Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase

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1 Luigi Lecci\Compito D\Venerdì 7 ottobre 00 Oggetto: compito in Clsse D/PNI Liceo Scientifico Sttle G. Stmpcchi Tricse Tempo di lvoro 00 minuti Argomenti: Sistem numerico di equzioni di primo grdo d risolvere con rtifici- Discussione di un sistem letterle di primo grdo- Sistem di tre equzioni di primo grdo in tre incognite (Regol di Srrus- Geometri: Problem di primo grdo - Informtic: Progrmm in T.P. per l discussione di un sistem di due equzioni di primo grdo. Es_ (mrisolvere il seguente sistem numerico 5 + y x + y 5 y ( x + y Es_(m Risolvere e discutere il seguente sistem letterle b y b + y + b + b Es.(m Risolvere con il metodo di Crmer il seguente sistem di primo grdo x + y z 4 y + z x 6y + z 0 Soluzione Es_ Soluzione Es_ Soluzione Es_ Regol di Srrus Soluzione Problem Prim Prte Second Prte Soluzione Informtic Problem (m- P- Determinre le dimensioni di un rettngolo spendo che il loro rpporto è / e che umentndo del 0% l misur del lto mggiore e diminuendo del 0% quell del lto minore l misur del perimetro ument di m. P- In relzione l rettngolo di cui l punto precedente, stbilire in qule posizione si deve trccire un cord prllel l lto vente misur minore in modo d dividere il rettngolo in due rettngoli tli che il rpporto delle loro ree si /. Informtic Scrivere un progrmm in T.P. che permett di discutere il sistem di equzioni primo grdo x + b y c + b y c qundo sino dti in input i vlori dei coefficienti, b, c,, b, c.

2 Luigi Lecci\Compito D\Venerdì 7 ottobre 00 Soluzione Il sistem proposto si risolve in modo elementre introducendo due incognite tempornee ponendo: u, v e risolvendo il sistem che si ottiene y x + y u + 5v ; (. u 5v 0 un volt risolto quest ultimo sistem si impost un nuovo sistem nelle incognite x, y. Dl sistem (. si ricv immeditmente (pplicndo il metodo di riduzione si può prim sommre membro membro e poi sottrrre membro membro: 6 u u ; 0 v v 5 Si deve or risolvere il nuovo sistem y y (5 x x + y 5 y 5 x x + y 5 8 x L soluzione del sistem in esme è: 8 7 y 5 Il sistem deve essere ricondotto ll form normle, cioè si devono eliminre i denomintori, imponendo le necessrie condizioni di esistenz (C.E., e ridurre i termini simili. Le C.E. sono: 0, b 0, + 0. Ciò premesso, dopo lcune elborzioni lgebriche si ottiene l form ridott: (b x + y x by + b b Risolvimo il sistem pplicndo il metodo di Crmer.; questo metodo consente nche un più gevole discussione. Clcolimo i vlori dei tre determinnti: (b D ( b + b b D x ( b + b + b b b (b D y ( b( b + b + b b

3 Luigi Lecci\Compito D\Venerdì 7 ottobre 00 Osservimo che con le condizioni 0, b 0, l vrire di e b nel cmpo dei numeri reli risult D 0 ( e quindi il sistem è determinto; l soluzione è: Dx ( b + b D y ( b( b + b x ; y b D ( b + b D ( b + b Per un complet discussione del sistem occorrerebbe fr vedere che l soluzione trovt è ccettbile, cioè che non contrst con le condizioni di esistenz (C.E.. Avendo già precisto che devono vlere le condizioni 0, b 0, si trtt di provre che l vrire dei vlori dei prmetri, b è rispettt nche l ulteriore condizione + 0, quindi che il vlore ricvto per l incognit x si diverso d /. Ebbene, poiché l uguglinz /-/ sussiste solo per 0, mentre è grntit l condizione 0, si deduce che è soddisftt nche l condizione + 0 e quindi l soluzione trovt è ccettbile per il sistem che è pertnto determinto. x + y z 4 y + z x 6y + z 0 Il sistem è già ridotto ll form normle, dunque, considerto che si deve risolvere pplicndo il metodo di Crmer, si devono clcolre i quttro determinnti del terzo ordine corrispondenti. Not teoric Ricordimo che il clcolo di un determinnte del terzo ordine si può eseguire in modo elementre con il metodo di Srrus. Riportimo di seguito l regol prim di impostre i determinnti reltivi l sistem. IL vlore del determinte del terzo ordine è: D ( + + ( + + Si può ricordre gevolmente lo sviluppo relizzndo l seguente tbell ed osservndo che i primi tre prodotti sono ottenuti moltiplicndo gli elementi che si trovno sulle digonli discendenti (colorte in blu mentre i tre prodotti del secondo gruppo si ottengono dgli elementi che si trovno sulle digonli scendenti (colorte in rosso. Ciò premesso impostimo e riportimo i vlori dei quttro determinnti necessri ll risoluzione del sistem. ( Fccimo notre che quest conclusione non è immedit per chi non conosce ncor l teori delle equzioni di secondo grdo. Tuttvi l llievo che conosc bene l teori dell scomposizione in fttori s riconoscere che il trinomio -b+b non si può scomporre nel prodotto di due binomi di primo grdo coefficienti reli.

4 Luigi Lecci\Compito D\Venerdì 7 ottobre 00 4 Il primo determinnte, detto nche determinnte del sistem, si ottiene con i coefficienti delle incognite x, y, z, che, ricordimo, devono essere scritte nello steso ordine nelle tre equzioni. Indichimo con D: il determinte del sistem; D x : il determinnte necessrio per il clcolo del vlore dell incognit x; D y : il determinnte necessrio per il clcolo del vlore dell incognit y; D z : il determinnte necessrio per il clcolo del vlore dell incognit z; D x si ottiene prtire dl determinnte D, sostituendo l prim colonn ( coeff. di x con l colonn dei termini noti; D y si ottiene prtire dl determinnte D, sostituendo l second colonn ( coeff. di y con l colonn dei termini noti; D z si ottiene prtire dl determinnte D, sostituendo l terz colonn ( coeff. di z con l colonn dei termini noti. I quttro determinnti sono: D 4 D 4 x D D 8 y z Considerto che il vlore del determinnte del sistem è diverso d zero, il sistem è determinto e l soluzione è: Dx y Dz 8 x ; ; z D D D y D Geometri Prim Prte del Problem Indichimo con x ed y le misure delle dimensioni del rettngolo in questione, con x misur mggiore (vedi Fig.. Dll informzione sul rpporto delle misure dei lti si h: x/y/ xy/ Si ricv l second relzione che leg le misure x, y con il legme esistente tr il perimetro del rettngolo ssegnto e quello del rettngolo trsformto. Dette x, y le corrispondenti misure del rettngolo trsformto si s che x x+0%xx/0; y y-0%y9y/0 ; Il perimetro del primo rettngolo è p(x+y; quello del secondo rettngolo p (x +y (x/0+9y/0 L informzione sui perimetri fferm che p p+(metri per cui sussiste l uguglinz (x/0+9y/0 (x+y+ x/0+9y/0 x+y+ 4 4

5 Luigi Lecci\Compito D\Venerdì 7 ottobre 00 5 Mettendo insieme le due uguglinze ottenute si ottiene un sistem di due equzioni che v risolto. Il sistem è x y x + 9y 0 x y x + y + x y 0 I lti del rettngolo misurno llor 0m e 0m. (Fig. x 0m y 0m Second Prte del Problem Ritornndo l rettngolo di prtenz ABCD, con AB0m, BC0m, dobbimo condurre l cord PQ prllel l lto BC in modo che i due rettngoli ottenuti bbino ree che stnno nel rpporto /. In riferimento ll Fig., ponimo APx e quindi PB0-x. I vlori delle ree dei due rettngoli sono: Are(APQB0x; Are(PBCQ(0-xx Deve essere verifict l uguglinz 0 (0 x 5x60 xm 0 x L cord PQ deve essere dunque condott in modo che APm. Nturlmente, se si sceglie PBm l soluzione v ncor bene: in questo cso il rettngolo di re mggiore è APQB. In Fig. è rppresentt l soluzione con APm, PB8m. Informtic Riportimo l codific in Turbo Pscl del progrmm che risolve il problem ssegnto. Progrm DiscSist; (* Discutere un sistem di due equzioni di primo grdo in due incognite* Uses crt; vr,,b,b,c,c,d,dx,dy,x,y:rel; Begin Clrscr; Writeln(' questo progrmm permette di discutere e risolvere un sistem'; Writeln(' di primo grdo di due equzioni già ridotto ll form normle'; Writeln('Ax+ByC'; Writeln('A+ByC'; Writeln('Inserisci or i coefficienti A,B,C,A,B,C premendo INVIO dopo'; Writeln(' ogni dto numerico'; Write('A ';Red(A; Write(' B ';Red(B; Write(' C ';Redln(C; Write('A ';Red(A; Write(' B ';Red(B; Write(' C ';Redln(C; (* clcolo dei determinnti del sistem * D:A*B-A*B; Dx:C*B-C*B; Dy:A*C-A*C; (* Discussione e soluzione * If D<>0 then Begin x:dx/d; y:dy/d; Writeln('x ',x:6:; Writeln('y ',y:6:; End

6 Luigi Lecci\Compito D\Venerdì 7 ottobre 00 6 Else If (Dx<>0 Or (Dy<>0 then Writeln(' Il sistem non h soluzioni' Else Writeln(' Ilsistem è indeterminto: mmette infinite soluzioni.'; Textcolor(+Blink; Writeln('Premi un tsto per chiudere.'; Repet Until Keypressed; End.