Integrazione numerica

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1 Integrzione numeric Alvise Sommriv Università degli Studi di Pdov Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict 28 prile 2019 Alvise Sommriv Integrzione numeric 1/ 65

2 Integrzione numeric In quest sezione mostrimo come si possibile clcolre numericmente integrli definiti di funzioni f C([, b]), con [, b] intervllo limitto. Vlgono i seguenti risultti. Teorem L operzione funzionle di integrzione (nel continuo) è stbile, ovvero se f pprossim un funzione f C([, b]), con [, b] intervllo limitto, f (x)dx f (x)dx (b ) mx f (x) f (x). x [,b] Dimostrzione. L sserto segue dl ftto che f (x)dx f (x)dx mx f (x)dx f (x) x [,b] 1 dx = (b ) mx x [,b] f (x)dx f (x). Alvise Sommriv Integrzione numeric 2/ 65

3 Integrzione numeric Commento L sserto dice che se f è vicin f reltivmente ll distnz dist(f, f ) := mx x [,b] f (x)dx f (x), llor f (x)dx non può essere rbitrrimente distnte d f (x)dx, concetto che viene descritto come stbilità del funzionle di integrzione. Corollrio Si {f n } un successione di funzioni continue che converge uniformemente f C([, b]), con [, b] intervllo limitto, ovvero lim n dist(f n, f ) := lim n mx x [,b] f n(x) f (x) = 0 llor lim n f n (x)dx f (x)dx = 0, ovvero f n(x)dx f (x)dx. Alvise Sommriv Integrzione numeric 3/ 65

4 Integrzione numeric Dimostrzione. L sserto segue dl ftto che dl teorem precedente bbimo 0 f n (x)dx f (x)dx (b ) mx x [,b] f n(x)dx f (x) e quindi visto che b è finito e lim n mx x [,b] f n (x) f (x) = 0, per il teorem del confronto bbimo pure che lim f n (x)dx f (x)dx n = 0. Commento L sserto implic che se f n è un successione che converge uniformemente ll integrnd f C([, b]) (ovvero lim n mx x [,b] f n (x) f (x) = 0), < < b < +, llor qulsisi si l tollernz prestbilit ɛ esiste n tle che f (x)dx f n(x)dx < ɛ. Alvise Sommriv Integrzione numeric 4/ 65

5 Integrzione numeric L ide di bse delle formule di integrzione pprossimt (formule di qudrtur) è di sostituire d un f un opportun interpolnte f n e integrre esttmente quest ultim. Le formule di qudrtur lgebriche, volte dette interpoltorie, sono ottenute integrndo l unico polinomio interpoltore su tutti i dti (x i, y i ) i=0,...,n. Di conseguenz, se p n è tle polinomio, e L k il k-simo polinomio di Lgrnge reltivmente i nodi {x i } i=0,...,n, ovvero L k (x) = (x x0)... (x x k 1)(x x k+1 )... (x x n) (x k x 0)... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x n), bbimo d p n(x) = n k=0 f (x k)l k (x), posto w k := L k(x)dx, f (x)dx = p n(x)dx = n f (x k ) k=0 n f (x k )L k (x)dx k=0 L k (x)dx = n w k f (x k ). (1) Le quntità w k, k = 0,..., n sono detti pesi, mentre i punti x k, k = 0,..., n sono detti nodi. k=0 Alvise Sommriv Integrzione numeric 5/ 65

6 Alcune formule di qudrtur Il proposito di quest sezione è di clcolre integrli definiti di funzioni f C([, b]), con [, b] limitto, dove f f n con f n polinomio di grdo n che interpol f nei nodi x k, k = 0,..., n oppure s m spline polinomile di grdo m che interpol f nei nodi x k, k = 0,..., n. Risulterà utile l seguente definizione Definizione Un formul f (x)w(x)dx M w i f (x i ) h grdo di precisione lmeno N se e solo se è estt per tutti i polinomi f di grdo inferiore o ugule N; h grdo di precisione esttmente N se e solo se h grdo di precisione lmeno N ed esiste un polinomio di grdo N + 1 per cui non lo si. i=1 Alvise Sommriv Integrzione numeric 6/ 65

7 Alcune formule di qudrtur Di seguito indicheremo con P m i polinomi di grdo minore o ugule m. Vle il seguente teorem, Teorem Un formul n nodi è interpoltori se e solo se h grdo di precisione n. Di seguito vedremo lcune formule interpoltorie di grdo n n nodi {x k } k=1,...,n, che sono quindi crtterizzte d vere pesi w i = L i (x)dx dove L i è l i-simo polinomio di Lgrnge (reltivmente {x k } k=1,...,n ). Alvise Sommriv Integrzione numeric 7/ 65

8 Regol del rettngolo Se f C([, b]), < < b < + e x 0 [, b], ricvimo L 0 (x) = 1 ed essendo deducimo l regol dett del rettngolo (cf. [6]) L 0 (x)dx = b, (2) f (x) k=0 0 w k f (x k ) = (b )f (). (3) Alvise Sommriv Integrzione numeric 8/ 65

9 Regol del rettngolo Figur: Regol del rettngolo con nodo x 0 = ( + b)/2 per il clcolo di 2π sin(2x) + cos(x) + x dx (l regol clcol il volume dell re in celeste). Alvise Sommriv Integrzione numeric 9/ 65

10 Regol del rettngolo Dl punto di vist geometrico, visto il grfico dell interpolnte p 0 in un solo punto, si ottiene che l integrle di p 0 è pri clcolre l re di un rettngolo con lti di lunghezz f () e b, d cui riottenimo il risultto in (3). Per costruzione, se f è un polinomio di grdo 0, p 0 è il polinomio che interpol il dto (x 0, y 0 ), per l unicità del polinomio interpoltore bbimo f = p 0 e quindi f (x)dx = p 0 (x)dx = (b )f (). Di conseguenz il grdo di precisione è lmeno 0. Alvise Sommriv Integrzione numeric 10/ 65

11 Regol del punto medio Se in prticolre si sceglie qule x 0 = ( + b)/2, ottenimo l regol del punto medio, che denoteremo con S 0. In questo cso, se f C (2) (, b) l errore risult E 0 (f ) := I (f ) S 0 (f ) = (b )3 24 f (2) (ξ), ξ (, b). Visto che un polinomio q 1 P 1 h derivt second null, deducimo che E 0 (q 1 ) = 0, ovvero che il grdo di precisione è lmeno 1. Per il polinomio x 2 P 2, l errore risult ugule (b ) 3 f (2) (ξ) 2 = 24 (b ) e quindi il grdo di precisione dell formul del punto medio è esttmente 1. Alvise Sommriv Integrzione numeric 11/ 65

12 Formule di tipo Newton-Cotes (chiuse) Definizione (Formule di Newton-Cotes chiuse, (Newton 1676, Cotes 1722)) Si [, b] un intervllo comptto di R. Un formul n S n(f ) = w i f (x i ) f (x)dx si dice di tipo Newton-Cotes chius (cf. [3, p.336]) se i=1 i nodi sono equispziti, e comprendono gli estremi, cioè i pesi sono w i = x i = + (i 1) (b ), i = 1,..., n, n 1 L i (x)dx, i = 1,..., n, L i (x) = n j=1, j i (x x i ) x j x i. Not. Tle formul è interpoltori e h grdo di precisione lmeno n 1. Alvise Sommriv Integrzione numeric 12/ 65

13 Formule di tipo Newton-Cotes (chiuse) Not. Gli estremi, b, sono nodi qudrtur. Esistono formule dette di Newton-Cotes perte i cui nodi sono equidistnti, m non comprendono gli estremi. Alcuni esempi sono, posto x i = + ih, h = (b )/n (cf.[4]) 1 regol del rettngolo, 2 regol due punti: (3h/2) (f 1 + f 2), con errore (3h 3 /4)f (2) ξ, con ξ (, b), 3 regol di Msin: (4h/3) (2f 1 f 2 + 2f 3), con errore (28h 5 /90)f (4) ξ, con ξ (, b), 4 regol quttro punti: (5h/24) (11f 1 + f 2 + f f 4), con errore (95h 5 /144)f (4) ξ, con ξ (, b). Not. Queste formule furono introdotte d Newton nel 1676 e perfezionte d Cotes nel 1722, che le clcolò fino quelle con 11 nodi. Alvise Sommriv Integrzione numeric 13/ 65

14 Formule di tipo Newton-Cotes (chiuse). Regol del trpezio. Di seguito introducimo le formule di tipo Newton-Cotes chiuse, per n = 0, 1, 2. Se f C([, b]), < < b < + e x 0 = e x 1 = b ricvimo ed essendo b L 0(x) = x x1 = b x x x0, L1(x) = = x x 0 x 1 b x 1 x 0 b L 0(x)dx = = L 1(x)dx = = b x b dx = 1 b 1 b 1 2 (b x)dx ( (b b) 2 (b ) 2) = b 2 x b dx = 1 b 1 b 1 2 deducimo l regol dett del trpezio (cf. [7]) f (x) S 1(f ) := b 2 (x )dx ( (b ) 2 ( ) 2) = b 2 (f () + f (b)). (4) Alvise Sommriv Integrzione numeric 14/ 65

15 Regol del trpezio Figur: Regol del trpezio per il clcolo di 2π sin(2x) + cos(x) + x dx (l regol clcol il volume dell re in celeste). Alvise Sommriv Integrzione numeric 15/ 65

16 Regol del trpezio Visto che corrisponde unire i dti (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) medinte un segmento, in effetti se y 0, y 1 hnno lo stesso segno, ci si riconduce clcolre l re di un trpezio, l cui bse h lunghezz b e le ltezze sono f () e f (b) d cui riottenimo il risultto in (4). Per costruzione, se f è un polinomio di grdo l più 1, p 1 è il polinomio che interpol i dti (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), per l unicità del polinomio interpoltore bbimo f = p 1 e quindi f (x)dx = p 1 (x)dx = b (f () + f (b)). 2 Alvise Sommriv Integrzione numeric 16/ 65

17 Regol del trpezio Di conseguenz il grdo di precisione è lmeno 1 e con fcili controesempi, si mostr che il grdo di precisione è esttmente 1. Si dimostr che se f C 2 ([, b]) llor l errore compiuto è (cf. [1, p ]) E 1 (f ) := I (f ) S 1 (f ) = (b )3 12 f (2) (ξ), ξ (, b). Not. Visto che un polinomio p 1 di grdo minore o ugule 1 h derivt second null, deducimo che E 1 (p 1 ) = 0, ovvero che il grdo di precisione è lmeno 1. Per f (x) = x 2 P 2, l errore risult ugule (b ) 3 /6 d cui bbimo un dimostrzione lterntiv che il grdo di precisione è è esttmente 1. Alvise Sommriv Integrzione numeric 17/ 65

18 Regol di Cvlieri-Simpson (o dell prbol) Qulor i nodi di qudrtur sino x 0 =, x 1 = (b + )/2, x 2 = b con l stess tecnic, integrndo il polinomio p 2 di grdo 2 che interpol i dti (x k, y k ) k=0,1,2, m con clcoli dei pesi un po più tediosi, ottenimo l formul dett di Cvlieri-Simpson (cf. [8]), f (x) S 2(f ) con S 2 (f ) := b 6 f () + 2(b ) 3 ( + b f 2 ) + b f (b). 6 Alvise Sommriv Integrzione numeric 18/ 65

19 Regol di Cvlieri-Simpson (o dell prbol) Figur: Regol di Cvlieri-Simpson per il clcolo di 2π sin(2x) + cos(x) + x dx (l regol clcol il volume dell re in celeste). Alvise Sommriv Integrzione numeric 19/ 65

20 Regol di Cvlieri-Simpson (o dell prbol) Visto che l formul è ottenut integrndo esttmente ogni polinomio di grdo 2, bbimo che il grdo di precisione è lmeno 2. In reltà si mostr sorprendentemente che è esttmente 3. Inftti se f C 4 ([, b]) llor l errore compiuto è (cf. [1, p ]) dove h = b 2 e ξ (, b). E 2 (f ) := I (f ) S 2 (f ) = h5 90 f (4) (ξ),. Alvise Sommriv Integrzione numeric 20/ 65

21 Regol di Cvlieri-Simpson (o dell prbol) Not. D Not. E 2 (f ) := I (f ) S 2 (f ) = h5 90 f (4) (ξ), h = b, ξ (, b) 2 visto che un polinomio p 3 di grdo minore o ugule 3 h derivt qurt null, deducimo che E 2 (p 3 ) = 0, ovvero che il grdo di precisione è lmeno 3. per f (x) = x 4 P 4, l errore risult ugule h5 90 4! 0 d cui bbimo un dimostrzione lterntiv che il grdo di precisione dell regol di Cvlieri-Simpson è esttmente 3. Le formule di Cvlieri-Simpson furono sviluppte d Cvlieri nel 1635, erno note tnto Gregory che Cotes, e riscoperte d Simpson nel 1743 in Mthemticl Disserttions on Vriety of physicl nd nlyticl spect [2, p.271]. Alvise Sommriv Integrzione numeric 21/ 65

22 Altre formule di Newton-Cotes chiuse. Fcolttivo. Fcolttivo. In generle uno può pplicre l tecnic vist in precedenz per ottenere formule di qudrtur di tipo Newton-Cotes con grdo di precisione g.d.p mggiore. Posto f k = f (x k ), e x k = + k (b )/n, con k = 0,..., n, (cf. [9]) 3h Regol di Simpson 3/8, n = 3: 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 4 ), con g.d.p= 3, 2h Regol di Milne-Boole, n = 4: 45 (7f f f f 3 + 7f 4 ), con g.d.p= 5, Regol sei punti, n = 5: 5h 288 (19f f f f f f 5 ), g.d.p= 5, Regol di Weddle-Hrdy, n = 6: h 140 (41f f f f f f f 6 ), con g.d.p= 7, 7h Regol otto punti n = 7: (751f f f f f f f f 7 ), con g.d.p= 7. Alvise Sommriv Integrzione numeric 22/ 65

23 Altre formule di Newton-Cotes chiuse. Fcolttivo. 4h Regol nove punti, n = 8: (989f f 1 928f f f f 5 928f f f 8 ), con g.d.p= 9, 9h Regol dieci punti, n = 9: (2857(f 0 + f 9 ) (f 1 + f 8 ) (f 2 + f 7 ) (f 3 + f 6 ) (f 4 + f 5 )), con g.d.p= 9, Regol undici punti, n = 10: 5h (16067(f 0 + f 10 ) (f 1 + f 9 ) 48525(f 2 + f 8 ) (f 3 + f 7 ) (f 4 + f 6 ) f 5 ), con g.d.p= 11. Si osserv che fino n = 8 hnno tutti i pesi positivi mentre per n = 9, 11 ciò non succede. Ognun di queste regole, con rgionmenti nloghi quelli effettuti per quelle del trpezio e di Cvlieri-Simpson, h grdo di precisione lmeno n (si osservi che i punti sono n + 1). Alvise Sommriv Integrzione numeric 23/ 65

24 Formule composte Le formule composte sono ottenute integrndo un interpolnte polinomile trtti di grdo locle fissto s che sono loclmente lgebriche, cioè ottenute integrndo un singolo polinomio interpoltore di grdo s, in [x ks, x (k+1)s ], con k = 0,..., (n/s) 1, con n multiplo di s. Definizione (Formul compost) Si 1 [, b] un intervllo chiuso e limitto, 2 x j = + jh con h = (b )/N, j = 0,..., N, 3 S(f, α, β)) un regol di qudrtur nel generico intervllo limitto [α, β]. L formul di qudrtur N 1 S (c) (f,, b, N) = S(f, x j, x j+1 ) (5) è dett formul compost di S. Not. In quest trttzione i punti x j, j = 0,..., N, sono equispziti, m con qulche ftic si può effetture nel cso generle di punti rbitrri. j=0 Alvise Sommriv Integrzione numeric 24/ 65

25 Formul compost del punto medio L formul compost del punto medio è definit d S (c) b 0 (f,, b, N) := N N f (x k ), (6) k=1 dove con k = 0,..., N 1. x k = + (2k + 1) b N, Alvise Sommriv Integrzione numeric 25/ 65

26 Formul compost del punto medio Figur: Formul del punto medio compost per il clcolo di 2π sin(2x) + cos(x) + x dx (l formul compost clcol il volume dell re in celeste). Alvise Sommriv Integrzione numeric 26/ 65

27 Formul compost del punto medio Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) dove Not. 0 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 0 (f,, b, N) = h 2 f (2) (ξ) 24 E (c) h = b N, ξ (, b) II grdo di precisione è 1, come l regol del punto medio, m se N > 1 llor il psso h è minore. Alvise Sommriv Integrzione numeric 27/ 65

28 Formul compost dei trpezi L formul compost dei trpezi, definit d [ S (c) b f (x0 ) 1 (f,, b, N) := N 2 + f (x 1 ) f (x N 1 ) + f (x N) 2 Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) E (c) 1 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 1 (f,, b, N) = h 2 f (2) (ξ), h = 12. Not. ], (b ) N. II grdo di precisione è 1, come l regol del trpezio, m se N > 1 llor il psso h è minore. Not. In virtù dell formul di Eulero-Mc Lurin, si mostr che l formul compost dei trpezi è prticolrmente indict per integrre funzioni periodiche con derivti che sono tli, ed è utilizzt nell ben not FFT. Alvise Sommriv Integrzione numeric 28/ 65

29 Formul compost dei trpezi Figur: Formul dei trpezi compost per il clcolo di 2π sin(2x) + cos(x) + x dx (l formul compost clcol il volume dell re in celeste). In prticolre si vede il grfico delll interpolnte trtti, vente quli punti di discontinuità 2π/3, 4π/3. Alvise Sommriv Integrzione numeric 29/ 65

30 Formul compost di Cvlieri-Simpson L formul compost di Cvlieri-Simpson è definit d S (c) 2 (f,, b, N) = h 6 [ N 1 f (x 0 ) + 2 r=1 N 1 f (x 2r ) + 4 s=0 Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) E (c) 2 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 2 (f,, b, N) = 180 f (x 2s+1 ) + f (x 2N ) ( ) 4 h f (4) (ξ) 2 ] (7) Not. II grdo di precisione è quindi 3, come l regol di Cvlieri-Simpson, m se N > 1 llor il psso h è minore. Alvise Sommriv Integrzione numeric 30/ 65

31 Formul compost di Cvlieri-Simpson Figur: Formul di Cvlieri-Simpson compost per il clcolo di 2π sin(2x) + cos(x) + x dx (l formul compost clcol il volume dell re in celeste). Alvise Sommriv Integrzione numeric 31/ 65

32 Alcuni confronti numerici In quest sezione fornimo lcuni esempi in cui pplichimo le formule composte per integrre lcune funzioni f C([, b]). Esempio. Approssimre l integrle definito I = π 0 exp(x) cos(x)dx = (exp(π) + 1)/2. medinte le formule composte note, N = 1, 2, 4,..., 512. Alvise Sommriv Integrzione numeric 32/ 65

33 Alcuni confronti numerici N E (c) 0 (f ) E (c) 1 (f ) E (c) 2 (f ) # R N #T N #CS N 1 1.2e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tbell: Prgone delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = π 0 exp(x) cos(x)dx, in cui si descrivono gli errori ssoluti E (c) 0 (f ), E (c) 1 (f ), E (c) 2 (f ), per ogni formul e rispettivi numeri di nodi # R N, # T N, # CS N. Alvise Sommriv Integrzione numeric 33/ 65

34 Alcuni confronti numerici Nell second tbell, mostrimo il rpporto tr 2 errori successivi per ogni formul ovvero se (E (c) k (f )) N, k = 0, 1, 3, è l errore compiuto dll formul S k, reltivmente l clcolo di f (x)dx, utilizzndo N suddivisioni, mostrimo (r (c) k (f )) N = (c) (E k (f )) N (f )) 2N (E (c) k per k = 0, 1, 3 (ossi per le formule composte del punto medio, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson). Alvise Sommriv Integrzione numeric 34/ 65

35 Alcuni confronti numerici N (r (c) 0 (f )) N (r (c) 1 (f )) N (r (c) 3 (f )) N Tbell: Decdimento degli errori delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = π exp(x) cos(x)dx, in cui si descrivono i rpporti tr 2 errori successivi per 0 ogni formul. Alvise Sommriv Integrzione numeric 35/ 65

36 Alcuni confronti numerici Osservimo che i vlori reltivi lle formule composte del punto medio e dei trpezi tende 4, mentre quelli dell formul compost di Cvlieri-Simpson tende 16. Dimo un spiegzione qulittiv. Se l errore è per qulche costnte C indipendente d N llor (r (c) k (f )) N = (E (c) k (f )) N C N p = C h p (c) (E k (f )) N (E (c) k (f )) 2N C N p C (2N) p = 2 p. Alvise Sommriv Integrzione numeric 36/ 65

37 Alcuni confronti numerici Visto che per le formule composte del punto medio e dei trpezi (r (c) k (f )) N 4 = 2 2, bbimo che p = 2 e quindi (E (c) k (f )) N C h 2. In effetti l errore delle formule composte del punto medio è E (c) 0 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 0 (f,, b, N) = h 2 f (2) (ξ), h = 24 mentre quell dei composti è E (c) 1 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 1 (f,, b, N) = h 2 f (2) (ξ), h = 12 Visto che per le formule composte di Cvlieri-Simpson (r (c) 3 (f )) N 16 = 2 4, bbimo che p = 4 e quindi (E (c) 2 (f )) N C h 4. In effetti l errore delle formule composte di Cvlieri-Simpson è E (c) 2 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 2 (f,, b, N) = 180 ( h 2 Alvise Sommriv Integrzione numeric 37/ 65 (b ) N. (b ) N. ) 4 f (4) (ξ) C h 4.

38 Alcuni confronti numerici Esempio. Approssimre l integrle definito I = 1 0 x 3 xdx = 2/9. medinte le formule composte note, N = 1, 2, 4,..., Alvise Sommriv Integrzione numeric 38/ 65

39 Alcuni confronti numerici N E (c) 0 (f ) E (c) 1 (f ) E (c) 2 (f ) # R N # T N #CS N 1 1.3e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tbell: Prgone delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = 1 x 3 xdx, in 0 cui si descrivono gli errori ssoluti E (c) 0 (f ), E (c) 1 (f ), E (c) 2 (f ), per ogni formul e rispettivi numeri di nodi # R N, # T N, # CS N. Alvise Sommriv Integrzione numeric 39/ 65

40 Alcuni confronti numerici Nell second tbell, mostrimo il rpporto tr 2 errori successivi per ogni formul ovvero se (E (c) k (f )) N, k = 0, 1, 2, è l errore compiuto dll formul S k, reltivmente l clcolo di f (x)dx, utilizzndo N suddivisioni, vlutimo (r (c) k (f )) N = (c) (E k (f )) N (f )) 2N (E (c) k per k = 0, 1, 2 (ossi per le formule composte del punto medio, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson). Dlle tbelle vedremo che i vlori reltivi lle formule composte del punto medio e dei trpezi tendono 4, ll formul compost di Cvlieri-Simpson tendono 16, e quindi con errori rispettivmente del tipo C h 2 e C h 4. Alvise Sommriv Integrzione numeric 40/ 65

41 Alcuni confronti numerici N (r (c) 0 (f )) N (r (c) 1 (f )) N (r (c) 3 (f )) N Tbell: Decdimento degli errori delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = 1 x 3 xdx, in cui si descrivono i rpporti tr 2 errori successivi per ogni 0 formul. Alvise Sommriv Integrzione numeric 41/ 65

42 Alcuni confronti numerici Esempio. Approssimre l integrle definito I = 1 0 xdx = 2/3. medinte le formule composte note, N = 1, 2, 4,..., A differenz del cso precedente, l convergenz delle tre fmiglie di formule è molto lent, ed è principlmente dovuto l ftto che l funzione pur essendo continu in [, b], non pprtiene nemmeno C 1 [0, 1], visto che non è derivbile in 0. Ciò nonostnte risultno convergenti. Alvise Sommriv Integrzione numeric 42/ 65

43 Alcuni confronti numerici N E (c) 0 (f ) E (c) 1 (f ) E (c) 2 (f ) # R N # T N #CS N 1 4.0e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tbell: Prgone delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = 1 0 xdx, in cui si descrivono gli errori ssoluti E (c) 0 (f ), E (c) 1 (f ), E (c) 2 (f ), per ogni formul e rispettivi numeri di nodi # R N, #T N, #CS N. Alvise Sommriv Integrzione numeric 43/ 65

44 Alcuni confronti numerici Nell second tbell, mostrimo il rpporto tr 2 errori successivi per ogni formul ovvero se (E (c) k (f )) N, k = 0, 1, 2, è l errore compiuto dll formul S k, reltivmente l clcolo di f (x)dx, utilizzndo N suddivisioni, mostrimo (r (c) k (f )) N = (c) (E k (f )) N (f )) 2N (E (c) k per k = 0, 1, 2 (ossi per le formule composte del punto medio, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson). In prticolre si vede che i vlori reltivi lle tre formule composte del punto medio e dei trpezi tendono e quindi l convergenz è del tipo C h 1.5 (cf. [1, p262 e p.291]). Alvise Sommriv Integrzione numeric 44/ 65

45 Alcuni confronti numerici N (r (c) 0 (f )) N (r (c) 1 (f )) N (r (c) 3 (f )) N Tbell: Decdimento degli errori delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = 1 0 xdx, in cui si descrivono i rpporti tr 2 errori successivi per ogni formul. Alvise Sommriv Integrzione numeric 45/ 65

46 Alcuni confronti numerici Esempio. Approssimre l integrle definito I = exp( x 2 ) dx = π 2 erf(100) dove erf(x) è l funzione di errore. medinte le formule composte note, N = 1, 2, 4,..., Nell prim tbell che segue esponimo gli errori compiuti dlle regole composte per N = 1, 2, 4,..., 512. Alvise Sommriv Integrzione numeric 46/ 65

47 Alcuni confronti numerici N E (c) 0 (f ) E (c) 1 (f ) E (c) 2 (f ) # R N #T N #CS N 1 8.9e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tbell: Prgone delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = exp( x 2 ) dx, in cui si descrivono gli errori ssoluti E (c) 0 (f ), E (c) 1 (f ), E (c) 2 (f ), per ogni formul e rispettivi numeri di nodi # R N, # T N, # CS N. Alvise Sommriv Integrzione numeric 47/ 65

48 Alcuni confronti numerici Per n 64 l errore decresce lentmente, ed è comprensibile visto che l intervllo h mpiezz 100 e quindi il numero di cmpionmenti delle formule composte sono troppo pochi, ossi il vlore di h troppo grnde. Nell second tbell, mostrimo il rpporto tr 2 errori successivi per ogni formul ovvero se (E (c) k (f )) N, k = 0, 1, 2, è l errore compiuto dll formul S k, reltivmente l clcolo di f (x)dx, utilizzndo N suddivisioni, vlutimo (r (c) k (f )) N = (c) (E k (f )) N (f )) 2N (E (c) k per k = 0, 1, 2 (ossi per le formule composte del punto medio, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson). Alvise Sommriv Integrzione numeric 48/ 65

49 Alcuni confronti numerici N (r (c) 0 (f )) N (r (c) 1 (f )) N (r (c) 3 (f )) N Tbell: Decdimento degli errori delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = 100 exp( x 2 ) dx, in cui si descrivono i rpporti tr 2 errori successivi per 0 ogni formul. Osservimo che dl cso precedente i vlori reltivi lle formule composte del punto medio e dei trpezi non tendono 4, e quelli dell formul compost di Cvlieri-Simpson non tendono 16. Alvise Sommriv Integrzione numeric 49/ 65

50 Stbilità delle formule di qudrtur Si [, b] un intervllo limitto e considerimo l formul di qudrtur S N (f ) := N w j f j j=0 dove f j = f (x j ), con {x j } j=0,...,n nodi di qudrtur. f (x) dx (8) Si suppong che invece di {f j } j si dispong di un loro pprossimzione { f j } j. Ci si chiede come cmbi il vlore dell integrle, vlutndo invece di S N (f ). S N (f ) := N w j fj (9) j=1 Alvise Sommriv Integrzione numeric 50/ 65

51 Stbilità delle formule di qudrtur D (8), (9), ricvimo per l disuguglinz tringolre S N (f ) S N (f ) = Quindi l quntità N w j f j j=1 N N f j = w j (f j f j ) j=1 j=1 N N w j f j f j w j mx f j f j. j=1 I(S N ) = j=1 N w j (10) è un indice di stbilità dell formul di qudrtur S N, in qunto se I(S N ) è grnde, piccole perturbzioni mx j f j f j possono corrispondere vlori degli integrli S N (f ), S N (f ) molto diversi. j=1 j Alvise Sommriv Integrzione numeric 51/ 65

52 Stbilità delle formule di qudrtur Se l formul h grdo di precisione lmeno 0 llor 1 dx = j=1 N w j. (11) e si h N j=1 w j N j=1 w j con l disuguglinz strett se e solo se qulche peso w j è negtivo. Di conseguenz, d (10), (11), b = 1 dx = N N w j w j = I(S N ) j=1 j=1 con l disuguglinz strett se qulche peso w j è negtivo. Alvise Sommriv Integrzione numeric 52/ 65

53 Stbilità delle formule di qudrtur Quindi l presenz di pesi negtivi peggior l indice di stbilità N j=1 w j, mentre se sono tutti positivi e l formul h grdo di precisione lmeno 0 I(S N ) = b e quindi piccoli errori nel vlutre l funzione f nei nodi di qudrtur non comport che S N (f ) e S N (f ) possno essere rbitrrimente distnti. Nell tbell reltiv gli indici di stbilità vlutimo l somm dei moduli dei pesi delle regole di Newton-Cotes n + 1 nodi. Come si vede le formule pur vendo grdo di precisione lmeno n, comincino essere meno stbili l crescere di n. Alvise Sommriv Integrzione numeric 53/ 65

54 Stbilità delle formule di qudrtur n I e e e e e e e e e e e + 00 Tbell: Indice di stbilità I(S n) delle formule di Newton Cotes chiuse venti n + 1 nodi. Alvise Sommriv Integrzione numeric 54/ 65

55 Convergenz delle formule interpoltorie Definit l fmigli di formule di qudrtur {S n } n N (con grdo di precisione non necessrimente n), ognun del tipo η n S n (f ) := w i,n f (x i,n ) I (f ) := i=0 introducimo l errore dell formul n-sim E n (f ) := η n f (x)dx w i,n f (x i,n ). i=0 f (x)dx (12) Qulor E n (f ) 0 l fmigli di formule {S n (f )} n N converge f (x)dx. In ltri termini, l fmigli di formule {S n (f )} n N risult convergente ll integrle definito f (x)dx se η n S n (f ) := w i,n f (x i,n ) f (x)dx. i=0 Alvise Sommriv Integrzione numeric 55/ 65

56 Convergenz delle formule interpoltorie L convergenz delle formule lgebriche, ottenute integrndo il polinomio interpoltore, dipende dll fmigli di nodi prescelti. Se considerimo i nodi di Chebyshev {x (ch) k } k=0,...,n, per qunto visto nell interpolzione polinomile, bbimo che se f C 1 ([, b]) con [, b] limitto e p n il polinomio di grdo l più n che interpol le coppie (x k, f (x k )) llor lim n mx f (x) p n(x) = 0, x [,b] e per un corollrio precedente, deducimo che lim n + p n (x)dx = f (x)dx. (13) Alvise Sommriv Integrzione numeric 56/ 65

57 Convergenz delle formule interpoltorie L formul bst sui nodi di Chebyshev n w (ch) k f (x (ch) k ) k=0 essendo interpoltori, h grdo di precisione lmeno n e di conseguenz n p n (x)dx = w (ch) k f (x (ch) k ), p n P n. (14) D (13), (14) deducimo n lim n + k=0 k=0 w (ch) k f (x (ch) k ) = f (x)dx, ovvero l fmigli di formule {S n } n N, pplict f, converge ll integrle definito f (x)dx. In generle, ltre scelte di nodi non godono sempre di qulità, nche per funzioni f C ([, b]). Alvise Sommriv Integrzione numeric 57/ 65

58 Convergenz delle formule interpoltorie A tl proposito, se considerimo i nodi di equispziti {x (e) k } k=0,...,n, per qunto visto nell interpolzione polinomile, bbimo che se f C ([, b]) con [, b] limitto e p n il polinomio di grdo l più n che interpol le coppie (x k, f (x k )), k = 0,..., n llor non si può ffermre lim n mx f (x) p n(x) = 0, x [,b] come si può verificre per f (x) = 1/(1 + x 2 ), ovvero l funzione di Runge. A prtire d questo ftto si può dimostrre (non immedito) che se considerimo l fmigli di formule di qudrtur di Newton-Cotes {S n } (cioè S n è l formul di qudrtur interpoltori vente n + 1 nodi equispziti), pplict ll funzione di Runge lim S n (f ) 5 5 f (x)dx. Alvise Sommriv Integrzione numeric 58/ 65

59 Convergenz delle formule interpoltorie Nell tbell 59 tli risultti risultno ncor più evidenti. Le fmigli di regole di Newton-Cotes non converge ll integrle richiesto, differenz di qunto succede utilizzndo formule interpoltorie nei nodi di Chebyshev (come previsto dll teori). n E e n E ch n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 15 Tbell: Nell prim colonn il prmetro n pri l grdo dell interpolnte polinomile, nell second e terz colonn gli errori ssoluti di qudrtur ottenuti integrndo le interpolnti in n + 1 nodi rispettivmente equispziti e di Chebyshev (in [ 5, 5]). Alvise Sommriv Integrzione numeric 59/ 65

60 Convergenz delle formule composte Nel cso dell interpolzione polinomile trtti, si può mostrre che se 1 f C m+1 ([, b]) con [, b] limitto, 2 N è un prtizione di [, b] in N intervlli [x mk, x m(k+1) ] con k = 0,..., N 1, venti l stess mpiezz h, 3 s m,n è l interpolnte polinomile trtti di grdo m di f reltivmente i nodi x 0, x 1,..., x mn, llor per C = mx x [,b] f (n+1) (x) si h 0 mx x [,b] f (x) s m,n(x) e quindi per il teorem del confronto C (m + 1)! hm+1 = lim f (x) s m,n(x) = 0. N + C (m + 1)! ( b N ) m+1 Alvise Sommriv Integrzione numeric 60/ 65

61 Convergenz delle formule composte Di conseguenz per il corollrio 0.1 s m,n (x)dx f (x)dx e siccome, per costruzione, l formul compost S (c) m (f,, b, N) bst su un regol m nodi, corrisponde clcolre s m,n(x)dx ottenimo lim S m (c) (f,, b, N) = N + f (x)dx, ovvero che le formule composte S (c) m (f,, b, N) sono convergenti l crescere di N. Questo implic che sotto opportune ipotesi di regolrità di f, le formule composte del punto medio, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson, risultno convergenti ll umentre del numero N di sottointervlli. Alvise Sommriv Integrzione numeric 61/ 65

62 Convergenz delle formule composte Ripetimo qule esempio l determinzione dell integrle definito x 2 dx e dll su tbulzione si evince l convergenz delle formule composte del punto medio, dei trpezi e di Cvlieri-Simpson, ll umentre del numero N di sottointervlli. Osservimo che per un numero lto di nodi, l formul E (c) 2 (f ) propone errori molto piccoli, seppur non decrescenti l crescere di N, cos nturle, perchè gli E (c) 2 (f ) sono prossimi ll precisione di mcchin. Alvise Sommriv Integrzione numeric 62/ 65

63 Convergenz delle formule composte N E (c) (f ) 0 E (c) (f ) 1 E (c) (f ) 2 # R N # T N # CS N 1 7.3e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tbell: Prgone delle formule del rettngolo, trpezi e Cvlieri-Simpson compost, per N subintervlli, reltivmente l clcolo di I = 5 5 1/(1 + x 2 )dx, in cui si descrivono gli errori ssoluti E (c) 0 (f ), E (c) 1 (f ), E (c) 2 (f ), per ogni formul e rispettivi numeri di nodi # R N, # T N, # CS N. Alvise Sommriv Integrzione numeric 63/ 65

64 Bibliogrfi I K. Atkinson, Introduction to Numericl Anlysis, Wiley, J.F.Epperson, An introduction to Numericl Methods nd Anlysis, 2nd Edition, Wiley, A. Qurteroni e F. Sleri, Elementi di clcolo numerico, Progetto Leonrdo, Wikipedi, Formule di Newton-Cotes, di Newton-Cotes. Wikipedi, Numericl Integrtion, integrtion Wikipedi, Regol del Rettngolo, del rettngolo Wikipedi, Regol del Trpezio, del trpezio Alvise Sommriv Integrzione numeric 64/ 65

65 Bibliogrfi II Wikipedi, Regol di Cvlieri-Simpson, di Cvlieri-Simpson Wolfrm MthWorld, Formule di Newton-Cotes, Alvise Sommriv Integrzione numeric 65/ 65