; 1 [ t 1 t 2 1 dt = tdt = 2 ] 1 p 1 (x)dx = h 2 [f(x ) + f(x 1 )] f(x)dx = h 2 [f() + f(b)] + R T. = 1 2. L f(x) è pprossimt d un rett pssnte per i punti (,f()) e (b, f(b)); cioè l integrle è pprossimto dll re del trpezio rppresentto in Fig.1.1

8 4 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA f(b) f() b Figur 1.1: Interpolzione linere per formul dei trpezi Formul di Simpson Si procede l clcolo dei w i per i =, 1, 2 (cso n = 2) dll 1.2. w 1 = w 2 = w = 2 2 e quindi cioè 2 t 1 t 1 t dt = (t 2 3t + 2)dt = 1 2 [ ] = 1 3 ; [ t 2 2 t 1 2 dt = (t 2 3 2t)dt = 3 2t2 2 t t dt = (t 2 t)dt = 1 2 [ t 3 3 2t2 2 [ t 3 ] 2 3 t t ] 2 p 2 (x)dx = h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] f(x)dx = h [ ( ) ] + b f() + 4f + f(b) + R T. 3 2 ] 2 = [ ] 8 = 3 4 = 4 3 ; = 1 [ = 2] 1 3 ; L f(x) è pprossimt d un prbol pssnte per (,f()), ( +b e (b,f(b)) (vedi Fig 1.2). 2,f(+b 2 ))

9 1.2. ERRORE DI INTEGRAZIONE 5 f((+b)/2) f(b) f() (+b)/2 b Figur 1.2: Interpolzione qudrtic per formul di Simpson. 1.2 Errore di Integrzione Teorem 1.1 Si considerino le formule di Newton-Cotes viste; llor se n è dispri ed f(x) C n+1 [,b], si h: R T = hn+2 f (n+1) (η) (n + 1)! se n è pri ed f(x) C n+2 [,b], si h: R T = hn+3 f (n+2) (η) (n + 2)! n n t(t 1) (t n)dt; (1.3) t 2 (t 1) (t n)dt. (1.4) Osservzione 1.1 Si noti che qundo n è pri il grdo di precisione è n+1 sebbene il polinomio interpolnte si di grdo l più n, inftti se f(x) è un polinomio di grdo n + 1 srà f n+2 (x) =. Nel cso di n dispri il teorem dice che il grdo di precisione è solmente n. Come conseguenz, se n è pri e si vuole umentre il grdo di precisione di uno, questo si può ottenere ggiungendo lmeno due punti di interpolzione Formul dei Trpezi Nel cso n = 1 srà: R T = h3 f (2) (η) 2 1 t(t 1)dt

10 6 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA dove h = b ; si h: e quindi [ ] 1 t 3 1 t(t 1)dt = 3 t2 = R T = 1 12 h3 f (2) (η) Formul di Simpson Nel cso n = 2 srà: dove h = b ; si h: 2 2 e quindi R T = h5 f (4) (η) 4! t 2 (t 1)(t 2)dt = [ 32 = t 2 (t 1)(t 2)dt (t 4 3t 3 + 2t 2 )dt = ] = h5 R T = 1 9 h5 f 4 (η). [ t t t3 Quest espressione dell errore mostr come l formul di Simpson (così come tutte quelle con n pri) si estt non solo per polinomi di secondo grdo, come ci si speterebbe, m nche per polinomi cubici. Osservzione 1.2 Se con s si indic il denomintore comune per i coefficienti frzionri w i, e indichimo con σ i := sw i i =,...,n i conseguenti numeri interi, llor l formul di Newton-Cotes si può riscrivere come: f(x)dx b ns n σ i f(x i ). i= L seguente Tb.1.1 riport le formule di Newton-Cotes per n = 1,...,8; si osservi che σ i σ n i per i =,...,n/2. Per n 8 lcuni coefficienti σ i diventno negtivi e umentno in modulo. Questo ftto, che rende instbile l formul dl punto di vist dell propgzione degli errori (cncellzione numeric), insieme ll considerzione che l umento del grdo di precisione non signific necessrimente l convergenz dell formul di qudrtur ll integrle qundo l funzione non è polinomile, rende interessnti le formule di Newton-Cotes soltnto per n 7. ] 2

11 1.3. FORMULE COMPOSTE 7 n σ i ns Errore Nome h3 f (2) (η) Trpezi h5 f (4) (η) Simpson h5 f (4) (η) 3/ h7 f (6) (η) Milne h 7 f (6) (η) h 9 f (8) (η) Weddle h 9 f (8) (η) h 11 f (1) (η) Tbell 1.1: Formule Newton-Cotes per n = 1,..., Formule Composte Le formule composte consistono nel cosiderre dei polinomi trtti come funzioni pprosimnti dell funzione integrnd nell intervllo [, b]. In prtic tle intervllo viene suddiviso in sottointervlli, in generle di ugule mpiezz, [x i,x i+1 ] i =,...,m 1, e su cisuno di essi si pplic un formul di qudrtur di grdo bsso Formul dei Trpezi Se si us l formul dei trpezi sul sottointervllo [x i,x i+1 ] si ottiene: xi+1 x i f(x)dx = h 2 (f(x i) + f(x i+1 )) 1 12 h3 f (2) (η i ) con h = x i+1 x i e x i η i x i+1. L errore è detto errore locle di troncmento. Per l intero intervllo [,b] si ottiene: f(x)dx = m 1 i= xi+1 x i f(x)dx ( 1 = h 2 f(x ) + f(x 1 ) + + f(x m 1 ) + 1 ) 2 f(x m) + R T (vedi Fig.1.3). L errore globle di troncmento R T è l somm degli errori locli. Si noti che b = mh, e perciò R T = b m 1 12 h2 i= f (2) (η i ). m

12 8 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA Figur 1.3: Interpolzione linere trtti per formul compost dei trpezi. Se f (2) è continu in ],b[, llor esiste un η in questo intervllo, tle che m 1 1 f (2) (η i ) = f (2) (η). m i= D cui l errore di troncmento globle per l formul dei trpezi compost è R T = b 12 h2 f (2) (η); (1.5) in prticolre si osservi che vle lim R T =. h Perciò più fine è l suddivisione dell intervllo e migliore risult l pprossimzione dell integrle. Esempio 1.1 Si vuole determinre il psso h d utilizzre nell formul dei trpezi compost, ffinché l 1 1 dx si pprossimto ll tollernz 1+x Si consider l formul 1.5 per l errore di integrzione dei trpezi compost e si cerc un limite superiore per l f (2) in [,b]; nel cso specifico srà: f (1) 1 (x) = f (2) (x) = (1 + x) 2 2 (1 + x) 3.

13 1.3. FORMULE COMPOSTE 9 Allor mx x 1 f(2) (x) = f (2) () = 2 e ricordndo che h = b m = 1 m si h: b 12 h2 f (2) (η) 1 12 h2 2 = m2 d cui m e quindi m Segue che per pprossimre l integrle dto ll tollernz fisst è sufficiente usre m = 19, cioè il più piccolo intero che soddisf m Formul di Simpson Se m = 2k, cioè l intervllo [,b] è suddiviso in un numero pri di sottointervlli, llor l integrle in ogni sottointervllo [x 2i,x 2i+2 ] può essere clcolto con l formul di Simpson: x2i+2 x 2i f(x)dx = h 3 [f(x 2i) + 4f(x 2i+1 ) + f(x 2i+2 )] 1 9 h5 f (4) (η i ) con h = x 2i+2 x 2i e x 2i η i x 2i+2. Per l intero intervllo [,b] si ottiene: f(x)dx = k 1 i= x2i+2 x 2i f(x)dx = h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + + 4f(x m 1 ) + f(x m )] + R T (vedi Fig.1.4), dove R T = h5 k 1 f (4) (η i ). 9 Per le stesse rgomentzioni uste per l formul dei trpezi, questo si può scrivere R T = b 18 h4 f (4) (η) i= dove η ],b[ con f (4) continu in [,b].

14 1 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA Figur 1.4: Interpolzione qudrtic trtti per formul compost di Simpson. 1.4 Metodi Adttivi Nelle ppliczioni prtiche, chi è interessto clcolre numericmente l integrle di un funzione, solitmente h l necessità che l pprossimzione si contenut in un tollernz fisst; cioè se indichimo con I A l integrle pprossimto con un formul di qudrtur e con tol l tollernz fisst, l utente vuole che b f(x)dx I A tol. A meno di csi prticolri, come quello dell esempio, qunto visto fino d or non permette di soddisfre tle richiest. Per fre ciò è necessrio un criterio per determinre un stim dell errore di integrzione; ci sono due tipi di pprocci: non dttivo e dttivo. In un pproccio non dttivo i punti in cui si vlut l funzione f(x) sono scelti senz tener conto del comportmento dell f(x); in questo cso può ccdere che se l funzione h un comportmento oscillnte in un prte dell intervllo d integrzione, questo comporti un numero elevto di punti su tutto l intervllo, nche dove l funzione h un comportmento linere. Invece in un pproccio dttivo il numero di punti viene scelto in bse l comportmento dell funzione. Si suddivide l intervllo di integrzione in sottointervlli e si pplic ricorsivmente questi un formul di qudrtur, sfruttndo un stim di rresto. L funzione integrnd viene così vlutt in pochi punti

15 1.4. METODI ADATTIVI 11 nei sottointervlli in cui h un ndmento regolre e in tnti punti negli intervlli dove sono presenti irregolrità. Nell prossim sezione vedremo un tecnic not come estrpolzione di Richrdson che deriv d un risultto più generle d cui si può estrrre un stim per l errore di integrzione Estrpolzione di Richrdson Con estrpolzione di Richrdson ci si riferisce d un tecnic generle che permette di ottenere dll ppliczione di due formule di integrzione composte con pssi rispettivmente h ed h un vlore di pprossimzione 2 per l integrle, più preciso dei due precedenti. Vedimo quest tecnic si nel cso dei trpezi composti che nel cso di Simpson composto l fine di progettre poi un formul di integrzione dttiv Cso Trpezi Teorem 1.2 Si indichi con T(h) l formul dei trpezi compost con h = b ; llor vle m f(x)dx T(h) = h2 12 (f(1) (b) f (1) ()) h4 72 (f(3) (b) f (3) ())+ h (f(5) (b) f (5) ()) + + c 2k h 2k (f (2k 1) (b) f (2k 1) ()) + O(h 2k+2 ) nelle ipotesi che l f si derivbile in [,b] lmeno 2k + 2 volte. Corollrio 1.1 Assumendo che l f(x) si derivbile lmeno 4 volte su [,b], si h: dim. dl teorem si h: f(x)dx T(h/2) T(h/2) T(h) 3 + O(h 4 ). e se il psso usto è h/2 f(x)dx T(h) = c 2 h 2 + O(h 4 ) f(x)dx T(h/2) = c 2 (h/2) 2 + O(h 4 )

16 12 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA e questo in qunto il coefficiente c 2 è indipendente d h. Eliminndo il termine in h 2 fr le due equzioni, si ottiene: d cui ( ) b 4 f(x)dx T(h/2) = f(x)dx T(h) + O(h 4 ) ( ) b 3 f(x)dx T(h/2) = T(h/2) T(h) + O(h 4 ) e quindi ciò che si volev provre. Osservzione 1.3 Dl Corollrio si può ricvre un formul che fornisce un pprossimzione dell integrle del qurto ordine, cioè f(x)dx = 4T(h/2) T(h) 3 + O(h 4 ). Questo metodo di eliminre l potenz più bss di h nello sviluppo dell errore, usndo due differenti pssi h ed h/2, è noto come estrpolzione di Richrdson. Il metodo è ttrente, perché, un volt clcolto T(h) e T(h/2), si può ottenere l pprossimzione di ordine superiore d un extr costo inesistente. Esempio 1.2 Si stim l 1 esin x dx usndo l formul compost dei trpezi con h = 1,.5,.25. L stim viene poi migliort medinte estrpolzione di Richrdson. Il vlore estto dell integrle è h T(h) Estrp. fdx T(h) fdx Estrp Tbell 1.2: Esempio di estrpolzione di Richrdson Osservzione 1.4 Il Corollrio fornisce un stim del termine principle dell errore e quindi fornisce un metodo prtico per rggiungere l obiettivo che ci si è posti. Si può progettre un metodo itertivo in cui si dimezz il psso fino che T(h/2) T(h) 3 tol;

17 1.4. METODI ADATTIVI 13 qundo questo si verific, per il Corollrio, srà nche f(x)dx T(h/2) tol. Questo metodo itertivo può essere pplicto in modo dttivo. Si rimnd l descrizione di un tle metodo l prgrfo successivo Cso Simpson A differenz del cso trpezi, qui non esiste un teorem che poss essere utilizzto per spere l ordine dello schem che si ottiene pplicndo lle formule di Simpson composte l estrpolzione di Richrdson. Si h = (b )/2, llor si clcoli un Simpson con psso h (S(h)) e un Simpson composto con psso h/2 = (b )/4 (S(h/2) o nlogmente due Simpson semplici con psso h/2); vremo f(x)dx = S(h) h5 9 f(4) (ξ) ξ ],b[ f(x)dx = S(h/2) b 18 (h/2)4 f (4) (η) η ],b[ = S(h/2) f(4) (η). (1.6) Nelle ipotesi che f (4) (ξ) f (4) (η) si può procedere d eliminre il termine h 4 fr le due equzioni, ottenendo h 5 S(h) S(h/2) h5 9 f(4) (η)( ) d cui 1 15 [S(h) S(h/2)] 1 h f(4) (η) e sostituendo quest nell 1.6 si ottiene f(x)dx S(h/2) 1 [S(h/2) S(h)] 15 = 1 [16 S(h/2) S(h)] (1.7) 15 che è un nuov formul che fornisce un pprossimzione dell integrle di ordine superiore. Dll prim relzione 1.7 si ottiene f(x)dx S(h/2) 1 15 [S(h/2) S(h)] (1.8)

18 14 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA e quindi l possibilità di innescre un procedimento itertivo in cui si dimezz il psso fino che 1 15 [S(h/2) S(h)] tol; qundo ciò si verific srà nche f(x)dx S(h/2) tol. Si può or procedere ll progettzione di un metodo dttivo Metodo di Simpson dttivo L utente di un routine che implement un metodo dttivo specific l intervllo [,b], fornisce un routine per l vlutzione di f(x) per x [,b] e sceglie un tollernz tol. L routine tent di clcolre un vlore pprossimto I A così che: b f(x)dx I A tol. L routine può determinre che l richiest tollernz non si ottenibile nei limiti definiti di mssimo numero di livelli di ricorsione e ritornre l miglior pprossimzione d lei fornibile. Per quel che rigurd l efficienz di un routine di questo tipo, è noto che il costo mggiore di clcolo consiste nell vlutzione dell funzione integrnd f(x). Durnte l esecuzione, ogni intervllo viene determinto per bisezione di un intervllo ottenuto precedentemente durnte il clcolo. Il numero effettivo di sottointervlli, così come l loro posizione e mpiezz, dipende dll funzione f(x) e dll tollernz tol. Lo schem più clssico pplic due differenti formule di qudrtur d ogni sottointervllo [x i,x i+1 ], per esempio l formul di Simpson semplice (S(h i ) con h i = x i+1 x i ) e l formul di Simpson compost con m = 4 (S(h i /2))(che equivle due Simpson semplici pplicti rispettivmente [x i,x i +h i /2] e [x i +h i /2,x i+1 ]). Entrmbe S(h i ) ed S(h i /2) sono pprossimzioni per I Ai = xi+1 x i f(x)dx. L ide bse del metodo dttivo è utilizzre le due pprossimzioni per ottenere un stim dell errore di integrzione (stim 1.8). Se l tollernz è rggiunt, S(h i /2) o un combinzione delle due pprossimzioni

19 1.4. METODI ADATTIVI 15 (estrpolzione di Richrdson) viene pres come vlore dell integrle su quell intervllo. Se l tollernz non è rggiunt, il sottointervllo viene suddiviso metà e il processo viene ripetuto su ognuno dei sottointervlli più piccoli. Per ridurre il numero totle di vlutzioni dell funzione integrnd, solitmente si orgnizz che le due formule utilizzte richiedno vlori dell funzione in punti comuni; per esempio, con l formul di Simpson, S(h i /2) richiede cinque vlori dell funzione, tre dei quli sono nche usti in S(h i ). Come conseguenz, processre un nuovo sottointervllo richiede solo due nuove vlutzioni di funzione. L Fig.1.5 mostr gli intervlli considerti, e i vlori dell funzione nei loro estremi, nell pplicre il metodo di Simpson dttivo ll funzione f(x) = e x sin x + 2x 4 x [, 2] richiedendo un tollernz ; il vlore determinto è ed è stto ottenuto effettundo 361 vlutzioni dell f(x). L Fig.1.6 mostr gli intervlli considerti e i vlori dell funzione nei Figur 1.5: Simpson dttivo: 361 vlutzioni di funzione. loro estremi, nell pplicre il metodo di Simpson dttivo ll funzione f(x) = x 2 x [, 4] richiedendo un tollernz ; il vlore determinto è ed è stto ottenuto effettundo 93 vlutzioni dell f(x). Si noti che in ogni

20 16 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA Figur 1.6: Simpson dttivo: 93 vlutzioni di funzione. intervllo in cui si è rggiunt l tollernz l funzione è stt vlutt 3 volte oltre i due estremi. Per tli elborzioni si è utilizzt l function qud presente nel sistem MATLAB Appliczione: lunghezz di un curv Si dt un curv di Bézier C(t) con t [, 1]. Simo interessti determinre l lunghezz di tle curv e progettre curve di lunghezz ssegnt mntenendo l stess form. È noto che l lunghezz di un curv in quest form è espress d = L = 1 1 C (t) dt x (t) 2 + y (t) 2 dt con x(t) ed y(t) le componenti dell C(t) e x (t) ed y (t) le componenti dell C (t). Inftti l infinitesimo di curv srà dto d δc(t) che pprossimeremo con C (t)δt e l cui lunghezz srà C (t) δt. Per clcolre tle lunghezz srà necessrio utilizzre un formul di integrzione numeric e se si desider l pprossimzione con un cert tollernz si può utilizzre il metodo di Simpson dttivo. Supponimo di ver progettto l curv C(t) e di ver stimto che l su

21 1.6. APPLICAZIONE: AREA DI UNA CURVA 17 lunghezz è L C. Simo interessti d un curv G(t) con l stess form dell C(t), m di lunghezz fisst L G. A tl fine si noti che se l curv C(t) viene sclt di un fttore s l su lunghezz viene sclt dello stesso fttore; inftti si ( ) s x(t) G(t) = s y(t) l curv C(t) sclt del fttore s, llor srà L G = 1 [s x (t)] 2 + [s y (t)] 2 dt = s 1 x (t) 2 + y (t) 2 dt = sl C. Segue che ssegnt l lunghezz L G srà sufficiente clcolre s := L G /L C e sclre l curv C(t) per tle fttore ottenendo un curv G(t) dell form dell C(t) e di lunghezz desidert. L Fig1.7 mostr un curv polinomile cubic trtti C 1 ottenut per interpolzione; l curv trtteggit è stt ottenut per scl dll precedente, rispetto ll origine degli ssi, ffinché vesse lunghezz Figur 1.7: Lunghezz di un curv: l curv trtteggit è stt sclt rispetto ll origine degli ssi per vere lunghezz Appliczione: re di un curv Si dt un curv di Bézier C(t) con t [, 1]. Simo interessti determinre l re che tle curv sottende con l origine degli ssi (se l

22 18 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA curv è chius questo equivle ll re dell regione che rest definit dll curv) e progettre curve di re ssegnt mntenendo l stess form. È noto che l re di un curv in quest form è espress d A = ± C(t) C (t)dt = ± 1 [x(t)y (t) x (t)y(t)]dt 2 con x(t) ed y(t) le componenti dell C(t) e x (t) ed y (t) le componenti dell C (t). Il segno di quest re è positivo se l curv è prmetrizzt in senso ntiorrio nel pino xy. L infinitesimo di re sotteso dll curv srà dto d 1 2 [C(t) C (t)]δt. Per clcolre tle re srà necessrio utilizzre un formul di integrzione numeric e se si desider l pprossimzione con un cert tollernz si può utilizzre il metodo di Simpson dttivo, m si può nche osservre che l funzione integrnd, differenz del cso dell lunghezz dell curv, è un funzione polinomile. Se per esempio l curv fosse un cubic, llor l funzione integrnd srebbe un polinomio di grdo 5 e potrebbe essere integrt in modo estto, meno di errori di pprosimzione numeric, usndo un formul di Newton-Cotes con n = 4. Supponimo di ver progettto l curv C(t) e di ver stimto che l su re è A C. Simo interessti d un curv G(t) con l stess form dell C(t), m di re fisst A G. A tl fine si noti che se l curv C(t) viene sclt di un fttore s l su re viene sclt dello stesso fttore l qudrto; inftti si ( ) s x(t) G(t) = s y(t) l curv C(t) sclt del fttore s, llor srà A G = 1 1 [s 2 x(t)y (t) s 2 x (t)y(t)]dt = s 2 [x(t)y (t) x (t)y(t)]dt = s 2 A C. Segue che ssegnt l re A G srà sufficiente clcolre s := A G /A C e sclre l curv C(t) per tle fttore ottenendo un curv G(t) dell form dell C(t) e di re desidert. L Fig.1.8 mostr un curv chius polinomile cubic trtti C 1 ottenut per interpolzione; l curv trtteggit è stt ottenut per scl dll precedente, rispetto l bricentro dei punti di interpolzione, ffinché vesse re unitri.

23 1.6. APPLICAZIONE: AREA DI UNA CURVA Figur 1.8: Are di un curv: l curv trtteggit è stt sclt per vere re 1.

24 2 CAPITOLO 1. INTEGRAZIONE NUMERICA

25 Elenco delle figure 1.1 Interpolzione linere per formul dei trpezi Interpolzione qudrtic per formul di Simpson Interpolzione linere trtti per formul compost dei trpezi Interpolzione qudrtic trtti per formul compost di Simpson Simpson dttivo: 361 vlutzioni di funzione Simpson dttivo: 93 vlutzioni di funzione Lunghezz di un curv: l curv trtteggit è stt sclt rispetto ll origine degli ssi per vere lunghezz Are di un curv: l curv trtteggit è stt sclt per vere re

26 22 ELENCO DELLE FIGURE

27 Bibliogrfi [BBCM92] R. Bevilcqu, D. Bini, M. Cpovni, O. Menchi. Metodi Numerici. Znichelli, [FPr87] I. D. Fux, M. J. Prtt. Computtionl Geometry for Design nd Mnufcture. John Wiley & Sons,