Integrazione. Divido il range di integrazione in N intervalli. w j f(x j ) x j = a + h j 0 j N h = b a N

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1 Integrzione Divido il rnge di integrzione in N intervlli w j pesi (x) dx = N j= w j (x j ) N più piccolo possibile. x b Metodi spzitur iss x j = + h j j N h = b N Chiusi: = x, b = x N Aperti:, b / x j h h h h h h h

2 Metodo del rettngolo h h h h h h h Srutto l ide che l integrle è l re sotto l curv (x) dx = h N j= (x j ) (x) dx = h Posso però nche usre l ormul di Tylor. Considero l integrle tr e h. h (x) dx = h = h () + h2 2 () + O(h 3 ) Escludo quindi termini O(h 2 ). N (x j ) j=1 ( () + x () + O(x 2 ) ) dx

3 Metodo del trpezio x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 L re del trpezio è 1/2 (bse1+bse2) ltezz. Are = 1 2 ( + 1 ) (x 1 x ) = 1 2 h ( + 1 ) = ( 1 (x) dx h 2 ( + 1 ) ( ) ( ) ( ) + 1 ) 2 ( ) w = w 5 = h 2 w 1 = w 2 = w 3 = w 4 = h

4 Per ogni intervllo uso i due vlori estremi per clcolre l integrle, mentre per il rettngolo vlutvo l unzione solo in un punto. (x) () + ()(x ) (b) () + ()(b ) = (b) () () = b (b) () (x) () + (x ) b (b) () (x) dx = () h + (x ) 2 b b 2 = (b) () (b ) 2 (b) + () () h + = (b ) b 2 2

5 2h Formul di Simpson (x) dx = A() + B(h) + C(2h) Sviluppo l serie di Tylor e uguglio termine termine (x) = () + x () x2 () x3 () x4 iv () 2h (x) dx = 2h() (2h)2 () (2h)3 () (2h)4 () (2h)5 iv () + O(h 6 ) 2h (x) dx = 2h() + 2h 2 () h3 () h4 () h5 iv () + O(h 6 ) Uguglindo llo svilluppo del secondo membro

6 ] = A() + B [() + h () + h2 2 () + h3 6 () + h4 24 iv () [ ] + C () + 2h () + 2h 2 () h3 () h4 iv () [ ] B = (A + B + C)() + h(b + 2C) () + h C () [ 1 + h 3 6 B + 4 ] [ 1 3 C () + h 4 24 B + 2 ] 3 C iv () Poiché (x) è rbitrri devono esere uguli i termini che moltiplicno le derivte dello stesso ordine: 1. A + B + C = 2h 2. h(b + 2C) = 2h 2 3. h 2 ( 1 2 B + 2C) = 4 3 h3 4. h 3 ( 1 6 B C) = 2 3 h4 5. h 4 ( 1 24 B ) = 4 15 h5

7 Le prime tre equzioni sono un sistem di 3 equzioni in 3 incognite. 1)A + B + C = 2h 2)h(B + 2C) = 2h 2 3)h 2 ( 1 2 B + 2C) = 4 3 h3 Sottrendo h/2 volte 2) d 3) ottengo: C = h 3 B = 2h 2 3 = 4 3 h A = 2h 4 3 h = 1 3 h A = C = 1 3 h B = 4 3 h

8 Considero or l qurt equzione: B + 8C = 4h con B = 4 3 h e C = 1 3 h 4 3 h h = 12 3 h = 4h L equzione è soddistt. L quint equzione non è invece soddistt e l errore è perciò O(h 5 ). L ormul di Simpson integr esttmente i polinomi di grdo non superiore l terzo. 2h x 3 dx = x 4 4 2h = 24 h 4 4 = 4h4 1 3 h(x = ) h(x = h) + 1 h(x = 2h) 3 = h h4 = 12 3 h4 = 4h 4

9 Considero il cso di N intervlli tr e b prendo x 1, x 2,..., x n spziti di h e si (x i ) = i. Prendo tnti intervllini di mpiezz 2h. (x) dx = +2h + (x) dx + b 2h (x) dx +4h +2h (x) dx + +6h +4h (x) dx+ ( 1 (x) dx = h ) h ( 1 + h 3 N N + 1 ) 3 N ( ) 3 5 ( 1 (x) dx = h N + 1 ) 3 N

10 Metodo di Guss Fino d or mi sono bsto sullo sviluppo in serie di Tylor per trovre ormule sempre più ccurte di integrzione. Migliorndo le ormule potevo integrre polinomi di ordine sempre crescente. Cerco un ormul che, dto un numero inito di punti, si estt per i polinomi di grdo più lto possibile. Finor le ormule hnno usto punti equispziti. Se uso l rbitrrietà che ho ncor nello scegliere x j posso trovre ormule che integrno polinomi di grdo più lto. Considero solo integrli tr e 1. Ogni ltro integrle su di un intervllo inito può essere ricondotto questo con un cmbio di vribili. Se suppongo di conoscere i punti x j dove viene vlutt l unzione, posso rislire i pesi w j per i quli deve essere moltiplicto p(x j ) per rendere estto l integrle. Il sistem di N equzioni in N incognite w j p(x)dx = N w j p(x j ) j=1 d un soluzione unic se si conderno i primi N monomi 1, x, x 2, x 3,..., x N e le loro combinzioni lineri, quindi tutti i polinomi di grdo ineriore N.

11 Posso llor usre l scelt degli x j per integrre nche polinomi di grdo superiore. Deinisco i polinomi di Legendre P n (x). P (x) = 1 P 1 (x) = x np n (x) = (2n 1)xP n (x) (n 1)P n 2 (x) Per n = 2: 2P 2 (x) = 3xP 1 (x) P (x) = 3x 2 1 = P 2 (x) = 3 2 x2 1 2 Se p(x) è un polinomio di grdo 2N 1 posso scrivere p(x) = q(x)p N (x) + r(x) dove q(x) e r(x) sono rispettivmente quoziente e resto, entrmbi di grdo N 1. Ne segue in prticolre che: p(x) dx = q(x)p N (x) dx + r(x) dx

12 Srutto or un prticolre proprietà dei polinomi di Legendre, quell di essere ortogonli tutti i polinomi di grdo ineriore, cioè q(x)p N (x) dx = se q(x) è di grdo ineriore N p(x) dx = r(x) dx = N w k r(x k ) k=1 L integrzione del polinomio di grdo 2N 1 è ridott quell di un polinomio di grdo N 1, che però non conosco. Uso l rbitrrietà nello scegliere x j per liberrmi di r(x) Poiché p(x) = q(x)p N (x) + r(x) Scelgo per x j i vlori degli N zeri di P N (x), che esistono e sono reli. Allor, dto che trovo p(x j ) = q(x j )P N (x j ) + r(x j ) = r(x j ) p(x) dx = N N w k r(x k ) = w k p(x k ) k=1 k=1

13 x k e w k questo punto non dipendono d p(x), q(x) e r(x), m solo d P N (x) che sono unzioni isste qundo si sceglie N e sono tbulte un volt per tutte. Per un generic unzione (x) si scriverà: (x) dx = N w k (x k ) k=1 Quest ormul N punti è estt per polinomi ino l grdo 2N 1. Integr bene unzioni polinomili o che ssomiglino polinomi. Non v ust con unzioni come: e x ed e x2 Per estremi di integrzione qulsisi uso un cmbimento di vribile (x) dx con y 1, dx = b 2 x = + b 2 + b 2 y dy ottengo (x) dx = b 2 ( + b 2 + b y) dy 2