Metodi Computazionali della Fisica

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1 Metodi Computzionli dell Fisic Anno Accdemico 017/018 Autori: Alessndro Colombi Polo Melig Giuli Scffino Docente: Fulvio Piccinini

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3 Non tutto ciò che può essere contto cont e non tutto ciò che cont può essere contto. Albert Einstein

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5 Indice 1 Clcolo numerico di derivte Derivt forwrd e derivt bckwrd Derivt centrle Derivt 5 punti Derivt second Metodi di integrzione numeric 9.1 Metodo del rettngolo Metodo del trpezio Metodo di Simpson Vribile di controllo (Control Vrites) Tecnic di cmpionmento d importnz Integrli impropri Vlore principle Algoritmo di integrzione di Guss-Legendre Simulzioni Monte Crlo Generzione di numeri rndom L go di Buffon Clcolo di integrli col Metodo Monte Crlo Clcolo del π col metodo Monte Crlo Metodo di riduzione dell vrinz Teorem dell cumultiv Generzione di numeri distribuiti gussinmente Metodo Box&Müller Metodo Hit or Miss Somm di numeri rndom Ricerc degli zeri di un funzione Algoritmo di bisezione Algoritmo dell secnte Algoritmo delle flse posizioni Algoritmo di Newton-Rphson Equzioni differenzili Equzione di oscilltore rmonico Metodo di Eulero Metodo multistep di Lgrnge Criterio di stbilità di Von-Neumnn

6 Metodi Computzionli dell Fisic Metodo di Runge-Kutt Soluzione equzione del pendolo Shooting method Algoritmo di Metropolis

7 Cpitolo 1 Clcolo numerico di derivte Si vuole ottenere un stim numeric dell derivt di un funzione in un punto stbilito. L derivt estt di un funzione f(x) nel punto x 0 è dt dl limite del rpporto incrementle in x 0 : f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim (1.1) h 0 h Poiché nell reltà non è possibile risolvere numericmente l derivt fcendo il limite, ndremo d introdurre un discretizzzione che srà tnto migliore qunto più numerosi srnno i punti che considereremo. 1.1 Derivt forwrd e derivt bckwrd Un prim stim dell derivt può essere ftt ndndo considerre il rpporto f(x 0 + h) f(x 0 ) h (1.) dove h è un prmetro piccolo scelto rbitrrimente. Dto che h è piccolo è possibile sviluppre l f in serie di Tylor centrt in x 0 : f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h f (x 0 ) +... (1.3) Rirrngindo il rpporto precedentemente scritto si ottiene f(x 0 + h) f(x 0 ) h e quindi bbimo che l derivt prim risult f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f (x 0 ) + h f (x 0 ) +... (1.4) + O(h). (1.5) L derivt forwrd converge ll derivt estt in modo linere, pertnto riducendo h di un ordine di grndezz si h un gudgno in precisione di un cifr decimle. Per qunto rigurd l derivt bckwrd, l posto di usre il rpporto (1.) si consider l quntità f(x 0 h) f(x 0 ). (1.6) h 5

8 Metodi Computzionli dell Fisic 1 Anlogmente qunto ftto prim per l derivt forwrd, si h che f (x) risult stimt d f (x 0 ) = f(x 0 h) f(x 0 ) + O(h) (1.7) h Come si può notre, nche l derivt bckwrd converge linermente ll derivt ver con l stess velocità dell forwrd. 1. Derivt centrle Un mggiore velocità di convergenz è grntit dl metodo dell derivt centrle. Si consideri l differenz f(x 0 + h) f(x 0 h). Utilizzndo gli sviluppi in serie di Tylor f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) +... (1.8) f(x 0 h) = f(x 0 ) hf (x 0 ) + h f (x 0 ) h3 3! f (x 0 ) +... (1.9) è immedito vedere che d cui si ottiene f(x 0 + h) f(x 0 h) = hf (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 5 ) (1.10) f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 h) h + O(h ). (1.11) Mentre nei metodi dell derivt forwrd e bckwrd per stimre l derivt nel punto x 0 er necessrio conoscere rispettivmente il vlore dell funzione nel punto x 0 + h e x 0 h, desso l funzione non viene stimt solo destr (x 0 + h) o sinistr (x 0 h) m d entrmbi i lti. Questo comport dover fornire ll lgoritmo un mggiore quntità di informzioni, m si h un più lt precisione in qunto il risultto converge come h. Riducendo h di un ordine di grndezz si h un gudgno in precisione di due cifre decimli. 1.3 Derivt 5 punti Un lgoritmo che grntisce un velocità di convergenz ncor mggiore è quello dell derivt 5 punti. Per ottenerlo bisogn considerre due ulteriori sviluppi in serie dell funzione f: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + 4h! f (x 0 ) + 8h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) (1.1) f(x 0 h) = f(x 0 ) hf (x 0 ) + 4h! f (x 0 ) 8h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) (1.13) Fcendo l differenz tr questi, tutti i termini contenenti le derivte di ordine pri si eliminno e rimne: f(x 0 + h) f(x 0 h) = 4hf (x 0 ) + 16h3 f (x 0 ) + O(h 5 ) (1.14) 3! 6

9 Metodi Computzionli dell Fisic 1 Grzie ll equzione (1.10), possimo scrivere: 16h 3 f (x 0 ) = 8 [f(x 0 + h) f(x 0 h)] 16hf (x 0 ) + O(h 5 ) (1.15) 3! Sostituendo nell equzione precedente si ottiene: f(x 0 + h) f(x 0 h) 8[f(x 0 + h) f(x 0 h)] = 1hf (x 0 ) + O(h 5 ) (1.16) d cui si ricv: f (x 0 ) = 1 1h [f(x 0 h) 8f(x 0 h) + 8f(x 0 + h) f(x 0 + h)] + O(h 4 ) (1.17) L derivt 5 punti, chimt così in qunto, oltre l punto x 0, vengono utilizzti ltri quttro punti (x 0 + h, x 0 + h, x 0 h e x 0 h), converge l vlore vero dell derivt con velocità h 4 : riducendo h di un ordine di grndezz si h un gudgno in precisione di quttro cifre decimli. Nonostnte questo, l lgoritmo non sempre rppresent l scelt migliore. Per vlori di h molto piccoli inftti i vlori che l f ssume nei punti utilizzti sono molto vicini tr loro. Dto che con questo metodo bisogn clcolre 3 differenze, è possibile che si perd precisione (nche second del tipo di vribili utilizzte nell lgoritmo). 1.4 Derivt second Dopo ver trttto il cso dell derivt prim, è logico pensre d lgoritmi per le derivte successive. A lezione ci si è fermti l cso dell derivt second e l trttzione si bs essenzilmente su qunto visto per l derivt prim. Prtimo dl rpporto che definisce numericmente l derivt second: f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 ) h che è l derivt second forwrd, mentre l seguente equzione f (x 0 ) = f (x 0 h) f (x 0 ) h (1.18) (1.19) è l derivt second bckwrd. A livello teorico, però, può risultre utile esplicitre il modo di ottenere l derivt second forwrd (e bckwrd) per mettere in luce l convergenz dell derivt, oltre che l su espressione in termini dell funzione. Richimimo brevemente gli sviluppi in serie già visti: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + 4h! f (x 0 ) + 8h3 3! f (x 0 ) +... (1.0) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) +... (1.1) f(x 0 h) = f(x 0 ) hf (x 0 ) + h f (x 0 ) h3 3! f (x 0 ) +... (1.) f(x 0 h) = f(x 0 ) hf (x 0 ) + 4h! f (x 0 ) 8h3 3! f (x 0 ) (1.3) A questo punto possimo sommre opportunmente per poter isolre l derivt second forwrd come segue: f(x 0 + h) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + h f (x 0 ) + O(h 3 ) (1.4) 7

10 Metodi Computzionli dell Fisic 1 dll qule si ottiene: f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 + h) + f(x 0 ) h + O(h). (1.5) Anlogmente si può procedere per l derivt bckwrd usndo f(x 0 h) e f(x 0 h) e rrivndo : f (x 0 ) = f(x 0 h) f(x 0 h) + f(x 0 ) h + O(h). (1.6) Come si vede esse sono derivte seconde tre punti (x 0 + h, x 0 + h e x 0 per l forwrd e x 0 h, x 0 h e x 0 per l bckwrd) e convergono linermente in h: riducendo h di un ordine di grndezz si h un gudgno in precisione di un cifr decimle. Per ottenere un convergenz migliore, è possibile costruire l derivt second centrle come segue: f(x 0 + h) + f(x 0 h) = f(x 0 ) + h f (x 0 ) + O(h 4 ) (1.7) d cui: f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) + f(x 0 h) h + O(h ) (1.8) che è definit essenzilmente considerndo l intervllo simmetrico di semi-lrghezz h centrto in x 0. In questo cso, il risultto pprossimto converge qudrticmente l vlore vero, il che signific che riducendo h di un ordine di grndezz si h un gudgno in precisione di due cifre decimli. Anlogmente ci si può spingere oltre nel costruire l derivt second cinque punti. Di seguito si trlscino i conti pednti e si mostr soltnto l espressione che port ll derivt second cinque punti (il lettore volenteroso può verificre il risultto!): f(x 0 +h)+f(x 0 h) 16(f(x 0 +h)+f(x 0 h)) = 30f(x) 1h f (x)+o(h 6 ). (1.9) Osservzione importnte V detto che, nel codice, per l derivt second ci si bs sugli lgoritmi dell derivt prim: si definiscono gli lgoritmi per l derivt prim; si sceglie un lgoritmo e lo si deriv l fine di ottenere l derivt second. Ciò signific, d esempio, che se si vuole clcolre l derivt second centrle si v derivre l derivt prim centrle, ovvero si scrive: f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 h) + O(h ) (1.30) h dove qui le derivte prime sono d intendersi come derivte prime centrli vlutte or nei punti x 0 + h e x 0 h, vle dire (esminndo solo il primo termine numertore): f (x 0 + h) = f(x 0 + h + h) f(x 0 h + h) h + O(h ) (1.31) che corrisponde d ver usto l (1.11) nel punto x 0 + h. Quest procedur (mlgrdo porti espressioni esplicite diverse d quelle teoriche scritte in quest sezione) permette di definire un sol volt (per l derivt prim) gli lgoritmi d usre e implementrli per l derivt second e l procedur può essere estes nche derivte di ordine superiore. Inoltre si noti che in questo modo si mntiene per l derivt second l stess velocità di convergenz che si vev, con lo stesso lgoritmo, per l derivt prim. 8

11 Cpitolo Metodi di integrzione numeric In nlisi numeric, l integrzione numeric costituisce un vst fmigli di lgoritmi per il clcolo del vlore numerico di un integrle definito. In questo corso verrnno nlizzti due diversi pprocci di integrzione numeric: deterministico: nell intervllo di integrzione costruisco un grigli di punti in modo deterministico; stocstico (metodo Monte Crlo): nell intervllo di integrzione distribuisco dei punti in modo pseudorndom. Gli lgoritmi di tipo deterministico sono più efficienti rispetto quelli di tipo stocstico; essi hnno inoltre un mggiore velocità di convergenz..1 Metodo del rettngolo Il metodo del rettngolo v d pprossimre l integrle di un funzione f(x) con l somm delle ree di N piccoli rettngoli come mostrto in Figur.1. Ciscuno di questi rettngoli h come bse (b ) x = (.1) N e come ltezz f(x) dove x è il punto medio di ciscun rettngolo. Segue pertnto che xi f(x)dx = f(x i 1,i ) x. (.) x i 1 Sviluppo f(x) in serie di Tylor ttorno x i 1,i f(x) = f(x i 1,i ) + f (x i 1,i )(x x i 1,i ) + 1 f (x i 1,i )(x x i 1,i ) + O((x x i 1,i ) 3 ) (.3) A questo punto posso integrre i vri termini tr x i 1 e x i. Tenendo conto del ftto che x i 1,i = x i 1 + x i x i 1 e ponendo x = x i x i 1 = h si ottiene: xi = x i 1 + x i x i 1 f(x i 1,i )dx = f(x i 1,i )h = I N x i 1,i 9

12 Metodi Computzionli dell Fisic Figur.1: Metodo del rettngolo xi f (x i 1,i )(x x i 1,i )dx = f (x i 1,i ) (x x i 1,i) x i x x i 1 i 1 = f [ ( (x i 1,i ) x i x ) i 1 + x ( i x i 1 x ) ] i 1 + x i = f [ (xi ) (x i 1,i ) x ( ) ] i 1 xi 1 x i = 0 xi 1 x i 1 f (x i 1,i )(x x i 1,i ) dx = f (x i 1,i ) = f (x i 1,i ) 6 = f (x i 1,i ) 6 = f (x i 1,i ) 48 = h3 4 f (x i 1,i ) Rggruppndo i vri termini si ottiene quindi: (x x i 1,i ) 3 x i x 3 i 1 [ ( x i x ) i 1 + x 3 ( i x i 1 x ) ] i 1 + x 3 i [ (xi x i 1 ) 3 (x i 1 x i ) 3 ] 8 8 [(x i x i 1 ) 3 + (x i x i 1 ) 3] xi x i 1 f(x)dx = I N x i 1,i + h3 4 f (x i 1,i ) + O(h 5 ) (.4) 10

13 Metodi Computzionli dell Fisic Eseguendo l integrzione su un intervllo finito [,b] sommndo solmente le ree dei rettngoli si ottiene: N N N I,b = Ix N i 1,i = hf(x i 1,i ) = h f(x i 1,i ) (.5) i=1 i=1 i=1 L precisione di questo lgoritmo può essere clcolt ndndo considerre, trlscindo gli ordini superiori, l differenz tr il vlore vero e il vlore pprossimto I,b : I,b = h3 4 N i=1 f (x i 1,i ) = Nh3 4 f (ξ) (.6) dove nell ultimo pssggio si è utilizzto il teorem dell medi integrle e ξ (, b). Poichè risult che h = b (.7) N si ottiene: (b )3 I,b = 4N f (x). (.8) Perciò il risultto pprossimto ottenuto con il metodo del rettngolo converge l vlore vero dell integrle con un velocità pri 1 N (.9) Questo metodo risult quindi tnto più ccurto qunto più fitt è l suddivisione dell intervllo di integrzione.. Metodo del trpezio Un ltr utile regol di integrzione è dt dl metodo del trpezio rppresentto nell Figur.. Con quest regol, l integrle viene vlutto dividendo l re in piccoli trpezi nziché rettngoli. Inizimo clcolre l re di un singolo trpezio: I i 1,i = h f(x i 1) + f(x i ) L somm di N trpezi di ltezz infinitesim h risult pertnto: (.10) N I,b = I i 1,i i=1 = h (f(x 0) + f(x 1 )) + h (f(x 1) + f(x )) h (f(x N 1) + f(x N )) (.11) = h[ 1 f(x 0) + f(x 1 ) f(x N 1 ) + 1 f(x N)] Per stimre l errore (dove per errore si intende l precisione del risultto pprossimto rispetto quello vero) si utilizz lo sviluppo di Tylor di f(x) clcolto in x i 1 e in x i : f(x) = f(x i 1 ) + f (x i 1 )(x x i 1 ) + 1 f (x i 1 )(x x i 1 ) (.1) 11

14 Metodi Computzionli dell Fisic Figur.: Metodo del trpezio D questi due sviluppi ottengo che f(x) = f(x i ) + f (x i )(x x i ) + 1 f (x i )(x x i ) (.13) f(x) = 1 (f(x i 1) + f(x i )) + 1 f (x i 1 )(x x i 1 ) + 1 f (x i )(x x i ) (.14) f (x i 1 )(x x i 1 ) f (x i )(x x i ) Integrndo l f(x) ll interno di un trpezio infinitesimo si h xi f(x)dx = 1 x i 1 (f(x i 1) + f(x i ))(x i x i 1 ) f (x i 1 )(x i x i 1 ) 1 4 f (x i )(x i 1 x i ) f (x i 1 )(x i x i 1 ) f (x i )(x i 1 x i ) 3 = 1 (f(x i 1) + f(x i ))(x i x i 1 ) (x i x i 1 ) [ f (x i 1 ) f (x i ) ] (x i x i 1 ) 3 [ f (x i 1 ) + f (x i ) ]. (.15) Si (x i x i 1 ) = h. xi x i 1 f(x)dx = h (f(x i 1) + f(x i )) + h 4 (f (x i 1 ) f (x i )) + h3 1 (f (x i 1 ) + f (x i )) (.16) 1

15 Metodi Computzionli dell Fisic Estendendo l integrle tutto il dominio di integrzione [,b] si ottiene che b 1 f(x)dx = h( f(x 0) + f(x 1 ) f(x N 1 ) + 1 ) f(x N) + h ( f (x 0 ) 4 ) f (x 1 ) + f (x 1 ) f (x ) + f (x )... + f (x N 1 ) f (x N ) + h3 ( ) f (x 0 ) + f (x 1 ) + f (x ) f (x N 1 ) + f (x N ) 1 1 = h( f(x 0) + f(x 1 ) f(x N 1 ) + 1 ) f(x N) + h ( f (x 0 ) f (x N ) 4 ) + h3 1 ( )... (.17) L differenz tr il vlore estto dell integrle e quello stimto con l equzione (.11) è: I = h ( f (x 0 ) f (x N ) 4 ) + h3 1 ( )... (.18) Perciò, dto che h = (b ) N, l precisione del metodo scl come 1/N. Osservzioni: L derivt prim è clcolt solo nel primo e nell ultimo punto; Aggiungendo l informzione sull derivt prim si può migliorre l stim dell integrle ggiungendo nche il termine in h e considerre come errore il termine h 3 ( )... 1 (.19) In questo modo, vendo un errore di O(h 3 ) nziché O(h ), l velocità di convergenz dell lgoritmo v come 1/N 3 ; Le f(x) vengono peste diversmente sull intervllo: compiono i coefficienti 1 e 1..3 Metodo di Simpson Come si è visto, si l lgoritmo del rettngolo che quello del trpezio, portno d un stim degli integrli che convergono l vlore vero con velocità 1. N Un metodo più rpido è dto dll lgoritmo di Simpson. Per utilizzre questo metodo, l intervllo di integrzione [,b] v suddiviso in un numero pri di sottointervlli di mpiezz h = b N 13

16 Metodi Computzionli dell Fisic Considerndo due sottointervlli dicenti (x i 1, x i ) e (x i, x i+1 ) e sviluppndo l funzione integrnd in serie di Tylor intorno l punto x i, si h: I xi 1,x i+1 = = xi+1 x i 1 xi+1 x i 1 f(x)dx Clcolndo i vri termini si ottiene: xi+1 xi+1 [ f(x i ) + f (x i ) (x x i ) + 1 f (x i ) (x x i ) + 1 3! f (x i ) (x x i ) 3 ( + O (x x i ) 4)] dx (.0) x i 1 f(x i )dx = f(x i ) (x i+1 x i 1 ) = hf(x i ) (.1) f (x i ) (x x i ) dx = f (x i ) (x i+1 x i ) (x i 1 x i ) = f (x i ) h h x i 1 = 0 (.) xi+1 1 x i 1 f (x i ) (x x i ) dx = f (x i ) (x i+1 x i ) 3 (x i 1 x i ) 3 = h3 f (x i ) (.3) xi+1 1 x i 1 3! f (x i ) (x x i ) 3 dx = f (x i ) (x i+1 x i ) 4 (x i 1 x i ) 4 = 0 4 (.4) Perciò risult: I xi 1,x i+1 = hf(x i ) h3 f (x i ) + O(h 5 ) (.5) L derivt second può essere stimt con l equzione (1.8): f (x i ) = f(x i+1) f(x i ) + f(x i 1 ) h + O(h ) Sostituendo nell (.5) si rriv ll espressione: I xi 1,x i+1 = h 3 [f(x i 1) + 4f(x i ) + f(x i+1 )] + O(h 5 ) (.6) L integrle di f(x) nell intervllo [,b] è quindi dto d: b N f(x)dx = I xi 1,x i i=1 = I x0,x + I x,x I xn,x N = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) f(x N )] + O(h 4 ) (.7) dove l ordine h 4 è dovuto l ftto che sto sommndo N/ termini (N 1/h) di ordine h 5. L integrle di Simpson può quindi essere scritto sinteticmente nell form: I Simpson,b = N i=0 14 h 3 ω if(x i ) (.8)

17 Metodi Computzionli dell Fisic dove i pesi ω i vlgono 1 per i punti estremi dell intervllo (x 0 e x N ), 4 per i punti interni di ordine dispri (x 1, x 3,...) e per i punti interni di ordine pri (x, x 4,...). Con questo metodo l differenz tr il vlore estto dell integrle e quello stimto è di ordine h 4 e perciò l precisione dell lgoritmo di Simpson scl come 1/N 4. L lgoritmo di Simpson può essere ottenuto nche prtire dll lgoritmo del trpezio. Supponimo di suddividere l intervllo [,b] in 8 sottointervlli di mpiezz h. Usndo per comodità l notzione f(x i ) = f i, il metodo del trpezio fornisce l stim: ( I T rp 1 8 = h f 0 + f 1 + f + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f ) f 8 (.9) Unendo gli intervlli due due, ovvero suddividendo [,b] in 4 sottointervlli di mpiezz h, si ottiene invece: ( I T rp 1 4 = h f 0 + f + f 4 + f ) f 8. (.30) A questo punto considero l combinzione linere: 4 rp IT 8 1 rp IT 4 =... = h (f 0 + 4f 1 + f + 4f 3 + f 4 + 4f 5 + f 6 + 4f 7 + f 8 ). Come si vede quest è esttmente l formul dell lgoritmo di Simpson per N = 8. Perciò: I Simpson N = 4 rp IT N 1 rp IT 3 3 N/ (.31) Osservzione: ttrverso i codici Fortrn è stto possibile osservre che il metodo di Simpson integr esttmente funzioni che sino polinomi di terzo grdo..4 Vribile di controllo (Control Vrites) Il metodo dell vribile di controllo è un delle tnte tecniche di riduzione dell vrinz e fornisce un vlido iuto nell risoluzione di integrli che non hnno un semplice primitiv nlitic (o che non l hnno fftto). Nel nostro cso, dto un integrle è possibile considerre l funzione integrnd come prodotto di due funzioni f(x) e g(x) ed rrivre d un risultto che è l somm di un vlore nlitico principle e di un correzione tle vlore. Supponimo, d esempio, che si debb risolvere numericmente il seguente integrle: con f(x) = b e x (x x 0 ) dx (.3) + c 1 (x x 0 ) + c e g(x) = e x (.33) 15

18 Metodi Computzionli dell Fisic L funzione f(x) (ssimilbile d un distribuzione lorentzin o di Cuchy) vri molto in x 0 mentre g(x) no. Allor si h che: b f(x)g(x)dx = = = [ b b b = g(x 0 ) f(x)g(x) f(x)g(x 0 ) + f(x)g(x 0 ) f(x)g(x 0 )dx + f(x)g(x 0 )dx + b f(x)dx + [ b b b ] dx f(x)g(x) f(x)g(x 0 ) [ ] f(x) g(x) g(x 0 ) dx [ f(x) ] g(x) g(x 0 ) dx ] dx (.34) dove il primo termine del risultto (prodotto fr un vlore costnte g(x 0 ) e l integrle di f(x)) è clcolto nliticmente mentre il secondo è un correzione. Si noti che questo metodo è molto efficce qundo un delle due funzioni è integrbile nliticmente (in questo cso l f(x)), in modo che si riesc d vere un vlore numerico estto cui ggiungere solo un piccolo contributo. È possibile vlutre qunto si piccolo quest ultimo clcolndo l integrle b [ ] f(x) g(x) g(x 0 ) dx usndo i metodi già presentti. Se si esegue il clcolo numerico, considerndo proprio le funzioni f(x) e g(x) scritte prim, si ottiene un vlore che differisce dl primo termine (clcolto nliticmente) di circ 7 ordini di grndezz 1. Questo permette di poter usre un precisione più piccol rispetto qunto si è soliti fre per ottenere l convergenz spert, ed evit di fr ffticre troppo il clcoltore, riducendo così il tempo di clcolo e portndo lo stesso l risultto in modo soddisfcente. Le uniche ccortezze d considerre sono che l funzione integrnd deve vrire di poco, e, un volt scompost nel prodotto di due funzioni, un delle due funzioni deve essere integrbile nliticmente. 0.5 Tecnic di cmpionmento d importnz Il cmpionmento d importnz è un metodo utile per ottimizzre i tempi di clcolo qundo si deve integrre un funzione che present un grnde vrinz in lcune regioni e vrinz minore in ltre. Supponimo di dover integrre un funzione con crtteristiche simili quelle di Figur.3, che vri molto nell intervllo [,b] e vri meno nell intervllo [b,c]. Al fine di ottenere un stess precisione in entrmbe le regioni, occorre generre un mggior numero di punti nell regione [,b] rispetto ll regione [b,c]. A cus dell elevt vrinz dell regione [,b], l fine di ottenere un buon precisione sul vlore dell integrle è necessrio un numero elevto di punti che risulterebbe tuttvi eccessivo per l intervllo [b,c]. Per questo motivo può essere più rpido generre spziture non uniformi (vedi 1 In reltà dipende dl vlore dei prmetri scelti. Nel nostro cso si è usto: c = 10 6 e x 0 = 0.5. Con ltri vlori è intuibile che si trovino ltri risultti, m rest il ftto che il secondo contributo è qusi trscurbile rispetto l primo. 16

19 Metodi Computzionli dell Fisic Figur.3: Funzione con diversi grdi di vrinz e suddivisione non uniforme dell intervllo di integrzione. Figur.3). Nel cso prticolre di un funzione pitt, indipendentemente dl numero di sottointervlli, l lgoritmo fornisce un vlore estto (errore pri zero). Per poter distribuire in modo deguto i punti ll interno dell intervllo di integrzione, è possibile utilizzre il metodo di sostituzione. Considerimo d esempio di voler clcolre l integrle 5 1 I = 1 x dx. Effettundo l sostituzione: dx x = dy ovvero y = ln x + c l funzione d integrre risult or l funzione costnte pri 1: I = ln 5 0 Pssndo dll vribile x ll vribile y possimo suddividere in modo equispzito il nuovo intervllo di integrzione. Quest scelt, come si può osservre dll Figur.4, comport un suddivisione non equispzit nell vribile x. Come si vede, i punti sono più concentrti vicino ll origine dove l funzione vri molto con x e più dirdti per x più grndi. Il ftto di ndre pesre mggiormente un regione dell intervllo di integrzione piuttosto che un ltr è il motivo per cui il metodo è detto cmpionmento d importnz. Questo metodo risult più semplice e prticolrmente vntggioso nel cso in cui l funzione d integrre si poss fttorizzre nel prodotto f(x)g(x) dove f(x) è integrbile nliticmente ed eventulmente molto vribile; g(x) è poco vribile e non necessrimente integrbile nliticmente. dy. 17

20 Metodi Computzionli dell Fisic Figur.4: Ad un suddivisione equispzit nell vribile y corrisponde un suddivisione non equispzit nell vribile x. In questi csi, si v pertnto scrivere un uguglinz del tipo b vendo effettuto l sostituzione f(x)g(x)dx = y Per gli estremi di integrzione possimo individure due csi: y 1 g(x(y))dy (.35) f(x)dx = dy (.36) un estremo è scelto in modo rbitrrio mentre l ltro è fissto dl vlore dell integrle l primo membro; entrmbi gli estremi y 1 e y sono scelti in modo rbitrrio e pertnto occorre moltiplicre l integrle secondo membro per un fttore di normlizzzione in modo d grntire l uguglinz tr gli integrli. Per poter scrivere il secondo membro dell equzione (.35) è necessrio: 1) clcolre il secondo estremo di integrzione o il coefficiente di normlizzzione; ) scrivere x in funzione di y. Si vogli d esempio integrre con b e x (x x 0 ) dx (.37) + c 1 f(x) = (x x 0 ) + c e g(x) = e x (.38) Punto 1: sceglimo in modo rbitrrio y 1 e clcolimo y. Per fre questo bisogn risolvere In questo cso si rriv d vere y y 1 = b b f(x)dx = 1 (x x 0 ) + c dx =... = 1 c Il fttore di normlizzzione è dto d N y y 1 y [ rctn y 1 dy (.39) ( ) ( )] b x0 x0 rctn c c dove N = b f(x)dx. 18 (.40)

21 Metodi Computzionli dell Fisic Punto : scrivimo x in funzione di y. Per fre questo dobbimo risolvere l equzione x f(x)dx = y y 1 dy (.41) e ottenimo y y 1 = 1 [ ( ) ( )] x x0 x0 rctn rctn c c c Ricvndo l x d quest equzione si trov [ ( ) ] x0 x = x 0 + c tn rctn + c (y y 1 ) c (.4) (.43) A questo punto l integrle di prtenz d clcolre risult essere b e x (x x 0 ) + c dx = y y 1 e 1 { [ ( x x0 +c tn rctn 0 ) ]} +c(y y1 ) c dy (.44) Nel cso di funzione non fttorizzbile bisogn trovre un funzione f(x) integrbile nliticmente che pprossimi l funzione g(x). In questo modo è possibile scrivere b g(x)dx = b g(x) f(x)dx (.45) f(x) L richiest che f(x) pprossimi l g(x) serve per grntire che il rpporto g(x) f(x) si poco vribile ( 1). Se l funzione d integrre present più picchi (come in Figur.5), si può procedere in due modi: Figur.5: Funzione con più picchi. è possibile spezzre l integrle in [,b] come somm di integrli su sottointervlli [, n 1 ], [n 1, n ], [n, b] che contengono ciscuno un solo picco. Questo metodo non è prticolrmente consiglito in qunto comport l introduzione di prmenti esterni (in questo cso n 1 e n ) l cui vrire si possono ottenere risultti diversi. 19

22 Metodi Computzionli dell Fisic è possibile risolvere il seguente integrle b g(x)dx = b f 1 (x) + f (x) + f 3 (x) g(x)dx (.46) f 1 (x) + f (x) + f 3 (x) dove f 1 (x), f (x) e f 3 (x) sono delle funzioni definite tr [,b] che pprossimno rispettivmente i picchi 1, e 3. In questo modo l integrle viene sempre scritto come somm di tre integrli m tutti ll interno dello stesso intervllo senz l introduzione di nuovi prmetri. Osservzione: rispetto l control vrites, l tecnic di cmpionmento d importnz permette di risolvere l integrle in un solo colpo..5.1 Integrli impropri Un cso prticolre di ppliczione dell tecnic di cmpionmento d importnz rigurd l risoluzione degli integrli impropri, cioè quelli in cui uno degli estremi di integrzione tende ll infinito (oppure d un numero rele finito): b f(x)dx = lim b f(x)dx. (.47) Per poterlo risolvere si procede con un degut sostituzione tle d ricondursi d un integrle i cui estremi di integrzione sino finiti. Si consideri per esempio il seguente integrle: e procedimo con l sostituzione: 1 1 dx (.48) x x 1 y ovvero: dx = dy (.49) x che si riflette sugli estremi di integrzione come segue: d cui segue che: x 1 = 1 y 1 = 1 e x = y = x dx = y dy = y dy. (.50) In questo cso, l tecnic del cmpionmento d importnz ottenut trmite sostituzione h permesso di trsformre un integrle improprio (non risolvibile numericmente) in uno proprio (che invece può essere risolto). 0

23 Metodi Computzionli dell Fisic.6 Vlore principle Un ltr tipologi di integrli d considerre per il clcolo numerico è l integrle in prte principle, noto nche come vlore principle di Cuchy (Principl Vlue = PV). Può succedere di dover integrre un funzione, non definit ovunque, in un intervllo che comprende punti in cui l funzione non è definit. Il vlore principle consiste nell integrre l funzione in un intervllo simmetrico rispetto ll singolrità, ovvero è un modo per poter oltrepssre l singolrità e risolvere l integrle. Alcuni esempi possono iutre chirire meglio il concetto. Si consideri il seguente integrle: dx (.51) x che non esiste (non è integrbile) secondo Riemnn nell intervllo considerto, poiché l funzione f(x) = 1 x h un sintoto verticle in x = 0. Tuttvi si può procedere lo stesso clcolre l integrle fcendo: P V ( 1 ) ( 1 ε 1 x dx 1 1 = lim ε 0 1 x dx + ε ( ln x ε ) + ln x 1 1 ε = lim ε 0 = lim ε 0 (ln ε ln ε) = 0 ) 1 x dx (.5) A questo punto, immginimo di voler eseguire numericmente l integrle: P V b g(x) dx, dove c [, b]. (.53) x c Si potrebbe pensre di procedere suddividendo l intervllo di integrzione in due sottointervlli come segue: c g(x) b x c dx + g(x) dx (.54) x c m, ptto che l funzione g(x) non si proporzionle (x c), gli integrli ppen scritti non esistono dl momento che l funzione integrnd diverge nell estremo c con velocità 1/x. Perciò è necessrio procedere diversmente. Ricorrendo ll definizione di vlore principle si rriv scrivere: c P V b g(x) c ε g(x) b dx = lim x c ε 0 x c dx + c+ε g(x) dx (.55) x c Tuttvi, volendo risolvere l integrle per vi numeric l clcoltore, non risult possibile svolgere il limite. Perciò si procede secondo i seguenti step: 1) si fiss un cert precisione per il risultto numerico; 1

24 Metodi Computzionli dell Fisic ) si consider un prmetro ε 1 (piccolo picere) e si svolgono i due integrli; 3) si consider un ε < ε 1 e si svolgono nuovmente gli integrli; 4) si consider l differenz tr i risultti ottenuti con ε 1 e con ε ; 5) se è minore dell precisione scelt si ccett il vlore più preciso (clcolto con ε ) ltrimenti si ripete il procedimento con un ε 3 < ε. Mno mno che si scelgono dei vlori di ε più piccoli, il tempo di clcolo richiesto per clcolre i due integrli ument in qunto ci si st vvicinndo ll singolrità: poiché l funzione integrnd divent sempre più vrinte, sono necessrie sempre più chimte dell lgoritmo di integrzione per rggiungere l precisione richiest. Tuttvi, con questo metodo si ottiene un precisione sul risultto finle sempre inferiore quell con cui si clcolno i due integrli d sommre. Questo è dovuto l ftto che, essendo vicini d un singolrità, i vlori dei singoli integrli sono molto grndi e, dto che hnno segno opposto, nel momento in cui si sommno si h un przile compenszione. Si noti che umentndo l precisione occorre scegliere un deguto vlore di ε, dl momento che il numero di chimte diventerà elevto. Infine, è possibile migliorre il metodo precedente usndo quello delle ntithetic vribles che consiste nel prendere un coppi di punti scelti in modo che sino simmetrici rispetto ll sintoto. Se prim si fcev somm di due integrli, or si clcol un solo integrle e perciò l compenszione non è più livello di integrle, m di funzione integrnd. Questo metodo permette di trttre vlori più piccoli (rispetto l cso dell somm di due integrli) con un minor numero di chimte. Per poter pplicre il metodo è necessrio spere bene dove si l singolrità, per potersi mettere cvllo in modo simmetrico..7 Algoritmo di integrzione di Guss-Legendre Come già visto, con i metodi di integrzione del trpezio e di Sympson si riescono d integrre esttmente, con un numero finito di punti, funzioni polinomili fino l primo e l terzo grdo rispettivmente. L lgoritmo di Guss è invece un lgoritmo che permette di integrre esttmente con n punti funzioni polinomili fino l grdo n 1. Considerimo un generic funzione f; voglimo scrivere il suo integrle nell intervllo [-1,1] come: 1 n I = f(x)dx = ω i f(x i ) (.56) 1 dove ω i sono dei pesi fissti utomticmente dll scelt di n. Per trovre i pesi ω i e i punti x i considerimo il cso in cui l funzione f si un polinomio qulsisi di grdo n 1, ovvero: i=1 f(x) = p n 1 (x) Per prim cos utilizzimo il polinomio di Legendre P n (x) di grdo n per scrivere l scomposizione: p n 1 (x) = p n 1 (x) P n (x) + q n 1 (x) (.57)

25 Metodi Computzionli dell Fisic dove p n 1 (x) e q n 1 (x) sono rispettivmente i polinomi quoziente e resto. L integrle d clcolre divent quindi: I = 1 1 [p n 1 (x) P n (x) + q n 1 (x)] dx (.58) Sfruttndo l proprietà dei polinomi di Legendre 1 P i (x) P j (x)dx = j + 1 δ ij con δ i=j = 1, δ i j = 0 (.59) 1 e scomponendo p n 1 (x) in polinomi di Legendre come: si h che: 1 p n 1 (x) P n (x)dx = 1 Perciò risult: 1 n 1 1 k=0 p n 1 (x) = n 1 k=0 α k P k (x)p n (x)dx = I = 1 1 α k P k (x) (.60) n 1 k=0 1 α k P k (x) P n (x)dx = 1 n 1 k=0 q n 1 (x)dx (.6) A questo punto si decompone nche q n 1 (x) in polinomi di Legendre: q n 1 (x) = n 1 k=0 e si sostituisce. Tenendo nche conto che P 0 (x) = 1 si ottiene: β k P k (x) (.63) α k k + 1 δ kn = 0 (.61) I = = = = 1 1 n 1 k=0 n 1 k=0 n 1 k=0 = β 0 n 1 dx k=0 β k P k (x) 1 β k P k (x)dx 1 1 β k P 0 (x) P k (x)dx 1 β k k + 1 δ 0k (.64) L integrle I può quindi essere clcolto esttmente ptto di trovre il coefficiente β 0 dell scomposizione in polinomi di Legendre del polinomio q n 1. Indicndo con x i gli n punti in cui P n (x) si nnull, vle l relzione puntule: Questo equivle l sistem di equzioni lineri dto d: p n 1 (x i ) = q n 1 (x i ) x i (.65) p n 1 (x i ) = n 1 k=0 3 β k P k (x i ) (.66)

26 Metodi Computzionli dell Fisic che può essere scritt in form mtricile come: Invertendo il sistem si trov: p i = n 1 k=0 dove (P 1 ) ik è l inverso dell mtrice P ik. Si ottiene quindi: β k P ki (.67) n β k = (P 1 ) ik p i (.68) i=1 n n n I = β 0 = (P 1 ) i0 p i = (P 1 ) i0 p n 1 (x i ) = ω i f(x i ) (.69) i=1 i=1 i=1 ovvero un relzione dell form dt dll equzione (.56). L lgoritmo fornisce quindi l integrle estto per qulsisi funzione polinomile di grdo n 1 usndo solmente n punti. Nel cso in cui l funzione f non si un polinomio, ciò che si deve fre è cercre un polinomio p n 1 (x) che pprossimi bene l funzione f in tutto l intervllo [-1,1]. Un volt identificto tle polinomio si costruisce l mtrice P ik, l si inverte e si clcolno i pesi ω i come: ω i = (P 1 ) i0 (.70) e si stim l integrle come: 1 n f(x)dx = ω i f(x i ) (.71) 1 i=1 dove x i sono gli zeri del polinomio di Legendre P n (x). Questo metodo tuttvi non permette di stimre in lcun modo l errore che si commette nell vlutzione dell integrle perchè questo dipende essenzilmente d qunto bene p n 1 pprossimi f. Normlmente per trovre il miglior polinomio pprossimnte l funzione d integrre si ricorre l metodo dei minimi qudrti ndndo vrire i coefficienti del polinomio fino minimizzre l distnz tr esso e l funzione f. L lgoritmo di Guss-Legendre è un cso prticolre del più generle lgoritmo di Guss, con il qule si scrive: n W (x) f(x)dx = ω i f(x i ) (.7) b A second dei vlori degli estremi di integrzione e b e del tipo di funzione W, i pesi ω i si clcolno come nel cso dell lgoritmo di Guss-Legendre ndndo però d utilizzre un diverso set completo di polinomi ortogonli. I punti x i sono sempre i punti in cui il polinomio n-esimo di tle set si nnull. I set di polinomi d utilizzre per lcune clssi prticolri di funzioni sono i seguenti: i=1 1 1 f(x)dx polinomi di Legendre x f(x)dx polinomi di Čebyšëv 0 x α e x f(x)dx polinomi di Lguerre e x f(x)dx polinomi di Hermite 1 1 (1 x)α (1 + x) β f(x)dx polinomi di Jcobi 4

27 Metodi Computzionli dell Fisic Nel cso in cui si vogli sfruttre il metodo di Guss per integrre un funzione che non rientr in queste clssi, bisogn costruire cso per cso un set completo di polinomi ortogonli che si dtti l problem in esme. Per fre questo si ricorre l metodo di ortogonlizzzione di Grm-Schmidt. 5

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29 Cpitolo 3 Simulzioni Monte Crlo Di seguito menzioneremo lcune prime significtive ppliczioni del metodo Monte Crlo, fondmentli per comprendere lo sviluppo di questo pproccio risolutivo e l su nturle estensione i problemi di simulzione. 3.1 Generzione di numeri rndom Per l buon riuscit di un clcolo con metodo Monte Crlo è essenzile che i numeri csuli sino generti con distribuzione uniforme nell intervllo desiderto. Ottenere numeri csuli srebbe possibile soltnto connettendo il clcoltore d un pprecchio che misuri un fenomeno stocstico dell ntur, d esempio un conttore Geiger posto in prossimità di un sorgente rdiottiv o un voltmetro che misuri rumore elettrico privo di segnli periodici: tle soluzione non è solmente poco prtic m nche sconsiglit, poiché in diverse occsioni, soprttutto in fse di debugging dei softwre di simulzione, può essere utile rislire quli vlori csuli sono stti elborti dll lgoritmo. I clcoltori elettronici, nell impossibilità di generre numeri csuli, includono dei Pseudo-rndom number genertors (prng), lgoritmi che generno ogni X n+1 -esimo numero in funzione dei precedenti X n. X n+1 = f(x n, X n 1, X n,..., X 0 ) (3.1) Il numero di prtenz X 0 è chimto seed e un prng produrrà sempre l stess sequenz di numeri pseudocsuli se non si cmbi seed d un esecuzione ll successiv. Il primo prng implementto su clcoltori elettronici fu il Genertore Linere Congruenzile (LGC), di immedit comprensione e computzionlmente molto leggero: X n+1 = ( X n + c) mod m (3.) Un opportun scelt dei prmetri, c ed m permette di generre, come visulizzto grficmente in Figur 3.1, numeri pseudocsuli sufficientemente scorrelti d essere utili per l mggior prte delle ppliczioni più semplici, in prticolre è necessrio scegliere un vlore di m molto grnde, poiché le sequenze generte d LGC sono periodiche con periodo circ ugule d m. 7

30 Metodi Computzionli dell Fisic 3 3. L go di Buffon Figur 3.1 Il problem dell go di Buffon fu posto nel 1777 d Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, come esercizio di clcolo probbilistico: si chiede di clcolre l probbilità che un go lscito cdere su un tppeto con motivo strisce prllele h di intersecre l line di seprzione tr due strisce. Utilizzndo l geometri integrle emerge un dipendenz del risultto d π, rendendo questo esperimento un vlid tecnic Monte Crlo per un suo clcolo pprossimto. Chimimo l l lunghezz dell go, D l distnz tr due linee di seprzione e limitimoci considerre il cso, più interessnte, in cui l D: l go rppresentto in Figur 3. toccherebbe l line di seprzione superiore se fosse verifict Figur 3. l condizione x l sinθ, dove x rppresent l distnz del centro dell go dll line e θ l ngolo cuto formto dll go con l prllel ll line. L densità di probbilità dell distnz x compres tr 0 e D e quell dell ngolo θ compreso tr 0 e π sono rispettivmente: D dx, dθ (3.3) π ed essendo x e θ due vribili letorie indipendenti, l densità di probbilità congiunt si fttorizz come prodotto delle due densità di probbilità: p(x, θ)dxdθ = 4 dxdθ (3.4) Dπ L soluzione l problem di Buffon si ottiene integrndo l densità di probbilità congiunt: p = π 0 lsinθ 0 4 l dxdθ = πd πd (3.5) Ribltndo il risultto si giunge d un definizione di π dipendente dll probbilità p non not priori m che può essere ottenut come probbilità frequentist ttrverso 8

31 Metodi Computzionli dell Fisic 3 Figur 3.3 esperimenti reli o simulzioni, vendo cur di generre dei vlori csuli di x e θ distribuiti uniformemente sui due intervlli di integrzione; d un numero mggiore di lnci eseguiti corrisponderà un migliore pprossimzione del risultto: π l P D Poiché l probbilità considert è binomile, il numero medio di intersezioni è: (3.6) L vrinz risult pertnto: σ ( n N ) = 1 N σ (n) = L devizione stndrd è definit come: numero intersezioni = n = N p. (3.7) σ (n) = Np(1 p) (3.8) σ = p = Np(1 p) p(1 p) N = N p(1 p) N È importnte osservre che nel metodo Monte Crlo l errore scl come 1 N. (3.9) (3.10) 3.3 Clcolo di integrli col Metodo Monte Crlo Si consideri un funzione f(x) e si clcoli l integrle: 1 0 f(x)dx (3.11) ttrverso l generzione di numeri csuli. L obiettivo è quello di ottenere un sequenz di numeri csuli {ξ i } distribuiti secondo 9

32 Metodi Computzionli dell Fisic 3 l funzione f; per fr questo possimo prtire d un generic sequenz {x i } distribuit secondo l distribuzione di probbilità p(x). Applicndo l f d ogni punto dell sequenz ottenimo {f(x i )}. Chimndo per semplicità ξ i = f(x i ), quest sequenz è distribuit secondo l distribuzione di probbilità: p(ξ) = 1 0 p(x)δ(f(x) ξ)dx (3.1) dove l δ di Dirc serve d imporre l condizione ξ i = f(x i ). L distribuzione p(ξ) risult normlizzt per ogni distribuzione di probbilità p(x); inftti si h: p(ξ)dξ = 1 1 dξ dx p(x)δ(f(x) ξ) = dx p(x) 0 0 dξ δ(f(x) ξ) = 1 0 p(x)dx = 1 (3.13) Se sceglimo gli x distribuiti uniformemente, ovvero p(x) = 1, si h che l integrle che voglimo clcolre risult il vlor medio dell vribile ξ: ξ = ξ p(ξ) dξ = 1 1 dξ ξδ(f(x) ξ)dx = dx 0 0 dξ ξ δ(f(x) ξ) = 1 0 f(x)dx. (3.14) Dll sttistic, sppimo che uno dei modi per vlutre pprossimtivmente ξ è quello di clcolre l medi di N vlori f(x 1 ), f(x ),..., f(x N ) con x 1, x,..., x N scelti csulmente ed in modo uniforme nell intervllo [0,1]. Quest pprossimzione fornisce lo stimtore ϕ: ϕ = 1 N 1 f(x i ) f(x)dx (3.15) N i=1 Clcolimo or l vrinz dello stimtore: [ ] 1 N σ (ϕ) = V r f(x i ) = 1 [ N ] N N i=1 V r f(x i ) i=1 0 = 1 N V r[f(x i)] = σ (f(x i )) N (3.16) L devizione stndrd risult: σ(ϕ) = σ(f(x i)) N (3.17) Per funzioni d un dimensione, il clcolo Monte Crlo risult sempre meno efficiente degli ltri metodi di pprossimzione numeric l cui velocità di convergenz v come N k con k. Nel cso multidimensionle, tuttvi, l errore del Monte Crlo è indipendente dll dimensionlità d dell integrle mentre l precisione delle ltre tecniche numeriche vri come N k/d con k (un procedimento che richiede N punti in un dimensione, ne richiederà, prità di precisione, N in due dimensioni, N 3 in tre dimensioni e così vi). 3.4 Clcolo del π col metodo Monte Crlo Nell geometri pin π viene definito come il rpporto tr l lunghezz dell circonferenz e quell del suo dimetro, o nche come l re di un cerchio di rggio 1. Si consideri pertnto un cerchio inscritto in un qudrto di rggio 1, come rppresentto in Figur 3.4. Se si generno ll interno del qudrto N punti csuli uniformemente distribuiti (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x N, y N ), e si cont il numero N S di successi, vle dire il numero di volte 30

33 Metodi Computzionli dell Fisic 3 Figur 3.4 in cui un punto (x i, y i ) cde ll interno del cerchio, ttrverso il rpporto N S /N si ottiene un vlutzione pprossimt di π: π = N S N A qudrto = 4 N S N (3.18) Per ricvre l errore d esso ssocito, bst osservre che N S segue un distribuzione binomile di medi Np = Nπ e vrinz Np(1-p); ottenimo quindi: ( ) σ NS = 1 N N σ (N S ) = 1 p(1 p) Np(1 p) = N N con p = N S N. L devizione stndrd risult pertnto: σ ( ) NS p(1 p) = = N N (3.19) ( ) N S N 1 N S N. (3.0) N 3.5 Metodo di riduzione dell vrinz Considerimo nuovmente un funzione come quell in Figur 3.5. Come nel cso di integrzione col metodo deterministico, le tecniche di riduzione dell vrinz possono essere pplicte nche l clcolo Monte Crlo ptto di usre un distribuzione degli x i non uniforme. Considerimo i punti x i distribuiti secondo un generic p(x i ). L nlogo dell formul (3.14) divent or: ξ = ξ p(ξ) dξ = dξ ξ p(x) δ(f(x) ξ)dx = dx p(x) dξ ξ δ(f(x) ξ) = = p(x)f(x)dx = 1 f(x i ) N i (3.1) 31

34 Metodi Computzionli dell Fisic 3 Figur 3.5: Funzione con diversi grdi di vrinz e generzione non uniforme di punti nell intervllo di integrzione. L ultimo integrle presente nell formul (3.1) non è però quello desiderto; simo inftti interessti ll integrle: f(x)dx. (3.) Per ottenere quest integrle è necessrio non considerre ξ bensì i ξ p. Inftti: ξ = p 1 f(x i ) N p(x i ) = ϕ (3.3) Di conseguenz l vrinz di ϕ risult essere ridott di un fttore 1 p rispetto ll vrinz riportt nell equzione (3.17) pprtenente l cso di distribuzione di probbilità uniforme: σ (ϕ) = 1 ( ) f(xi ) N σ (3.4) p(x i ) 3.6 Teorem dell cumultiv L distribuzione di un vribile letori viene solitmente espress in termini dell funzione cumultiv o di riprtizione, che dà l probbilità che l vribile letori ssum vlori minori o uguli di un certo vlore ssegnto x. Se X è un vribile letori, continu o discret, l funzione cumultiv o di riprtizione: C(X) = P {X x} (3.5) rppresent l probbilità che X ssum un vlore non superiore d un vlore ssegnto x. Si p(x) un generic distribuzione di probbilità e si C(x) l su funzione cumultiv: C(X) = x 3 p(x ) dx. (3.6)

35 Metodi Computzionli dell Fisic 3 L distribuzione di probbilità dell funzione cumultiv risult essere: + ( x ) p(c) = dx p(x) δ p(x ) dx C Fcendo vrire x si vede che: per x = llor C = 0 per x = + llor C = 1. (3.7) D queste considerzioni si not che l distribuzione dell cumultiv vri tr 0 e 1 ed è normlizzt: + p(x)dx = 1 (3.8) Chimimo: g(x) = x p(x ) dx C (3.9) per le proprietà dell δ di Dirc compost con un funzione si h che: δ(g(x)) = L equzione (3.7) divent pertnto: p(c) = δ(x x) g (x) + con g (x) = p(x) (3.30) δ(x x) dx p(x) = p(x) p(x) p(x) = 1 (3.31) e dimostr che l vribile letori cumultiv C è uniforme 1 in [0,1] qulunque si l distribuzione p(x) di prtenz. Se l integrle (3.6) è noto per vi nlitic, llor i vlori dell vribile cumultiv C sono esprimibili come un funzione not c = F (x). Se quest funzione è invertibile, llor l vribile: X = F 1 (C) (3.3) h densità p(x). Se si dispone di un genertore di vribili uniformi in [0, 1], si possono generre vribili venti un densità di probbilità qulsisi utilizzndo l equzione: X = F 1 (rndom). (3.33) Per generre numeri {x i } distribuiti secondo l densità di probbilità p(x) occorre dunque: clcolre l normlizzzione N; generre numeri 0 ξ i 1 e risolvere rispetto x l integrle: ξ i = C = 1 N xi p(x )dx ξ i N = CN = xi p(x )dx (3.34) Si G(x) l primitiv di p(x ): CN = G(x i ) G() G(x i ) = G() + CN (3.35) = x i = G 1 (G() + CN) (3.36) I numeri x i sono distribuiti secondo l densità di probbilità p(x). 1 L distribuzione continu uniforme è un distribuzione di probbilità continu che è uniforme su un insieme, ovvero che ttribuisce l stess probbilità tutti i punti pprtenenti d un dto intervllo [,b] contenuto nell insieme. Un vribile letori X continu è uniforme qundo h un densità di probbilità costnte. 33

36 Metodi Computzionli dell Fisic Generzione di numeri distribuiti gussinmente Per generre dei punti distribuiti in modo gussino, si possono pplicre tre diversi metodi: metodo Box&Müller; metodo Hit or Miss; somm di numeri rndom Metodo Box&Müller Contrrimente quel che si potrebbe supporre, è più fcile generre un coppi di vribili gussine indipendenti piuttosto che generrne un sol. Si considerino due numeri rndom uniformi x 1, x e si voglino generre due numeri y 1, y distribuiti gussinmente. Questo è possibile pplicndo l legge di trsformzione: y 1 = ln x 1 sin(πx ) (3.37) y = ln x 1 cos(πx ) (3.38) che consente di scrivere le nuove vribili in funzione delle vecchie: y 1 = y 1 (x 1, x ) (3.39) y = y (x 1, x ) (3.40) L distribuzione di probbilità nelle nuove vribili srà il prodotto tr lo Jcobino dell trsformzione e l vecchi distribuzione di probbilità: p(y 1, y ) = (x 1, x ) (y 1, y ) p(x 1, x ) (3.41) Per clcolre lo Jcobino, ricvimo or l espressione nlitic di x 1 e x in funzione di y 1 e y. y1 + y = ln x 1 x 1 = e y 1 +y (3.4) y 1 = tn(πx ) x = 1 ( ) y π rctn y1 (3.43) y È or possibile clcolre lo Jcobino: x 1 = x 1 y 1 y 1 x 1 = x 1 y y x = 1 y y 1 π y1 + y x = 1 y 1 y π y1 + y (3.44) 34

37 Metodi Computzionli dell Fisic 3 Lo Jcobino risult pertnto: (x 1, x ) (y 1, y ) = 1 y π e 1 +y. (3.45) Ricordo che p(x 1, x ) = 1 (perchè è un distribuzione uniforme), l distribuzione di probbilità nelle nuove vribili risult: 1 p(y 1, y ) = 1 e y π 1 e y (3.46) π ed è fttorizzbile in y 1 e y. Le trsformzioni (3.37)-(3.38) non sono lineri e quindi prtendo d x 1, x [0,1] si ottengono y 1, y ] -, + [ e distribuite gussinmente Metodo Hit or Miss Un secondo modo per generre numeri distribuiti in modo gussino (o secondo un qulsisi ltr distribuzione) consiste nell utilizzre il cosiddetto metodo Hit or Miss. Supponimo per esempio di voler generre numeri csuli che seguono l distribuzione gussin stndrd (centrt nell origine e con devizione stndrd unitri): f(x) = 1 π e x (3.47) nell intervllo [-,]. Per fr ciò occorre generre delle coppie di punti (x, y) distribuiti uniformemente negli intervlli [-,] e [0,1/ π] rispettivmente. Se con RND si indic un qulsisi lgoritmo che gener numeri pseudocsuli distribuiti uniformemente nell intervllo [0,1], i numeri x e y si possono ottenere come: x = RND (3.48) y = RND π (3.49) A questo punto si ccett il punto x se è verifict l condizione y < f(x) e lo si scrt in cso contrrio. L sequenz di punti x così ottenut seguirà quindi l distribuzione dt dll funzione f. Poichè in questo cso l funzione f h come vlore mssimo 1/ π, per ottimizzre i tempi di clcolo, risult conveniente generre i numeri y nell intervllo (0, 1/ π): scegliendo un intervllo più mpio srnno meno i punti che soddisfno l condizione (3.49) e si otterrno quindi meno punti x. Scegliendo un intervllo più stretto, invece, gli y sono generti in un intervllo più stretto dell mpiezz dell f e llor esisterà un intervllo di x per cui f(x) > y qulunque si l y generto. Questo signific che l condizione di ccettzione è sempre verifict e perciò nel momento in cui generimo un x in tle intervllo lo ccetteremo sempre indipendentemente dl vlore di y. Questo vuol dire che l probbilità di ccettre gli x in quell intervllo non è dt dll f m è l distribuzione uniforme Somm di numeri rndom Il Teorem del Limite Centrle fferm che un qulsisi vribile letori X n, ottenut come combinzione linere di n vribili letorie indipendenti Y i venti tutte vrinz 35

38 Metodi Computzionli dell Fisic 3 finit e dello stesso ordine di grndezz, converge ll distribuzione gussin qundo n. Poiché l convergenz è molto rpid, il teorem risult vlido con ottim pprossimzione già per n > 10. Grzie questo risultto è possibile quindi ottenere numeri distribuiti gussinmente semplicemente sommndo tr loro dei numeri distribuiti uniformemente in [0,1]. Dto che l somm di n numeri compresi tr 0 e 1 si distribuisce intorno l vlore n/ con vrinz σ = n/1, per ricondursi ll gussin stndrd bisogn utilizzre l lgoritmo: x = y n n 1 (3.50) dove: n y = RND i (3.51) i=1 36

39 Cpitolo 4 Ricerc degli zeri di un funzione In mtemtic si presentno spesso problemi che richiedono di clcolre uno zero di un funzione di vribile rele f(x) o, secondo un espressione equivlente, trovre un rdice rele di un equzione dell form f(x) = 0. L risoluzione del problem dipende strettmente dll form dell funzione f: d esempio, se ess è un polinomio o un funzione rzionle, esistono, per i grdi più bssi, formule che permettono di determinre in modo preciso tutti gli zeri, senz pprossimzioni. In tutti gli ltri csi, come d esempio per un funzione esponenzile o trigonometric (più in generle trscendente) m nche per un polinomio di grdo mggiore di 4, prte lcuni csi elementri risolvibili ttrverso le definizioni, non esistono metodi lgebrici per ricvre con esttezz i vlori degli zeri. Per questo tipo di problem si preferisce prlre di lgoritmi per l soluzione di equzioni, sottintendendo che questi metodi possono pplicrsi si d equzioni lineri che d equzioni non lineri. 4.1 Algoritmo di bisezione In nlisi numeric il metodo di bisezione (o lgoritmo dicotomico) è il metodo numerico più semplice per trovre le rdici di un funzione. L su efficienz è scrs e present lo svntggio di richiedere ipotesi prticolrmente restrittive: gli zeri dell funzione devono essere distinti e finiti e l funzione non deve vere sintoti. Questo metodo h però il notevole pregio di essere stbile in ogni occsione e quindi di grntire sempre l buon riuscit dell operzione. Dt l equzione f(x) = 0 definit e continu in un intervllo [,b], tle che f() f(b) < 0, è llor possibile clcolrne un pprossimzione in [,b] grzie l teorem degli zeri 1. Si procede dividendo l intervllo in due prti eguli e clcolndo il vlore dell funzione nel punto medio di sciss +b = c. Se risult f(c) = 0 llor c è l rdice cerct; ltrimenti, tr i due intervlli [,c] e [c,b] si sceglie quello i cui estremi l funzione ssume vlori di segno opposto. Si ripete per questo intervllo il procedimento di dimezzmento. Procedendo in questo modo si ottiene un successione di intervlli ognuno incluso nel precedente. Questi intervlli hnno come mpiezze: b n n = b n per n = 1,,3,4,... (4.1) 1 Il teorem degli zeri per le funzioni continue, ssicur l esistenz di lmeno un rdice delle funzioni continue reli che ssumno segni opposti i due estremi di un intervllo 37

40 Metodi Computzionli dell Fisic 4 Figur 4.1: Esempio di ppliczione del metodo di bisezione per individure lo zero dell funzione nell intervllo [,b]. I vlori i sono vlori pprossimti per difetto dell rdice, i vlori di b i sono invece i vlori dell rdice pprossimti per eccesso. Gli n formno un successione crescente limitt ed i b n formno un successione decrescente limitt. Le due successioni mmettono lo stesso limite che è l rdice dell equzione esmint. Come pprossimzione dell rdice α si consider il punto medio degli intervlli, cioè: c n = n + b n per n = 1,,3,4,... (4.) L lgoritmo viene rrestto qundo f(c n ) è bbstnz vicino 0 e/o qundo l mpiezz dell intervllo [ n, b n ] è inferiore d un cert tollernz ε. L stim del numero di pssi/iterzioni che si compiono è dt d: 4. Algoritmo dell secnte n = log ε 0 ε. (4.3) In mtemtic, e in prticolre in nlisi numeric, il metodo delle secnti (o metodo delle secnti con estremi vribili) è uno dei metodi più semplici per il clcolo pprossimto di un soluzione di un equzione dell form f(x) = 0. Esso si pplic dopo vere determinto un intervllo [, b] che contiene un sol rdice. Il metodo consiste nel trovre l intersezione x con l sse x dell rett pssnte per due punti inizili = (x 0, f(x 0 )) e b = (x 1, f(x 1 )). A questo punto si consider il nuovo punto c = (x, f(x )) e si ripete il procedimento usndo i punti b e c. Si iter il procedimento usndo i punti c e d, d ed e, etc. È fcile dimostrre che i punti x n si clcolno trmite l formul ricorsiv: x n+1 = x n x n x n 1 f(x n ) f(x n 1 ) f(x n) (4.4) 38

41 Metodi Computzionli dell Fisic 4 Figur 4.: Esempio di ppliczione del metodo dell secnte per individure lo zero dell funzione nell intervllo [,b]. 4.3 Algoritmo delle flse posizioni Questo lgoritmo è l unione dei due metodi precedenti e si bs sull costruzione di punti ttrverso il metodo dell secnte m, differenz di questo, i punti d utilizzre nelle successive iterzioni si scelgono seguendo il criterio del metodo dell bisezione. Inftti, se in un determint iterzione si utilizzno i punti e b per trovre il punto c, ll successiv iterzione occorre tenere il punto c e scegliere tr e b quello che h ordint oppost c. Figur 4.3: Esempio di ppliczione del metodo delle flse posizioni per individure lo zero dell funzione nell intervllo [,b]. 39

42 Metodi Computzionli dell Fisic 4 Figur 4.4: Esempio di ppliczione del metodo di Newton- Rphson. 4.4 Algoritmo di Newton-Rphson Questo metodo per il clcolo dello zero di un funzione risult prticolrmente efficce m richiede, differenz degli ltri metodi, non solo l continuità dell funzione m nche l su derivbilità. Prtendo d un stim x 1 dello zero x 0 dell funzione, il metodo richiede di clcolre l intersezione tr l sse x e l tngente ll curv nel punto (x 1, f(x 1 )): y = f (x 1 )(x x 1 ) + f(x 1 ) equzione dell tngente (4.5) Poichè per definizione x è l intersezione dell tngente con l sse delle x, per x = x risult: 0 = f (x 1 )(x x 1 ) + f(x 1 ) (4.6) d cui si ricv x = x 1 f(x 1) f (x 1 ) (4.7) Tle intersezione x risult essere l nuov stim di x 0. Fisst un determint precisione ε si ssume come zero dell funzione x se f(x ) < ε. In cso contrrio si ripete il procedimento ndndo clcolre il punto x 3. Generlizzndo si ottiene l formul ricorsiv: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) (4.8) Mentre negli lgoritmi visti in precedenz l velocità di convergenz er linere, questo metodo present un velocità di convergenz di tipo qudrtico. Questo si può dimostrre sfruttndo l espnsione di Tylor dell f ttorno x 0. Se x i è l stim di x 0 l psso i-esimo possimo scrivere x 0 = x i + δ i dove il δ i può vere segno si positivo che negtivo. Dto che i δ i sono in modulo piccoli, nello sviluppo ci si può rrestre l termine qudrtico ed essendo per definizione x 0 uno zero dell funzione si h: 0 = f(x 0 ) = f(x i + δ i ) = f(x i ) + f (x i )δ i + 1 f (x i )δ i (4.9) 40

43 Metodi Computzionli dell Fisic 4 Figur 4.5: Esempio in cui il metodo di Newton-Rphson v utilizzto insieme ll bisezione per non llontnrsi troppo dll soluzione. In questo cso, dto che il punto x 3 è molto vicino d un punto di mssimo dell funzione, il punto x 4 v clcolto trmite l bisezione nell intervllo [x, x 3 ]. Dividendo per f (x i ) si ottiene: Sfruttndo l formul (4.8) si ricv: Sostituendo δ i = x 0 x i si ottiene: ovvero: f(x i) f (x i ) δ i = 1 f (x i ) f (x i ) δ i (4.10) x i x i+1 + δ i = 1 f (x i ) f (x i ) δ i (4.11) x 0 x i+1 = 1 f (x i ) f (x i ) δ i (4.1) δ i+1 = 1 f (x i ) f (x i ) δ i (4.13) D quest espressione si vede che l precisione dell stim dello zero scl qudrticmente d ogni iterzione. Può cpitre, se ci si vvicin d un mssimo o d un minimo dell f, che uno dei punti x i identifichi un punto dell funzione (x i, f(x i )) in cui l tngente risult qusi prllel ll sse x. Come si vede in Figur 4.5, in questi csi il punto successivo x i+1 srebbe molto lontno dllo zero dell funzione. Qundo cpit questo, risult pertnto conveniente utilizzre un metodo ibrido in cui quest ultim iterzione viene sostituit d un bisezione. In questo modo ci si llontn dl punto di minimo o mssimo e si può riutilizzre il metodo di Newton-Rphson senz llontnrsi troppo dl punto x 0. 41

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45 Cpitolo 5 Equzioni differenzili 5.1 Equzione di oscilltore rmonico Considerimo l equzione di oscilltore rmonico: d ϕ(t) dt + ω ϕ(t) = 0. (5.1) Per poterl risolvere numericmente, bisogn discretizzre l derivt e fornire le condizioni inizili: { ϕ(t0 ) = ϕ 0 ϕ (t 0 ) = ϕ (5.) 0 Il metodo di Eulero, nell trttzione di evoluzione forwrd, consiste nel fre evolvere le condizioni inizili dl tempo t 0 l generico tempo t > t 0. Per fre ciò si suddivide inizilmente l intervllo (t 0, t) in n sottointervlli di mpiezz h i = t i+1 t i = h. Il modo più semplice per discretizzre l derivt second, consiste nell utilizzre l formul dt dll Equzione (1.5). Sostituendo nell equzione di oscilltore rmonico si ottiene: 1 h [ϕ(t i+1) ϕ(t i ) + ϕ(t i 1 )] + ω ϕ(t i ) = 0 (5.3) Quest può essere utilizzt come formul ricorsiv per clcolre il vlore dell soluzione nel nuovo punto ϕ(t i+1 ) ptto di conoscere l soluzione nei due punti precedenti (ϕ(t i ) e ϕ(t i 1 )). Per poter utilizzre questo metodo è quindi necessrio vere informzioni sull ϕ in due punti distinti. L prim discende direttmente dll condizione inizile ϕ(t 0 ) = ϕ 0, mentre l second, ovvero ϕ(t 1 ), può essere ricvt dll condizione inizile sull derivt prim. Considerimo per esempio il problem di Cuchy dto dlle seguenti condizioni inizili: { ϕ(t0 ) = 1 ϕ (t 0 ) = 0 (5.4) Scrivendo l ϕ con l formul (1.5) di derivt prim forwrd si ottiene: 0 = ϕ (t 0 ) = ϕ(t 1) ϕ(t 0 ) h ϕ(t 1 ) = ϕ(t 0 ) = 1 (5.5) 43

46 Metodi Computzionli dell Fisic 5 A questo punto, conoscendo ϕ(t 0 ) e ϕ(t 1 ) è possibile ricvre ϕ(t ) dll formul ricorsiv (5.3). Usndo ϕ(t 1 ) e ϕ(t ) è dunque possibile trovre ϕ(t 3 ); iterndo l lgoritmo si ricostruisce esplicitmente per punti l soluzione dell equzione differenzile nell intervllo [t 0,t]. Poiché l derivt ust nell lgoritmo non è estt m ricvt numericmente, si h un errore legto quest pprossimzione che cresce d ogni pssggio cus dell propgzione degli errori. Questo metodo è pplicbile nche equzioni differenzili di ordine superiore. Per frlo bst ndre discretizzre tutte le derivte in modo d ottenere un formul ricorsiv che, prtendo dlle condizioni inizili, permett di ricostruire puntulmente l soluzione. 5. Metodo di Eulero Il metodo di Eulero è uno dei metodi più semplici per risolvere numericmente equzioni differenzili del primo ordine. Tuttvi risult estremmente utile nche nel cso di equzioni differenzili di ordine n > 1 dl momento che è sempre possibile riscrivere tli equzioni come sistem di n equzioni del primo ordine. Considerimo quindi un equzione differenzile l primo ordine dell form: { dy(x) dx = f(x, y) 1 y(x 0 ) = y 0 (5.6) Utilizzndo l form forwrd dell derivt prim, si ottiene: y(x i + h) y(x i ) = f(x i, y) (5.7) h d cui si ottiene l formul ricorsiv: y(x i + h) = y(x i ) + h f(x i, y) + O(h ) (5.8) che permette, prtendo dll condizione inizile, di ricostruire tutt l y(x). Per cercre di ridurre l umento dell errore che si h d ogni pssggio, si potrebbe pensre di usre un metodo più preciso per il clcolo dell derivt, come, d esempio, quello dell derivt centrle. Tuttvi l formul ricorsiv risultnte non potrebbe essere risolt in qunto richiede l conoscenz dell y in due punti, mentre il problem fornisce un sol condizione inizile. Ciononostnte l precisione può essere umentt medinte il metodo di Eulero modificto. Considerimo l espnsione di Tylor l second ordine: y n+1 = y n + h y n + h y n + O(h 3 ) (5.9) dove y n = f(x n, y n ) è fornit dll equzione differenzile mentre y n si ottiene come: y n = f x + f dy (5.10) y dx Perciò, sostituendo nell Equzione (5.9): y n+1 = y n + h f(x n, y n ) + h [ f x + f f ] + O(h 3 ) (5.11) y n Nonostnte questo metodo sfrutti sempre l derivt forwrd, risult più preciso del metodo di Eulero semplice: d precisione h si rriv precisione h 3. 1 Per meglio comprendere quest notzione, considerimo un esempio prtico. Considerndo l funzione y(x) = e x, si ottiene dy(x) dx = x e x = x y(x) = f(x, y). 44

47 Metodi Computzionli dell Fisic Metodo multistep di Lgrnge Considerimo nuovmente l equzione differenzile: { dy(x) dx = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 (5.1) Il metodo di risoluzione di Lgrnge consiste nell ndre suddividere l intervllo in cui si cerc l soluzione in tnti sottointervlli di mpiezz infinitesim h = x n+1 x n e di riscrivere in ciscuno di essi l equzione differenzile nell form integrle: yn+1 y n dy = xn+1 x n f(x, y) dx (5.13) d cui si ricv: xn+1 y n+1 = y n + f(x, y) dx (5.14) x n Sper risolvere nliticmente l integrle equivle sper risolvere nliticmente l equzione differenzile. Suppongo quindi di non sper trovre l soluzione nlitic. L prim cos che può venire in mente, dto che l intervllo di integrzione h mpiezz molto piccol, è di ndre d pprossimre l funzione f con un rett: f(x, y) = x x n x n+1 x n f n+1 + x x n+1 x n x n+1 f n (5.15) Questo equivle d pprossimre l f con un spezzt ll interno dell intervllo in cui si cerc l soluzione. Sostituendo nell Equzione (5.14) e risolvendo l integrle si ottiene: y n+1 = y n + f n+1 h h + f n h h (5.16) Tuttvi quest formul non può essere utilizzt ricorsivmente in qunto, per clcolre y n+1, bisogn usre f n+1 che però può essere clcolt solo se si conosce già y n+1. Il problem non può quindi essere risolto utilizzndo l pprossimzione (5.15). Se invece si pprossim l f come: si ottiene : f(x, y) = x x n 1 h y n+1 = y n + h ( 3 f n 1 f n 1 f n+1 x x n f n (5.17) h ) (5.18) che invece può essere utilizzt ricorsivmente per costruire psso psso l soluzione. Questo metodo è detto multistep in qunto ogni nuovo punto viene clcolto sfruttndo i due punti precedenti. Il problem di Cuchy fornisce però un sol condizione inizile e quindi questo lgoritmo si può utilizzre solmente dopo ver clcolto con un ltro metodo (per esempio quello di Eulero) il vlore y 1. Un ltro lgoritmo di tipo multistep consiste nell utilizzre l definizione di derivt centrle per scrivere: y n+1 y n 1 h = f(x n, y n ) y n+1 = y n 1 + h f(x n, y n ) (5.19) Anche questo metodo però può essere utilizzto dopo ver clcolto in ltri modi y 1. In lettertur, questo metodo è chimto Adms-Bshforth two-step method 45

48 Metodi Computzionli dell Fisic Criterio di stbilità di Von-Neumnn Per risolvere numericmente un equzione differenzile, si usno lgoritmi che l pprossimno: l soluzione si ottiene quindi risolvendo l equzione pprossimt. Poiché l equzione pprossimnte è ffett d errore, si possono vere due tipi di soluzione: Soluzione stbile se iterndo l lgoritmo non si h mplificzione degli errori e l soluzione che si trov srà llor un buon stim dell soluzione ver; Soluzione instbile se si h un mplificzione incontrollt degli errori d ogni step successivo e l soluzione fornit dll lgoritmo tenderà scostrsi sempre di più d quell rele. Il criterio di Von-Neumnn è un buon metodo di nlisi per lo studio dell stbilità dell soluzione. Considerimo l equzione differenzile: { dy(x) dx = f(x, y) = y y(x 0 ) = 1 (5.0) e pplichimo il metodo utilizzndo prim l pprossimzione dt dll Equzione (5.18) e poi quell dt dll Equzione (5.19). Algoritmo di Lgrnge Approssimimo l equzione d risolvere con: y n+1 = y n + h ( 3 f n 1 f n 1 ) (5.1) Sostituendo l soluzione di prov y n = A r n, dove A è un coefficiente di normlizzzione e r è il prmetro d trovre per ottenere l soluzione corrett, si ottiene: A r n+1 = A r n + h ( 3 A rn + 1 ) A rn 1 (5.) Dividendo per A r n 1 si ricv l equzione: ( ) 3 r + h 1 r h = 0 (5.3) che h come soluzioni 3 : r + 1 h r + < 1 (5.4) r h r < 1 (5.5) Di queste due soluzioni, quell corrett viene seleziont dll condizione inizile. Quest, tuttvi, cus dell precisione limitt fornit di computer, non può essere definit esttmente; l lgoritmo fornisce in reltà un combinzione di r + e r e quindi l soluzione corrett è contmint d quell non corrett. L stbilità dell soluzione dipende dl vlore del prmetro r dell soluzione di prov: 3 Si trscur il termine di ordine superiore d h, ossi quello in h. 46

49 Metodi Computzionli dell Fisic 5 ) r < 1. In questo cso si vrnno gli y n positivi per n pri e negtivi per n dispri (o vicevers, second del segno di A). Inoltre, essendo r > 1, gli y n ssumono vlori in modulo sempre più grndi. L soluzione risult pertnto oscillnte e divergente. b) 1 < r < 0. In questo cso si vrnno gli y n positivi per n pri e negtivi per n dispri (o vicevers, second del segno di A). L soluzione risult pertnto oscillnte m, essendo r < 1, non divergente. c) 0 < r < 1. In questo cso gli y n hnno sempre lo stesso segno, e dto che r < 1, l soluzione risult non oscillnte e non divergente. d) r > 1. In questo cso gli y n hnno sempre lo stesso segno m, essendo r > 1, l soluzione risult non oscillnte m divergente. Pertnto l soluzione risult stbile (non divergente), qundo r < 1. Come si vede dlle equzioni (5.4) e (5.5), il metodo di Lgrnge fornisce un soluzione stbile dell Equzione (5.0). Algoritmo dell derivt centrle Approssimimo l equzione d risolvere con: y n+1 = y n 1 + h f(x n, y n ) (5.6) Sostituendo ncor l soluzione di prov y n = A r n, si ottiene, dividendo per A r n 1 : che port lle due soluzioni: r + h r 1 = 0 (5.7) r + 1 h r + < 1 (5.8) r 1 h r > 1 (5.9) Pertnto, essendo l soluzione fornit dll lgoritmo un combinzione di r + e di r ed essendo r > 1, l soluzione dell equzione (5.0) risult instbile in qunto divergente. 5.5 Metodo di Runge-Kutt I metodi di Runge-Kutt sono un fmigli di metodi itertivi discreti utilizzti nell pprossimzione numeric di soluzioni di equzioni differenzili ordinrie e più specifictmente per problemi i vlori inizili. Fnno prte dell fmigli più generle di metodi discreti per le equzioni differenzili ordinrie, ovvero di quell clsse di metodi numerici che fornisce un pprossimzione dell soluzione di un equzione differenzile (o più precismente di un problem di Cuchy) in un insieme discreto di punti. Il metodo di Runge-Kutt più diffuso è quello l IV ordine m, per semplicità, nlizzeremo nel dettglio quello l II ordine. Considerimo l generic equzione: dy = f(y(t), t) (5.30) dt e sviluppimo l su soluzione in serie di Tylor: ( y(t 0 + h) = y 0 + hf 0 + h f t + f f ) + O(h 3 ) (5.31) y t 0,y 0 47

50 Metodi Computzionli dell Fisic 5 y 0 y(t 0 ); f 0 f(y 0, t 0 ). Con questo metodo è possibile evitre il clcolo delle derivte che se sviluppto in modo numerico potrebbe portre d un mplificzione degli errori. Questo si ottiene sostituendo le derivte con un combinzione linere dell funzione f vlutt in punti diversi (m vicini) del punto inizile (t 0, y(t 0 )). Questo si trduce in: y(t 0 + h) = y 0 + h [αf 0 + βf(y 0 + δ h f 0, t 0 + γh)] (5.3) dove α, β, γ, δ sono dei prmetri che vnno scelti in modo d minimizzre l differenz tr (5.31) e (5.3). Poiché si i prmetri introdotti che l incremento h hnno vlori piccoli, è possibile sviluppre il secondo termine dell equzione presente in prentesi qudr: f(y 0 + δ h f 0, t 0 + γh) = f 0 + γ h f f + δ h f t 0 + O(h ) (5.33) t0 y,y 0 t0,y 0 In questo sviluppo possimo rrestrci l primo ordine perché, sostituendolo nell equzione (5.3), ottenimo complessivmente termini fino ll ordine h. Se vessimo considerto nche i termini l secondo ordine, con l sostituzione vremmo ottenuto termini di ordine h 3 che vremmo dovuto scrtre per coerenz con l equzione (5.31). Effettundo l sostituzione e rccogliendo i termini proporzionli i vri ordini di h, ottenimo che: y(t 0 + h) = y 0 + h αf 0 + β f 0 + γ h f f + δ h f t 0 t0 y,y 0 = y 0 + h(α + β)f 0 + h β γ f f + δ f t 0 t0 y,y 0 t0,y 0 t0,y 0 + O(h 3 ) (5.34) Confrontimo quest espressione con l (5.31) e si ottiene che: α + β = 1 βγ = 1 βδ = 1 (5.35) dove si vede che γ = δ e si hnno pertnto due equzioni indipendenti e tre incognite: questo comport l esistenz di infinite soluzioni per il sistem. Tr queste sceglimo quell che v minimizzre il primo termine trscurto, ossi quello di ordine h 3, in modo d rendere più precis possibile l pprossimzione. Andndo clcolre questo termine, risult che viene minimizzto d: α = 1 3 β = (5.36) 3 γ = δ = 3 4 Il metodo Runge-Kutt l II ordine può essere generlizzto qulsisi ordine n ndndo considerre un scrittur dell form: y(t 0 + h) = y 0 + α 1 k 1 + α k α n k n (5.37) 48

51 Metodi Computzionli dell Fisic 5 Figur 5.1: Pendolo semplice dove: k 1 = hf 0 k = hf(y 0 + β 1 k 1, t + β 1 h)... k n = hf ( y 0 + n 1 l=1 β nlk l, t + ) n 1 l=1 β nlh (5.38) Soluzione equzione del pendolo L equzione del moto di un pendolo semplice, in presenz di un termine forznte e di uno smorznte, può essere ricvt esplicitndo i termini dell equzione: m T = f grvitzionle + f forznte + f smorznte (5.39) dove T è l ccelerzione tngenzile. Si ottiene pertnto: ml d θ dt = mg sin θ + f f 0 cos(ω 0 t) k dθ dt (5.40) Ponendo b f 0 f ml, q k ml e g l = 1 si ottiene l equzione: d θ dt + q dθ dt + sin θ = b cos(ω 0t). (5.41) Come nticipto nel prgrfo 5., è possibile riscrivere quest equzione differenzile l secondo ordine come sistem di due equzioni differenzili l primo ordine. Ponendo y 1 = θ(t) e y = dθ dt = θ(t), tle sistem risult essere: { dy1 dt = y dy (5.4) dt = qy sin y 1 + b cos(ω 0 t) Nell pprossimzione di piccole oscillzioni si può porre sin y 1 = y 1. Questo sistem di equzioni è stto risolto con il metodo di Runge-Kutt e nel seguito sono presentti i grfici (sulle scisse θ e sulle ordinte θ) relizzti con diverse condizioni inizili. Uno studio più complicto può essere svolto risolvendo le equzioni differenzili non lineri che descrivono il moto del pendolo di Kpitz 4. L prticolrità e l complessità di questo 4 Per questo studio, Kpitz ricevette il premio Nobel nel

52 Metodi Computzionli dell Fisic 5 () (b) (c) (d) (e) (f) Figur 5.: () θ = 0, θ = 0.00 rd/s, q = 0, b = 0; (b) θ = 0, θ = 1.5 rd/s, q = 0, b = 0; (c) θ = 0, θ = rd/s, q = 0, b = 0; (d) θ = 0, θ =.5 rd/s, q = 0, b = 0; (e) θ = 0, θ = 1 rd/s, q = 0., b = 0; (f) θ = 0, θ = 1 rd/s, q = 0.5 b = 0. Osservzione: per θ = π con π = rel*8, il pendolo non si muove. π risult preciso fino : per vedere il pendolo muoversi, il codice deve fre lmeno iterzioni. pendolo è dt dl ftto che il suo punto di ttcco oscill e l energi del sistem non viene conservt perchè serve energi dll esterno per lzre e bbssre il pendolo. Non ppen il pendolo di Kpitz inizi d oscillre, tli oscillzioni vengono fortemente mplificte. L posizione di equilibrio stbile di un pendono semplice (pendolo in verticle rivolto verso il bsso) non è un posizione di equilibrio per il pendolo di Kpitz. Il pendolo di Kpitz può trovre equilibrio qundo è posizionto verticlmente m rivolto verso l lto. 5.6 Shooting method Tutti i metodi multistep visti richiedono l conoscenz di due punti inizili per poter essere utilizzti. A questo punto si può procedere in due modi: Come visto finor, un possibilità consiste nello sfruttre l condizione inizile come primo punto e d quest, trmite per esempio il metodo di Eulero, ricvre (con buon precisione) il secondo punto. Un metodo diverso, noto come shooting method, può essere utilizzto qundo si hnno disposizione le condizioni l contorno y(x inizile ) e y(x finle ). In quest ultimo metodo, il primo punto è sempre dto dll condizione inizile mentre il secondo viene scelto in modo tle d minimizzre l differenz tr l soluzione numeric dt dll lgoritmo nel punto finle e l second condizione l contorno. 50