Quadratura numerica. Alvise Sommariva. Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica. 11 aprile 2016

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1 Qudrtur numeric Alvise Sommriv Università degli Studi di Pdov Diprtimento di Mtemtic 11 prile 2016 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 1/ 70

2 Qudrtur numeric Problem. Un clssico problem dell nlisi numeric è quello di clcolre l integrle definito di un funzione f in un intervllo vente estremi di integrzione, b (non necessrimente finiti) cioè I w (f ) := I w (f,, b) = f (x) w(x)dx dove w è un funzione peso in (, b) [1, p.206, p.270]. L nostr intenzione è di pprossimre I (f ) come I w (f ) Q N (f ) := N w i f (x i ) (1) i=1 I termini w i e x i [α, β] sono detti rispettivmente pesi e nodi. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 2/ 70

3 Qudrtur numeric Sino Not. (, b) l intervllo di integrzione (non necessrimente limitto), x 1,..., x N un insieme di N punti due due distinti, f C([, b]) un funzione w-integrbile cioè per cui esist finito I w (f ). Se l intervllo è limitto, per il teorem di Weierstrss e l integrbilità dell funzione peso, questo è vero per qulsisi funzione continu in qunto f (x) w(x)dx f (x) w(x)dx f w 1 < +. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 3/ 70

4 Qudrtur numeric Se p N 1 (x) = N f (x i )L i (x) i=1 è il polinomio che interpol le coppie (x i, f (x i )) con i = 1,..., N, dove l solito L i indic l i-simo polinomio di Lgrnge llor f (x)w(x)dx = = p N 1 (x)w(x)dx N f (x i )L i (x)w(x)dx i=1 N ( per cui, confrontndo con l formul (1) bbimo w i = i=1 L i (x) w(x)dx, i = 1,..., N. ) L i (x) w(x)dx f (x i ) (2) Alvise Sommriv Qudrtur numeric 4/ 70

5 Qudrtur numeric In virtù di qunto detto ppre nturle l seguente Definizione (Formul interpoltori (Lgrnge, 1795)) Un formul di qudrtur f (x)w(x)dx N w i f (x i ) (3) i=1 per cui w k = si dice interpoltori. L k (x) w(x)dx, k = 1,..., N (4) Alvise Sommriv Qudrtur numeric 5/ 70

6 Qudrtur numeric Definizione (Grdo di precisione) Un formul f (x)w(x)dx M w i f (x i ) h grdo di precisione lmeno N se e solo se è estt per tutti i polinomi f di grdo inferiore o ugule N. H inoltre grdo di precisione N se e solo se è estt per ogni polinomio di grdo N ed esiste un polinomio di grdo N + 1 per cui non lo si. i=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 6/ 70

7 Qudrtur numeric Mostrimo or il seguente Teorem Un formul f (x)w(x)dx N w i f (x i ) è interpoltori se e solo se h grdo di precisione lmeno N 1. Dimostrzione. (Fcolttivo) Se l formul è interp., f (x)w(x)dx n i=1 w if (x i ) con w i = i=1 L i (x)w(x)dx, i = 1,..., n. Se f = p n 1 P n 1 llor p n 1 = n i=1 p n 1(x i )L i (x). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 7/ 70

8 Qudrtur numeric D p n 1 = n i=1 p n 1(x i )L i (x), llor p n 1(x)w(x)dx = = = n p n 1(x i )L i (x)w(x)dx i=1 n p n 1(x i ) i=1 L i (x)w(x)dx n w i p n 1(x i ), (5) i=1 e quindi l formul h grdo di precisione n 1. Vicevers se è estt per ogni polinomio di grdo N 1 llor lo è in prticolre per i polinomi di Lgrnge L i P n 1, il che implic che w i = L i(x) w(x)dx e quindi i pesi sono proprio quelli dell formul interpoltori corrispondente nei nodi x 1,..., x N. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 8/ 70

9 Qudrtur numeric Not. Osservimo che il precedente teorem dice che un formul di qudrtur N punti h grdo di precisione N 1 se e solo se i pesi sono del tipo dove l solito w i = L i (x)w(x)dx, i = 1,..., N L i (x) = è l i-simo polinomio di Lgrnge. N j=1, j i (x x i ) x j x i Alvise Sommriv Qudrtur numeric 9/ 70

10 Formule di Newton-Cotes Definizione (Formule di Newton-Cotes (chiuse), (Newton 1676, Cotes 1722)) Si [, b] un intervllo chiuso e limitto di R. Un formul S N (f ) = N i=1 w if (x i ) tle che f (x)dx N i=1 w if (x i ) si dice di tipo Newton-Cotes chius (cf. [4, p.336]) se i nodi sono equispziti, cioè i pesi sono w i = x i = + (i 1) (b ), i = 1,..., N, N 1 L i (x)dx, i = 1,..., N, L i (x) = N j=1, j i (x x i ) x j x i e quindi l formul è interpoltori e h grdo di precisione lmeno N 1. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 10/ 70

11 Formule di Newton-Cotes Figur : Regol del trpezio e di Cvlieri-Simpson per il clcolo di sin (x) dx (rispettivmente re in mgent e in zzurro) Alvise Sommriv Qudrtur numeric 11/ 70

12 Formule di Newton-Cotes Vedimo lcune formule di Newton-Cotes (chiuse). Definizione (Regol del trpezio) L formul I (f ) S 1 (f ) := S 1 (f,, b) := (b ) (f () + f (b)) 2 si chim regol del trpezio. Si dimostr che l errore compiuto è E 1 (f ) := I (f ) S 1 (f ) = h3 12 f (2) (ξ), ξ (, b) (6) d (6), si vede che il suo grdo di precisione è 1 in qunto se f P 1, llor f (2) (ξ) = 0 e quindi l formul è estt, se f P 2 \P 1, llor f (2) (ξ) 0. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 12/ 70

13 Formule di Newton-Cotes Figur : Regol del trpezio e di Cvlieri-Simpson per il clcolo di sin (x) dx (rispettivmente re in mgent e in zzurro) Alvise Sommriv Qudrtur numeric 13/ 70

14 Formule di Newton-Cotes Definizione (Regol di Cvlieri-Simpson (Cvlieri 1635, Simpson 1743)) L formul I (f ) S 3 (f ) := S 3 (f,, b) := b 6 si chim regol di Cvlieri-Simpson. Si dimostr che l errore compiuto è [ f () + 4f ( + b ] 2 ) + f (b) E 3(f ) := I (f ) S 3(f ) = h5 90 f (4) (ξ), h = b, ξ (, b) 2 il grdo di precisione è 3 (e non 2 come previsto!) in qunto se f P 3, llor f (4) (ξ) = 0 e quindi l formul è estt, se f P 4 \P 3, llor f (4) (ξ) 0. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 14/ 70

15 Formule di Newton-Cotes Fcolttivo. Vedimo clcolndo i pesi, che in effetti le due formule sono interpoltorie. Regol del trpezio. Posti x 1 =, x 2 = b bbimo che e quindi visto che w 1 bbimo w 1 = = = w 2 = = L 1(x) = x b b, L2(x) = x b L 1(x) dx = x b b dx = 1 b 1 (x b) 2 b b 2 = 1 (x b) 2 b 2 1 ( b) 2 = b b b L 2(x) dx = (x ) 2 2 b x b dx = 1 b b = 1 b (x ) 2 2 b = b 2 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 15/ 70 (x b) dx (x ) dx

16 Formule di Newton-Cotes Fcolttivo. Cvlieri-Simpson. I rgionmenti sono nloghi. D ltr prte essendo quelle dei trpezi e Simpson regole rispettivmente venti 2 e 3 punti con grdo 2 e 4, llor sono entrmbe interpoltorie. Per ulteriori dettgli si confronti [1, p ], [4, p ]. Qulor le funzioni d integrre non sino sufficientemente derivbili, un stim dell errore viene fornit dlle formule dell errore vi nucleo di Peno ([1, p.259]). Ricordimo che per N 8 le formule di Newton-Cotes chiuse hnno pesi di segno diverso e sono instbili dl punto di vist dell propgzione degli errori (cf. [3, p.196]). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 16/ 70

17 Formule di Newton-Cotes composte Visto che per N 8 le formule risultno instbili, ci si domnd se si possibile ottenere per N 8 delle formule stbili. Definizione (Formule composte) Si suddivid l intervllo (chiuso e limitto) [, b] in N subintervlli T j = [x j, x j+1 ] tli che x j = + jh con h = (b )/N. Dlle proprietà dell integrle f (x) dx = N 1 j=0 xj+1 x j f (x) dx N 1 j=0 S(f, x j, x j+1 ) (7) dove S è un delle regole di qudrtur finor esposte (d esempio S 3 (f )). Le formule descritte in (7) sono dette composte. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 17/ 70

18 Formule di Newton-Cotes composte: trpezi compost Figur : Formul dei trpezi compost per il clcolo di 2 sin (x) dx 0.5 (re in mgent). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 18/ 70

19 Formule di Newton-Cotes composte: trpezi compost Vedimo due csi prticolri. Definizione (Formul dei trpezi) Sino x i = + ih, i = 0,..., N con h = (b )/N. L formul S (c) b 1 (f, N) := N [ f (x0 ) si chim dei trpezi (o del trpezio compost). 2 + f (x 1 ) f (x N 1 ) + f (x ] N) 2 (8) Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) E (c) 1 (f ) := I (f ) S (c) (b ) 1 (f, N) = h 2 f (2) (ξ), h = 12 il grdo di precisione è 1, m reltivmente ll Regol del trpezio, per N 1, il psso h è minore. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 19/ 70 (b ) N.

20 Formule di Newton-Cotes composte: trpezi compost Sotto certe ipotesi, l stim E (c) 1 (f ) C N 2 è conservtiv. Teorem (Formul di Eulero-Mc Lurin) Se l integrnd f C 2M+2 ([, b]) llor f (x)dx = S (c) 1 (f, N) M k=1 B ( ) 2k (2k)! h2k f (2k 1) (b) f (2k 1) () B 2M+2 (2M + 2)! h(2m+2) (b )f (2M+2) (ξ), ξ (, b) dove B k sono i numeri di Bernoulli (Bernoulli, 1713). Se f C 2M+2 ([, b]) e f (2k 1) (b) = f (2k 1) (), per k = 1,..., M f (x)dx S (c) 1 (f, N) = B 2M+2 (2M + 2)! h(2m+2) (b )f (2M+2) (ξ), ξ (, b) e deducimo che E (c) 1 (f ) C N 2M+2. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 20/ 70

21 Formule di Newton-Cotes composte: trpezi compost In reltà l errore può perfino decrescere più rpidmente. Teorem Si suppong f : [0, 2π] R si periodic con periodo 2π, nlitic, soddisfi f (z) M nel semipino Im(z) >, > 0. Allor per ogni N 1 I N (f ) I (f ) 2πM e N 1 e l costnte 2π è l più piccol possibile. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 21/ 70

22 Formule di Newton-Cotes composte: Cvlieri-Simpson compost Definizione (Formul di Cvlieri-Simpson compost) Fissti N subintervlli, si h = b N. Sino inoltre x k = + kh/2, k = 0,..., 2N. L formul I (f ) S (c) 3 (f, N) := [ ] N 1 h N 1 f (x 0 ) + 2 f (x 2r ) + 4 f (x 2s+1 ) + f (x 2N ) 6 r=1 s=0 è not come di Cvlieri-Simpson compost. Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) ( ) E (c) 3 (f ) := I (f ) S (c) (b ) h 4 3 (f, N) = f (4) (ξ) il grdo di precisione è 3, m reltivmente ll regol di Cvlieri-Simpson, per N 1, il psso h è minore. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 22/ 70 (9)

23 Formule gussine Problem. Nelle formule interpoltorie di Newton-Cotes (come d esempio l regol del Trpezio o di Cvlieri-Simpson) i nodi x 1,..., x n sono equispziti, il grdo di precisione δ è generlmente ugule lmeno n 1 m in lcuni csi, come per l regol di Cvlieri-Simpson, ugule l numero di nodi n. Considerimo or formule vlide nche su intervlli (, b) non necessrimente limitti, vlide per certe funzioni peso w : (, b) R, che prità di nodi hnno grdo di precisione mggiore. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 23/ 70

24 Formule gussine Definizione (Funzione peso) Un funzione w : (, b) R (non necessrimente limitto) si dice funzione peso, se (cf. [1, p.206, p.270]) 1 w è nonnegtiv in (, b); 2 esiste ed è finito 3 se per ogni n N; x n w(x) dx g(x)w(x) dx per un qulche funzione nonnegtiv g llor g 0 in (, b). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 24/ 70

25 Formule gussine Tr gli esempi più noti ricordimo 1 Legendre (scoperti nel 1785): w(x) 1 in [, b] limitto; 2 Jcobi (scoperti nel 1834): w(x) = (1 x) α (1 + x) β in ( 1, 1) per α, β 1; 3 Chebyshev (scoperti nel 1853): w(x) = 1 1 x 2 in ( 1, 1); 4 Lguerre (scoperti nel 1879): w(x) = exp ( x) in [0, ); 5 Hermite (scoperti nel 1864): w(x) = exp ( x 2 ) in (, ); Not. I polinomi di Hermite erno già przilmente noti Lplce (1810). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 25/ 70

26 Formule gussine Si suppong or di dover clcolre per qulche funzione f : (, b) R I w (f ) := f (x)w(x) dx. Il problem è evidentemente più generle di quello di clcolre un integrle del tipo f (x)dx con f C([, b]), [, b] limitto, visto che l integrnd fw non é necessrimente continu in [, b] (si consideri d esempio il peso di Chebyshev che h un singolrità in = 1, b = 1) oppure può succedere che l intervllo si illimitto come nel cso del peso di Lguerre o Hermite. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 26/ 70

27 Formule gussine Problem. Esistono nodi x 1,..., x n e pesi w 1,..., w n (detti di Guss-nome funzione peso) per cui le reltive formule di qudrtur di tipo interpoltorio bbino grdo di precisione δ = 2n 1, cioè clcolino esttmente p(x)w(x) dx per ogni polinomio p il cui grdo è minore o ugule 2n 1? L rispost è ffermtiv, come si può vedere in [1, p.272]. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 27/ 70

28 Formule gussine Teorem (Esistenz e unicità delle formule gussine (Jcobi, 1826) ) Per ogni n 1 esistono e sono unici dei nodi x 1,..., x n e pesi w 1,..., w n per cui il grdo di precisione si lmeno 2n 1. I nodi sono gli zeri del polinomio ortogonle di grdo n, e i corrispettivi pesi sono w i = φ n (x) = A n (x x 1 )... (x x n ) L i (x)w(x)dx = L 2 i (x)w(x)dx, i = 1,..., n. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 28/ 70

29 Formule gussine Dimostrzione. ([3, p.209]) Per prim cos mostrimo che in effetti con tle scelt dei nodi l formul interpoltori h grdo di precisione lmeno 2n 1, che i pesi sono univocmente determinti e positivi. Sino p 2n 1 P 2n 1 e q n 1, r n 1 P n 1 tli che p 2n 1 = q n 1 φ n + r n 1. q n 1(x)φ n (x)w(x)dx = (q n 1, φ n ) w = 0, poichè φ n è il polinomio ortogonle rispetto w di grdo n; inftti essendo (φ k, φ n ) w = 0, k = 0 < n necessrimente d q n 1 = n 1 k=0 γ kφ k bbimo n 1 n 1 (q n 1, φ n ) w = ( γ k φ k, φ n ) w = γ k (φ k, φ n ) w = 0 k=0 k=0 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 29/ 70

30 Formule gussine l formul è interpoltori per costruzione (vedere l definizione dei pesi!), per cui estt per ogni polinomio di grdo n 1 in qunto bst su n punti due due distinti; se x k è uno zero di φ n llor p 2n 1 (x k ) = q n 1 (x k )φ n (x k ) + r n 1 (x k ) = r n 1 (x k ). Quindi, bbimo p 2n 1(x)w(x)dx = = 0 + = q n 1(x)φ n(x)w(x)dx + r n 1(x)w(x)dx = r n 1(x)w(x)dx n w k r n 1(x k ) k=1 n w k p 2n 1(x k ) (10) k=1 per cui tle formul h grdo di precisione lmeno 2n 1. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 30/ 70

31 Formule gussine Dimostrzione. Inoltre, come dimostrto d Stieltjes nel 1884, i pesi w i = L i (x)w(x)dx, i = 1,..., n sono positivi. Inftti l formul è estt per ognuno dei qudrti dei polinomi di Lgrnge reltivo i punti x 1,..., x n in qunto deg(l 2 i )=2(n 1), l formul h grdo di precisione lmeno 2n 1, per cui, per ogni j = 1,..., n, 0 < L 2 j (x)w(x)dx = n w k L 2 j (x k ) = k=1 n w k δ j,k = w j. k=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 31/ 70

32 Formule gussine Se esistesse un ltr formul interpoltori con grdo di precisione lmeno 2n 1 e vesse nodi { x j } j=1,...,n, pesi { w j } j=1,...,n, per prim cos i pesi srebbero positivi poichè il grdo di precisione è lmeno 2n 1 e quindi srebbe estt per il j-simo polinomio di Lgrnge L j d cui 0 < per j = 1,..., n. L 2 j (x)w(x)dx = n w k L 2 j ( x k ) = w j, k=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 32/ 70

33 Formule gussine D ltr prte se L j è il j-simo polinomio di Lgrnge (vente grdo n 1), poichè φ n è il polinomio ortogonle di grdo n rispetto l peso w, e w j > 0 bbimo che d 0 = (φ n, L j ) w = φ n (x) L j (x)w(x)dx = n w k L j ( x k )φ n ( x k ) k=1 = w j φ n ( x j ) (11) necessrimente x j = x j e visto che questo implic L j = L j ricvimo nche w j = L 2 j (x)w(x)dx = per cui l formul gussin cerct è unic. L 2 j (x)w(x)dx = w j Alvise Sommriv Qudrtur numeric 33/ 70

34 Sull errore di qudrtur delle formule di Newton-Cotes e di Guss Fcolttivo. Rigurdo gli errori compiuti d lcune formule di qudrtur. Teorem ([1], p. 264) Si l regol di Newton-Cotes I (f ) I n(f ) = n i=0 w i,nf (x i,n ). se n è pri e f C (n+2) ([, b]) llor I (f ) I n(f ) = C n h n+3 f (n+2) (η), η (, b) con 1 n C n = µ 2 (µ 1)... (µ n)dµ; (n + 2)! se n è dispri e f C (n+1) ([, b]) llor I (f ) I n(f ) = C n h n+2 f (n+1) (η), η (, b) con 1 n C n = µ(µ 1)... (µ n)dµ; (n + 1)! 0 0 Si osserv fcilmente che qunto visto in precedenz per l regol del trpezio e l regol di Cvlieri-Simpson, è consistente con questi due teoremi. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 34/ 70

35 Sull errore di qudrtur delle formule di Newton-Cotes e di Guss Per qunto concerne l errore compiuto dlle formule gussine, Teorem (Mrkov?,[1], p. 272) Si f C (2n) (, b) con (, b) limitto e supponimo I w (f ) = f (x)w(x)dx I n (f ) = n w i,n f (x i,n ) i=1 si un formul gussin rispetto ll funzione peso w. Allor E n (f ) := I w (f ) I n (f ) = γ n A 2 n(2n)! f (2n) (η), η (, b) dove A n è il coefficiente di grdo mssimo del polinomio ortogonle φ n di grdo n, γ n = φ2 n(x)w(x)dx. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 35/ 70

36 Sull errore di qudrtur delle formule di Newton-Cotes e di Guss Figur : Grfico in scl semilogritmic dell funzione In prticolre, se w 1, [, b] [ 1, 1] llor E n (f ) = 22n+1 (n!) 4 (2n + 1)[(2n)!] 3 f (2n) (η), η ( 1, 1). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 36/ n+1 (n!) 4 (2n+1)[(2n)!] 3.

37 Stbilità di un formul di qudrtur Problem. Si (, b) un intervllo non necessrimente limitto, w un funzione peso in (, b). Inoltre supponimo posto f j = f (x j ) si I w (f ) := f (x)w(x) dx S(f ) := η w j f j, (12) invece di {f j } j si dispong di un loro pprossimzione { f j } j. Ci si chiede come cmbi il vlore dell integrle, vlutndo invece η I w (f ) := f (x)w(x) dx S n (f ) := w j f j. (13) j=1 j=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 37/ 70

38 Stbilità di un formul di qudrtur D η η S(f ) = w j f j, S(f ) = w j f j, j=1 j=1 ricvimo per l disuguglinz tringolre η η S(f ) S(f ) = w j (f j f j ) w j f j f j j=1 j=1 η w j mx f j f j. (14) j=1 Quindi l quntità η w j j=1 è un indice di stbilità dell formul di qudrtur S. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 38/ 70 j

39 Stbilità di un formul di qudrtur Se l formul h grdo di precisione lmeno 0 llor η w(x)dx = 1 w(x)dx = w j. Si h η j=1 w j η j=1 w j con l disuguglinz strett se e solo se qulche peso w j è negtivo. Di conseguenz, w(x)dx = η w j j=1 η w j con l disuguglinz strett se qulche peso w j è negtivo. Quindi l presenz di pesi negtivi peggior l indice di stbilità η j=1 w j, mentre se sono tutti positivi w(x)dx = j=1 η w j. j=1 j=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 39/ 70

40 Alcune norme di opertori Proposizione. Se (, b) è limitto llor l opertore S : (C([, b]), ) R, definito d η S(f ) = w j f j. j=1 è linere e continuo ed h norm η j=1 w j. Not. Questo teorem dice che l indice di stbilità corrisponde ll norm dell opertore S. S = S(f ) mx f C([,b]),f 0 f Alvise Sommriv Qudrtur numeric 40/ 70

41 Alcune norme di opertori Dimostrzione. Per il teorem di Weierstrss esiste f ed è ( η η η ) ( η ) S(f ) = w j f j w j f j w j mx f j w j f j j=1 j=1 e quindi I n è linere e continuo con norm minore o ugule η w j. j=1 j=1 In prticolre, scegliendo opportunmente f si prov che l norm dell opertore di qudrtur S(f ) S = mx f C([,b]),f 0 f coincide con η j=1 w j. j=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 41/ 70

42 Alcune norme di opertori Proposizione. Se (, b) è limitto I = mx f C([,b]),f 0 I (f ) b = w(x)dx = w 1. f Dimostrzione. D I (f ) = f (x)w(x)dx f (x) w(x)dx w(x)dx f = w 1 f e I (1) = w 1, deducimo che I = w 1. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 42/ 70

43 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Teorem (Stieltjes) Si (, b) un intervllo limitto, f C([, b]), w : (, b) R un funzione peso. Se η I n (f ) = w j f j, con f j = f (x j ) j=1 è un formul di qudrtur vente grdo di precisione lmeno n, posto E n (f ) = I (f ) I n (f ), si h η E n (f ) w 1 + w j min f q n. (15) q n P n j=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 43/ 70

44 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Dimostrzione. Se q P n è un polinomio rbitrrio di grdo n, vendo l formul di qudrtur grdo di precisione lmeno n, ed I (q) = I n (q). Ricordimo inoltre che gli opertori I ed I n sono lineri e quindi I n (f q) = I n (f ) I n (q), I (f q) = I (f ) I (q). Per qunto visto I n (f ) I n f, I (f ) f w 1. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 44/ 70

45 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Quindi, se q P n è il polinomio di miglior pprossimzione di f, d I n (f ) I n f = η j=1 w j f, I (f ) f w 1, min qn P n f q n = f q. bbimo En(f ) = I (f ) I n(f ) = I (f ) I n(q) + I n(q) I n(f ) I (f ) I n(q) + I n(q) I n(f ) I (f ) I (q) + I n(q f ) I (f q) + I n(f q) w 1 f q + I n f q d cui l tesi. = ( w 1 + I n ) f q ( ) η = w 1 + w j min f q n. q n P n j=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 45/ 70

46 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Not. (Importnte!) L interesse di questo teorem è il legme col polinomio di miglior pprossimzione. Risult importnte osservre che in η E n (f ) w 1 + w j min f q n. (16) q n P n j=1 contribuiscono i prodotti di due termini. 1 Il primo è dovuto ll funzione peso e ll stbilità dell formul di qudrtur. 2 Il secondo è dto esclusivmente dll miglior pprossimzione di f (e non fw). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 46/ 70

47 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Quindi se w è un funzione peso con fw non regolre m f regolre llor l utilizzo di formule gussine rispetto ll funzione peso w, come nticipto prim, offre risultti potenzilmente migliori, come suggerito di teoremi di Jckson sull miglior pprossimnte polinomile di un funzione f, che forniscono stime di min q n P n f q n con f C([, b]) (dotndo C([, b])) dell norm infinito). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 47/ 70

48 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Esempio Qule esempio considerimo un formul pesi positivi, grdo di precisione n 0. Necessrimente, posto E n (f ) = f q n, I n = i w i = i w i = w 1 = w(x)dx, in qunto l formul integr esttmente l costnte 1, I = w 1, ricvimo I (f ) I n (f ) ( w i + w 1 )E n (f ) = 2 w 1 E n (f ). i Se d esempio w 1 nell intervllo ( 1, 1), d w 1 = 2 si h che I (f ) I n (f ) 4 E n (f ). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 48/ 70

49 Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile Esercizio Si clcoli l integrle con 1 1 exp (x) 1 x 2 dx l formul di Guss-Legendre e un formul di Guss-Jcobi con esponenti α = 1/2 e β = 0. Qule delle due srà d usre e perchè? Alvise Sommriv Qudrtur numeric 49/ 70

50 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Si w : (, b) R un funzione peso, con (, b) limitto. Sotto queste ipotesi, se f continu in [, b] llor fw L 1 (, b). Definit l fmigli di formule {S n } n N (con g.d.p. non necessrimente n) I w (f ) := f (x)w(x)dx S n (f ) := w i,n f (x i,n ) (17) η n i=0 introducimo l errore dell formul n-sim η n E n (f ) := f (x)w(x)dx w i,n f (x i,n ). Ci si domnd qundo E n (f ) := η n i=0 f (x)w(x)dx w i,n f (x i,n ) 0. i=0 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 50/ 70

51 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Teorem (Poly-Steklov, [3], p.202) Sino [, b] un intervllo comptto, S n (f ) = η n i=0 w i,nf (x i,n ), n = 0, 1,... un sequenz di formule di qudrtur tle che I w (f ) S n (f ). E n (f ) := f (x)w(x)dx η n i=0 w i,nf (x i,n ). Condizione necessri e sufficiente ffinchè per ogni f C([, b]) è che lim E n(f ) = 0 n + 1 esist M R per cui si bbi η n i=1 w i,n M (indip. d n); 2 per ogni k N si bbi lim n + E n (x k ) = 0. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 51/ 70

52 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Dimostrzione. Supponimo che 1 esist M R tle che per ogni n si bbi 2 per ogni k N si bbi η n w i,n M; i=1 lim E n(x k ) = 0. k + Per un teorem di densità dovuto Weierstrss, per ogni τ 1 > 0 esiste un polinomio p tle che f p τ 1. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 52/ 70

53 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Fissto n, per l definizione di norm degli opertori, si h che I w = e dto che I w = w 1 I w (g) sup g C([,b]),g 0 g I w (g) I w g = w 1 g, g C([, b]) (18) Similmente S n = S n (g) sup g C([,b]),g 0 g η n w i,n i=1 implic che η n S n (g) S n g = w i,n g. (19) Alvise Sommriv Qudrtur i=1 numeric 53/ 70

54 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Posto g = f p in I w (g) w 1 g, S n (g) i w i g, E n (f p) = I w (f p) S n (f p) I w (f p) + S n (f p) η n w 1 f p + w i,n f p = i=1 ( η n ) w 1 + w i,n f p i=1 ( w 1 + M) τ 1. (20) Di conseguenz E n (f p) ( w 1 + M) τ 1, per ogni n N. Si osservi che il secondo membro dell precedente disuguglinz non dipende d n. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 54/ 70

55 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Poichè lim n E n (p) = 0, per ogni τ 2 > 0 esiste Ñ (τ 2 ) N tle che se n Ñ (τ 2 ) llor E n (p) τ 2. Di conseguenz fissto ɛ > 0 e posto τ 1 = ɛ/(2 ( w 1 + M)), τ 2 = ɛ/2, bbimo che esiste N(ɛ) = Ñ (ɛ/2) tle che se n N(ɛ) llor E n (f p) ( w 1 + M) τ 1 = ( w 1 + M) ɛ 2 ( w 1 + M) = ɛ/2 e E n (p) τ 2 = ɛ/2. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 55/ 70

56 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Quindi, dll linerità di E n, per n N(ɛ) = Ñ (τ 2 ) E n (f ) E n (f ) E n (p) + E n (p) = E n (f p) + E n (p) ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ (21) che permette di concludere dll definizione di limite che lim n E n (f ) = 0. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 56/ 70

57 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Mostrimo che se lim n + E n (f ) = 0 llor esiste M R indipendente d n per cui si bbi η n w i,n M. i=1 Supponimo che per ogni f C([, b]) si lim n E n (f ) = 0. Essendo E n (f ) = I w (f ) S n (f ) bbimo S n (f ) = I w (f ) E n (f ) e quindi per l disuguglinz tringolre e I w (f ) w 1 f S n (f ) I w (f ) + E n (f ) w 1 f + E n (f ). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 57/ 70

58 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Poichè lim n E n (f ) = 0 necessrimente lim n E n (f ) = 0 e quindi, dll definizione di limite, segue fcilmente che esiste M(f ) R (indipendente d n, m dipendente d f ) tle che S n (f ) M(f ) <. Il teorem di uniforme limittezz (tlvolt citto come di Bnch-Steinhus) [2, p.58] stbilisce che llor se L n è un sequenz di opertori lineri limitti d uno spzio di Bnch V uno spzio di Bnch W, per ogni v V l sequenz {L n (v)} n è limitt, sup L n < +. n Alvise Sommriv Qudrtur numeric 58/ 70

59 Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur Nel nostro cso V (C([, b]), ), W R sono spzi di Bnch, posto L n S n, opertore linere limitto con norm S n = η n i=0 w i,n, se f C([, b]) bbimo che l sequenz {S n (f )} n è limitt in qunto esiste M(f ) < indipendente d n tle che S n (f ) M(f ) <. Per il teorem di Bnch-Steinhus, d S n = η n ( i=0 w i,n si h ηn ) sup w i,n = sup S n < +. n n i=0 e quindi esiste M finito tle che η n i=0 w i,n M < +, n N. Il secondo punto d dimostrre è ovvio in qunto per ogni k, si h x k C([, b]). Alvise Sommriv Qudrtur numeric 59/ 70

60 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov Not. L intervllo [, b] è limitto per cui il teorem di Poly non è pplicbile per funzioni peso quli Guss-Lguerre e Guss-Hermite. Si osservi che in generle le formule di errore introdotte nei cpitoli precedenti, implicvno l convergenz in cso l integrnd f fosse sufficientemente regolre. Nel teorem di Poly-Steklov si chiede esclusivmente che f C([, b]), senz però offrire stime dell errore compiuto. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 60/ 70

61 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov Teorem Considerimo un formul su un dominio limitto, con i pesi w i,n positivi. Ess è convergente per ogni f C([, b]) se e solo se è convergente per ogni polinomio p. Dimostrzione. Se è convergente per ogni f C([, b]) llor lo è sicurmente per ogni p P n. Per il teorem di Poly-Steklov, bst mostrre che se converge sui polinomi llor, in queste ipotesi, si h che η n i=0 w i,n < M per ogni n. Poichè converge sui polinomi, lo è in prticolre per p(x) 1, d cui η n η n n w i,n = w i,n = S n(1) I (1) = w(x)dx i=0 i=0 e quindi sup n ( η n i=0 w i,n ) < M con M indipendente d M. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 61/ 70

62 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov Teorem Un formul gussin su un dominio limitto è convergente. Dimostrzione. Si un formul di Guss, su un dominio limitto, con n nodi {w i,n } i=1,...,n positivi. Per qunto detto, è convergente per ogni f C([, b]) se e solo se è convergente per ogni polinomio p. M ciò è verificto bnlmente in qunto essendo il grdo di precisione lmeno 2n 1, fissto k, per n ceil((k + 1)/2) si h E n (x k ) = 0. Quindi, essendo tutti gli zeri contenuti in (, b), possimo pplicre il teorem di Poly-Steklov e dedurre che l crescere del numero di punti n dell formul gussin si h che lim E n(f ) = 0 n + Alvise Sommriv Qudrtur numeric 62/ 70

63 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov Teorem Un sequenz di formule composte, bste su regole pesi positivi e g.d.p. n 0, risult convergente qulor l mpiezz delle suddivisioni tend 0. Dimostrzione. (Fcolttiv) Si consideri l suddivisione m = {τ i } i=0,...,m dell intervllo (, b) con τ i < τ i+1, τ 0 =, τ m = b nodi dell formul in questione. Visto che l formul compost h pesi positivi, risult convergente per ogni f C([, b]) se e solo se è convergente per ogni polinomio p. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 63/ 70

64 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov Mostrimo che è convergente per qulsisi polinomio p. Osservimo che tle formul compost integr esttmente ogni funzione polinomile trtti di grdo n su e che se s m,n è l interpolnte polinomile trtti di grdo n dell funzione f reltivmente ll suddivisione m e i nodi di qudrtur, f (x)dx = = (f (x) s m,n)dx + η n s m,ndx (f (x) s m,n)dx + w i,n f (x i,n )dx (22) i=0 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 64/ 70

65 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov d cui se f C (n+1) ([, b]) E n (f ) = = η n f (x)dx w i,n f (x i,n ) i=1 (f (x) s m,n)dx 1 dx f s m,n (b ) f s m,n (b ) h(n+1) f (n+1) (n + 1)! (23) Alvise Sommriv Qudrtur numeric 65/ 70

66 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov Siccome un polinomio f (x) = x k è infinitmente derivbile, f (n+1) è continu in [, b] e quindi per il teorem di Weierstrss f (n+1) è finito. Di conseguenz, se l successione di formule composte è tle che l mssim mpiezz h dell suddivisione tende 0 llor E n (x k ) 0. Per il teorem di Poly-Steklov si h così che l formul compost pesi positivi η n f (x)w(x)dx w i,n f (x i,n ) (24) è tle che qulsisi si l funzione continu f, E n (f ) 0 qundo l mssim mpiezz dei subintervlli tende 0. i=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 66/ 70

67 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov (fcolttivo) Teorem (Fcolttivo) Un formul I n(f ) f (x)w(x)dx := I (f ) pesi positivi convergente sui polinomi e vente grdo di precisione lmeno 0 risult convergente sulle funzioni continue trtti in [, b]. Dimostrzione. (Fcolttiv) Se f è tle funzione, si dimostr che per ogni ɛ > 0 esistono due funzioni f 1, f 2 C([, b]) tli che f 1 f f 2 e f 1 f 2 ɛ. Osservimo che Poichè l formul è pesi positivi, f 1 f f 2 implic che I n(f 1) I n(f ) I n(f 2). Essendo f 1 f f 2, f 1(x)w(x)dx f (x)w(x)dx f 2(x)w(x)dx. Per il teorem di Poly-Steklov bbimo inoltre che essendo f 1, f 2 C([, b]) llor lim n E n(f 1) = 0 e lim n E n(f 2) = 0. Alvise Sommriv Qudrtur numeric 67/ 70

68 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov (fcolttivo) Or notimo che I (f 1) I n(f 2) I (f ) I n(f ) I (f 2) I n(f 1). (25) Per l linerità degli opertori I, I n E n(f 1) + I n(f 1 f 2) = (I (f 1) I n(f 1)) + I n(f 1 f 2) = I (f 1) I n(f 2) (26) E n(f 2) + I n(f 2 f 1) = (I (f 2) I n(f 2)) + I n(f 2 f 1) = I (f 2) I n(f 1) (27) Inoltre η n η n I n(f 2 f 1) = w k (f 2(x k ) f 1(x k )) w k f 2 f 1 (28) k=1 k=1 η n I n(f 1 f 2) = I n(f 2 f 1) w k f 2 f 1 (29) k=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 68/ 70

69 Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov (fcolttivo) Quindi d (25), in virtù di (27), (28) η n E n(f ) I (f 2) I n(f 1) = E n(f 2) + I n(f 2 f 1) E n(f 2) + w k f 2 f 1 mentre d (25), in virtù di (26), (29) η n E n(f 1) w k f 2 f 1 E n(f 1) + I n(f 1 f 2) = I (f 1) I n(f 2) E n(f ) k=1 cioè η n η n E n(f 1) w k f 2 f 1 E n(f ) E n(f 2) + w k f 2 f 1 k=1 k=1 Dl ftto che η n k=1 w k = w(x)dx < +, limn En(f1) = limn En(f2) = 0 e f 2 f 1 ɛ, dll rbitrrietà di ɛ deducimo che E n(f ) 0. k=1 Alvise Sommriv Qudrtur numeric 69/ 70

70 Bibliogrfi K. Atkinson, Introduction to Numericl Anlysis, Wiley, K. Atkinson e W. Hn, Theoreticl Numericl Anlysis, Springer, V. Comincioli, Anlisi Numeric, metodi modelli ppliczioni, Mc Grw-Hill, A. Qurteroni e F. Sleri, Introduzione l clcolo scientifico, Springer Verlg, Alvise Sommriv Qudrtur numeric 70/ 70