Interpolazione polinomiale a tratti

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1 Interpolzione polinomile trtti È noto che dt un funzione f(x) di cui sono noti i vlori in n + 1 nodi distinti, i = 0,, n, esiste ed è unico il polinomio di interpolzione p n (x) di grdo l più n tle che p n ( ) = f( ), i = 0,, n In generle, non è detto che umentndo n l pprossimzione di f(x) medinte p n (x) migliori Inftti, indicto con N n l insieme dei nodi dell interpolzione per il grdo n, nche supponendo che i nodi vengno infittiti in modo bbstnz uniforme, cioè che lim mx +1 = 0, n è possibile dimostrre (teorem di Fber) che per ogni prefisst successione di insiemi N n, esiste un funzione f(x) continu in, b] tle che p n (x) non converge d f(x) Nell prtic quindi non è rgionevole pprossimre f(x) con polinomi di interpolzione qundo n è elevto Polinomi di grdo più bsso si potrebbero ottenere con le tecniche di pprossimzione, m in tl cso nei nodi i vlori del polinomio pprossimnte non srebbero uguli quelli dell funzione Se invece l uguglinz dei vlori nei nodi è fondmentle, come d esempio nell grfic, bisogn ricorrere funzioni che coincidono trtti con polinomi di grdo bsso Supponendo che i nodi sino ordinti in, b], cioè = x 0 < x 1 < < x n = b, si definisce polinomile trtti su, b] un funzione t(x) che sull i-esimo sottointervllo, +1 ] coincide con un polinomio t i (x) di grdo prefissto k L t(x) viene rppresentt per mezzo di un mtrice A di ordine n l cui i-esim rig i,k, i,k 1, i,0 ] contiene i coefficienti di t i (x) con l vribile trslt rispetto l punto, cioè t i (y) = i,k y k + i,k 1 y k i,0, dove y = x Vedimo lcune funzioni polinomili trtti uste nell prtic Per semplicità si denot f i = f( ), f i = f ( ) e h i = +1 1

2 1 Polinomile linere trtti L t(x) coincide con l f(x) sui nodi, cioè t(x) = t i (x) per x, +1 ], dove t i (x) = f i+1 f i h i y + f i, y = x Per l su semplicità quest polinomile è ust spesso nell prtic, m non sempre fornisce un buon rppresentzione grfic dell funzione, perché non vi è lcun condizione sulle derivte dei singoli polinomi, per cui nei nodi il rccordo fr due diversi polinomi lineri può presentre un punto ngoloso Se f C 2, b], posto M 2 = mx x,b] f (x) e H = mx,, h i, dl resto dell interpolzione linere in, +1 ] si h f(x) t(x) 1 8 M 2 (+1 ) M 2 H 2, d cui segue l convergenz dell t(x) ll f(x) per H 0 Dll formul di Tylor si h poi f i+1 = f(x) + (+1 x)f (x) (+1 x) 2 f (ξ i ), f i = f(x) + ( x)f (x) ( x) 2 f (η i ), d cui sottrendo risult f (x) t i(x) = f (x) f i+1 f i = 1 ] ( x) 2 f (η i ) (+1 x) 2 f (ξ i ), h i 2h i e poiché per x, +1 ] è (+1 x) 2 + ( x) 2 (+1 ) 2 = h 2 i, (1) si h f (x) t i(x) 1 2 M 2 h i 1 2 M 2 H, d cui segue l convergenz per H 0 delle singole t i (x), e quindi dell t (x) su ciscun intervllo, ll funzione continu f (x) 2 Polinomile cubic trtti di Hermite L t(x) coincide con l f(x) sui nodi, è derivbile e t (x) coincide con l f (x) sui nodi Quindi t(x) = t i (x) per x, +1 ], dove t i (x) = ] y 2(f i f i+1 ) + h i (f i + f i+1) 3 h 3 i +f i y + f i, y = x ] y 3(f i f i+1 ) + h i (2f i + f i+1) 2 h 2 i 2

3 Quest polinomile fornisce un migliore rppresentzione grfic rispetto quell linere, perché non dà luogo punti ngolosi nei nodi Però, nche se nei punti di rccordo i polinomi hnno l stess pendenz, non è detto che bbino l stess concvità, per cui nei nodi si può presentre un ndmento distorto Se f C 4, b], posto M 4 = mx x,b] f (4) (x) e H = mx,, h i, dl resto del polinomio oscultore di Hermite in, +1 ] si h e poiché f(x) t(x) 1 4! M 4 (x ) 2 (x +1 ) 2, mx (x ) 2 (x +1 ) 2 = 1 x,+1 ] 16 (+1 ) 4, risult su, b] che f(x) t(x) M 4 H 4, d cui segue l convergenz dell t(x) ll f(x) per H 0 Le polinomili di Hermite non sono utilizzbili nel cso, frequente nell prtic, in cui i vlori f i non sono noti Per ovvire quest difficoltà, si possono costruire polinomili trtti interpolndo l f(x) su più di due punti consecutivi Molto uste per l loro rpidità di clcolo sono le spline di Akim, formte d cubiche che interpolno su cinque nodi e sono derivbili con continuità Non è richiest l conoscenz delle f ( ) che vengono pprossimte con delle medie peste di rpporti incrementli Queste spline, molto efficci dl punto di vist grfico, dnno un pprossimzione locle, quindi sono dtte d ppliczioni interttive, in cui si deve vlutre l effetto visivo prodotto dllo spostmento di singoli punti 3 Spline cubic Fr le funzioni polinomili trtti quelle più uste nell prtic, nche perché consentono di ottenere ottimi risultti dl punto di vist grfico, sono le spline cubiche ottenute senz utilizzre i vlori f ( ) e imponendo invece condizioni di continuità delle derivte prim e second Un funzione rele s(x) C 2, b] viene chimt spline cubic dell f(x) se s(x) coincide con un polinomio s i (x) di grdo l più 3 in ciscun intervllo, +1 ] e s( ) = f i, per i = 0,, n Imponendo queste condizioni si ottengono 4n 2 relzioni ) s i ( ) = f i, s i (+1 ) = f i+1, per i = 0,, n 1, b) s i 1 () = s i (), per i = 1,, n 1, c) s i 1 () = s i (), per i = 1,, n 1 3

4 Poiché i coefficienti dei polinomi s i (x) sono 4n, occorre imporre due condizioni ggiuntive l bordo, che vengono scelte cso per cso Le due più uste sono: d ) s 0 (x 0) = s (x n) = 0 (spline nturle), che impone ll spline un ndmento linere vicino gli estremi, oppure, se sono noti i vlori di f () e f (b) d ) s 0 (x 0) = f (), s (x n) = f (b) (spline complet), che impone ll spline l tngenz ll f(x) negli estremi Se i vlori f () e f (b) non fossero disponibili, si potrebbero sostituire con delle pprossimzioni Ad esempio, f () potrebbe essere pprossimto con l derivt in del polinomio che interpol l f(x) su e sui tre nodi successivi Sull derivt second si potrebbero imporre nche ltre condizioni, per esempio s 0 (x 0) = σ 0 e s (x n) = σ n, dove σ 0 e σ n sono vlori ssegnti, oppure s 0 (x 0) = s 0 (x 1) e s (x ) = s (x n), ssumendo che l derivt second si costnte vicino gli estremi dell intervllo, b] Nel cso di un funzione f(x) periodic di periodo b, si potrebbe nche definire un spline periodic tle che s 0 (x 0) = s (x n) e s 0 (x 0) = s (x n) 31 Clcolo dei coefficienti Per determinre i coefficienti dei polinomi s i (x) si potrebbero sfruttre direttmente le condizioni ) - c) e le condizioni ggiuntive scelte, risolvendo un sistem linere di 4n equzioni in 4n incognite È possibile però semplificre il problem riducendo il numero delle equzioni necessrie Si considerno come incognite le quntità, dette momenti, µ i = s i ( ), per i = 0,, n 1, e µ n = s (x n ) Poiché s i (x) per x, +1 ] è un polinomio di grdo l più 3, s i (x) è il polinomio di grdo l più 1 s x x +1 i (x) = µ i+1 µ i (2) h i h i Integrndo due volte si ottiene s i(x) = µ i+1 (x ) 2 2h i µ i (x +1 ) 2 2h i + α i, (3) s i (x) = µ i+1 (x ) 3 6h i µ i (x +1 ) 3 6h i + α i (x ) + β i (4) Le costnti α i e β i vengono determinte imponendo le condizioni ) h 2 i µ i 6 + β i = f i µ i+1 h 2 i 6 + α ih i + β i = f i+1, 4

5 d cui β i = f i µ i h 2 i 6 α i = f i+1 f i h i h i 6 (µ i+1 µ i ) Restno quindi d clcolre i µ i, i = 0,, n Dlle (3), imponendo le condizioni b) e sostituendo α i 1 e α i, si ottengono le n 1 relzioni dove h i 1 µ i (h i 1 + h i ) µ i + h i µ i+1 = 6 f i 1,i,i+1, i = 1,, n 1, (6) f i 1,i,i+1 = f i+1 f i h i f i f i 1 h i 1 Altre due relzioni si ottengono trmite le condizioni ggiuntive Per l spline nturle, dlle d ) si h µ 0 = 0 e µ n = 0 (7) Per l spline complet, dlle d ) si h: s 0 (x 0) = µ 0 h 0 3 µ 1 s (x n) = µ h 6 h f 1 f 0 h 0 = f 0, + µ n h 3 dove f 0 = f () e f n = f (b) sono ssegnti Si ottiene dove + f n f h = f n, h 0 (2µ 0 + µ 1 ) = 6 f 0,0,1 e h (µ + 2µ n ) = 6 f,n,n, (8) f 0,0,1 = f 1 f 0 h 0 f 0 e f,n,n = f n f n f h In ogni cso i µ i sono soluzione di un sistem linere, ottenuto ssocindo lle (6) le (7) o le (8), second che debbno essere verificte le condizioni d ) o d ) dove Nel primo cso, tenendo conto che µ 0 = µ n = 0, il sistem che si ottiene è µ 1 f 0,1,2 µ 2 f 1,2,3 M = 6, (9) M = µ n 2 µ f n 3,n 2, f n 2,,n 2(h 0 + h 1 ) h 1 h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2 h n 3 2(h n 3 + h n 2 ) h n 2 h n 2 2(h n 2 + h ) 5 (5)

6 Nel secondo cso vengono ggiunte un prim e un ultim equzione l sistem che divent µ 0 f 0,0,1 µ 1 f 0,1,2 dove M = M µ µ n = 6 f n 2,,n f,n,n 2 h 0 h 0 h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 h n 2 2(h n 2 + h ) h h 2 h, (10) Le mtrici M in (9) e (10) hnno predominnz digonle in senso stretto e quindi sono non singolri Perciò i sistemi hnno un e un sol soluzione, che può essere clcolt con il metodo di Guss senz scmbi di righe Inoltre le mtrici sono tridigonli e il metodo di Guss h un bsso costo computzionle, dell ordine di n Se i punti sono equidistnti, cioè h i = h, per i = 0,, n 1, l (6) divent µ i 1 + 4µ i + µ i+1 = 6 h f i 1,i,i+1, dove f i 1,i,i+1 = f i+1 2f i + f i 1, (11) h e le (8) diventno 2µ 0 + µ 1 = 6 h f 0,0,1, dove f 0,0,1 = f 1 f 0 f h 0, µ + 2µ n = 6 h f,n,n, dove f,n,n = f n f n f h L mtrice del sistem risult molto semplice Ad esempio, per le spline nturli il sistem divent 4 1 µ 1 f 0,1, µ 2 f 1,2,3 (13) µ n 2 µ = 6 h f n 3,n 2, f n 2,,n Esminimo d esempio il cso dell funzione f(x) = x sin(2πx + 1), x, b], con = 11 e b = + 2 Si consider il cso di nodi equidistnti con n = 6, h = 1/3 I vettori dei nodi = + i h e delle corrispondenti f i sono x = 11, 07667, 04333, 01, 02333, 05667, 09] T (12) 6

7 f = 03995, 04794, 04283, , 01459, 05601, 03269] T Il polinomio di interpolzione di grdo 6 è p(x) = 157 x x x x x x L figur mostr il grfico di f(x) (con line trtteggit), i punti dell interpolzione e il grfico di p(x) (con line continu) Costruimo or le due spline L spline nturle risult 1032 (x x 0 ) (x x 0 ) 03995, 1461 (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 1 ) 08616, 1107 (x x 2 ) (x x 3 ) (x x 2 ) , s(x) = 1222 (x x 3 ) (x x 4 ) (x x 3 ) 04464, 1381 (x x 4 ) (x x 5 ) (x x 4 ) , 1381 (x x 6 ) (x x 5 ) 1072, e il suo grfico, sovrpposto quello dell f(x), è riportto nell figur

8 L spline complet, costruit tenendo conto che f (x 0 ) = 6076 e f (x n ) = 5632 risult 3778 (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 0 ) 1302, 1282 (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 1 ) 06193, 1046 (x x 2 ) (x x 3 ) (x x 2 ) , s(x) = 1155 (x x 3 ) (x x 4 ) (x x 3 ) 04238, 1177 (x x 4 ) (x x 5 ) (x x 4 ) , 7484 (x x 5 ) (x x 6 ) (x x 5 ) 09961, e il suo grfico, sovrpposto quello dell f(x), è riportto nell figur Non stupisce che l pprossimzione fornit dll spline complet ppi migliore vicino gli estremi Figure 1: Spline complet 32 Costo computzionle Il costo computzionle viene determinto meno di termini costnti rispetto d n Indicndo con A le operzioni dditive e con M le operzioni moltiplictive, per l costruzione dei coefficienti e dei termini noti del sistem linere (9) sono richieste 4nA e 3nM Per l risoluzione del sistem tridigonle sono richieste 3nA e 5nM Per il clcolo degli α i e β i sono richieste 3nA e 3nM Quindi in totle l costruzione dell spline richiede 10nA e 11nM Un lieve riduzione si h nel cso dei nodi equidistnti Per clcolre il vlore dell spline in un punto x è necessrio prim individure l indice i tle che x (, +1 ) Per ottenere i si può usre l lgoritmo bnle (cioè confrontre x successivmente con x j, j = 1,, n 1) e questo richiede n 1 confronti Se però n è potenz di 2, si può usre l lgoritmo di bisezione (cioè confrontre x con x n/2, se x è minore di x n/2 si confront x con x n/4, se x è mggiore di x n/2 si confront x con x 3n/4, e così vi) Questo procedimento richiede log 2 n confronti Un volt trovto i, per clcolre s(x) sono richieste 5A e 9M 8

9 33 Condizionmento Studimo or il condizionmento del clcolo di s(x) per un x diverso di nodi Considerimo il cso dell spline nturle e supponimo per semplicità che i nodi sino equidistnti e non ffetti d errore Scrivimo il sistem (13) nell form M µ = b, (14) dove µ è il vettore dei µ i e b è il vettore di componenti b i = 6(f i+1 2f i + f i 1 )/h 2 Supponendo di perturbre i dti del problem d f i f i = f i + δ i, con δ i δ, l corrispondente vrizione b b del termine noto del sistem (14) risult mggiort in norm infinito d b b = 6 h 2 mx δ i+1 2δ i + δ i 1 24 δ i=1, h 2 Quindi µ µ µ K(M) b b b, dove µ è l soluzione del sistem il cui termine noto è b e K(M) è il numero di condizionmento di M in norm infinito L mtrice M è ben condiziont perché K(M) 6 per ogni n Quindi il problem del clcolo dei µ i è ben condizionto Lo stesso si può dire per l (5) del clcolo dei coefficienti α i e β i e per l (4) del clcolo di s i (x) per x, +1 ] 34 Proprietà di minim curvtur Le spline cubiche sono molto uste nell grfic perché fr le funzioni con derivt second continu che interpolno l funzione f(x) nei nodi, i = 0,, n, sono quelle che hnno minim curvtur, cioè che oscillno meno, come risult dl seguente teorem Teorem 1 Fr tutte le funzioni g C 2, b], tli che g( ) = f i, i = 0,, n, l spline cubic nturle s(x) è quell che minimizz l integrle Dim Si h g (x)] 2 dx (15) 0 = g (x) s (x)] 2 dx g (x)] 2 dx 2 g (x) s (x)] s (x) dx s (x)] 2 dx (16) 9

10 Per ogni sottointervllo, +1 ] si h, integrndo due volte per prti, xi+1 g (x) s (x)] s (x) dx = g(x) s(x)] s (3) (x) g (x) s (x)] s (x) ] xi+1 xi+1 + x i ] xi+1 g(x) s(x)] s (4) (x) dx Poiché l s(x) sull intervllo, +1 ] coincide con un polinomio di grdo l più 3, è s (4) (x) = 0 Inoltre s( ) = g( ), s(+1 ) = g(+1 ), per cui g (x) s (x)] s (x) dx = xi+1 = g (x) s (x)] s (x) g (x) s (x)] s (x) dx ] xi+1 = g (x) s (x)] s (x) e tle espressione è null in qunto s () = s (b) = 0 Dll (16) segue che s (x)] 2 dx g (x)] 2 dx ] b per ogni funzione g(x) derivt second continu tle che g( ) = f i Un teorem nlogo l teorem 1 vle per l spline complet (nche l dimostrzione è nlog) Teorem 2 Fr tutte le funzioni g C 2, b], tli che g( ) = f i, i = 0,, n, e g () = f () e g (b) = f (b), l spline cubic complet s(x) è quell che minimizz l integrle g (x)] 2 dx L g (x) è legt ll curvtur dell g(x) nel punto x, definit come il reciproco del rggio del cerchio oscultore in x, e dt dll espressione c(x) = g (x) (1 + g (x)] 2 ) 3/2 L integrle (15) può llor essere ssunto come un misur dell curvtur globle dell g(x) se g (x) è piccolo rispetto d 1 Dl teorem 1 risult quindi che l spline cubic nturle è quell che minimizz l curvtur globle Segue nche che se f C 2, b], llor s (x)] 2 dx f (x)] 2 dx 10

11 Si costruisce d esempio l spline cubic complet che pprossim f(x) = cos(πx) nei nodi = i, i = 0,, n È h i = +1 = 1, f( ) = ( 1) i, f (x 0 ) = f (x n ) = 0 Quindi i momenti risolvono il sistem 2µ 0 + µ 1 = 12 µ i 1 + 4µ i + µ i+1 = ( 1) i+1 24, i = 1,, n 1, µ + 2µ n = ( 1) n+1 12 Questo sistem h l soluzione µ i = ( 1) i+1 12, d cui si ricv che α i = ( 1) i+1 6 e β i = ( 1) i 3 Quindi ] s i (x) = ( 1) i 2(x ) 3 + 2(x +1 ) 3 6(x ) + 3, e mentre s (x)] 2 dx = = 12 2 n f (x)] 2 dx = π 4 n xi+1 s i (x)] 2 dx = n x1 s 0(x)] 2 dx x 0 (x + (x 1)) 2 dx = 12 2 n 1 = 48 n, 3 x cos 2 (πx) dx = π 4 2 sin(2πx ] n = π 4 n 4π n Se i nodi vengono infittiti ggiungendo ltri nodi ll precedente suddivisione dell intervllo, l successione degli integrli limitt superiormente d 35 Proprietà di convergenz f (x)] 2 dx s (x)] 2 dx risult non decrescente, Il primo teorem studi l convergenz dei momenti dell s(x) i vlori dell derivt second dell f(x) nei nodi, il secondo l convergenz dell s(x) e delle sue derivte fino l terzo ordine ll f(x) e lle sue derivte per x, b] Per semplicità si consider dpprim il cso dei nodi equidistnti Teorem 3 Si f C 4, b] Posto M 4 = mx x,b] f (4) (x), per i momenti dell spline cubic s(x) complet vle l relzione mx µ i f ( ) 3,,n 4 M 4 h 2 (17) 11

12 Dim Dll formul di Tylor si h f i+1 f i = hf i + h2 2 f ( ) + h3 3! f ( ) + h4 4! f (4) (ξ i,1 ), f i 1 f i = hf i + h2 2 f ( ) h3 3! f ( ) + h4 4! f (4) (ξ i,2 ), con ξ i,1, ξ i,2 (, b), e quindi f i 1,i,i+1 = h f ( ) + h3 4! Usndo ncor l formul di Tylor ( ) f (4) (ξ i,1 ) + f (4) (ξ i,2 ) (18) f (+1 ) = f ( ) + hf ( ) + h2 2 f (4) (ξ i,3 ), f ( 1 ) = f ( ) hf ( ) + h2 2 f (4) (ξ i,4 ), con ξ i,3, ξ i,4 (, b) Si definiscono or le differenze d i = µ i f ( ), per i = 0, n, e g 0 = 2 d 0 + d 1, g n = d + 2 d n, g i = d i d i + d i+1 per i = 1, n 1 Per i = 1, n 1 d (11), (18) e (19) si h g i = h2 4 In modo nlogo dlle (12) si ottiene g 0 = h2 4 Pssndo i moduli si h ] f (4) (ξ i,1 ) + f (4) (ξ i,2 ) 2 f (4) (ξ i,3 ) 2 f (4) (ξ i,4 ) ] f (4) (ξ 0,1 ) 2 f (4) (ξ 0,3 ) e g n = h2 4 ] f (4) (ξ n,2 ) 2 f (4) (ξ n,4 ) (19) g i 3 2 M 4 h 2, per i = 1,, n 1, g M 4 h 2 e g n 3 4 M 4 h 2 (20) Si or k l indice per cui Se 1 k n 1, si h d k = mx,,n d i (21) g k = d k d k + d k+1 = 2 d k + (d k 1 + d k ) + (d k + d k+1 ) Per l (21) le due quntità d k 1 + d k e d k + d k+1 hnno lo stesso segno di d k, per cui g k 2 d k 12

13 Per l (20) è llor µ k f (x k ) = d k 3 4 M 4 h 2 Se invece k = 0 oppure k = n, si ottiene µ 0 f (x 0 ) g 0 e µ n f (x n ) g n, e in entrmbi i csi segue l tesi Teorem 4 Nell ipotesi del teorem 3, per l spline complet vlgono le limitzioni f (x) s i (x) 2M 4 h, per x, +1 ], i = 0,, n 1, f (x) s (x) 7 4 M 4 h 2, f (x) s (x) 7 4 M 4 h 3, f(x) s(x) 7 8 M 4 h 4, per x, b] Dim Dll (2) si h che per x, +1 ] è s i (x) = µ i+1 µ i, d cui h f (x) s i (x) = f (x) µ i+1 µ i h f (+1 ) f (x)] f ( ) f (x)] h Per l formul di Tylor e per l (17) è f (x) s i (x) 3 2 M 4h h con ξ 1, ξ 2 (, +1 ), e per l (1) è = f (x) µ i+1 f (+1 )] µ i f ( )] h (+1 x) 2 f (4) (ξ 1 ) ( x) 2 f (4) (ξ 2 ) f (x) s i (x) 3 2 M 4h hm 4 2M 4 h (22) Per l second disuguglinz, se x coincide con uno dei nodi, l mggiorzione discende subito dll (17); se x non coincide con uno dei nodi, si il nodo più vicino x e j = i 1 oppure j = i second che x < oppure x > Allor x f (t) s j (t)] dt = f (x) s (x)] f ( ) s ( )],, d cui x f (x) s (x) = f ( ) s ( ) + f (t) s j (t)] dt 13

14 Poiché x h/2, per le (17) e (22) risult f (x) s (x) 3 4 M 4h 2 + 2M 4 h h M 4 h 2 Per ricvre l terz disuguglinz, poiché per i = 0,, n, è s( ) = f i, per il teorem di Rolle in ogni intervllo, +1 ], i = 0,, n 1, esiste un punto ξ i, tle che f (ξ i ) = s (ξ i ) (23) Quindi per ogni x, b], esiste uno ξ i, con ξ i x h, per cui vle l (23), e quindi x Pssndo i moduli si h ξ i f (t) s (t)] dt = f (x) s (x) f (x) s (x) 7 4 M 4 h 3 In modo nlogo si ricv l qurt disuguglinz, tenendo conto che per ogni x, b] esiste un indice i per cui x h/2 I teoremi 3 e 4 vengono fcilmente generlizti l cso di nodi non equidistnti Teorem 5 Si f C 4, b] Posto M 4 = mx x,b] f (4) (x), H = mx,, h i, h min = min,,n h i, per l spline complet vlgono le limitzioni µ i f ( ) 3 4 M 4 H 2, per i = 0,, n 1, f (x) s i (x) 2M 4 f (x) s (x) 7 4 M 4 H 2 h min, per x, +1 ], i = 0,, n 1, H 3 h min, H 4 f (x) s (x) 7 4 M 4, h min f(x) s(x) 7 8 M H 5 4, h min per x, b] Dl teorem 5 segue che per un funzione f(x) derivbile con continuità fino l qurto ordine, se si infittiscono i nodi in modo regolre, cioè in modo che il rpporto H/h min si sempre limitto, llor si h convergenz per H 0 dell spline e delle sue derivte fino l terzo ordine rispettivmente ll f(x) e lle sue derivte 14

15 36 Qudrtur con le spline Dll spline cubic complet s(x) si ottiene un interessnte formul di qudrtur per l pprossimzione di Integrndo l (4) si h S n+1 = s(x) dx = S = xi+1 f(x) dx s i (x) dx (x ) = µ 4 (x +1 ) 4 (x ) 2 i+1 µ i + α i + β i (x ) 24h i 24h i 2 = (µ i + µ i+1 ) h3 i 24 + α h 2 ] i i 2 + β ih i, d cui, sostituendo le (5), si ricv S n+1 = ]+1 h i 2 (f h 3 i i + f i+1 ) 24 (µ i + µ i+1 ) (24) L prim sommtori fornisce lo stesso vlore dell formul dei trpezi Se f C 4, b], per il teorem 4 l errore che si commette utilizzndo S n+1 come pprossimzione di S è S S n+1 f(x) s(x) dx 7 8 M 4 H 5 (b ) 7n h min 8 M H 6 4 h min Se i punti sono equidistnti con h i = h per i = 0,, n 1, risult S S n+1 7n 8 M 4h 5 = 7 8 M (b ) 5 4 n 4, dello stesso ordine dell formul di Cvlieri-Simpson Inoltre dl sistem (10) si h 2µ 0 + µ 1 µ 0 + 4µ 1 + µ 2 µ n 2 + 4µ + µ n µ + 2µ n = 6 h 2 Quindi le somme delle loro componenti risultno hf 0 + f 1 f 0 f 0 2f 1 + f 2 f n 2 2f + f n f f n + hf n 3 h (µ i + µ i+1 ) = 6 (f n f 0) = 6 (f (b) f ()), 15

16 per cui sostituendo nell (24) si h S n+1 = h 2 (f i + f i+1 ) h2 12 (f (b) f ()) Quest non è ltro che l formul di Eulero-Mclurin l primo ordine 37 Rppresentzione medinte B-spline Per definire e costruire un spline si può procedere nche in modo diverso, esprimendol come combinzione linere di opportune spline elementri linermente indipendenti Per n 4, si considerno i punti usiliri x 3 < x 2 < x 1 < e b < x n+1 < x n+2 < x n+3 Si definiscono B-spline (o spline fondmentli) cubiche normlizzte le funzioni S i (x), i = 1,, n + 1, tli che (1) S i C 2 x 3, x n+3 ], (2) in ogni intervllo S i (x) coincide con un polinomio di terzo grdo, (3) S i (x) 0 per x 2 e x +2, (4) S i ( ) = 1 L condizione (4) può essere sostituit d un qulunque ltr condizione che fcci sì che le B-spline non sino identicmente nulle, d esempio xi+2 2 S i (x) dx = 1 I coefficienti dell S i (x) sono soluzione di un sistem linere Per verificre l non singolrità dell mtrice del sistem, bst dimostrre che se un funzione t i (x) soddisf le (1), (2), (3) ed inoltre è tle che t i ( ) = 0, llor t i (x) 0 Inftti t i (x) si nnull in lmeno 3 punti nell intervllo 2, +2 ], quindi t i (x) si nnull in lmeno due punti interni tle intervllo, e poiché t i ( 2) = t i (+2) = 0, t i si nnull in lmeno 4 punti di 2, +2 ] In modo nlogo si vede che t i (x) si nnull in lmeno 5 punti di 2, +2 ], di cui 3 interni, e questo è possibile solo se t i 0, perché t i (x) coincide con 4 polinomi di terzo grdo sui 4 intervlli, +1 ], i = i 2,, i + 1 Ne segue che l S i (x) esiste ed è unic Per verificre che le B-spline sono linermente indipendenti, se ne consider un combinzione null φ(x) = n+1 i= 1 α i S i (x) = 0 Poiché S i (x 2 ) = 0 per i 0, risult φ(x 2 ) = α 1 S 1 (x 2 ), e dovendo essere φ(x 2 ) = 0, ne segue che α 1 = 0 Si procede considerndo i vlori φ(x k ), k = 1,, n Risult così che i coefficienti dell combinzione sono tutti nulli 16

17 Per ogni intervllo, +1 ], i = 0,, n 1, esistono quttro B-spline linermente indipendenti e non nulle con cui è possibile esprimere qulunque polinomio di terzo grdo Ne segue che ogni spline cubic s(x) può essere scritt come s(x) = n+1 i= 1 α i S i (x), dove gli α i sono degli opportuni coefficienti Se uno degli α i viene modificto, l spline s(x) risult modifict solo nell intervllo ( 2, +2 ), e quindi non è necessrio riclcolrl tutt Questo è prticolrmente vntggioso nelle ppliczioni grfiche Nel cso prticolre dei nodi equidistnti, indicto con h il psso costnte e posto z = (x )/h, risult (z 3 + 6z z + 8)/4 per 2 z 1, ( 3z 3 6z 2 + 4)/4 per 1 z 0, S i (x) = (3z 3 6z 2 + 4)/4 per 0 z 1, ( z 3 + 6z 2 12z + 8)/4 per 1 z 2, 0 per z 2 e z 2 In figur è riportto il grfico dell S i (x) nel cso = i 1 i 2 i 1 i i +1 i +2 Le B-spline vengono clcolte in modo stbile usndo l lgoritmo ricorsivo di de Boor 38 Spline di ordine superiore Le spline cubiche sono le più uste, perché sono quelle di grdo minimo che permettono di rccordre le derivte seconde nei nodi Nturlmente spline di grdo più lto permetterebbero di rccordre derivte di ordine più elevto, m il mggior costo non srebbe ricompensto d un migliormento grfico pprezzbile, in qunto l occhio umno non rriv discernere differenze così microscopiche Non esistono comunque difficoltà un generlizzzione spline di ordine dispri mggiore di 3 Fissto un intero m tle che 2 m n + 1, l spline di ordine 2m 1 per l pprossimzione dell f(x) può essere definit in uno dei modi seguenti 17

18 () Definizione descrittiv: si definisce spline di ordine 2m 1 un funzione s(x) tle che (1) s( ) = f i, per i = 0,, n, (2) s è un polinomio di grdo l più 2m 1 in, +1 ], per i = 0,, n 1, (3) s C 2m 2, b], (4) si s (m) () = s (m+1) () = = s (2m 2) () = 0, s (m) (b) = s (m+1) (b) = = s (2m 2) (b) = 0, L definizione ), b), c), d ) di spline nturle corrisponde ll definizione descrittiv con m = 2 L definizione descrittiv individu univocmente l spline Inftti, supponimo per ssurdo che esistno due spline σ 1 (x) e σ 2 (x) che soddisfno l definizione descrittiv Allor l funzione s(x) = σ 1 (x) σ 2 (x) verific le (1) (4) dell definizione descrittiv reltivmente ll f(x) identicmente null Poiché in ogni intervllo s(x) coincide con un polinomio di grdo l più 2m 1, ess è individut d 2mn coefficienti Le (1), (3) e (4) forniscono esttmente 2mn condizioni lineri sui coefficienti Quindi i coefficienti dell s(x) soddisfno il sistem linere Ax = 0 di ordine 2mn Per verificre che tle sistem h un unic soluzione, si pplic ripetutmente l formul di integrzione per prti ] b s (m) (x)] 2 dx = s (m 1) (x)s (m) (x) s (m 1) (x)s (m+1) (x) dx = xi+1 = ( 1) m s (x)s (2m 2) (x) dx = ( 1) m s (x)s (2m 2) (x) dx = ( 1) m s (x)s (2m 2) (x) s(x)s (2m 1) (x) ]+1, in qunto s (2m) (x) 0 su ogni intervllo, e poiché s( ) = 0 per i = 0,, n e s (2m 2) () = s (2m 2) (b) = 0, ne segue che s (m) (x)] 2 dx = 0 Quindi l s(x), per le condizioni di continuità, deve essere un polinomio di grdo m 1, e poiché si nnull in n + 1 punti, con n + 1 > m 1, ne segue che è identicmente null l spline che pprossim l funzione identicmente null (b) Definizione vrizionle: si definisce spline di ordine 2m 1 un funzione s(x) tle che (1) s( ) = f i, per i = 0,, n, (2) s C m 1, b], 18

19 (3) l integrle s (m) (x)] 2 dx esiste ed è quello minimo fr gli integrli di tutte le funzioni che soddisfno le condizioni (1) e (2) Le due definizioni vrizionle e descrittiv sono equivlenti Si inftti s(x) l spline che soddisf le (1) (4) dell definizione descrittiv per l pprossimzione dell f(x) e t(x) un funzione che soddisf le (1) e (2) dell definizione vrizionle, llor t (m) (x)] 2 dx +2 s (m) (x)] 2 dx = t (m) (x) s (m) (x)]s (m) (x) dx 2 t (m) (x) s (m) (x)] 2 dx t (m) (x) s (m) (x)]s (m) (x) dx, in cui il segno di uguglinz vle solo se s(x) e t(x) coincidono identicmente Procedendo come per l dimostrzione del teorem 1, si dimostr che l ultimo integrle è nullo Ne segue che t (m) (x)] 2 dx e che il minimo viene ssunto solo dll s(x) s (m) (x)] 2 dx 39 Perché non si usno le spline di ordine pri? L richiest dell continuità delle derivte nei nodi f sì che l spline fornisc un pprossimzione globle, nel senso che un vrizione di un singolo vlore f j nel j-esimo nodo si ripercuote su tutte le s i (x) Però nel cso delle spline di ordine dispri, l intensità di quest dipendenz decresce con l distnz di i d j Questo invece non ccde con le spline di ordine pri Esminimo, d esempio, il cso dell spline qudrtic, definit come l funzione rele s C 1, b] che in ogni intervllo coincide con un polinomio s i (x) di grdo l più 2 ed è tle che s( ) = f( ), per i = 0,, n Procedendo come per le spline cubiche, si pone ν i = s i (), per i = 0,, n 1 e ν n = s (x n); risult quindi Integrndo si h s i(x) = ν i+1 x h i ν i x +1 h i s i (x) = ν i+1 (x ) 2 2h i ν i (x +1 ) 2 2h i + α i, e imponendo le condizioni s i ( ) = f i e s i (+1 ) = f i+1 si ottiene ν i h i 2 + α i = f i e ν i+1 h i 2 + α i = f i+1, 19

20 d cui ν i + ν i+1 = 2 f i+1 f i h i, per i = 0,, n 1 Quest equzione lle differenze del primo ordine consente di clcolre i ν i, purché si ssegnto un vlore inizile ν 0 = s 0 (x 0) oppure ν n = s (x n) Ad esempio con l condizione ν 0 = 0 si ottiene i 1 ν i = 2 ( 1) i+j 1 f j+1 f j h j Gli α i, i = 0,, n 1 vengono poi clcolti per sostituzione j=0 Oltre d essere meno efficce dell spline cubic dl punto di vist grfico, l spline qudrtic non viene ust perché per certe scelte dell unic condizione usiliri, è instbile L instbilità è cust dl ftto che si risolve un equzione lle differenze l cui equzione omogene ssocit h l soluzione ν i = ( 1) i ν 0, mentre l soluzione dell equzione complet potrebbe essere decrescente Inoltre, se viene modificto un vlore dell funzione f(x k ), l soluzione vri solo nelle componenti ν i, con i k 20