1+x 4 4. spesso della funzione integranda è nota solo una restrizione a un insieme discreto.

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1 Cpitolo 7 Integrzione numeric In questo cpitolo si studino lcuni metodi per il clcolo pprossimto di integrli definiti. Alcuni motivi che consiglino l uso di metodi pprossimti in luogo di metodi nlitici ( estti ) sono i seguenti: di molte funzioni integrbili non si conosce un funzione primitiv esprimibile con funzioni elementri (per esempio, f(x) = e cos x, f(x) = x x ); in molti csi, funzioni semplici hnno funzioni primitive tnto complicte che spesso le formule pprossimte sono più fcilmente clcolbili di quelle estte e con mggiore precisione (per esempio, un primitiv di f(x) = + rctn 2x 1 x 2 ] ); x2 è F(x) = 2 1+x 4 4 [ 1 2 log x2 2x+1 x 2 + 2x+1 spesso dell funzione integrnd è not solo un restrizione un insieme discreto. 7.1 Grdo di precisione ed errore Si f(x) sufficientemente regolre sull intervllo [, b] dell sse rele. Si ρ(x) un funzione peso non negtiv in [,b] e tle che esistno finiti i momenti m k = I(x k ρ) = b x k ρ(x)dx, k =, 1,.... (7.1)

2 166 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Si pone il problem di pprossimre I(ρf) = b con un formul di qudrtur dell form ρ(x)f(x)dx n J n (f) = i f(x i ), (7.2) i= dove i numeri i, i =, 1,...,n, detti pesi o coefficienti, sono reli. I punti x i, i =, 1,...,n, con x < x 1 < < x n sono detti nodi e di solito pprtengono ll intervllo [,b]. L errore è perciò formlmente dto d E n (f) = I(ρf) J n (f). Considert l bse 1,x,x 2,...,x m,x m+1, dello spzio vettorile dei polinomi lgebrici di grdo l piú m + 1, si puó dre l seguente definizione. Definizione L formul (7.2) h grdo di precisone (lgebrico) m IN se si verific E n (1) = E n (x) = = E n (x m ) =, E n (x m+1 ). (7.) Un formul del tipo (7.2) è individut un volt che lo sino i nodi e i pesi. Per determinre gli 2n + 2 prmetri si impone che si ovvero E n (1) = E n (x) = = E n (x 2n+1 ) =, (7.4) n = m x + 1 x n x n = m 1 x 2n x 2n n x 2n+1 n = m 2n+1, (7.5) dove i termini noti m k, k =, 1,...,2n + 1, sono dti dll (7.1). Si può dimostrre che l soluzione (,..., n,x,...,x n ) T del sistem non linere (7.5) è univocmente determint (per il cso con ρ(x) = 1, cfr. Esempio 4.8.). L formul (7.2) con coefficienti e nodi soddisfcenti

3 7.2. LE FORMULE DI NEWTON-COTES 167 le (7.4) si dice che h grdo di precisione lmeno 2n + 1; se inoltre risult E n (x 2n+2 ), il grdo di precisione è esttmente 2n + 1. Si noti che se f(x) Π 2n+1 llor dlle (7.4) segue E n (f(x)) =. L errore (7.4) è suscettibile di un rppresentzione generle: sussiste inftti il seguente teorem, enuncito, per semplicità, nel cso di un formul (7.2) con ρ(x) = 1 e = x < x 1 < < x n = b. Teorem (di Peno) Si f(x) C m+1 ([,b]) e J n (f) di grdo di precisione m, llor risult E n (f) = 1 m! essendo G(t) = E n (s m (x t)) e b (x t) m, t < x, s m (x t) =, t x. f (m+1) (t)g(t)dt (7.6) L funzione G(t) dicesi nucleo di Peno. Nel cso in cui G(t) non cmbi segno in [,b], usndo l (7.6) e il teorem dell medi, si ottiene E n (f) = 1 b m! f(m+1) (θ) G(t)dt, θ ],b[, d cui si può ricvre b G(t)dt (che non dipende d f) ponendo, per esempio, f(x) = x m+1 ; ne segue E n (f) = f(m+1) (θ) (m + 1)! E n(x m+1 ), θ ],b[. (7.7) 7.2 Le formule di Newton-Cotes Se in (7.2) i nodi sono prefissti rbitrrimente (due due distinti), i pesi sono determinti dlle prime n + 1 equzioni di (7.5) che formno il sistem linere V α = µ (7.8)

4 168 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA con V = x x 1 x n x n x n 1 x n n, α T = (, 1,..., n ), µ T = (m,m 1,...,m n ). Poiché V T è un mtrice di Vndermonde, nelle ipotesi ttuli è det(v ) e quindi α esiste ed è unico. Il grdo di precisione è lmeno n poiché E n (1) = E n (x) = = E n (x n ) =. Se ρ(x) = 1 e i nodi sono fissti in progressione ritmetic di rgione h = (b )/n, cioè x i = x +ih, i =, 1,...,n, e quindi con x = e x n = b, si hnno le formule di Newton-Cotes; h si dice il psso dell formul. I pesi sono definiti in bse ll formulzione lgebric precedentemente dt e quindi clcolbili risolvendo il sistem (7.8); tuttvi, per un loro rppresentzione esplicit conviene ricorrere d un pproccio interpoltorio. Al rigurdo si esprime f(x) trmite il polinomio di interpolzione di Lgrnge (cfr. Teorem 6.2.2), usndo i nodi x i. Cioè si pone n 1 f(x) = l i (x)f(x i ) + i= (n + 1)! f(n+1) (ξ)π(x), essendo l i (x), i =, 1,...,n, i polinomi fondmentli di Lgrnge di grdo n, ξ ],b[ e π(x) = (x x )(x x 1 ) (x x n ). Ne viene: n 1 I(l i (x))f(x i ) + i= (n + 1)! I ( f (n+1) (ξ)π(x) ). Si ssume quindi J n (f) = n i= i f(x i ) con e si h E n (f) = i = I(l i (x)) (7.9) 1 (n + 1)! I(f(n+1) (ξ)π(x)). (7.1) I pesi delle formule di Newton-Cotes sono stti clcolti per vri vlori di n trmite le (7.9); fino n = 7 (otto punti) i pesi sono positivi, mentre per n > 7 compiono pesi negtivi e le formule diventno numericmente instbili, cioè l loro cpcità di mplificre gli errori di rrotondmento ument.

5 7.2. LE FORMULE DI NEWTON-COTES 169 Un crtteristic importnte delle formule di Newton-Cotes risiede nel ftto che per esse il nucleo di Peno G(t) non cmbi segno in [,b], per cui, per l errore, può utilizzrsi l (7.7): m si determin in bse ll definizione, mentre il termine E n (x m+1 ) si clcol fcilmente un volt noti i pesi. In tl modo, indicndo con p = n + 1 il numero dei nodi, l errore ssume l seguente form crtteristic c p h p+1 f (p) (θ), p pri, E n (f) = c p h p+2 f (p+1) (θ), p dispri, con c p costnte dipendente d p. Si osservi come l (7.1), invece, non poss mettersi in un form più semplice, trnne che nel cso n = 1, in cui π(x) h segno costnte e quindi, pplicndo il teorem dell medi, l funzione f (2) (ξ) può essere portt fuori dl segno di integrle. Notimo infine che le formule di Newton-Cotes qui definite vengono dette chiuse, per distinguerle d formule nloghe dette perte nelle quli si h < x < x 1 < < x n < b. Di seguito si riportno le prime sette formule chiuse con i reltivi errori. Formul trpezoidle: Formul di Simpson: b 2 b 6 Formul dei /8 o pulcherrim : b 8 Formul di Milne-Boole: [f(x ) + f(x 1 )] 1 12 h f (2) (θ). [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] 1 9 h5 f (4) (θ). [f(x ) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x )] 8 h5 f (4) (θ). b 9 [7f(x ) + 2f(x 1 ) + 12f(x 2 ) + 2f(x ) + 7f(x 4 )] h7 f (6) (θ).

6 17 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Formul dei sei punti: b 288 [19f(x ) + 75f(x 1 ) + 5f(x 2 ) + 5f(x ) + 75f(x 4 ) +19f(x 5 )] h7 f (6) (θ). Formul di Weddle: b 84 [41f(x ) + 216f(x 1 ) + 27f(x 2 ) + 272f(x ) + 27f(x 4 ) + 216f(x 5 ) + 41f(x 6 )] 9 14 h9 f (8) (θ). Formul degli otto punti: b 1728 [751f(x ) + 577f(x 1 ) + 12f(x 2 ) f(x ) f(x 4 ) + 12f(x 5 ) + 577f(x 6 ) + 751f(x 7 )] h9 f (8) (θ). Se, per un formul n + 1 punti, il psso di integrzione h = (b )/n risult troppo mpio, si divide [,b] in m prti uguli, medinte i punti x = < x 1 < < x m = b, e si utilizz l proprietà m i=1 xi x i 1 f(x)dx. Si ottengono quindi le cosiddette formule di Newton-Cotes generlizzte pplicndo un stess formul n + 1 punti per ognuno degli m integrli secondo membro. Si hnno così nm + 1 nodi con un psso h = (b )/nm. Le formule più uste sono l formul trpezoidle (n = 1) e quell di Simpson (n = 2) le quli dnno luogo lle corrispondenti formule generlizzte: b 2m [ b 6m f(x ) + 2 [ m 1 i=1 f(x ) + 4 f(x i ) + f(x m ) m 1 i= (b )5 288m 4 f(4) (τ). ] ( ) xi + x i+1 f 2 (b ) 12m 2 f(2) (τ) ; (7.11) m i=1 f(x i ) + f(x m ) ]

7 7.. APPLICAZIONE DELLA ESTRAPOLAZIONE ALL INTEGRAZIONE 171 Queste due formule generlizzte presentno il vntggio di un errore che tende zero l crescere di m. Si noti che d h = (b )/nm segue che gli errori sono rispettivmente dell ordine di h 2 e di h Appliczione dell estrpolzione ll integrzione Si può dimostrre che se f(x) è sufficientemente regolre in [,b], l errore dell formul generlizzt (7.11) mmette uno sviluppo in serie di potenze pri di h. Più precismente, scrivendo per semplicità I invece di I(f) e ponendo J (1) = h [ ] m 1 f(x ) + 2 f(x i ) + f(x m ), (7.12) 2 si può dimostrre il seguente teorem. Teorem 7..1 Se f(x) C 2r+2 ([,b]), l (7.11) può scriversi i=1 I = J (1) + α (1) 1 h 2 + α (1) 2 h α (1) r h 2r + O(h 2r+2 ) (7.1) dove α (1) 1,α (1) 2,...,α (1) r, non dipendono d h. L (7.1) oltre mostrre, come già osservto, che l errore di J (1) è dell ordine di h 2, consente di ottenere, con un costo computzionle reltivmente contenuto, stime di I migliori dell (7.12) per mezzo dell tecnic di estrpolzione. Scelto l intero q > 1, l formul trpezoidle generlizzt, con il psso h/q = (b )/mq, fornisce l stim di I, J (1) 1 = h 2q f(x ) + 2 mq 1 i=1 f(x i ) + f(x mq ), dove or i nodi sono x i = + i h, i =, 1,...,mq. D ltr prte, per il q Teorem 7..1, si può scrivere I = J (1) 1 + α (1) 1 ( ) 2 h + α (1) 2 q ( ) 4 h + + α r (1) q ( ) 2r h + O(h 2r+2 ). (7.14) q

8 172 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Eliminndo il termine α (1) 1 h 2 fr l (7.1) e l (7.14) si ottiene dove si è posto I = J (2) + α (2) 2 h α (2) r h 2r + O(h 2r+2 ), (7.15) = q2 J (1) 1 J (1) q 2 1 J (2) (7.16) e dove i nuovi coefficienti, α (2) 2,...,α r (2), non dipendono d h. L (7.15) mostr che l errore di J (2) è dell ordine di h 4, cioè è un stim di I migliore di J (1) e J (1) 1, mentre l (7.16) implic un costo computzionle di solo operzioni essenzili; per contro, un stim di I più ccurt di J (1) 1, medinte l formul trpezoidle, implic necessrimente l uso di un psso minore di h/q e quindi un costo computzionle più elevto di quello richiesto dll (7.16). Il procedimento di estrpolzione può essere ripetuto: d ogni ppliczione, l ordine dell errore dell nuov stim di I ument di due. Inftti, con il psso h/q 2, dll formul trpezoidle generlizzt, si ricv J (1) 2 mentre il Teorem 7..1 fornisce ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2r I = J (1) 2 + α (1) h 1 + α (1) h h q α (1) q 2 r + O(h 2r+2 ); q 2 eliminndo α (1) 1 (h/q) 2 fr quest relzione e l (7.14) si h dove I = J (2) 1 + α (2) 2 ( ) 4 h + + α r (2) q 1 = q2 J (1) 2 J (1) 1 ; q 2 1 J (2) eliminndo or α (2) 2 h 4 fr l (7.15) e l (7.17) si può scrivere I = J () + α () h α () r h 2r + O(h 2r+2 ) ( ) 2r h + O(h 2r+2 ) (7.17) q dove = q4 J (2) 1 J (2), q 4 1 J ()

9 7.. APPLICAZIONE DELLA ESTRAPOLAZIONE ALL INTEGRAZIONE 17 con α (),...,α r () indipendenti d h. Nell su formulzione più generle, l tecnic di estrpolzione consiste, fissto l intero N < r, nel clcolre, medinte l formul trpezoidle generlizzt, i vlori J (1),J (1) 1,...,J (1) N, (7.18) corrispondenti i pssi h,h/q,...,h/q N (quest è l prte più costos del metodo), quindi, prtire di vlori (7.18), si costruiscono nuove pprossimzioni di I in bse llo schem J (k+1) i = q2k J (k) i+1 J (k) i, k = 1, 2,...,N, (7.19) q 2k 1 dove, per ciscun vlore di k, l indice i ssume i vlori, 1,...,N k. Dlle considerzioni precedenti si deduce che J (k+1) i present un errore dell ordine di (h/q i ) 2(k+1). È importnte rilevre inoltre che l conoscenz di due delle pprossimzioni (7.18), consente di stimre l errore di entrmbe, senz l necessità di conoscere le derivte di f(x). Per esempio, supposto di ver clcolto J (1) e J (1) 1, dlle (7.1) e (7.14) si h I J (1) + α (1) 1 h 2, I J (1) 1 + α (1) 1 (h/q) 2. Evidentemente α (1) 1 h 2 e α (1) 1 (h/q) 2 forniscono stime dell errore rispettivmente di J (1) e di J (1) 1, non ppen si clcoli il vlore di α 1. A tle scopo, eliminndo I fr le due relzioni, si ottiene α (1) 1 J(1) ( h q J (1) 1 ) 2 h 2. Comunemente vengono usti i vlori q = 2 o q = 4 (cfr. Esempio 7.6.). Le pprossimzioni di I ottenute col processo di estrpolzione, note come formule di Romberg, costituiscono un specile ppliczione di un procedimento generle, detto estrpolzione di Richrdson. Tle procedimento può essere impiegto in tutti quei csi in cui un grndezz T si poss pprossimre con un vlore τ (1) dipendente d un prmetro h, e l errore T τ (1) si sviluppbile in serie di potenze di h, cioè si bbi T = τ (1) + β (1) 1 h r 1 + β (1) 2 h r 2 +

10 174 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA con β (1) 1,β (1) 2,..., non dipendenti d h e < r 1 < r 2 < interi. L costruzione di pprossimzioni di T più ccurte di τ (1) si ottiene con uno schem nlogo quello definito dll (7.19). 7.4 Formule di qudrtur di tipo gussino Si premettono brevemente lcune definizioni e proprietà di un prticolre clsse di polinomi. Si ρ(x) un funzione peso che verifichi le ipotesi ftte in 7.1. Si indichi con Π lo spzio vettorile dei polinomi lgebrici coefficienti reli e si [,b] un intervllo, non necessrimente limitto. Per ogni coppi r(x),s(x) Π si consideri il prodotto sclre < r,s >=< s,r >= I(ρrs) = b ρ(x)r(x)s(x)dx. (7.2) Si definisce quindi l clsse dei polinomi ortogonli Π come l insieme dei polinomi lgebrici, coefficienti reli, ortogonli rispetto l prodotto sclre (7.2), cioè Π = {q i (x) grdo(q i ) = i; < q i,q j >= h i δ ij ;i,j =, 1, 2,..}. I numeri positivi h i sono le costnti di normlizzzione. Dti [,b] e ρ(x), gli elementi di Π restno definiti meno di un costnte moltiplictiv e costituiscono un bse per Π; per essi vlgono le seguenti proprietà: < p,q n >= p Π n 1 ; (7.21) q n (x) h n zeri reli e distinti in ],b[. (7.22) Come osservto in 7.1, fissti ρ(x), [, b] ed n, risult univocmente determint l formul di qudrtur di grdo di precisione lmeno 2n + 1 b n I(ρf) = ρ(x)f(x)dx i f(x i ) = J n (f), i= che proprimente dicesi formul di qudrtur gussin.

11 7.4. FORMULE DI QUADRATURA DI TIPO GAUSSIANO 175 Teorem Dti [,b] e ρ(x), si f(x) C 2n+2 (],b[) e J n (f) un formul di qudrtur gussin; llor i nodi x,x 1,...,x n sono gli zeri di q n+1 (x) Π, i pesi sono positivi e dti d i = I(ρl 2 i ), i =, 1,...,n, dove l i (x) sono i polinomi fondmentli di Lgrnge reltivi i detti nodi e il grdo di precisione è esttmente 2n + 1, essendo l errore dell formul. E n (f) = K n f (2n+2) (θ) (2n + 2)!, K n >, θ ],b[, (7.2) Dimostrzione. Sino x, x 1,...,x n, gli zeri di q n+1 (x); reltivmente questi punti si considerno i polinomi fondmentli di Lgrnge (cfr. 6.2) di grdo n l i (x) = (x x ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n )/α i con α i = (x i x ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ), i =, 1,...,n, e le funzioni fondmentli dell interpolzione di Hermite (cfr. 6.) di grdo 2n + 1 di prim e di second specie h i (x) = [1 2l i(x i )(x x i )]l 2 i (x), i =, 1,...,n, h 1i (x) = (x x i )l 2 i (x), i =, 1,...,n. Evidentemente q n+1 (x) e π(x) = (x x ) (x x n ) differiscono per un costnte moltiplictiv c n+1, per cui si può scrivere q n+1 (x) = c n+1 π(x) = c n+1 α i (x x i )l i (x). Pertnto, per qunto rigurd le funzioni fondmentli di Hermite di prim specie, risult I(ρh i ) = I(ρli 2 ) 2l i (x i) I(ρq n+1 l i ), i =, 1,...,n, c n+1 α i vendosi α i per l proprietà (7.22). D ltr prte si h I(ρq n+1 l i ) =< q n+1, l i >= per l (7.21), in qunto l i (x) Π n, per cui I(ρh i ) = I(ρl 2 i ), i =, 1,...,n. (7.24) Per le funzioni di second specie risult I(ρh 1i ) = 1 c n+1 α i I(ρq n+1 l i ) =, i =, 1,...,n. (7.25)

12 176 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Ricordndo che (cfr. Teorem 6..) n n f(x) = h i (x)f(x i ) + h 1i (x)f (x i ) + f(2n+2) (ξ) (2n + 2)! π2 (x), i= i= con ξ ], b[, e tenendo conto dei risultti (7.24) e (7.25) nonché dell proprietà dditiv degli integrli, si h n I(ρf) = I(ρli 2 )f(x i ) + I i= ( f (2n+2) ) (ξ) (2n + 2)! ρπ2. Poiché ρ(x)π 2 (x) non cmbi segno nell intervllo di integrzione, nel secondo termine secondo membro può pplicrsi il teorem dell medi e scrivere I ( f (2n+2) ) (ξ) (2n + 2)! ρπ2 = f(2n+2) (θ) (2n + 2)! I(ρπ2 ), θ ], b[. Ponendo quindi i = I(ρl 2 i ), i =, 1,...,n, si h infine K n = I(ρπ 2 ), n =, 1,..., E n (f) = K n f (2n+2) (θ) (2n + 2)! n I(ρf) = i f(x i ) + E n (f) i= dove i >, i =, 1,...,n, K n >, n =, 1,.... Le formule venti i pesi e i nodi definiti come nel Teorem coincidono con quelle dell formulzione lgebric dt in 7.1. L ipotesi di derivbilità, richiest dl teorem, consente quindi un rppresentzione dell errore nell form (7.2) m non è necessri per l definizione dell formul. Nell tvol che segue si riportno le crtteristiche di lcuni polinomi ortogonli fr i più usti, che dnno luogo lle corrispondenti formule di qudrtur gussine d cui prendono il nome (nell tvol il simbolo π st per ).,

13 7.4. FORMULE DI QUADRATURA DI TIPO GAUSSIANO 177 Intervllo Peso Clssificzione K n [ 1, 1] 1/ 1 x 2 Chebyshev 1 specie π/2 2n+1 [ 1, 1] 1 x 2 Chebyshev 2 specie π/2 2n+ [ 1, 1] 1 Legendre 2 2n+ [(n+1)!] 4 (2n+)[(2n+2)!] 2 [, + [ e x Lguerre [(n + 1)!] 2 ], + [ e x2 Hermite (n + 1)! π/2 n+1 Osservzione Nodi e pesi delle formule gussine sono numeri irrzionli e sono stti clcolti in precisione multipl per vri vlori di n. Essi sono inseriti nei principli progrmmi di clcolo per l integrzione pprossimt. L uso di tli formule per vi utomtic non present, in genere, prticolri difficoltà. Per completezz, nel prgrfo 7.6. sono riportte l formule di ricorrenz per l generzione dei polinomi ortogonli qui menzionti, nonché i corrispondenti nodi e pesi per lcuni vlori di n. Osservzione Per rgioni di convenienz, per gli integrli estesi d un intervllo limitto [, b], si usno polinomi ortogonli definiti in [ 1, 1]. In effetti ogni intervllo di integrzione t b può ricondursi ll intervllo 1 x 1 con l trsformzione t = b x + b+ e l funzione ρ(x) può 2 2 essere comunque introdott. Risult inftti b g(t)dt = 1 ρ(x)f(x)dx ove si ssum f(x) = b g ( b x + ) b+ 2ρ(x) 2 2. Si noti poi che l integrzione gussin, bst sui polinomi di Lguerre e di Hermite, permette di pprossimre integrli su intervlli non limitti (purché l integrle esist finito). Osservzione 7.4. L positività dei pesi consente di dimostrre, sotto ipotesi molto generli, l convergenz di J n (f). Più precismente, nel cso di intervlli limitti [, b] e per formule di grdo 2n + 1, l semplice continuità di f(x) è condizione sufficiente ffinché lim J n(f) = I(ρf). n

14 178 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Pertnto l errore E n (f) tende zero per n nche nel cso che f(x) non si derivbile e quindi E n (f) non poss esprimersi nell form (7.2). Inoltre, nel cso di intervlli di integrzione non limitti, vle il seguente teorem reltivo lle formul di Guss-Lguerre. Teorem Se esiste un numero rele α > 1 ed un x tli che f(x) e x /x α per x > x e se f(x) C ([, + [), llor per l formul di qudrtur di Guss-Lguerre risult lim J n(f) = I(e x f). n 7.5 Integrzione in più dimensioni L pprossimzione di integrli multipli, dell form cioè I(ρf) = b1 b2 1 2 br r ρ(x 1,...,x r )f(x 1,...,x r )dx 1...dx r con ρ(x 1,...,x r ) per x i [ i,b i ], i = 1,...,r, present difficoltà e costi computzionli ssi più elevti rispetto l cso monodimensionle. Ci si limit qui, per semplicità, d ccennre il problem nel cso bidimensionle con peso unitrio e dominio di integrzione rettngolre. Si f(x,y) integrbile su [,b] [c,d] con x [,b], y [c,d]. Si J k un formul di qudrtur monodimensionle con k + 1 nodi x i [,b] e pesi i, i =, 1,...,k, e J n un con n + 1 nodi y j [c,d] e pesi b j, j =, 1,...,n. In bse l teorem di riduzione degli integrli doppi, risult evidentemente b d [ b ] d f(x,y)dxdy = f(x,y)dy dx c c b n k n b j f(x,y j )dx i b j f(x i,y j ) (7.26) j= i= j= = J k J n (f). J k J n (f) dicesi formul di cubtur e l errore è E k,n (f) = I(f) J k J n (f).

15 7.5. INTEGRAZIONE IN PIÙ DIMENSIONI 179 Quindi, d esempio, se J 2 è l formul di qudrtur di Simpson si h J 2 J 2 (f) = (b )(d c) [f(x,y ) + 4f(x,y 1 ) + f(x,y 2 ) 6 +4f(x 1,y ) + 16f(x 1,y 1 ) + 4f(x 1,y 2 ) + f(x 2,y ) +4f(x 2,y 1 ) + f(x 2,y 2 )]. Se inoltre f(x, y) è sufficientemente regolre si può dimostrre che l errore è dto d E 2,2 (f) = hk [ ] h 4 4 f( x, ȳ) + k 4 4 f( x, ȳ) 45 x 4 y 4 con x, x ],b[, ȳ, ȳ ]c,d[, e h = (b )/2, k = (d c)/2. Formule di cubtur possono essere costruite nche direttmente. Per esempio, considerti i punti P r [,b] [c,d], r =, 1,...,N, si cercno formule del tipo N I(f) J N (f) = c r f(p r ). (7.27) I nodi P r ed i pesi c r sono determinti in modo che l (7.27) si estt qundo f(p) è un polinomio di grdo non superiore g nelle due vribili x e y, cioè in modo che si E N (x α y β ) =, α + β g, dove E N (f) = I(f) J N (f). Si osservi tuttvi che se J n è un formul di qudrtur con grdo di precisione m, ossi se risult r= n J n (f) = i x α i = I(x α ), i= α =, 1,...,m, llor, fcendo riferimento, per semplicità, d un dominio di integrzione qudrto, si verific fcilmente che n n J n J n (x α y β ) = i j x α i x β j = I(x α y β ), α,β m. (7.28) i= j= L J n J n (f), dett formul del prodotto crtesino, è dell form (7.27) ove si usino gli N + 1 = (n + 1) 2 nodi P ij = (x i,x j ) con i pesi i j e risult estt per polinomi fino l grdo 2m.

16 18 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Ad esempio, nel cso [,b] = [ 1, 1] e n = 1, l formul di qudrtur di Guss-Legendre J 1 h nodi e pesi x = x 1 =, = 1 = 1 e grdo di precisione m =. Con [c,d] = [ 1, 1] l formul di cubtur J 1 J 1 h N + 1 = 2 2 = 4 nodi dti d ( ) ) ( ) ),, (,,,, (, con coefficienti unitri; ess inoltre risult estt per ogni monomio del tipo x α y β con α,β ed è esplicitmente dt d f(x,y)dxdy 1 1 ( ) f, + f ( ) +f,. (, ) ( + f, ) 7.6 Complementi ed esempi Costruzione di formule e clcolo dell errore Un pproccio lgebrico nlogo quello che conduce l sistem (7.5) consente l costruzione di formule di qudrtur più generli di quelle viste finor, potendosi utilizzre nche i vlori di un o più derivte come nell esempio seguente. Esempio Si vogliono clcolre i pesi e i nodi dell formul f(x)dx f() f (x 1 ) f (x 2 ) + 1 f(1) = J(f) in modo che si mssimo il grdo di precisione.

17 7.6. COMPLEMENTI ED ESEMPI 181 Imponendo E(x r ) = I(x r ) J(x r ) =, r =, 1, 2,, si trov subito = 5/6, 1 = 1/6, ed inoltre si h x 1 + x 2 = 1/2 x x 2 2 = 1/6 d cui x 1 = ( )/12 e x 2 = ( + )/12. Poiché risult E(x 4 ) = 1/12, l formul h grdo di precisione m =. Il Teorem indic un procedur generle per clcolre l errore di un formul di qudrtur qundo f(x) si sufficientemente regolre. Esempio Si vuole clcolre l errore E 2 (f) = I(f) J 2 (f) dell formul di Simpson 1 f(x)dx 1 f( 1) + 4 f() + 1 f(1) = J 2(f). Ponendo f(x) = x r, si trov E 2 (x r ) =, r =, 1, 2,, ed E 2 (x 4 ) = 4/15, per cui il grdo di precisione è m =. Il nucleo di Peno è dto d G(t) = t (x t) dx 4 ( t) 1 (1 t) = 1 4 t4 + 2 t t per 1 t < ; G(t) = t (x t) dx 1 (1 t) = 1 4 t4 2 t t per t 1. Poiché G(t) h segno costnte in ] 1, 1[, dll (7.7) si ricv E 2 (f) = 1 9 f(4) (θ), θ ] 1, 1[.

18 182 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Esempio 7.6. Si consideri dx 1 + x, il cui vlore estto è log 2 = Posto, nell (7.18), N = 2, si clcolno, J (1), J (1) 1 e J (1) 2 con h = 1/2 e q = 2. Applicndo l (7.19), per k = 1, 2, si ottengono i seguenti vlori estrpolti: J (1) = J (1) 1 = J (2) = J (1) 2 = J (2) 1 = J () = Si noti che i vlori J (2) e J () sono più ccurti di quelli venti l indice superiore più piccolo (in prticolre J (2) è un pprossimzione migliore di J (1) 2 che h un costo computzionle mggiore). Come osservto in 7., un stim dell errore di J (1) 1 bst sui vlori J (1) e J (1) 1 può ottenersi clcolndo d cui α (1) 1 J(1) 1 J (1) h 2 h 2 / E(f) = I J (1) 1 α (1) h In modo nlogo si può ottenere un stim dell errore di J (1) 2 utilizzndo l coppi J (1) 2, J (1) oppure J (1) 2, J (1) 1. Esempio Si vuole clcolre il numero minimo n + 1 di nodi per pprossimre, con un formul di qudrtur di tipo gussino, l integrle in modo che risulti E n 1 5. log(x + 1) x(x + 1) dx

19 7.6. COMPLEMENTI ED ESEMPI 18 Si trsform l intervllo ], 1[ nell intervllo ] 1, 1[ con l sostituzione t = 2x 1. Si h quindi = = 1 log(x + 1) x(x + 1) dx ( ) t + 1 t 1 log 2 + t dt 1 t 2 ( ) t + log τ + τ 1 dt, τ ] 1, 1[, 1 t 2 dove si è potuto pplicre il teorem dell medi in qunto le funzioni g(t) = log ( ) t+ 2 e ρ(t) = 1 1 t 2 non cmbino segno in ] 1, 1[. Posto h(τ) = 1 τ, +τ si può considerre un formul di qudrtur di Guss-Chebyshev di prim specie e scrivere h(τ)i(ρg) = h(τ) [ J n (g) + K n g (2n+2) (θ) (2n + 2)! con K n = π/2 2n+1. Pertnto I(f) h(τ)j n (g) e inoltre, vendosi h(τ) 1 e g (k) (t) (k 1)! 2 k, k =, 1,..., si può verificre che, per l errore, risult con n =, ossi con 4 nodi. E n = K nh(τ) g(2n+2) (θ) (2n + 2)! Nell integrzione gussin l scelt del peso, e quindi dell formul, può risultre determinnte i fini dell errore. Si consideri, d esempio, l integrle 1 x 2 1 x 2 dx il cui vlore estto è π/8 = Con un formul due nodi di Guss-Chebyshev di second specie (ρ(x) = 1 x2 ), si ottiene ] I ( 1 x2 x 2) = J 1 (x 2 ).

20 184 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Utilizzndo un formul tre nodi di Guss-Chebyshev di prim specie (ρ(x) = 1/ 1 x 2 ), risult ( 1 ( I 1 x 2 x 2 [1 x 2 ] )) ( = J 2 x 2 (1 x 2 ) ). Quindi gli errori delle precedenti due formule sono nulli. Per contro, con un formul di Guss-Legendre con quttro nodi, si h I(f) J ( x 2 1 x 2 ) = , con un errore E (f) Esempio Si vogliono clcolre i pesi dell formul b b b f(x,y,z)dxdydz c f(,,) + c 1 f(b,, ) +c 2 f(,b, ) + c f(,,b). Allo scopo si impone che l formul si estt per f(x,y,z) = 1,x,y,z. Ne viene il sistem c + c 1 + c 2 + c = (b ) c + c 1 b = 1 2 (b ) (b + ) c + c 2 b = 1 2 (b ) (b + ) c + c b = 1 2 (b ) (b + ) che h soluzione solo se b ; in tl cso si ottiene c = (b ) ( b ) 2(b ), c i = (b )4, i = 1, 2,. 2(b ) Integrli impropri Le formule viste per l integrzione pprossimt non sempre sono dtte per essere utilizzte direttmente per il clcolo di un integrle improprio.

21 7.6. COMPLEMENTI ED ESEMPI 185 Per esempio, nel cso di singolrità dell funzione integrnd, l presenz di punti singolri cre difficoltà nell scelt dei nodi e può compromettere l convergenz dell formul. Tlvolt l singolrità è fcilmente rimuovibile con un semplice sostituzione come nell integrle che, con l posizione x = t α, diviene α dx, α 2, x1/α t α 2 dt. In ltri csi si può ricorrere d un formul gussin opportunmente pest: l integrle e x dx 1 x può scriversi 1 ( ) 1 I g(x) 1 x 2 con g(x) = e x 1 + x e quindi essere pprossimto con un formul di qudrtur di Guss-Chebyshev di prim specie. Altri due metodi sono proposti nei due esempi che seguono. Esempio Si consider l integrle e x 1 x dx. Con un integrzione per prti, scegliendo e x come fttore finito, si ottiene 2 2I(g) (7.29) dove si è posto g(x) = e x 1 x C ([, 1]). È d notre, tuttvi, che g(x) non è derivbile per x = 1 per cui l stim dell errore, per esempio medinte l (7.6) o l (7.2), può essere difficoltos. Per ovvire questo inconveniente si può procedere due ulteriori integrzioni per prti, pplicte I(g), portndo l (7.29) nell form I(s),

22 186 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA dove s(x) = e x (1 x) 5 C 2 ([, 1]). L pprossimzione di I(s) medinte l formul generlizzt (7.11), con m = 8, fornisce il seguente risultto I(s) con un errore ssoluto, in modulo, inferiore 1 4. Gli integrli dell form, b g(x) (x ) β dx con < β < 1 e g(x) regolre in [, b], possono essere ffrontti sottrendo dl numertore uno o più termini dello sviluppo di Tylor di g(x) con punto inizile x = ; quest tecnic v sotto il nome di metodo dell sottrzione dell singolrità. Esempio L integrle con < β < 1 può scriversi e x x β dx I(r) + I(s) con r(x) = (e x 1)/x β e s(x) = 1/x β. Ponendo r() =, risult, per prolungmento, r(x) C ([, 1]) in qunto lim x r(x) = e inoltre si h I(s) = 1/(1 β). Si noti tuttvi che r(x) non è dell clsse C 1 ([, 1]): se si richiede per r(x) un mggiore regolrità conviene porre r(x) = ex 1 x x β, s(x) = 1 x β + 1 x β 1, dove l numertore di r(x) si è sottrtto un ulteriore termine dello sviluppo in serie di e x. In tl cso si h r(x) C 1 ([, 1]) e I(s) = ( 2β)/[(1 β)(2 β)]. Un ltro tipo di integrle improprio si h qundo l intervllo di integrzione non è limitto. Possono llor risultre utili le formule gussine di Lguerre e di Hermite.

23 7.6. COMPLEMENTI ED ESEMPI 187 Esempio Si il cui vlore estto è 1 2 π 2 = Con evidenti pssggi può scriversi sin(x 2 )dx e x2 g(x)dx = 1 2 J n(g) dove g(x) = e x2 sin(x 2 ) e J n è un formul di qudrtur di Guss-Hermite. Eseguendo i clcoli, con n = 4, si trov 1 2 J 4(g) = Alterntivmente si può effetture un troncmento dell intervllo non limitto, vendo cur di stimre opportunmente l prte trlscit, come nell esempio che segue. Esempio Si consideri cosx cosh x dx il cui vlore estto è π 2 sechπ 2 = Può scriversi I (1) (f) + I (2) (f) con e si h I (2) (f) I (1) (f) = b b cos x cosh x dx, cos x I(2) (f) = b cosh x dx, dx cosh x = 2 b e x e 2x + 1 dx 2 b e x dx = 2e b. Quindi, d esempio, con b = 1, l integrle proprio I (1) (f) pprossim I(f) con un errore ssoluto non superiore 2e

24 188 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Si osservi, come si constt fcilmente, che per x >, risult e x cos x < ex cosh x x ; 2 quindi, per il Teorem con α = 2 e x =, l formul di Guss-Lguerre J n (f) con f(x) = e x cos x è convergente ll integrle dell esempio precedente. cosh x Avendosi lim n (J n+1 (f) J n (f)) =, il numero J n+1 (f) J n (f) può ssumersi come un stim del modulo dell errore ssoluto che si commette pprossimndo I(e x f) con J n+1 (f). Applicndo l formul con n = 4 e n = 5, si trov: J 5 (f) = , L errore effettivo risult J 5 (f) J 4 (f) 1 2. I(e x f) J 6 (f) Polinomi ortogonli: formule di ricorrenz, nodi e pesi I polinomi ortogonli possono essere costruiti con semplici formule di ricorrenz tre termini. I loro zeri sono i nodi delle corrispondenti formule di qudrtur. Su intervlli simmetrici rispetto ll origine i nodi sono simmetrici rispetto ll origine e ogni coppi di nodi simmetrici compete lo stesso peso. Le costnti di normlizzzione h i, i, sono quelle dte nell definizione di clsse di polinomi ortogonli Π e riferite l prodotto sclre (7.2). Polinomi di Chebyshev di 1 specie (h = π, h i = π/2, i > ). T i+1 (x) = 2xT i (x) T i 1 (x), i = 1, 2,...; T (x) = 1, T 1 (x) = x. I nodi e i pesi delle corrispondenti formule di qudrtur sono esprimibili in form chius. Poiché i pesi sono costnti per ogni vlore di n, esse sono dette formule pesi uniformi. x i = cos (2i + 1)π 2(n + 1), i = π n + 1, i =, 1,...,n.

25 7.6. COMPLEMENTI ED ESEMPI 189 Polinomi di Chebyshev di 2 specie (h i = π/2). U i+1 (x) = 2xU i (x) U i 1 (x), i = 1, 2,...; U (x) = 1, U 1 (x) = 2x. n x i i ± ± ± ± ± ± ± ± ± Polinomi di Legendre (h i = 2/(2i + 1)). (i + 1)P i+1 (x) = (2i + 1)xP i (x) ip i 1 (x), i = 1, 2,...; P (x) = 1, P 1 (x) = x. n x i i ± ± ± ± ± ± ± ± ±

26 19 CAPITOLO 7. INTEGRAZIONE NUMERICA Polinomi di Lguerre (h i = 1). (i + 1)L i+1 (x) = (2i + 1 x)l i (x) il i 1 (x), i = 1, 2,...; L (x) = 1, L 1 (x) = x + 1. n x i i Polinomi di Hermite (h i = 2 i (i!) π). H i+1 (x) = 2xH i (x) 2iH i 1 (x), i = 1, 2,...; H (x) = 1, H 1 (x) = 2x.

27 7.6. COMPLEMENTI ED ESEMPI 191 n x i i ± ± ± ± ± ± ± ± ± Bibliogrfi: [7], [9], [].