Polinomi ortogonali. Alvise Sommariva. Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica. 19 marzo 2014

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1 Polinomi ortogonli Alvise Sommriv Università degli Studi di Pdov Diprtimento di Mtemtic 19 mrzo 2014 Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 1/ 31

2 Considerimo lo spzio normto delle funzioni reli misurbili (cf. [6, p.284]) qudrto integrbili (L 2 (, b), 2 ) dove, b è un intervllo dell rett rele, non necessrimente limitto (cf. [6, p.386], ricordndo [6, p.308]), e g 2 = (g, g), (f, g) 2 = b f (x) g(x) dx. Si dimostr (non fcile!) che questo spzio euclideo è un esempio di spzio di Hilbert (cf. [6, p.388]), cioè uno spzio euclideo che è completo, seprbile e infinito dimensionle (cf. [6, p.155]). Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 2/ 31

3 Più in generle se w : (, b) R è un funzione positiv llor lo spzio (L 2 w (, b), 2,w ) definito come L 2 w (, b) = { f misurbili t.c. b } f (x) 2 w(x) dx < è uno spzio di Hilbert dotto del prodotto sclre (cf. [2, p.23]). (f, g) 2,w = b f (x) g(x) w(x) dx Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 3/ 31

4 Supponimo di seguito che in prticolre si w : (, b) R un funzione nonnegtiv, con (, b) non necessrimente limitto, tle che 1. b x n w(x) dx < + per tutti gli n N; 2. b g(x) w(x) dx = 0 per qulche funzione continu e non negtiv g implic g 0 in (, b). Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 4/ 31

5 Teorem Lo spzio vettorile L 2 w (, b) contiene lo spzio dei polinomi P n di grdo n (con n N rbitrrio). Dimostrzione. Inftti, se p n (x) = n k=0 kx k llor per l disuguglinz tringolre e il ftto che per ogni k si h x k 2 2,w = b necessrimente n p n 2,w = k x 2,w k k=0 e quindi p n L 2 w (, b). x 2k w(x) dx < + n k x k 2,w < +, k=0 Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 5/ 31

6 Not. Si osservi che se e b sono finiti, essendo per il teorem di Weirstrss x n = mx x [,b] x n < +, bbimo b x n w(x) dx x n b w(x) dx d cui se b w(x) dx < + utomticmente b x n w(x) dx < + per tutti gli n N. Fisst f L 2 w ([, b]) ed n N, il problem i minimi qudrti (nel continuo) consiste nel determinre il polinomio p n di grdo n tle che si minim l quntità (cf. [1, p ]) f p n 2,w = b f (x) p n (x) 2 w(x) dx. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 6/ 31

7 Essendo L 2 w ([, b]) uno spzio euclideo, e (φ k ) k=0,...,n un bse di P n, bbimo visto che l soluzione del problem è f f 2,w = min g spn{φ 0,...,φ n} f g 2,w f = n γj φ j dove i coefficienti γj verificno le cosidette equzioni normli n (φ j, φ k ) 2,w γk = (φ j, f ) 2,w, j = 0,..., n. k=0 L soluzione è crtterizzt dll proprietà di ortogonlità cioè che f f è ortogonle tutti gli φ k, con k = 1,..., n, ovvero j=0 (f, φ k ) 2,w = (f, φ k ) 2,w, k = 0,..., n Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 7/ 31

8 Nel cso φ k (x) = x k per k = 0,..., n, le equzioni normli si riscrivono quindi come n k=0 γ k ( b ) b x j+k w(x)dx = x j f (x)w(x)dx, j = 0,..., n. o in form mtricile, posto per j, k = 0,..., n A j,k := come Aγ = β. b x j+k w(x)dx, β j = b x j f (x)w(x)dx, Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 8/ 31

9 Vedimo qule cso prticolre w(x) 1, (, b) = (0, 1). Poichè A j,k = 1 0 x j+k dx = 1 j + k + 1 si not che l mtrice A coincide con l mtrice di Hilbert (cf. [7]) H s,t = 1,, s, t = 1,..., n + 1 (s 1) + (t 1) + 1 L mtrice di Hilbert H è estremmente sensibile piccoli cmbimenti nei coefficienti o dei vlori del termine noto (si dice mlcondiziont). Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 9/ 31

10 Per vederlo (cf. [1, p ]), si A un mtrice non singolre di ordine N, un norm indott di mtrice [8] cioè tle che Ax A x, x R N e indichimo con κ(a) = A A 1 il condizionmento dell mtrice rispetto ll norm. Si dimostr [3, p.137] che se (A + δa)(x + δx) = b + δb, llor δx x κ(a) 1 κ(a) δa A ( δb b + δa ). A Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 10/ 31

11 Per cpirne il significto, si suppong per semplicità δa = 0, Allor ( δx x κ(a) δb 1 κ(a) δa b + δa ) = κ(a) δb A b A per cui più grnde è κ(a) più grnde è il rischio che piccole perturbzioni sul termini noto b provochino grndi effetti sul clcolo dell soluzione x. Si noti che quest stim è solo un mggiorzione. In molti csi risult un buon indictore di qunto un sistem linere si difficile d risolvere l clcoltore, indipendentemente dl metodo utilizzto. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 11/ 31

12 Tornndo ll mtrice di Hilbert H, vedimo in Mtlb vlori del numero di condizionmento in norm 2. Se λ k sono gli utovlori di A ordinti in modulo, cioè λ 1... λ l... λ n si dimostr che essendo l mtrice H simmetric e definit positiv (cf. [3, p.140]) K 2 (A) = λ n λ 1. Curiosmente, quest ultim uguglinz leg due grndi nomi dell informtic modern, essendo l corrente definizione di condizionmento introdott d Turing mentre il rpporto degli utovlori secondo membro d Von Neumnn [3, p.226]. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 12/ 31

13 Per qunto nticipto, clcolimo il condizionmento dell mtrice di Hilbert e i corrispettivi utovlori mssimi e minimi in modulo. Notimo che Mtlb, non pprossimndo gli utovlori di un mtrice per ottenere il numero di condizionmento (cf. [3, p.139]), per vlori grndi dello stesso offre solo un pprossimzione. D ltr prte si può dimostrre che il condizionmento (in norm 2) dell mtrice di Hilbert di ordine n è pprossimtivmente exp (3.5 n) (cf. [3, p.139]). Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 13/ 31

14 >> h e l p cond COND Condition number with respect to inversion. COND ( X ) returns the 2 norm condition number ( the rtio of the lrgest singulr vlue of X to the smllest ). Lrge condition numbers indicte nerly singulr mtrix. COND ( X, P ) returns the condition number of X in P norm : NORM ( X, P ) NORM ( INV ( X ), P ). where P = 1, 2, inf, or f r o. See lso RCOND, CONDEST, CONDEIG, NORM, NORMEST. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 14/ 31

15 >> f o r n =5:5:40 f p r i n t f ( \n \ t [ n ] : %2.0 f [ cond ( norm 2) ] : %2.2 e [ det ] : %2.2 e, n, cond ( h i l b ( n ) ),... det ( h i l b ( n ) ) ) ; end [ n ] : 5 [ cond ( norm 2) ] : e+005 [ det ] : e 012 [ n ] : 1 0 [ cond ( norm 2) ] : e+013 [ det ] : e 053 [ n ] : 1 5 [ cond ( norm 2) ] : e+017 [ det ]: 2.19 e 120 [ n ] : 2 0 [ cond ( norm 2) ] : e+018 [ det ]: 1.12 e 195 [ n ] : 2 5 [ cond ( norm 2) ] : e+019 [ det ] : e 275 [ n ] : 3 0 [ cond ( norm 2) ] : e+018 [ det ] : e+000 [ n ] : 3 5 [ cond ( norm 2) ] : e+019 [ det ] : e+000 [ n ] : 4 0 [ cond ( norm 2) ] : e+019 [ det ] : e+000 Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 15/ 31

16 >> f o r n =5:5:40 f p r i n t f ( \n \ t [ n ] : %2.0 f [ min utov. ] : %2.2 e [ mx utov. ] : %2.2 e,... n, min ( bs ( e i g ( h i l b ( n ) ) ) ), mx ( bs ( e i g ( h i l b ( n ) ) ) ) ) ; end >> [ n ] : 5 [ min utov. ] : e 006 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 1 0 [ min utov. ] : e 013 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 1 5 [ min utov. ] : e 018 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 2 0 [ min utov. ] : e 018 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 2 5 [ min utov. ] : e 018 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 3 0 [ min utov. ] : e 019 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 3 5 [ min utov. ] : e 017 [ mx utov. ] : e+000 [ n ] : 4 0 [ min utov. ] : e 017 [ mx utov. ] : e+000 Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 16/ 31

17 Ricpitolndo 1. il problem i minimi qudrti continui h un unic soluzione se e solo se un certo sistem linere Aγ = β h un e un sol soluzione; 2. nel cso w 1, (, b) = ( 1, 1) l mtrice A coincide con l mtrice di Hilbert che h un numero di condizionmento estremmente grnde, il che comport che il sistem linere Aγ = β srà estremmente sensibile piccole perturbzioni (cioè mlcondizionto); 3. l mtrice di Hilbert sembr essere singolre, cioè vente determinnte nullo, per n 0; in reltà, come già detto, si dimostr che è simmetric e definit positiv, e quindi tutti gli utovlori sono positivi d cui il determinnte è non nullo essendo il prodotto degli utovlori. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 17/ 31

18 Notimo subito che il sistem è difficile d risolvere poichè bbimo rppresentto il polinomio p n nell bse 1, x,..., x n. Cos succede se lo scrivimo come combinzione linere di elementi di un ltr bse {φ n }? Se d esempio scegliessimo l bse {φ n } cosicchè (φ k, φ m ) = k δ k,m, k > 0, k, m 0, 1,..., n con δ k,m delt di Kronecker, finiremmo per risolvere un problem Aγ = β dove A è un mtrice digonle e quindi senz lcun difficoltà troveremmo γ k = β k k con k > 0. Risult quindi di importnz fondmentle cercre bsi di polinomi {φ j } per cui (φ k, φ m ) = k δ k,m, k > 0, k, m 0, 1,..., n. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 18/ 31

19 Polinomi ortogonli Si w : (, b) R un funzione nonnegtiv, con (, b) non necessrimente limitto, tle che 1. b x n w(x) dx < + per tutti gli n N; 2. b f (x) w(x) dx = 0 per qulche funzione continu e non negtiv g implic g 0 in (, b). L funzione w è dett peso. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 19/ 31

20 Polinomi ortogonli Le funzioni peso più comuni sono (cf. [1, p.206], [10], [11],[9]) 1. w(x) = 1 con x [ 1, 1] (peso di Legendre) [14]; 2. w(x) = 1 1 x 2 con x ( 1, 1) (peso di Chebyshev); 3. w(x) = (1 x 2 ) γ (1/2) con x ( 1, 1), γ > ( 1/2) (peso di Gegenbuer); 4. w(x) = (1 x) α (1 + x) β con x ( 1, 1), α > 1, β > 1 (peso di Jcobi); 5. w(x) = exp ( x) con x (0, + ) (peso di Lguerre) [13]; 6. w(x) = exp ( x 2 ) con x (, + ) (peso di Hermite) [12]; Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 20/ 31

21 Polinomi ortogonli Vedimo or che proprietà h un insieme di polinomi {φ k } k=0,...,n in cui il grdo deg di ogni polinomio si k 1 < deg(φ k ) = k e (φ i, φ j ) 2,w = c i δ i,j (con δ i,j il delt di Kronecker, c i > 0, i, j = 0,..., n). Un tl fmigli tringolre di polinomi (cioè tle che deg(φ k ) = k) si dice ortogonle rispetto ll funzione peso w nell intervllo di riferimento. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 21/ 31

22 Polinomi ortogonli Si può dimostrre usndo l procedur di Grm-Schmidt che un tl fmigli tringolre di polinomi esiste e con l stess procedur costruirl direttmente; inoltre è immedito osservre che ogni polinomio di grdo n si può scrivere univocmente come combinzione linere di φ 0,..., φ n. Di conseguenz se p n = n j=0 kφ k, llor per l bilinerità del prodotto sclre (, ) 2,w n (φ n+1, p n ) 2,w = (φ n+1, k φ k ) 2,w = j=0 n k (φ n+1, φ k ) 2,w = 0. j=0 Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 22/ 31

23 Polinomi ortogonli Inoltre (cf. [4, p.978], [1, p.213]) Teorem Si {φ k } k=0,...,n un fmigli tringolre di polinomi ortogonli in (, b) rispetto d un funzione peso w. Allor il polinomio φ n h esttmente n rdici reli e distinte nell intervllo perto (, b). Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 23/ 31

24 Polinomi ortogonli Dimostrzione. Sino x 1,..., x m (con m n) tutti e soli gli zeri di φ n interni d (, b) con molteplicità rispettivmente α 1,..., α m. Di conseguenz, per qulche numero n bbimo ( m ) φ n (x) = n (x x k ) α k r(x) k=1 vendo supposto m k=1 (x x k) α k 1 se non ci sono zeri interni d (, b). Il polinomio r per costruzione non h zeri in (, b) e quindi non si nnull mi ed essendo un funzione continu h segno costnte. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 24/ 31

25 Polinomi ortogonli Dimostrzione. Considerimo il polinomio ( m ) q(x) = (x x k ) mod 2(α k ). k=1 Se uno zero di φ n h molteplicità dispri m mggiore di 1 o uno lmeno h molteplicità pri o esiste uno zero complesso non in (, b), è fcile osservre che il grdo di q è minore di n. Osservimo or che qulsisi si un numero nturle, α k + mod 2 (α k ) è un numero pri. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 25/ 31

26 Polinomi ortogonli Dimostrzione. ( m Di conseguenz vendo k=1 (x x k) α k+mod 2 (α k )) r n m (x) segno costnte e non coincidente col polinomio nullo, 0 = (φ n, q) = = = b φ n (x) q(x) w(x) dx b m n k=1 b (x x k ) α k r n m (x) m (x x k ) mod 2(α k ) w(x) dx k=1 ( m ) n (x x k ) α k+mod 2 (α k ) r n m (x) w(x) dx 0 k=1 d cui l contrddizione. (1) Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 26/ 31

27 Polinomi ortogonli Dimostrzione. Potrebbe venire il dubbio su perchè qulche zero non poss essere o b. Nell dimostrzione vrebbe qule unico effetto che r n m si nnull in o b, rimnendo di segno costnte in (, b). L conclusione è che il polinomio ortogonle p n h n rdici distinte e semplici, interne d (, b). Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 27/ 31

28 Polinomi ortogonli Vedimo or il Teorem di Clenshw ([1, p.214]), che stbilisce prtire di polinomi ortogonli φ 0, φ 1 di grdo 0 e 1 risp. come clcolre ricorsivmente l fmigli di pol. ortog.. Teorem Si {φ k } k=0,...,n un fmigli tringolre di polinomi ortogonli in [, b] rispetto d un funzione peso w. Allor per n 1 φ n+1 (x) = α n (x β n )φ n (x) γ n φ n 1 (x) dove, detto n il coefficiente di grdo mssimo di φ n, si h α n = n+1 n (2) β n = (xφ n, φ n ) 2,w (φ n, φ n ) 2,w (3) γ n = α n(xφ n 1, φ n ) 2,w (φ n 1, φ n 1 ) 2,w (4) Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 28/ 31

29 Polinomi ortogonli Not. Notimo che scelti i polinomi ortogonli φ 0 e φ 1, l procedur determin l fmigli tringolre di polinomi ortogonli di grdo superiore, non ppen sono disponibili i coefficienti α k, β k, γ k. Se φ n è tle che (φ n, φ k )= 0 per k = 0,..., n 1 llor per τ 0 pure φ n = τφ n è tle che ( φ n, φ k ) = (τφ n, φ k ) = τ(φ n, φ k ) = 0, k = 0,..., n 1 e quindi potrebbe essere considerto qule polinomio ortogonle di grdo n. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 29/ 31

30 Polinomi ortogonli Not. In prtic spesso si sceglie α n = 1 e i polinomi φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = x b xw(x)dx/ b w(x)dx cosicchè i polinomi ortogonli sino monici cioè con coefficiente di grdo mssimo ugule 1. In molti ltri csi, come nelle routines Mtlb di W. Gutschi, si pone p 1 (x) = 0, p 0 (x) = 1 e quindi si pplic l formul ricorsiv di Clenshw con α k = 1 per k > 0. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 30/ 31

31 Polinomi ortogonli K. Atkinson, An Introduction to Numericl Anlysis, Wiley, (1989). K. Atkinson e W. Hn, Theoreticl Numericl Anlysis, A Functionl Anlysis Frmework, Springer, (2001). D. Bini, M. Cpovni e O. Menchi, Metodi numerici per l lgebr linere, Znichelli, (1993). V. Comincioli, Anlisi Numeric, metodi modelli ppliczioni, McGrw-Hill, (1990). G. Dhlquist e A. Bjorck, Numericl methods, Dover, (2003). A.N. Kolmogorov e S.V. Fomin, Introductory Rel Anlysis, Dover publictions, Wikipedi, (Hilbert Mtrix), mtrix. Wikipedi, (Norm mtricile), mtricile. Wikipedi, (Orthogonl polynomils), polynomils. Wikipedi, (Polinomi di Chebyshev), di Chebyshev. Wikipedi, (Polinomi Ortogonli), ortogonli. Wikipedi, (Polinomi di Hermite), di Hermite. Wikipedi, (Polinomi di Lguerre), di Lguerre. Wikipedi, (Polinomi di Legendre), di Legendre. Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 31/ 31