A - Test d ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A del 22 giugno stabilire: Σ è semplicemente stabile vero

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Sabrina Pavone
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1 A - Test d ingresso ll Prov Scritt di Controlli Automtici A del giugno 004 ) Scrivere l funzione di trsferimento di un sistem dinmico vente i modi { t e sin(3 t+ ϕ ),, t, t } T() s ) Dto un sistem dinmico Σ con funzione di trsferimento Σ è sintoticmente stbile: vero ٱ flso ٱ Σ è instbile: vero ٱ flso ٱ Σ è stbile ingresso-limitto uscit limitt: vero ٱ flso ٱ s T() s 4 ( s+ 7) ( s + ) s Σ è semplicemente stbile vero ٱ flso ٱ Σ è fse minim: vero ٱ flso ٱ 3) Si noto che l coppi di funzioni ingresso-uscit ( sin t,cos ) yt () tle che ( cos, ( t) ) sistem dinmico. Determinre un funzione t pprtiene ll insieme dei behviors B di un t y B : yt () s + 4) Ad un sistem dinmico in quiete con funzione di trsferimento viene pplicto l ingresso ut ( ) 4 ( t) s + 4 4t (segnle grdino). L uscit corrispondente h l struttur yt () A+ Be per t > 0. Determinre le costnti A e B. 80( s + ) 5) Il digrmm polre ssocito ll funzione di trsferimento Ls () present un sintoto verticle 3 ss ( + ) prllelo ll sse immginrio. Determinre l sciss rele σ di tle sintoto: σ 6) Scrivere l funzione di trsferimento di un generic rete ritrdtrice Cr ( s ) 7) Determinre l trsformt di Lplce del segnle f() t 3( t 4) : Fs () 8) Un sistem dinmico Σ è rppresentto dll funzione di trsferimento poli: { poli di Σ } { } s + s. Determinre i suoi ( s+ )( s+ )( s+ 4) 9) Dto il segnle definito d f ( t) 0 per t < 0 e f( t) t per t 0 generlizzt: * D f() t determinrne l derivt second 0) Dt l equzione diofnte ( s ) x( s) + ( s ) y( s) s+ L eq. non mmette soluzioni: vero flso L eq. mmette un sol soluzione: v ero flso L eq. mmette infinite soluzioni: v ero flso Esiste lmeno un soluzione per l qule deg x( s) < deg y( s) : vero flso

2 B - Test d ingresso ll Prov Scritt di Controlli Automtici A del giugno 004 ) Dto un sistem dinmico Σ con funzione di trsferimento Σ è sintoticmente stbile: vero ٱ flso ٱ Σ è instbile: vero ٱ flso ٱ Σ è stbile ingresso-limitto uscit limitt: vero ٱ flso ٱ s T() s 4 ( s+ 7) ( s + ) s Σ è semplicemente stbile vero ٱ flso ٱ Σ è fse minim: vero ٱ flso ٱ ) Si noto che l coppi di funzioni ingresso-uscit ( sin 3 t,4sin 3 ) yt ( ) tle che ( 3cos3 t, y(t) ) B : ( ) sistem dinmico. Determinre un funzione t pprtiene ll insieme dei behviors B di un yt s + 3) Ad un sistem dinmico in quiete con funzione di trsferimento viene pplicto l ingresso ut () () t s + 4 4t (segnle grdino). L uscit corrispondente h l struttur yt () A+ Be per t > 0. Determinre le costnti A e B. 64( s + ) 4) Il digrmm polre ssocito ll funzione di trsferimento Ls () present un sintoto verticle 4 ss ( + ) prllelo ll sse immginrio. Determinre l sciss rele σ di tle sintoto: σ t 5) Scrivere l funzione di trsferimento di un sistem dinmico vente i modi { e sin(7 t+ ϕ),, t } Ts () 6) Scrivere l funzione di trsferimento di un generic rete nticiptrice Cr ( s) 7) Dto il segnle definito d f ( t) 0 per t < 0 e f( t) 9 + t per t 0 determinrne l derivt second generlizzt: * D f() t 8) Determinre l trsformt di Lplce del segnle f() t 7( t 5) : Fs () 9) Un sistem dinmico Σ è rppresentto dll funzione di trsferimento poli: { poli di Σ } { } s + 4s. Determinre i suoi ( s+ 3)( s+ 4)( s+ 9) 0) Dt l equzione diofnte ( s ) x( s) + ( s ) y( s) s L eq. non mmette soluzioni: vero flso L eq. mmette un sol soluzione: v ero flso L eq. mmette infinite soluzioni: v ero flso Esiste lmeno un soluzione per l qule deg x( s) < deg y( s) : vero flso

3 Università di Prm Fcoltà di Ingegneri Prov Scritt di Controlli Automtici A del Giugno 004 PARTE A A) Trccire per τ [0, + ) il luogo geometrico delle rdici dell seguente equzione crtteristic ( 0.8τ s) ( τ )( 0. ) 5 0 s s s determinndo in prticolre eventuli sintoti e rdici doppie. A) Si dto il sistem in retrozione unitri r + G c (s) - (s+)(s+5) c Progettre, utilizzndo le formule di inversione, un controllore (rete nticiptrice) di struttur τ s + Gc ( s) k, k R, τ, α ατ s R ( 0,), l fine di soddisfre le seguenti specifiche: ) errore regime in rispost d un grdino unitrio del segnle di set-point e 0.05 / 0 ; b) mrgine di fse del sistem retrozionto M F 35. r

4 Università di Prm Fcoltà di Ingegneri Prov Scritt di Controlli Automtici A del Giugno 004 PARTE B B) Si ssegnto il seguente sistem retrozionto r + - C(s) s e ( + s)( + 5 s) c dove C( s) K > 0 è un controllore proporzionle. ) Si determini utilizzndo il criterio di Nyquist il cmpo di stbilità (estto) in K che ssicuri l stbilità sintotic del sistem retrozionto; ) Si pprossimi il ritrdo finito con un pprossimnte di Pdè del primo ordine e si determini il cmpo di stbilità (pprossimto) in e. e s K medinte il criterio di Routh. Discutere e confrontre i risultti ottenuti i punti B) Esporre il metodo dell equzione diofnte per l sintesi dei controllori nei sistemi di controllo in retrozione.

5 Università di Prm Fcoltà di Ingegneri Prov Scritt di Controlli Automtici A del Giugno 004 PARTE C C) Si ssegnto il sistem meccnico vibrnte di figur f b m m k k x x crtterizzto d due molle di costnte elstic k e due corpi di mss m ccoppiti d uno smorztore viscoso di coefficiente b. Il corpo di sinistr si soggetto d un forz f e le posizioni delle due msse sino descritte dlle vribili x e x (qundo il sistem è in quiete x x 0). ) Determinre le equzioni differenzili che descrivono il moto delle due msse. b) Determinre l equzione differenzile che crtterizz il sistem vibrnte (denominto Σ ) orientto dll ingresso f ll uscit x. c) Scrivere il polinomio crtteristico e l funzione di trsferimento di Σ. d) Dimostrre con i metodi e teoremi dell tbell di Routh che Σ è semplicemente stbile per qulsivogli vlore dei prmetri mkb,, (tutti positivi). e) Giustificre con un rgionmento fisico il motivo per cui Σ, nonostnte l presenz di un elemento dissiptivo (lo smorztore viscoso), non è sintoticmente stbile. C) Trccire i digrmmi di Bode ed il digrmm polre dell rete ritrdtrice in prticolre il ritrdo mssimo di fse e l corrispondente pulszione. ατ s Cs () τ s determinndo

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